Ist das Universum ein Fraktal?

andreasko schrieb am 08.03.2010:hier der Urkontinent Pangäa,verglichen mit einem Embryo...auch hier sind meiner Meinung nach Ähnlichkeiten vorhanden

Warum ausgerechnet Pangäa? Pangä ist nicht der Urkontinent. Der Urkontinent heißt - Ur! Pangäe ist lediglich der letzte Superkontinent; Ur war der Erste. Und so, wie auf dem Bild, hat Pangäa auch nur ein paar Millionen Jahre ausgesehen.

Darüber hinaus - müssten wir, wenn es sich um ein Fraktal handeln würden, dann nicht beim vergrößern immer wieder auf die selbe Struktur stoßen? Müssten Embryos dann nicht aussehen wie unsere heutige Weltkarte?

Sorry, aber Pangäa und Embryo passen vorne und hinten nicht, egal, wie ich es anfasse. Das sind einfach nur willkürlich herausgegriffene Beispiele. Es kann nichts belegen sondern schafft nur weitere Frage, bspw. warum die Embryonen verschiedener Rassen nicht alle gleich aussehen, warum ausgerechnet ein menschliches Embryo genutzt wird oder wie es ein Fraktal sein kann, wenn man lediglich zwei Vergleichsgrößen hat, die sich bestenfalls grob ähneln. Warum sehe ich bspw. bei einem Embryo unter dem Mikroskop dann nicht weiter kleinere Embryos? Und wo sehe ich Embroys in kosmischen Strukturen?

moredread schrieb:Darüber hinaus - müssten wir, wenn es sich um ein Fraktal handeln würden, dann nicht beim vergrößern immer wieder auf die selbe Struktur stoßen?

Das ist vollkommen richtig ... das hat mich auch schon am fraktalen Baum von @NovaFusion gestört. Der ist nämlich genau wegen diesem Argument auch absolut kein Fraktal :)

Schaut euch doch erstmal die Doku an, bevor erstmal kritisiert wird. Lasst euch inspirieren. Es werden bestimmt einige Fragen gelüftet.

https://www.youtube.com/watch?v=QkwtRzrR9fo (Video: Geheimes Kern des Lebens Fraktale [Doku deutsch])

Ab Minute 7 wird etwas über dein Baum erzählt, soviel zum Thema

Aha und weil der Hippie bei Minute 7 sagt, dass es da ein sich wiederholendes Muster in der Verästelung von Bäumen gibt, ist der Baum ein Fraktal und kann daher nur mittels "Fraktaler Geometrie" beschrieben werden ... das Video erklärt zumindest woher du diesen stark verallgemeinerten Blödsinn hast.

Sorry mehr als 15 Minute kann ich mir diesen Käse nicht antun ... Hauptsache man hat aus einem eigentlich interessanten Thema, eine möglichst überzogene Geschichte gemacht. Erinnert mich fast schon an die "Ancient Aliens"-Serie. Aber gut jetzt wissen wir wenigstens von dieser anderen Mathematik neben der "Schulmathematik" *Kopf->Tisch* ...

Natürlich ist die fraktale Mathematik undendlich. Und ich weiß was du meinst. Ja klar ist die fraktale Mathematik unendlich, weil sich die Formen immer weiter runterbrechen, nur ein Baum ist halt nicht unendlich.

ArnoNyhm schrieb:Sorry mehr als 15 Minute kann ich mir diesen Käse nicht antun ... Hauptsache man hat aus einem eigentlich interessanten Thema, eine möglichst überzogene Geschichte gemacht. Erinnert mich fast schon an die "Ancient Aliens"-Serie. Aber gut jetzt wissen wir wenigstens von dieser anderen Mathematik neben der "Schulmathematik" *Kopf->Tisch* ...

Sehr inspirierend, Danke. (Irone off)



Und ich habe mit Studenten zu tuen gehabt, jeden Tag. Studenten die Mathematik bzw. Informatik studieren. Fraktale Mathematik habe ich nie gehört. Selbst ein Student, der im Moment Luftraumtechnik studiert, hat noch nie etwas über die fraktale Mathematik gehört. Das ist keine normale Schulmathematik, so wie wir sie kennen mit Rechtecken, Quadraten und Wurzeln.

Und natürlich ist das nur ein Modell, um die Natur zu beschreiben, wie ein User mal hier gesagt hat. Ich finde dieses Modell so gut, einfach weil in der natur nicht alles linear geplant bzw. konstruiert aussieht, sondern durcheinander. Nur dieses durcheinander kann der fraktalen Mathematik folgen. Und das ist bzw. kann sehr spannend sein.

Wenn man sich die fraktale Kunst ansieht, sieht man oft Formen von Blüten, Korallriffs, Nebulas, Rauch. Das sind alles Indizien, dass die fraktale Mathematik in der Natur vorhanden ist.

Eine an sich interessante Frage, die ich nachfolgend analysieren möchte und abschließend auf ein paar Punkte der hier anwesenden User eingehen werde.

Zuerst brauchen wir eine präzise Definition dessen, was mit "Fraktal" gemeint ist. Ich nehme einfach mal die folgende Definition [1], die es gut erfasst:

"A fractal is a never-ending pattern. Fractals are infinitely complex patterns that are self-similar across different scales. They are created by repeating a simple process over and over in an ongoing feedback loop. Driven by recursion, fractals are images of dynamic systems – the pictures of Chaos. Geometrically, they exist in between our familiar dimensions. Fractal patterns are extremely familiar, since nature is full of fractals. For instance: trees, rivers, coastlines, mountains, clouds, seashells, hurricanes, etc. Abstract fractals – such as the Mandelbrot Set – can be generated by a computer calculating a simple equation over and over."


Fraktale bezeichnen also spezifische Muster, die durch eine Sequenz, welche durch eine rekursive Funktion generiert wird, erstellt werden. Einer der bekanntesten Fraktale dürfte die Mandelbrotmenge sein:




Diese komplexe Struktur wird durch eine simple Rekursion, gegeben durch z_{n+1} = z_{n}^2 + c, konstruiert. [2] Wobei sich sowohl Definitions-und Bildbereich im Bereich der komplexen Zahlen befinden, sprich wir es mit einer Funktion der Form  C -> C zu tun haben. Generiert man nun mithilfe dieser Rekursion eine ausreichend große Sequenz an Zahlen und will sie graphisch darstellen, wird man eine Struktur wie das obige Fraktal erhalten. Dieses Prinzip lässt sich dementsprechend auf andere Strukturen übertragen, die dann unterschiedliche, geometrische Muster erzeugen (sofern die rekursive Formel gegeben ist).

An dieser Stelle nebenbei gefragt: Unterstützt Allmystery nicht zufällig LaTex-Kodierung oder kennt jemand solide, entsprechende HTML-Äquivalente, mit der man mathematische Symbole angemessen darstellen kann? So wird es leider klotzig; ich müsste daher etwas auf mathematischen Formalismus verzichten, was schon schade für den weiteren Diskussionsverlauf wäre.

Zurück zum Thema:
Fraktale bilden also sogenannte "Feedbackschleifen", da sie bei jedem Iterationsschritt auf den vorherigen Zustand zurückgreifen und dadurch zu einem neuen gelangen können. Dieses Prinzip machen sich auch übrigens funktionale Programmiersprachen wie Haskell zunutze, da sie statt Schleifen Rekursionen nutzen, um durch sukzessive Teillösungen eine Gesamtlösung zu finden (bei Interesse vgl. [3]).

Damit können wir uns nun der Beantwortung der eigentlichen Frage widmen: Ist denn das Universum ein Fraktal?

Nun, wir können viele Prozesse mit Fraktalen (mehr oder minder präzise) modellieren, siehe bspw. anhand dieses Beispiels [4] durch eine Fibonacci-Sequenz. Weitere Beispiele faszinierender, schöner und fraktaler Strukturen, die man in der Natur vorfinden kann, sind bspw. Bäume oder Schneeflocken [5]. Was mich persönlich sehr stark fasziniert, ist jedoch die Darstellung der biologischen Evolution als ein fraktales Muster, denn Änderungen an bereits vorhandenem führen über die Zeit zu neuen Variationen (durch natürliche Selektion). Evolution ist ein gutes Beispiel dafür, wie eine Feedbackschleife aussehen mag. Dazu ein interessanter Auszug aus folgendem Artikel [6]:

"[...] The evolution of life has many characteristics that are typical of non-linear systems. First, it is deterministic: changes in one part of the system, such as the mutation of a DNA base, directly cause other changes. However, the change is unpredictable. Just like the weather, changes are inexorable but can only be followed with the benefit of hindsight.


Second, behaviour of the system is sensitive to initial conditions. We see this in responses to glaciations in the Quaternary period. The exact circumstances of the beginning of each interglacial determine the development of the whole period, leading to unpredictable differences between interglacials (Quaternary Science Reviews, vol 14, p 967).

Third, the history of life is fractal. Take away the labelling from any portion of the tree of life and we cannot tell at which scale we are looking (see diagram). This self-similarity also indicates that evolutionary change is a process of continual splitting of the branches of the tree. [...]".

Letztendlich sind diese Prozesse bzw. Phänomene alle (echte) Teilmenge unseres Universums, welches selbst eine Art von mathematische Struktur ist. Dementsprechend können wir auch viele dieser Phänomene gut mit fraktalen Modellen abbilden und beschreiben. Dies trifft jedoch längst nicht auf alle zu, denn nicht alles lässt sich bloß durch rekursive Formeln darstellen. Zum Beispiel haben viele Naturgesetze mathematisch die Struktur von Differentialgleichungen (gewöhnliche wie partielle). Ein (mathematisches) Pendel kann auf diese Weise beschrieben werden (siehe [7]); es ist jedoch keine rekursive Gleichung und hat somit auch keine fraktale Struktur. Auf Wunsch kann ich noch gerne weitere Beispiele heraussuchen und diese versuchen, näher zu erläutern. Gerade die Quantenmechanik könnte hier einiges an Material liefern.

Da, wie ich aufzählte, mehr als genug andere, mathematisch anders strukturierte (bzw. beschreibbare) Phänome existieren, kann man nicht sagen, dass das Universum bloß ein Fraktal ist, auch wenn es genügend solcher Strukturen beinhaltet. Wie so oft ist die Wirklichkeit immer ein wenig komplexer und kann nicht auf wenige (oder gar einen) Begriffe reduziert werden, von denen man aus irgendwelchen Gründen beeindruckt ist.

Zum Schluss noch paar Kommentare zu anderen Aussagen, die ich hier lese:

NovaFusion schrieb:Natürlich ist die fraktale Mathematik undendlich. Und ich weiß was du meinst. Ja klar ist die fraktale Mathematik unendlich, weil sich die Formen immer weiter runterbrechen, nur ein Baum ist halt nicht unendlich.

Kannst Du den Begriff "fraktale Mathematik" eindeutig definieren oder sonst auf irgendeine Weise charakterisieren? Auch das "unendlich" in diesem Kontext ist seltsam, zumal es nicht danach aussieht, als sei Dir bewusst, wie "Unendlichkeit" innerhalb der Mathematik verstanden wird.
Wie man vielleicht meinem Post entnehmen kann, sind fraktale emergente Phänomene. Sie tauchen in verschiedenen mathematischen Bereichen wie der Chaostheorie, der Topologie und auch der Algebra auf. Rekursionen bilden ohnehin ein extrem elementares Vorgehen, dass jeder Student der Informatik oder Mathematik schon im ersten Semester lernt.
 

Fraktale Mathematik habe ich nie gehört. Selbst ein Student, der im Moment Luftraumtechnik studiert, hat noch nie etwas über die fraktale Mathematik gehört. Das ist keine normale Schulmathematik, so wie wir sie kennen mit Rechtecken, Quadraten und Wurzeln.

Was aber wohl eher daran liegt, dass die Bezeichnung "Fraktale Mathematik" so nicht in der Fachwelt auftaucht. Ich bin mir sicher, dass die besagten Studenten mindestens schon etwas von Fraktalen und Rekursionen gehört haben. Je nachdem, welchen Kurs man belegt oder welchen Lehrer man hat, wird sowas auch schonmal in der Schule angesprochen.

Das sind alles Indizien, dass die fraktale Mathematik in der Natur vorhanden ist.

Wie ich schrieb ist das eine recht triviale Feststellung und trifft im Kern auch nicht die Ausgangsfrage des Threads.


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Quellen:
[1]: http://fractalfoundation.org/resources/what-are-fractals/
[2]: Wikipedia: Mandelbrot set
[3]: https://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Recursion#Loops.2C_recursion.2C_and_accumulating_parameters
[4]: http://fractalfoundation.org/OFC/OFC-11-1.html
[5]: Wikipedia: Patterns in nature#Trees.2C fractals
[6]: https://www.newscientist.com/article/mg20827821-000-the-chaos-theory-of-evolution/
[7]: https://www.hs-aalen.de/uploads/mediapool/media/file/4296/03PZ_S1_Mathematisches___Physikalisches-Pendel.pdf

NovaFusion schrieb:Ja klar ist die fraktale Mathematik unendlich, weil sich die Formen immer weiter runterbrechen, nur ein Baum ist halt nicht unendlich.

Sorry aber das macht schon wieder keinen Sinn, Mengen können unendlich sein, aber was soll man sich unter einer "unendlichen fraktalen Mathematik" vorstellen ? Was zur Hölle soll das sein ?

Mir ging es eigentlich nur darum, dass der Baum sich keines Wegs aus den immer gleichen Strukturen zusammen setzt. Das ist beim Baum nur im Bereich der Äste und Wurzeln der Fall. Bei den Blättern und dem Inneren des Baumes trifft dies schon nicht mehr zu. Das ist ein gravierender Unterschied zu den mathematischen Fraktalen.

NovaFusion schrieb:Und ich habe mit Studenten zu tuen gehabt, jeden Tag. Studenten die Mathematik bzw. Informatik studieren. Fraktale Mathematik habe ich nie gehört. Selbst ein Student, der im Moment Luftraumtechnik studiert, hat noch nie etwas über die fraktale Mathematik gehört. Das ist keine normale Schulmathematik, so wie wir sie kennen mit Rechtecken, Quadraten und Wurzeln.

Schön dass du dich auch im direkten Gespräch mit echten Leuten traust, dich zu diskreditierst. Natürlich haben diese Leute noch nie davon gehört, weil es keine "fraktale Mathematik" gibt ... es ist normale Schulmathematik, Rekursion ist Bestandteil dieser, als auch das Konzept der Unendlichkeit.

@NovaFusion
Es tut mir fast schon Leid dir widersprechen zu müssen, weil ich es nur begrüßen kann, wenn sich Leute mit solchen Themen beschäftigen, aber du behauptest einfach Dinge die so nicht richtig sind. Das ist Mathematik, kein Glaube !

@Mr.Dextar
Vielen vielen Dank für deine ausführlich Beschreibung, mir brannte es die ganze Zeit in den Fingern einfach mal die Definition des Mandelbrot-Set zu beschreiben, um anhand dieser aufzuzeigen, dass das sehr wohl ganz normale Schulmathematik ist (lediglich Rekursion + komplexe Zahlen (zumindest im Falle des Mandelbrot-Set)).
Ich war ehrlich gesagt zu faul, dass ohne Latex (oder einer anderen Möglichkeit Formeln vernünftig darzustellen) runter zu schreiben.

Würde mich deiner Bitte nach einer Möglichkeit Formeln zu kodieren sofort anschließen, gehe aber davon aus, dass wir da eine kleine Minderheit innerhalb des Forums sind :), daher werden viele andere Dinge Vorrang haben.

@ArnoNyhm

Schön, dass die ganze Schreibarbeit dann nicht ganz umsonst war. :)

ArnoNyhm schrieb:Ich war ehrlich gesagt zu faul, dass ohne Latex (oder einer anderen Möglichkeit Formeln vernünftig darzustellen) runter zu schreiben.

Ja, dies hielt mich auch am Anfang ab, aber gut, zum Glück gibt es noch andere (sprachliche) Methoden, etwas gut genug zu beschreiben - selbst wenn es nie an eine mathematische Präzision herankommen kann. ;)

Soweit ich mich erinnere, gab es aber mal hier User, die Formeln mithilfe bestimmter Codes darstellen konnten ... müsste das nur suchen.

Aber ja, eine allmyinhärente Funktion diesbezüglich wäre perfekt.

ArnoNyhm schrieb:Sorry aber das macht schon wieder keinen Sinn, Mengen können unendlich sein, aber was soll man sich unter einer "unendlichen fraktalen Mathematik" vorstellen ? Was zur Hölle soll das sein ?

Mit der fraktalen Geometrie, ja nennen es wir so besser. Damit meine ich die Formen, die sich ständig brechen lassen.
Hier ein Beispiel.


Die Formen werden immer kleiner und können immer runtergebrochen werden, also ist das UNDENDLICH.
Und Bäume sind nur zu einen gewissen grad verzweigt. Sie haben keine unendliche gebrochene Struktur. Besser jetzt?

Fractal patterns are extremely familiar, since nature is full of fractals. For instance: trees, rivers, coastlines, mountains, clouds, seashells, hurricanes, etc. 

Ich weiß wohl, dass sowas in der Art auch ein Problem bei der Küstenlänge sein kann.
Je mehr man mit nimmt, je länger wird der Küste, allerdings nicht unendlich. :D
Würde ich mir allerdings witzig vorstellen: Hmmmm, diese Küste sieht gar nicht so unendlich aus. :D