Das "Ziegenparadoxon" - anschauliche, einfache Lösung:

@Lunarija - aber du musst doch gar nicht wechseln, damit du bei 50/50 ankommst.
Nur ein "Außenstehender Besucher" würde die "sehen" (bei 2 Türen, unter denen er wählen kann)
und für dich wär die Chance (ohne Wechseln) ja nur 1/3, es ändert sich ja eben nix - wenn du nicht wechselst.
(Du hast dich verschrieben bei "3 übrig", oder?)

Probier´s mal mit den Spielkarten...
(2mal wechseln ergibt die 2/3, das fühlt sich dann "besser" an.
Da ist nur eine Möglichkeit, ohne wechseln zu gewinnen - und halt doppelt so oft lohnt der Wechsel.)

Auch noch Variante, die vielleicht jemandem die Vorstellung erleichtern könnte:

Zunächst mal ist klar, dass es eine Chance von 1/3 gibt, das Auto zu gewinnen, wenn man eine von 3 Türen wählt.
Dürfte man gleich zwei Türen wählen, wäre die Chance, das Auto zu gewinnen 2/3. Natürlich würde man dann zusätzlich auch mindestens eine Ziege, oder nur zwei Ziegen mit nach Hause nehmen :-D, aber es geht ja nur um den Gewinn des Autos.
Und genau so kann man den Spielverlauf mMn auch interpretieren: Der Kandidat wählt durch seinen Wechsel im Grunde 2 Türen aus, die aber bereits vorher vom Spielleiter um eine "Ziegentür" bereinigt (die würde ja sowieso vom Kandidaten nicht genommen) wurden. Das ändert aber nichts mehr an der Gewinnwahrscheinlichkeit. Es bleibt bei 2/3 für den Gewinn des Autos.

Die Chancen sind also deswegen nicht 1/2 zu 1/2 obwohl nach dem Öffnen einer Ziegentür nur noch zwei Türen im Spiel sind, weil der Spielleiter eben stets(!) eine Ziegentür öffnet und nicht völlig zufällig vorgeht. Dadurch sind die Wahrscheinlichkeiten nicht mehr gleich.

@all
Sorry dass ich so blöd frage, aber wo ist denn jetzt das Paradoxon dabei?

skagerak schrieb:Sorry dass ich so blöd frage, aber wo ist denn jetzt das Paradoxon dabei?

Nein, das ist eine wundervolle Frage, @skagerak.

Auch wenn die Antwort komisch ist.
Wenn man es "schafft", sich die Sache von hinten, also "rückwärts" vorzustellen,
oder halt das Glück hat, dass einem der "Vorgang", der ja eine Art "Prinzip" ist
(unbekannter Ziegenentferner; deus ex machina; Zeit!)
(nicht zu vergessen der "Mengenlehre Effekt", zwei Ziegenmengen, die zu überblicken sind)
so rum erklärt wird, dann ist es ja nicht mehr Paradox - nicht nur "gelöst", sondern erklärt.

Und "vorwärts" bleibt man halt an dem halbe/halbe hängen.
Von da ist das vorher/nachher eine Schwelle von völlig andere Größe.
Mal paradox, mal "kontraintuitiv" genannt - was ich unpassend finde.

Ich geh schon lange damit, dass "nicht tun" auch etwas bewirken, verursachen kann. ("Wu wei", Fukuoka.)
Aber diese Kiste mit den 3 Möglichkeiten ist noch ne Nummer krasser.

Was das Festhalten an einer Wahl in der Birne anrichten kann; bzw. dass man meint zu wissen, zwei Ziegen seien schlimmer als kein Auto - anstatt einfach zu merken, dass man sich die Brille putzen sollte.

Hat denn jemand von euch den Vorschlag von DalaiLotta schon mal

Tripane schrieb am 18.03.2021:Der Kandidat wählt durch seinen Wechsel im Grunde 2 Türen aus,

Aber letztendlich kann er sich ja trotzdem nur für eine von zweien entscheiden. Entweder die er gerade hält, oder die andere, wenn er wechselt

passato schrieb:Aber letztendlich kann er sich ja trotzdem nur für eine von zweien entscheiden. Entweder die er gerade hält, oder die andere, wenn er wechselt

Das schon, aber die Wahrscheinlichkeit, der beiden verbliebenen Türen für einen Gewinn, beträgt nicht 1/2 zu 1/2, sondern 2/3 (Auto) zu 1/3 (Ziege). Der Showmaster hat ja vorher eine "Ziegentür" geöffnet. Dieser Eingriff war nicht zufällig, sondern wissensbasiert. Das verändert die Wahrscheinlichkeiten für den Kandidaten.

Tripane schrieb:Das schon, aber die Wahrscheinlichkeit, der beiden verbliebenen Türen für einen Gewinn, beträgt nicht 1/2 zu 1/2, sondern 2/3 (Auto) zu 1/3 (Ziege). Der Showmaster hat ja vorher eine "Ziegentür" geöffnet. Dieser Eingriff war nicht zufällig, sondern wissensbasiert. Das verändert die Wahrscheinlichkeiten für den Kandidaten.

ja, dass die Wahrscheinlichkeit in langen Versuchsreihen gegen den Grenzwert 2/3 tendiert, davon habe ich mich sogar schon selbst im praktischen Versuch am Zigenspielsimulator überzeugen können.

Aber lösen wir die Entscheidung mal aus dem ganzen Kontext heraus und nehmen nur die jeweilige Situation einzeln betrachtet:

ohne Kenntnis der Vorgeschichte. Die Person muss sich ja zwischen 2 Möglichkeiten Entscheiden. Das aktuelle Tor oder das andere? Alles andere ist doch erst mal Schnee von gestern.

Nee, es ist der Schnee von jetzt und von morgen auch.

Probier´s mal mit den Karten, dann kannst du´s sehen:
Wechseln verdoppelt deine Chance von 1/3 auf 2/3.

Bleibst du bei deiner ersten Wahl, hast du nur halb so viel Chance zu gewinnen,
aber diese "Hälfte" ist halt das eine Drittel
und das Verdoppelte beim Wechseln sind 2/3 Chance auf das Auto.

DalaiLotta schrieb:Probier´s mal mit den Karten, dann kannst du´s sehen:
Wechseln verdoppelt deine Chance von 1/3 auf 2/3

Ich hab's ja am Ziegenspielsimulator schon gesehen, insofern weiss ich ja dass es stimmt.

Allerdings klafft bei mir immer noch eine Lücke zwischen Intuition und der Verstand. Mit den Karten hab ich's auch probiert, aber da hat's auch nicht so richtig klick gemacht.

Mein Problem ist immer noch folgendes:

Stellen wir uns 2 parallele Spielschows vor, die erste hat 2 Runden (Show A, so wie die echte Zonk Show) und die zweite (Show B) ist fast gleich, hat aber nur 1 Runde mit 2 Toren. Die beiden Shows laufen parallel ab.

Show A hat die erste Runde gespielt und der Kandidat muss jetzt seine endgültige Wahl treffen

Im gleichen Moment startet Show B mit nur den 2 übrigen Toren und der Kandidat soll sich entsprechend zu den gleichen beiden Toren entscheiden.

Das heisst wir haben 2 Kandidaten, die über die 2 genau gleichen Tore entscheiden sollen, sie wissen beide nicht was sich hinter jedem verbirgt, aber Kandidat A hat 16% bessere Chancen als Kandidat B obwohl sie in genau der gleichen Situation sind. Ich finde das immer noch schwer nachvollziehbar obwohl es ja erwiesen ist.

passato schrieb:Das heisst wir haben 2 Kandidaten, die über die 2 genau gleichen Tore entscheiden sollen, sie wissen beide nicht was sich hinter jedem verbirgt, aber Kandidat A hat 16% bessere Chancen als Kandidat B obwohl sie in genau der gleichen Situation sind.

Kandidat (B) weiß nicht,
für welches Tor sich (A) entschieden hat und welches Tor der Showmaster geöffnet hat.

Und dadurch hat (A) eine 33 1/3 % höhere Gewinnwahrscheinlichkeit.

@passato

Der Kandidat hat zu diesem Zeitpunkt zwar die Auswahl zwischen zwei Möglichkeiten, und der Zuschauer am Fernseher, fragt sich vielleicht, wie der Kandidat auf der Bühne sich entscheiden wird. Aber diese Wahrscheinlichkeit ist ja nicht zu verwechseln mit der Wahrscheinlichkeit des Gewinnes, die einen jeweils erwartet.

Erfundenes Beispiel:
Nehmen wir an, eine etwas zerstreute Person spielt gerne Lotto. Weil sie zerstreut ist, vergißt sie jedes zweite Mal, den Schein auszufüllen. Für einen Beobachter ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person nächstes Mal spielt oder nicht also etwa 1/2 zu 1/2. ABER das darf nicht mit der Wahrscheinlichkeit vermengt werden, mit der diese Person dann einen Gewinn erzielt. Die ist und bleibt (relativ) gering wenn sie spielt, aber sie ist 0 wenn sie nicht spielt.

Ok, jetzt habe ich den Knoten im Kopf endlich auflösen können:


Die bisher gewählte Tür hat offensichtlich eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 da es eine von drei Wahlmöglichkeiten war.

Die Alternative Tür vereinigt aber auch die Wahrscheinlichkeit der bereits geöffneten Tür in sich, hat also die Wahrscheinlichkeit 2/3.


Noch klarer wird es wenn es am Anfang 10 Türen waren, dann hat die aktuell gewählte Tür eine Wahrscheinlichkeit von 1/10 und die alternative Tür von 9/10 da sie die alle vorher geöffneten Türen mit beinhaltet. Klar dass man dann wechseln muss.


Wo es aber noch ein bisschen bei mir hakt ist, warum die Wahrscheinlichkeit wieder auf 50/50 zurückfällt wenn ein Spieler das Spiel erst in der letzten Runde beginnt. Wenn ihm z.B. Spieler A steckt "du, da waren mal 10 Türen, und die 2 sind nur noch übrig", hat er dann auf einmal die gleiche Chance wie Spieler A oder bleibt es bei 50/50 für ihn?

passato schrieb:Wo es aber noch ein bisschen bei mir hakt ist, warum die Wahrscheinlichkeit wieder auf 50/50 zurückfällt wenn ein Spieler das Spiel erst in der letzten Runde beginnt.

Weil er die Tür mit der 90%-Wahrscheinlichkeit nicht kennt und diese nur mit ner 50:50-Wahrscheinlichkeit wählen wird. Mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wählt derjenige auch die Tür mit der 10%-Wahrscheinlichkeit.

Kennst Du die Quizshow mit dem Zonk?

Stell Dir mal diese beiden kombinierten Quizshows zonkmäßig vor. Also der erste wählt aus drei Toren eines, daraufhin öffnet der Spielleiter eines der nichtgewählten Tore und bietet den Wechsel an. Der erste Spieler wechselt. Bevor nun aber der zweite Spieler hinzukommt und ebenfalls eines der beiden verbleibenden Tore wählen darf, handelt der Spielleiter noch etwas mit dem ersten Kandidaten. Er zückt einen Hunni (das haben die bei dem Zonk-Quiz ja oft gemacht) und sagt: "Geld oder das neugewählte Tor". Nachdem er noch vier weitere Hunnies draufgelegt hat, wird der erste Spieler schwach und nimmt die fünfhundert Euro anstelle des Tores. Nun aber wird der Spielleiter fies und öffnet das zuletzt gewählte Tor, wo der BMW hinter steht. "Dies wäre Ihr Preis gewesen - ätsch!". Er macht nun das Tor wieder zu und beschwört das Publikum, nichts zu verraten. Jetzt endlich kommt der zweite Kandidat und darf zwischen den beiden verschlossenen Toren wählen.

Mittlerweile hat das erstgewählte Tor nicht mehr 33,3...% Wahrscheinlichkeit und das andere 66,6...%, sondern seit der kurzen Öffnung hat das erste 0 und das letzte 100%. Aber das weiß der neue Kandidat ja nicht. Er sieht nur zwei verschlossene Tore und muß jetzt wählen.

Verstehst Du, wieso die definitiven 0 und 100% Gewinnwahrscheinlichkeit der beiden Tore für diesen neuen Kandidaten nicht gelten? Wenn ja, dann mach Dir klar, daß der genauso wenig weiß, welches Tor als erstes unter dreien gewählt wurde und welches Tor die 1/3-Chance des mittlerweile offenen Tores "geerbt" hat. Wüßte er das, würde er letzteres Tor wählen, keine Frage. Das ist ja das selbe, als wenn der Kandidat wüßte, welches Tor kurz geöffnet wurde und den BMW zeigte. Dann würde er ja ebenfalls dieses wählen. Weiß er aber nicht. Daher wählt er zu 50% Wahrscheinlichkeit das Nietentor und zu 50% Wahrscheinlichkeit das Siegertor. Somit hat er eine 50%-Wahrscheinlichkeit.

perttivalkonen schrieb:daraufhin öffnet der Spielleiter eines der nichtgewählten Tore und bietet den Wechsel an. Der erste Spieler wechselt.

Da komme ich nicht so ganz mit.

Der Spieler wählt ein Tor, das aber noch nicht geöffnet wird.
Dann kann er wählen zwischen dem erstgewählten und einem weiteren das noch nicht geöffnet wird? Und eines der dreien ist geöffnet und aus dem Spiel?

skagerak schrieb:Da komme ich nicht so ganz mit

Kennst du die Show "Zonk" nicht? Genau so lief das doch ab, damals. Einfach mal auf Youtube angucken.

passato schrieb:Kennst du die Show "Zonk" nicht? Genau so lief das doch ab, damals. Einfach mal auf Youtube angucken.

Ja, klar kenne ich das, komme auch so weit mit.

Lies noch mal meine Fragen bitte. Stehe grad nur auf´m Schlauch irgendwie 😬

skagerak schrieb:Der Spieler wählt ein Tor, das aber noch nicht geöffnet wird.
Dann kann er wählen zwischen dem erstgewählten und einem weiteren das noch nicht geöffnet wird? Und eines der dreien ist geöffnet und aus dem Spiel?

Ja, das stimmt doch genau so wie du geschrieben hast. Er muss sich am Ende entscheiden zwischen dem erstgewählten und einem weiteren was noch nicht geöffnet ist und eines der dreien ist geöffnet und aus dem Spiel. Wo genau ist dein Problem?

passato schrieb:Wo genau ist dein Problem?

Nüx 😁 Denn hab ich´s ja doch kapiert, denke ich, Sorry.


Nachtrag: Ich glaub ich raffe nur nicht wo die Diskussionsgrundlage ist.

skagerak schrieb:Dann kann er wählen zwischen dem erstgewählten und einem weiteren das noch nicht geöffnet wird? Und eines der dreien ist geöffnet und aus dem Spiel?

Mein Post war ne Antwort an passato. Und passato hatte das Ziegenquiz soweit schon verstanden.
* ein Tor von dreien wählen = 1/3 Wahrscheinlichkeit
* restliche zwei Tore vereinen zusammen 2/3 Wahrscheinlichkeit auf sich (jedes hat 1/3 für sich)
* eines der beiden nicht gewählten Tore wird dauerhaft geöffnet
* das verschlossen bleibende nichtgewählte Tor "erbt" die 1/3-Wahrscheinlichkeit des nun geöffneten Tores
* daher verdoppelt sich die Gewinnchance beim Wechsel vom zuerst gewählten geschlossenen Tor zum anderen geschlossenen Tor

Insofern: na aber selbstverständlich:

Dann kann er wählen zwischen dem erstgewählten und einem weiteren das noch nicht geöffnet wird. Und eines der dreien ist geöffnet und aus dem Spiel.

skagerak schrieb:Nachtrag: Ich glaub ich raffe nur nicht wo die Diskussionsgrundlage ist.

Wie gesagt, mein Post war ne Antwort an passato. Und der sagte, er habe das mit der Chancenerhöhung beim Wechsel wegen des geöffneten Nietentores begriffen, versteht nun aber noch nicht, wieso ein weiterer Kandidat, der später erst hinzu kommt, nur wieder ne 50/50 Chance habe, wo der doch die selben beiden Tore zur Wahl hat wie der, der zwischen ner 1/3-Chance und ner 2/3-Chance wählen kann.

Zätz ze Diskussionsgrundlage.

perttivalkonen schrieb:Zätz ze Diskussionsgrundlage.

Ah, so, nu bin ich wieder im Bilde 😊 THX