Das "Ziegenparadoxon" - anschauliche, einfache Lösung:

Mir ist´s gelungen, den "Intutiven Zugang" zu finden - und jetzt bin ich erstaunt, wie einfach es ist und bitte deshalb um Rückmeldung.
Wie viel Durchgänge braucht ihr?

Man nehme 3 Spielkarten, zwei schwarze, eine rote. (Umgekehrt geht natürlich auch).
Die legt man offen (nicht umgedreht!) vor sich, feste Reihenfolge - und spielt es einfach in "Personalunion" von Showmaster und Spieler durch.

Ich hab 5 Durchgänge gebraucht - obwohl es nach dem vierten schon klar war, dass die Chance auf 2/3 steigt, aber nur, wenn ich wechsle.
Und man sieht endlich, warum man wechseln muss.
Den fünften brauchte ich, weil es halt so vollkommen klar ist und ich mich fragte, wo die Frage hin ist.

Bin gespannt, wie ihr es erlebt.

DalaiLotta schrieb:Bin gespannt, wie ihr es erlebt.

Ich habe das in der Schule mal gehabt und kann mich erinnern, dass der Lehrer nacheinandern zwei oder drei verschiedene Lösungswege durchgespielt hat, bei jedem fand ein anderer Teil der Klasse das auf einmal total einleuchtend, während teilweise sogar Leute die es vorher schon verstanden hatten bei dem nächsten Lösungsweg wieder verwirrt waren :D

Das wird hier auch so sein :D

Ich glaube das hatten wir hier mal schon in einen anderen Thread. Das Problem ist, dass die mathematisch richtige Lösung und die gefühlt richtige Lösung nicht übereinstimmen.

Lupo54 schrieb:Das Problem ist, dass die mathematisch richtige Lösung und die gefühlt richtige Lösung nicht übereinstimmen.

Ja, wirklich "paradox" ist da nichts, wenn man's einfach aufschreibt sieht man's. Man sieht es auch intuitiv sofort, wenn man die Regeln leicht ändert, wenn es z.B. nur eine Gewinn-Tür und 99 Nieten gibt, und der Moderator vor der Frage, ob man wechseln will, 98 Türen wegfallen lässt. Da ist dann der Unterschied so groß dass es auch die Intuition merkt.

DalaiLotta schrieb:Mir ist´s gelungen, den "Intutiven Zugang" zu finden - und jetzt bin ich erstaunt, wie einfach es ist und bitte deshalb um Rückmeldung.
Wie viel Durchgänge braucht ihr?

Man nehme 3 Spielkarten, zwei schwarze, eine rote. (Umgekehrt geht natürlich auch).
Die legt man offen (nicht umgedreht!) vor sich, feste Reihenfolge - und spielt es einfach in "Personalunion" von Showmaster und Spieler durch.

Ich hab 5 Durchgänge gebraucht - obwohl es nach dem vierten schon klar war, dass die Chance auf 2/3 steigt, aber nur, wenn ich wechsle.
Und man sieht endlich, warum man wechseln muss.
Den fünften brauchte ich, weil es halt so vollkommen klar ist und ich mich fragte, wo die Frage hin ist.

Bin gespannt, wie ihr es erlebt.

Die Zahl fünf halte ich für eine statistische Aussage für viel zu klein. Aber wenn Du mal so Richtung hundert Versuche kommst wird es schon relevanter. Es gibt auch Simulatoren dafür-.

https://www.mat.tuhh.de/veranstaltungen/nachtdeswissens/

Ich fand es immer einfacher Ziege durch Geldumschlag, Tor durch Zuschauer und Studio durch Allianzarena zu ersetzen.

Du stehst im Mittelkreis der vollbestzten Allianzarena, der Moderator sagt Die einer der Zuschauer hat einen Umschlag mir einer Millionen Euro in der Tasche die dir gehören wenn Du ihn errätst. Du tippst. Derjenige steht auf und der Moderator fordert einen zweiten aufzustehen......

Lupo54 schrieb:Ich glaube das hatten wir hier mal schon in einen anderen Thread.

Ja, das war hier:

Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel (Beitrag von mojorisin)

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bgeoweh schrieb:Man sieht es auch intuitiv sofort, wenn man die Regeln leicht ändert, wenn es z.B. nur eine Gewinn-Tür und 99 Nieten gibt, und der Moderator vor der Frage, ob man wechseln will, 98 Türen wegfallen lässt.

Diese Version hat mich auch am meisten überzeugt.

Pergamon schrieb:Du stehst im Mittelkreis der vollbestzten Allianzarena, der Moderator sagt Die einer der Zuschauer hat einen Umschlag mir einer Millionen Euro in der Tasche die dir gehören wenn Du ihn errätst. Du tippst. Derjenige steht auf und der Moderator fordert einen zweiten aufzustehen......

... und das ist noch einleuchtender :) :idee:

Hat es einer von euch ausprobiert?

Karten hinlegen, offen, von links nach rechts eine auswählen, eine "Ziege" wegnehmen -
und endlich, endlich blicken, warum man wechseln muss?

Pergamon schrieb:Die Zahl fünf halte ich für eine statistische Aussage für viel zu klein.

Ich wollt halt nicht schummeln - und mehr hab ich nicht gebraucht.
Das ist ja keine statistische, sondern eine lottige Aussage (ich hab befürchtet, sie sie "zu groß"; als Aussage, nicht als Zahl.)

Für "die Statistik" hab ich ja die Frage hier gestellt:
wie oft habt ihr gebraucht?

Kann ja sein, dass ich das nur so schnell geschafft hab, weil ich mir den "Versuchsaufbau" ausgedacht habe.
Aber eigentlich müsste es auch bei euch klappen.

Wäre bitte jemand so nett und würde es TUN?
Und dann schreiben? Danke

DalaiLotta schrieb:Ich wollt halt nicht schummeln - und mehr hab ich nicht gebraucht.
Das ist ja keine statistische, sondern eine lottige Aussage (ich hab befürchtet, sie sie "zu groß"; als Aussage, nicht als Zahl.)

Aber was hättest Du gedacht wenn fünfmal was anderes rausgekommen wäre?

Wird ein Zufallsexperiment immer unter den selben Bedingungen durchgeführt, so nähert sich die relative Häufigkeit immer weiter der Wahrscheinlichkeit des Zufallsexperiments an. Dieses Phänomen beschreibt wird von dem Gesetz der großen Zahlen (abgekürzt GGZ) beschrieben. Das Gesetz der großen Zahlen ist einer der wenigen Grenzwertsätze der Stochastik.

Quelle:

https://matheguru.com/stochastik/gesetz-der-grossen-zahlen.html#:~:text=Wird%20ein%20Zufallsexperiment%20immer%20unter,Zahlen%20(abgek%C3%BCrzt%20GGZ)%20beschrieben.

@Pergamon, das ist aber doch gar kein "Zufallsexperiment" mehr, wenn die Karten offen liegen.
Es ist einfach nur noch "offensichtlich".

Ich hab den Eindruck, dass ist wie als ob ich vorher versucht habe, stricken zu lernen, in dem ich einer Erklärung zuhöre
und nicht sehe, wie es geht, mit den Schlaufen.
Und "Schlaufen" erklären ist ungleich schwerer, als eine machen;
bzw. eine nachmachen, wenn man es nur hört und nicht sieht ist ganz schräg, weil man keinen "Anpack" hat,
da der sich ja verlagert, wenn ich - stricken - will.


Würde bitte jemand 3 Karten nehmen und berichten?

Pergamon schrieb:Aber was hättest Du gedacht wenn fünfmal was anderes rausgekommen wäre?

Es kann nur in dem Fall, dass ich die richtige gewählt hatte, falsch sein zu wechseln.
Und ich hab nur eine rote Karte.
In beiden andern Fällen "gewinne" ich.

Diese "Schlaufe" kann ich jetzt klar sehen.
Und du auch, wenn du Karten zur Hand nimmst - oder was anderes.

DalaiLotta schrieb:, das ist aber doch gar kein "Zufallsexperiment" mehr, wenn die Karten offen liegen.
Es ist einfach nur noch "offensichtlich".

Das ist ja das Problem, wenn Du fünfmal eine Münze wirfst und es kommt fünfmal Zahl, müsste nach Deiner Auffassung die Aussage lauten "Wenn man eine Münze wirft kommt, offensichtlich, immer Zahl".

@Pergamon, wir reden aneinander vorbei.
Ich werfe keine Münzen; ich habe durch die "Versuchsanordnung" den Zufall ausgeschlossen.

Bitte bedenke, das du mich der Lüge oder der Dummheit bezichtigst,
obwohl du ja auch einfach ein paar Karten nehmen könntest, um dir ein konkretes Bild zu machen.

DalaiLotta schrieb:wir reden aneinander vorbei.
Ich werfe keine Münzen; ich habe durch die "Versuchsanordnung" den Zufall ausgeschlossen.

Du hast schon recht mit deinem Versuchsaufbau:

Du überprüfst die 3 einzig vorkommenden Möglichkeiten nacheinander offen durch
und bekommst damit die gleiche "statistische Sicherheit",
wie wenn du z.B. 3000 mal verdeckt die Versuche durchgeführt hättest.

delta.m schrieb:die gleiche "statistische Sicherheit",
wie wenn du z.B. 3000 mal verdeckt die Versuche durchgeführt hättest.

Danke für die Schützenhilfe, @delta.m, aber mich interessiert wirklich, wie schnell die "Intuition" anderer das erfasst.

Aber nicht, indem sie´s theoretisch mit ihren alten Vorstelllungen vergleichen - sondern praktisch, wenn´s um die eigene Wahrnehmung geht.

Die "mathematische Seite" ist mir dabei eigentlich egal; ich bin auch nur drauf gekommen, weil mich das "Kontraintuitiv" so gefuchst hat, das immer in dem Zusammenhang kommt.

Und das "Tauben Experiment": Tauben lernen schneller zu wechseln als Menschen Tauben Experiment (Min.55, das Video geht über was anderes.)

Und ich dachte da schon: nee, Tauben sind nicht "schlauer" als Menschen, die sind nur nicht so versessen auf´s Recht haben;
wollen nicht "gewinnen" - sondern fressen.
Also die "Relation zu unseren Vorstellungen" - und wie diese "Intuitives Erfassen" beeinflusst.

Als unehrgeizige nicht-Mathematikerin hab ich vorher schon intuitiv den Faktor "wechseln" in Relation zu diesem "Deus ex machina", der die zweite Ziege raus holt, erkennen können; ich konnte es aber nicht erklären, in Worte fassen.

Und "eine rote Karte, zwei schwarze - ergibt 2/3 Wahrscheinlichkeit" hat so ungefähr die Aussagekraft von "eine Schlaufe ist möglich", davon lern ich nicht, wie stricken geht.

DalaiLotta schrieb:Danke für die Schützenhilfe, @delta.m, aber mich interessiert wirklich, wie schnell die "Intuition" anderer das erfasst.

Intuitiv klar wurde es mir über den bereits angesprochenen Trick, sich sehr viele Tore vorzustellen. Das kann ich jetzt ja nicht ausknipsen und so tun, als müsse ich mir das intuitive Verständnis erst noch aneignen. Ich denke, so geht es vielen anderen hier auch.

Das mit den vielen Toren halte ich so oder so noch immer für den intuitivsten Ansatz, dafür bracht man nicht mal Zubehör. Allerdings muss das natürlich nicht für alle zutreffen.

DalaiLotta schrieb:aber mich interessiert wirklich, wie schnell die "Intuition" anderer das erfasst.

Es gibt ein anderes, ähnliches Beispiel (wenn du es schon kennst, dann vergiss das nachfolgende):

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Vor dir liegen 2 verschlossene Geld-Umschläge.

Man teilt dir mit, dass in einem dieser Umschläge doppelt so viel Geld steckt wie im anderen.
Du wählst einen Umschlag aus (ohne ihn zu öffnen)
Nun fragt man dich, ob du diesen Umschlag behalten, oder doch nochmal tauschen möchtest.

Wie würdest du dich entscheiden?

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(Beispiel:
In deinem Umschlag sind 1000 €.

(A) Im dem anderen könnten also 500 € oder 2000 € sein.

Wenn du wechselst, hättest du "statisch gesehen" (auf lange Sicht) einen Gewinn von
(2000 + 500) / 2 minus deinen 1000 , also 1250 - 1000 = 250 €

... Also müßtest du wechseln - aber dann stündest du wieder bei dem gleichen Problem wie bei (A) ... und müßtest immer wechseln , ohne je aufhören zu können.


Wie würdest du dieses Problem intuitiv (nach deiner Methode der "offenen Karten") lösen? @DalaiLotta

@DalaiLotta

DalaiLotta schrieb:Danke für die Schützenhilfe, @delta.m, aber mich interessiert wirklich, wie schnell die "Intuition" anderer das erfasst.

Statistik und Intuition gehen oft nicht so gut zusammen, leider. Woran das liegen mag, da gibt es wohl viele Hypothesen. Ein Moeglichkeit:

https://science.orf.at/v2/stories/2941289/

Auch interessant:

https://www.zora.uzh.ch/id/eprint/2642/2/Wie_im_Baseball_Statistik_%C3%BCber_Intuition_siegtVo.pdf (Archiv-Version vom 25.09.2021)

delta.m schrieb:Man teilt dir mit, dass in einem dieser Umschläge doppelt so viel Geld steckt wie im anderen.
Du wählst einen Umschlag aus (ohne ihn zu öffnen)

Das ist auch der Trick daran, "Die Hälfte" und "Das Doppelte" sehen auf den ersten Blick so aus als würden sie sich gegenseitig aufheben, aber das ist natürlich nicht so - wenn man im Umschlag die Summe "X" enthält, hat man beim Wechseln die gleiche Chance, 1/2 X zu verlieren oder 1X zu gewinnen, während man beim Behalten einfach immer X bekommt. Für das Wechseln ergibt sich also ein mittleres Resultat von 0.5*(X/2) + 0.5*(2X) was 1.25 X ergibt, Wechseln ist hier dauerhaft vorteilhaft, und zwar unabhängig von der Summe im Umschlag.

Oh, dein 1. Beitrag ist verschwunden. Hast du es dir anders überlegt? @bgeoweh

bgeoweh schrieb:Für das Wechseln ergibt sich also ein mittleres Resultat von 0.5*(X/2) + 0.5*(2X) was 1.25 X ergibt

so in etwa habe ich es ja auch "berechnet"

bgeoweh schrieb:Wechseln ist hier dauerhaft vorteilhaft, und zwar unabhängig von der Summe im Umschlag.

also ein ewiges Wechseln ... ein Paradoxon? ;)

delta.m schrieb:also ein ewiges Wechseln ... ein Paradoxon? ;)

Nein. Du musst ja einmal eine Entscheidung treffen (pro Umschlag) und kannst nicht endlos reinschauen. Dein erster Umschlag wird nicht "resettet" wenn du einmal wechselst.