Das "Ziegenparadoxon" - anschauliche, einfache Lösung:

bgeoweh schrieb:Du musst ja einmal eine Entscheidung treffen (pro Umschlag) und kannst nicht endlos reinschauen.

reinschauen darfst du ja auch erst, wenn du dich endgültig für einen Umschlag entschieden hast

delta.m schrieb:reinschauen darfst du ja auch erst, wenn du dich endgültig für einen Umschlag entschieden hast

Das "Paradox" kommt da erst durch die Berechnung rein :D In dem Moment, in dem du "X" für den Inhalt von Umschlag A festlegst (ob du jetzt reichschaust oder dich nur für den Umschlag entscheidest) legst du fest, dass im anderen Umschlag "Das Doppelte oder die Hälfte von X" ist.

Wenn du aber "von außen" ohne dich zu entscheiden auf die Situation blickst, gibt es folgenden Ablauf:

Situation:

1.) A ist der "hohe" Umschlag mit 2X, B ist der "niedrige" Umschlag oder
2.) A ist der "niedrige" Umschlag mit X und B ist der "hohe" Umschlag mit 2X

Entscheidung:

Spieler wählt A
Spieler wählt B

Strategieentscheidung:

Spieler wählt "Wechseln"
Spieler wählt "Behalten"

Wenn in 1.) der Spieler A wählt und "Wechseln" ist der Gewinn X
Wenn in 1.) der Spieler A wählt und "Behalten" ist der Gewinn 2X
Wenn in 1.) der Spieler B wählt und "Wechseln" ist der Gewinn 2X
Wenn in 1.) der Spieler B wählt und "Behalten" ist der Gewinn X

Wenn in 2.) der Spieler A wählt und "Wechseln" ist der Gewinn 2X
Wenn in 2.) der Spieler A wählt und "Behalten" ist der Gewinn X
Wenn in 2.) der Spieler B wählt und "Wechseln" ist der Gewinn X
Wenn in 2.) der Spieler B wählt und "Behalten" ist der Gewinn 2X

Da der Spieler weder weiß ob er in Situation 1.) oder 2.) ist, noch ob er Umschlag A oder B gewählt hat, gibt es für ihn keinen rationalen Grund, eine der beiden Strategien vorzuziehen - egal welche Strategie er wählt, er wird im Mittel 1.5X je Runde gewinnen. Er würde sogar 1.5X je Runde gewinnen, wenn er seine Strategie jede Runde neu durch einen Münzwurf bestimmen würde.

Die anscheinend "paradoxe" Berechnung kommt nur herein, wenn man Grundlos den Inhalt des Umschlags, den er zuerst erhält, als "X" setzt (so als hätte er hineingeschaut), tatsächlich steckt aber im Umschlage schon der Erwartungswert von 1.5X :D

delta.m schrieb:Wenn du wechselst,

Ich glaub nicht, dass ich das verstehe - sind das immer neue Umschläge und ich darf immer behalten, was ich mir aussuche?
Oder geht es nur um´s Denken, also was logisches?

Hey, die "mathematische Seite" war nicht das, worum es mir ging.

@mojorisin, Danke für die links, aber "falsch positiv" hab ich wegen Corona letztes Jahr schon "kennen gelernt".
Der zweite zielt eher auf das, was ich meinte, ja.

delta.m schrieb:Wie würdest du dieses Problem intuitiv (nach deiner Methode der "offenen Karten") lösen?

Dafür lockt mich Geld jetzt nicht genug. Ich hätt wahrscheinlich auch lieber Ziegenmilch als ein stinkendes Auto.
Mir ging´s um die Ästhetik dieser Lösung: schlicht und einleuchtend.

Wie ich mich kenne würd ich mir vorher einen Betrag setzen, bis zu dem ich "spiele" und dann würd ich willkürlich wechseln, bis ich an den Betrag gelange.
Also ich würde nicht "haben wollen" wollen, sondern meine Frustrationsgrenze im Zaum halten, indem ich "nach eigenen Regeln" spiele.

Wenn ich das richtig verstehe, darf ich erst in den Umschlag schauen, wenn fertig ist - und nie die beiden vergleichen?
Keine Chance auf "Erkenntnisgewinn" durch das Spielen selbst?
Mmmh, da fänd ich das Ausknobeln einer entsprechenden Kartenversion wahrscheinlich spannender als diese Veranstaltung.
Aber das schüttel ich nicht einfach so aus dem Ärmel, da brauch ich was länger für.

bgeoweh schrieb:"Die Hälfte" und "Das Doppelte" sehen auf den ersten Blick so aus als würden sie sich gegenseitig aufheben

Nee, das hab ich klar. Aber ein Bild, bzw. "Karten" dafür - das fänd ich jetzt spannender, in der Tat.

Arrakai schrieb:Das mit den vielen Toren halte ich so oder so noch immer für den intuitivsten Ansatz,

Wie komm ich denn da auf die 2/3? Ich seh´s nicht.
An dem Punkt, dass es mehr wird, wenn ich wechsle, war ich auch schon mit 50/50; darum war ich ja so verdutzt bei den Karten.

delta.m schrieb:Wenn du wechselst, hättest du "statisch gesehen" (auf lange Sicht) einen Gewinn von
(2000 + 500) / 2 minus deinen 1000 , also 1250 - 1000 = 250 €

Wenn du statt wechseln "Behalten" wählst hast du übrigens statistisch auch
(500+0)/2) = 250€ "Gewinn" (weil du in den 50% der Fälle, in denen dir "Wechseln" einen Verlust von 500€ gebracht hätte keinen Verlust machst) :D

Da liegt der Trick, gegenüber dem "fiktiven" X in deinem Umschlag macht jede Strategie rechnerisch noch Gewinn :D

Und wo sind die 0,25 Differenz aus der ersten Rechnung geblieben?

bgeoweh schrieb:0.5*(X/2) + 0.5*(2X) was 1.25 X ergibt

DalaiLotta schrieb:Und wo sind die 0,25 Differenz aus der ersten Rechnung geblieben?

Lies es dir einfach noch mal durch. Die hast du für "Behalten" genau so. Egal welche Strategie du wählst, sie liefert dir im Schnitt nochmal die Hälfte von dem, was im Umschlag ist, obendrauf :D Was genau du jetzt als "X" definierst ist egal.

Oh, sorry, die Differenz ZU der ersten Rechnung.
Dass es in beiden Fällen auf den gleichen Betrag hinausläuft kann ich sehen.

Aber warum der einmal 1,5 und vorher 1,25 war hat sich mir nicht erschlossen.

Wie gesagt, ich kann besser mit Mustern als mit Zahlen.

Das Ziegenproblem wurde schon einmal sehr anschaulich erklärt mit 80.000 blökenden "Ziegen" im Fußballstadion. Es ist klar, dass die ursprünglich ausgewählte Ziege nur eine unveränderte Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/80.000 hat. Die Restwahrscheinlichkeit entfällt auf die vom Moderator angebotene Alternativziege.
Es könnte dieser Thread gewesen sein:
Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel

Das Ziegenparadoxon ist so simpel, da brauchts keine fünf oder hundert Tests, auch kein Aufschreiben sämtlicher Möglichkeiten oder was auch immer. Das Spiel hat nur eine Regel: "Nehme ich die eine Tür, die ich zuerst gewählt habe, oder nehme ich die beiden anderen Türen?" Klar, daß letzteres die Chancen verdoppelt. Daß eine Tür zwischenzeitlich geöffnet wurde, minimiert die doppelte Chance beim Wechsel nicht, denn mit meiner Ausgangswahl hab ich mich auf 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit festgelegt, und das ändert sich auch nicht mehr. Der Wechsel bleibt stets der zu den 2/3.

Zehntausende Leserbriefe, jahrzehntelange Debatten, ein ellenlanger Wikipediaartikel, dabei wäre es doch so einfach gewesen.

@Pergamon

Yepp, das ist in der Tat das Faszinierende am Ziegenparadoxon. Das Paradoxe daran. Es gibt ja mehrere Wege, die richtige Lösung aufzuzeigen. Und trotzdem mußten erst

Pergamon schrieb:Zehntausende Leserbriefe, jahrzehntelange Debatten, ein ellenlanger Wikipediaartikel

ins Land gehen...

Naja, wenn man versucht, ne "Schlaufe" schriftlich zu erklären, indem man ganz viel Text macht
und dabei noch das Problem "Schlaufe" zu was "kontraintuitivem" erklärt, ist es soo verwunderlich auch nicht.

Ich hatte das Gefühl, ein "Autoritätsproblem" gelöst zu haben, kein Mathematisches.

Aber den Spieltrieb hier scheine ich unterschätzt zu haben, hab keine einzige Antwort auf meine Frage bekommen:
Wie viele Durchgänge hattet ihr erwartet bis zum "Klick" und wie viele hat es dann gebraucht?

DalaiLotta schrieb:Wie viele Durchgänge hattet ihr erwartet bis zum "Klick" und wie viele hat es dann gebraucht?

Ich hatte e Durchgänge erwartet, tatsächlich waren es dann aber pi Durchgänge. :(

@Noumenon, willst du mich necken?
Ich wüßt jetzt nicht mal, wie ich googeln könnte, was du meinst.
That´s not knitting baby a new bonnet....

Also ich habs nachgespielt mit drei Karten. Auch mit dem Ziegensimulator. Ist mir aber intuitiv dadurch trotzdem nicht klarer geworden.

Das mit dem Fussballstadion ist plausibel, aber warum es bei zwei Auswahlmöglichkeiten mit grösserer Wahrscheinlichkeit die andere sein muss, lässt sich bei mir allein mit dem "gesunden Menschenverstand" immer noch nicht so ganz nachvollziehen obwohl mir schon klar ist das es mathematisch stimmen muss...

passato schrieb:aber warum es bei zwei Auswahlmöglichkeiten mit grösserer Wahrscheinlichkeit die andere sein muss, lässt sich bei mir allein mit dem "gesunden Menschenverstand" immer noch nicht so ganz nachvollziehen obwohl mir klar ist das es simmt...

Um mit "Bleiben" zu gewinnen musst du in der ersten Runde richtig gelegen haben - die Wahrscheinlichkeit dazu ist 1/n
Um mit "Wechseln" zu gewinnen musst du in der ersten Runde falsch gelegen haben - die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1-(1/n)

passato schrieb:Das mit dem Fussballstadion ist plausibel, aber warum es bei zwei Auswahlmöglichkeiten mit grösserer Wahrscheinlichkeit die andere sein muss, lässt sich bei mir allein mit dem "gesunden Menschenverstand" immer noch nicht so ganz nachvollziehen obwohl mir schon klar ist das es mathematisch stimmen muss...

Es ist die zusätzliche Information durch den Moderator.

Pergamon schrieb:Es ist die zusätzliche Information durch den Moderator.

Die Zusätzliche Info ist doch, dass er ein Tor von den 3en öffnet, richtig?

Und danach bleiben 2 übrig von denen es beides sein kann. Also ist mein "gesunder Menschenverstand" immer noch bei 50/50 obwohl mein "mathematischer Menschenverstand" mittlerweile weiss dass es 66/33 ist.

Ich hatte somit leider noch nicht das direkte "Aha" Erlebnis von dem DalaiLotta sprach, vielleicht muss ich einfach noch ein paar mal spielen.

passato schrieb:Und danach bleiben 2 übrig von denen es beides sein kann. Also ist mein "gesunder Menschenverstand" immer noch bei 50/50 obwohl mein "mathematischer Menschenverstand" mittlerweile weiss dass es 66/33 ist.

Du musst verstehen dass die eigentliche Wahl, die der Spieler hat, nicht zwischen den Türen in der zweiten Runde ist, sondern zwischen den Strategien.

Und die Strategiewahl ist: "Akzeptierst du die Gewinnchancen aus der 1. Runde, wo du mit 1/3 gewinnst, oder spielst du lieber eine Runde des zweiten Spiels, in der du mit 1/2 gewinnst".

Da ist klar, dass du auf das 2. Spiel wechseln solltest.

passato schrieb:Die Zusätzliche Info ist doch, dass er ein Tor von den 3en öffnet, richtig?

von den 2 übrigen!