Rauminhalt - oder n-dimensionale Volumina!

Muss wohl jeder für sich entscheiden, ob er einen langsameren Zeitfluss oder einen vergrößerten Raum für anschaulicher hält.

@canpornpoppy

Stell dir mal die Frage, wie viele Quadrate passen in einen Würfel?
Oder wie viele Punkte passen auf ein Blatt?

Wenn du von idealen Körpern ausgehst, wie sie in der Mathematik existieren lautet die Antwort: Unendlich viele, da diesen ja eine Dimension fehlt. Insofern kannst du beliebig viele Liter (m^3) in einen Hyperwürfel (m^4, m^5 etc.) kippen.

Bei der Aufstellung der "Resultate" siehst du nur die Zahlenwerte und die ändern sich natürlich, wenn du dir die Formel für das Volumen anschaust. Die Aussage der Feststellung, das das Maximum bei 5.26 ist, ist nur dass diese Funktion (ohne Einheiten) dort ihr Maximum hat. Sobald du mit Einheiten rechnen musst ist das natürlich Quatsch!

hmmh... immer diese Leute, die Jahre später in längst vergessene Threads einsteigen ^^

Aber das Thema hier wollte ich bei den Kollegen nicht so ungeklärt stehen lassen...

Zunächst einmal ist das hier in der Tat kein Einheitenproblem. Die Definition des Volumens, von dem hier mathematisch gesprochen wird ist prinzipiell von unserer 3-dimensionalen Auffassung von Volumen zu unterscheiden:
Im Sinne der mathematischen Definition des Volumens ist auch die Strecke 2m ein Volumen in einer Dimension, ebenso wie die Fläche pi m² für den Einheitskreis in 2 Dimensionen.
Die Definition von Volumen ist unabhängig von der Dimension des Volumens!
D.h. wenn wir hier schon über Veränderungen der Volumina debattieren wollen, dürfen wir nicht mit unserer in der Schule gelernten Definition von Volumen (länge mal breite mal höhe) operieren, sondern müssen den Begriff auf eine von der Dimension n unabhängige Definition abstrahieren...
In diesem Sinne lassen sich also sehr wohl Volumina verschiedener Dimensionen mit einander vergleichen... Allerdings - und darauf kommt es an - vergleicht man in Kugelkoordinaten jeweils die Einheitskugeln (r=1) für jede Dimension miteinander...

d.h. r=1 (fest) und n wird variiert... in Dimension 1 ist das Volumen 2*r = 1, in Dimension 2 ist das Volumen pi * r² = pi = 3,1415xxxx... in Dimension 3 ist das Volumen 4/3 * pi * r³ = 4/3 pi = 4,19 ...
Eine Wahl von Einheiten ist hierbei nicht nötig wegen der Normierung... ob nun m, m², m³ oder cm, cm², cm³ usw. spielt also überhaupt keine Rolle!

Wenn man nun für die restlichen Dimensionen nach obiger Formel (die weiter vorne im Thread gepostet wurde) die Volumina für die Einheitskugel ausrechnet, so stellt man in der Tat fest, dass bei der Dimension 5 das Einheitskugelvolumen ein Maximum mit 5,26 (von mir aus m^5) besitzt und ab Dimension 6 kleiner wird...
Das erstaunt in der Tat, da man aus unserer alltäglich empirischen Logik heraus eigentlich erwarten würde, dass der Betrag des Volumens immer weiter steigen würde...
schließlich taucht mit jeder neuen Dimension eine neue Potenz des Radius auf...
Die Normierung auf die Einheitskugel (r=1) spielt für diese Argumentation keine Rolle, auch wenn 1^50 immernoch 1 ist :-)
Sie spielt deshalb keine Rolle, da sie lediglich eine Multiplikation des Kugelvolumenbetrags mit 1 / r bewirkt, dadurch also nur jeweils eine Potenz von r rauskürzt. Man hätte auch auf r=5 normieren können, hauptsache, die Kugeln für alle n Dimensionen haben denselben Radius, damit die Werte vergleichbar sind...

Was verblüffend hinzukommt und auch damit zusammenhängt, ist die Tatsache, dass für einen festen Radius r1, der innerhalb der Kugel liegt, also r1 < r, der Anteil des von r1 eingeschlossenen Kugelvolumens am Gesamtvolumen der Kugel immer kleiner wird und schließlich verschwindet für N gegen unendlich...
Das bedeutet also, dass das Kugelvolumen für höhere Dimensionen sich immer mehr in die n-dimensionale Kugelschale verlagert... für sehr große n, d.h. n>>1, liegt praktisch das Gesamte Kugelvolumen in der Kugelschale...

Und jetzt versuche sich das mal jemand mit seinem räumlichen Vorstellungsvermögen begreiflich zu machen :) ... das geht nicht, wenn man mit unserer alltäglich-geläufigen Vorstellung von Volumen operiert... Volumen im mathematischen Sinne ist eben etwas anderes als das, was wir im normalen Sprachgebrauch mit Volumen bezeichnen... Volumen fängt in diesem Sinne wie gesagt auch nicht bei n=3 an, sondern schon bei n=1, also eine simple 1 dimensionalen Strecke...

wens noch interessiert, ich hoffe, ich konnte helfen :D

(PS: Diese Tatsache über das n-dimensionale Kugelvolumen kann man sich im Übrigen zu Nutze machen bei der Modellierung von Makrosystemen... Die damit einhergehenden Möglichkeiten für alternative Modellierungsansätze von komplexen Makrosystemen zeugen auch von einer völlig anderen Philosophie / Wissenschaftsmethodik bzw. von einem völlig anderen Weltbild, als wie sie/es bspw. in der Neoklassik - der herrschenden Wirtschaftsdogmatik - vorherrscht... Stichwort Emergenztheorie, Holismus, Irreduzibilität etc., falls es jemanden interessiert)

@canpornpoppy
Theoretische höhere Dimensionen in mathematische Lösungen wären derart klein dasses für uns Menschen keine Wahrnehmung gäbe

@Gedankensalat

guter post, danke :)

@Gedankensalat

Die Frage ist doch vielmehr ob bzw. wie es gerechtferigt werden kann Volumina unterschiedlicher Dimensionen zu vergleichen. Ebenso wie man einem Operator seinen Raum auf dem er wirkt zuweisst, sollte man das meiner Meinung nach auch hier machen. Eine vierdimensionale Kugel kann z.B. in den vierdimensionalen Raum eingebettet werden eine fünf-d. Kugel nicht mehr, d.h. aber auch das es von der Geometrie her einfach zwei verschieden Dinge sind. Ganz gleich wie man nun eine Kugel definiert und man hier sowieso in allen Fällen den euklidischen Raum nehmen muss, halte ich es für äußerst problematisch von der anschauung her Volumina verschiedner Dimensionen direkt zu Vergleichen. Vielleicht sehe ich das aber auch nur so, weil ich naturwissenschaftler bin und wir eben schnell etwas mit Mess Dimensionen in verbindung bringen. So würde ich nie auf die idee kommen eine Gleichheit zwischen V und O (O=Oberflächen"Volumen") her zu stellen.

Nichts desto trotz finde ich die Aussage das V_max bei n=5 gar nicht so spannend, wenn man sie alleine stehen lässt. Viel interessanter wird es wenn man sich gleichzeitig die Oberfläche verschieden Dimensionaler Kugel anguguckt, denn hier entspricht O_max eben nicht n=5 wie man es vermuten würde. Ebenso interessant ist, dass das Volumen einer Kugel mit zunehmender Dimension immer mehr in einer extrem dünnen Schale am Rand konzentriert (diese Eigenschaft spielt eine entscheidene Rolle in der Begründung der Anwendbarkeit der statistischen Mechanik und aus der folgt die Begründung aller thermodynamischen Gesetze)!

@Gedankensalat

Oh sorry... jetzt habe ich dein Post gerade zu ende gelesen und gesehen, dass du ebenso auf das kugelschalen Phänomen hin gewiesen hast... Doppelt hält besser.

Es lässt sich doch jedes Volumen und Hypervolumen eindimensional "darstellen". Das geht, wenn man annimmt, dass eine gerade eine Mindestbreite haben muss, z.B. die Plack-Länge. Eine quadratische Fläche müsste als Länge einer Linie dargestellt also dem Quotienten aus Seitenlänge und Plack-Länge entprechen. Bei Würfeln und Tesserakten wären entsprechend lp² und lp³ der Divisor: Läuft also gegen unendlich. Ich krieg das jetzt nicht auf Kugeln übertragen, könnte das jemand machen. Ich bin sicher, dass damit das "Volumen" der Hyperkugeln mit der Anzahl der Dimensionen auch gegen unendlich läuft.

Das war jetzt nicht so gut formuliert.

Eine Linie ist eine Kette von Punkten. Einen Kreis kann man als Ansammlung von konzentrisch angelegten Linien betrachten. Diese werden mit ihrer Entfernung vom Mittelpunkt länger. Eine Kugel kann man als Ansammlung von konzentrisch angelegten Kreisen=Kugelschalen betrachten, welche mit größerer Entfernung vom Mittelpunkt an Fläche gewinnen. Eine vierdimensionale Kugel, z.B. als Zeitkugel, für die eine bestimmte Zeitdauer mit einer bestimmten Länge gleichgestzt wird besteht aus mehreren Kugeln, die mit ihrer Entfernung vom (Zeit-)Mittelpunkt an Größe gewinnen. Sie sind also auch konzentrisch um diesen Mittelpunkt angeodnet. Fünfdimensional müsste man sich jetzt ne neue Dimension im Sinne von mehreren Raumzeiten überlegen usw.. Sicher ist, dass jedes Volumen in seinen Verwandten der nächsthöheren Dimension mindestens einmal reinpasst, oder?

Wie darf ich mir eine Kugel mit 4 oder 5 Dimensionen vorstellen? Ich meine jetzt wirklich bildlich, wie sollte so etwas aussehen? Ich bin ein mathematisches Ungenie, also bitte um Nachsicht^^.

Hab mich während meines Studiums intensiv mit Hypergeometrie beschäftigt, vielleicht kann ich noch eine Kleinigkeit dazu beitragen. Das Volumen ist eine rein mathematische Definition und ist daher unabhängig von Physik, also von Raumkrümmung und Elementarlänge.

Tatsächlich ist das V[n](1) das n-dimensionale Hypervolumen des entsprechenden Hyperkonstrukts. Wichtig ist die Bezeichnung Hypervolumen und nicht einfach Volumen, weil unter Volumen üblicher Weise das 3-Volumen verstanden wird. Genauso wenig wie man sagen würde das Volumen einer Kugel ist größer als die Fläche eines Kreises, macht es Sinn zu sagen das "Volumen" einer Hyperkugel geht mit der Dimensionalität gegen Null. Genau wie die Querschnittsfläche der Einheitskugel am größten Durchmesser dem Einheitskreis entspricht, entspricht das 3-Volumen jeder beliebigen Einheitskugel am größten Durchmesser dem 4 / 3 * Pi.

Noch verständlicher wird es, wenn man eine Hyperkugel mit dem Radius 2 betrachtet. Dann wächst das N-Volumen mit der Dimension ins Unendliche. Wenn man wirklich einen Vergleich machen wollte, müsste man die N-Wurzel aus dem Volumen ziehen, sodass man die Kantenlänge eines Hyperwürfels mit vergleichbaren Volumen bekäme.