Kondensatorparadoxon (Seite 2)

@nisus:

nisus schrieb am 01.07.2021:Wenn es jetzt so ist, daß laden/entladen/umladen eines Kondensators, immer die Hälfte der gespeicherten Energie in den Zuleitungen verloren geht, ...

Das ist nicht so. Dann wären Schwingkreise nicht sinnvoll technisch einsetzbar. Eine ganze Reihe Deiner Überlegungen hier stimmen nicht. U.a. hat der Faktor 1/2 in der Formel für die in einem Kondensator gespeicherte Energie nichts mit dem Verlust der halben Energie beim Kondensator-Paradoxon zu tun. Dieser Faktor lässt sich auf die Formel für das idealisierte elektrische Feld einer Flächenladung zurückführen (E = elektrisches Feld, Q = Ladung, A = Fläche, ε₀ = elektrische Feldkonstante):

E = \frac{1}{2}*\frac{Q}{\varepsilon_0*A}

Daraus lässt sich die Formel für die in einem Plattenkondensator gespeicherte Energie ableiten, wobei der Faktor 1/2 erhalten bleibt. Das aber nur am Rande.

Das prinzipielle Problem beim Kondensator-Paradoxon ist, dass bei einem idealen Kondensator, der über ideale Zuleitungen mit einer idealen Spannungsquelle verbunden ist, der Ladestrom unendlich gross wäre. Das ist offensichtlich kein sinnvolles Szenario. Idealisierungen sind in der Physik ein sehr nützliches Werkzeug, weil sie helfen, die Aufmerksamkeit von Unwesentlichem weg, und auf das Wesentliche hin zu lenken. Beim Kondensator-Paradoxon geht die Idealisierung allerdings einen Schritt zu weit. Es muss ein strombegrenzendes Element in der Schaltung vorhanden sein, damit das Szenario Sinn ergibt. Dieses strombegrenzende Element muss aber kein Widerstand sein, es kann auch eine Induktivität sein. In letzterem Fall geht beim Ladevorgang idealisiert keine Energie verloren, was die Erklärung dafür ist, warum bei Schwingkreisen üblicherweise relativ wenig Energie pro Schwingung verlorengeht.

Eine Induktivität (z.B. eine Spule) wirkt bei steigendem Stromfluss wie ein Widerstand (sie vermindert also den Stromfluss), und bei fallendem Stromfluss wie eine Stromquelle (sie verstärkt also den Stromfluss). Die entsprechende Energie wird bei steigendem Stromfluss im Magnetfeld der Induktivität gespeichert, und bei fallendem Stromfluss von dort wieder freigesetzt. Idealisiert ist diese Zwischenspeicherung verlustfrei. Es handelt sich um das magnetische Äquivalent zu einem Kondensator: Ein Kondensator speichert Energie in einem elektrischen Feld, eine Induktivität speichert Energie in einem magnetischen Feld. Eine Induktivität wirkt so, dass sie den Stromfluss genau da halten "möchte", wo er gerade ist. Solange sich der Stromfluss nicht ändert (egal, ob er gerade hoch oder niedrig ist), verhält sich eine Induktivität neutral, und hat nur ihren (idealisiert vernachlässigbaren) ohmschen Widerstand.

Um die Abläufe anhand einer Simulation zu erläutern, habe ich das folgende LTspice-Modell erstellt:

Kondensator Paradoxon Model

LTspice ist ein bekanntes, kostenloses Schaltungssimulationsprogramm, das ich sehr empfehlen kann. Die Benutzeroberfläche ist einfach gehalten, aber gut durchdacht. Das Programm lässt sich ~~https://www.analog.com/en/design-center/design-tools-and-calculators/ltspice-simulator.html~~ (für Windows und Mac) frei herunterladen. Meine installierte LTspice-Version, die ich für die Simulationen verwendet habe, ist älter als die aktuelle Version, aber ich gehe davon aus, dass die Modelle kompatibel sind.

Obwohl ich zunächst das klassische Kondensator-Paradoxon mit einem rein ohmschen Widerstand betrachten möchte, habe ich bereits eine Induktivität in die Schaltung eingesetzt, damit ich nicht mit zwei unterschiedlichen Schaltungen hantieren muss. Die Induktivität ist aber vorerst auf einen Wert von 1 Femtohenry (= 1 × 10^-15 H) gesetzt, was für alle praktischen Belange einem Wert von Null entspricht (genau Null erlaubt LTspice nicht).

Zur Theorie des klassischen Kondensator-Paradoxons: Im Ausgangszustand ist der Kondensator C1 auf eine bestimmte Spannung U_C1(0) aufgeladen, und der Kondensator C2 vollständig entladen (U_C2(0) = 0 V). Diese Spannungsdifferenz führt zu einem Stromfluss. Die Höhe des Stromflusses wird durch die Differenz zwischen U_C1 und U_C2, und den Wert des Widerstands R bestimmt. Da sich beim Entladen von C1 und dem Laden von C2 die Differenz zwischen U_C1 und U_C2 ändert, ändert sich entsprechend auch der Stromfluss. Es gilt:

\tag{1} I(t) = \frac{\Delta U(t)}{R}=\frac{U_\mathrm{C1}(t)-U_\mathrm{C2}(t)}{R}

Bei einem zeitlich konstanten Stromfluss ergibt sich die Menge an elektrischer Ladung, die während eines bestimmten Zeitraums t durch den Stromfluss transportiert wird, gemäss:

\tag{2} Q(t) = I*t

Bei einem zeitlich veränderlichen Stromfluss muss anstelle der Multiplikation integriert werden (das Grundprinzip ist dabei das gleiche, wie ich es am Anfang dieses Beitrags erläutert hatte -- ein Integral ist in gewissem Sinne eine Multiplikation, bei der sich mindestens einer der Faktoren während der Multiplikation ändert):

\tag{3} Q(t) = \int_0^t I(t)\,dt

Die Spannung eines Kondensators hängt von seiner Ladung und seiner Kapazität ab, wodurch sich auch die Ladung bei einer bestimmten Spannung und einer bestimmten Kapazität ermitteln lässt:

\tag{4} U = \frac{Q}{C} \quad\longrightarrow\quad Q = U*C

Die zeitabhängige Spannung der beiden Kondensatoren ergibt sich aus ihrer jeweiligen ursprünglichen Ladung Q(0) abzüglich (bei C1) oder zuzüglich (bei C2) der durch den Stromfluss zwischen ihnen transportierten Ladungen:

\tag{5a} \begin{aligned}
U_\mathrm{C1}(t) &= \frac{Q_\mathrm{C1}(t)}{C} = \frac{Q_\mathrm{C1}(0)-\int_0^t I(t)\,dt}{C} = \frac{U_\mathrm{C1}(0)*C-\int_0^t I(t)\,dt}{C} \\
&= U_\mathrm{C1}(0)-\frac{1}{C}*\int_0^t \frac{U_\mathrm{C1}(t)-U_\mathrm{C2}(t)}{R}\,dt
\end{aligned}

\tag{5b} \begin{aligned}
U_\mathrm{C2}(t) &= \frac{Q_\mathrm{C2}(t)}{C} = \frac{Q_\mathrm{C2}(0)+\int_0^t I(t)\,dt}{C} = \frac{U_\mathrm{C2}(0)*C+\int_0^t I(t)\,dt}{C} \\
&= U_\mathrm{C2}(0)+\frac{1}{C}*\int_0^t \frac{U_\mathrm{C1}(t)-U_\mathrm{C2}(t)}{R}\,dt
\end{aligned}

Aufmerksamen Lesern wird nun auffallen, dass in der Formel, mit der U_C1 berechnet werden soll, U_C1 selbst vorkommt, und das auch noch unter einem Integral. Ausserdem steht unter diesem Integral auch noch U_C2, in dessen Formel das gleiche Integral nochmal vorkommt. Mit einfacher Algebra kommt man hier offensichtlich nicht weiter.

Um das Ganze etwas zu vereinfachen, wäre es nützlich, wenn sich U_C2 aus U_C1 berechnen liesse. Dazu kann man die beiden Gleichungen aufeinander addieren, wobei der Teilterm mit dem Integral aufgrund des unterschiedlichen Vorzeichens entfällt:

\tag{6} U_\mathrm{C1}(t) + U_\mathrm{C2}(t) = U_\mathrm{C1}(0) + U_\mathrm{C2}(0) \quad\longrightarrow\quad U_\mathrm{C2}(t) = U_\mathrm{C1}(0) + U_\mathrm{C2}(0) - U_\mathrm{C1}(t)

Die linke Gleichung besagt, dass die Summe der Spannungen zu jedem Zeitpunkt gleich der Summe der ursprünglichen Spannungen ist, was eine Folge der Konstanz der Summe der Ladungen ist.

Den gewonnenen Ausdruck für U_C2 kann man nun in die Formel für U_C1 einsetzen:

\tag{7} U_\mathrm{C1}(t) = U_\mathrm{C1}(0) - \frac{1}{C} * \int_0^t \frac{U_\mathrm{C1}(t)-(U_\mathrm{C1}(0) + U_\mathrm{C2}(0)-U_\mathrm{C1}(t))}{R}\,dt

Vereinfachen ergibt:

\tag{8} U_\mathrm{C1}(t) = U_\mathrm{C1}(0) - \frac{2}{R*C} * \int_0^t U_\mathrm{C1}(t)-\frac{1}{2}(U_\mathrm{C1}(0) + U_\mathrm{C2}(0))\,dt

Mit etwas Erfahrung mit dem Lösen von Differentialgleichungen sieht man, dass die gesuchte Funktion U_C1(t) vermutlich Ähnlichkeit mit der Funktion e^x hat. Für diese Funktion gilt allgemein (siehe z.B. hier, C ist eine beliebige Konstante):

\tag{9} e^{a*x}+C = a* \int e^{a*x}\,dx

Daraus ergibt sich (mir fehlt die Zeit, um auf die Zwischenschritte einzugehen):

\tag{10a} U_\mathrm{C1}(t) = U_\mathrm{C1}(0)-\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{2}* \left( 1-e^{-\frac{\scriptsize 2*t}{\scriptsize R*C}} \right)

Für U_C2 ergibt sich symmetrisch dazu:

\tag{10b} U_\mathrm{C2}(t) = U_\mathrm{C2}(0)+\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{2}* \left( 1-e^{-\frac{\scriptsize 2*t}{\scriptsize R*C}} \right)

Beide Spannungen nähern sich mit zunehmendem t an den Mittelwert der Anfangsspannungen an, weil sich der bei beiden Gleichungen übereinstimmende Teilterm in der Klammer mit zunehmendem t zunehmend an 1 annähert.

Auf dieser Basis kann man nun die am Widerstand R in Wärme umgewandelte Energie berechnen. Für die entsprechende Leistung gilt:

\tag{11} P_\mathrm{R}(t) = \Delta U(t)*I(t) = \Delta U(t)*\frac{\Delta U(t)}{R} = \frac{\Delta U(t)^2}{R} = \frac{(U_\mathrm{C1}(t)-U_\mathrm{C2}(t))^2}{R}

Einsetzen von U_C1 und U_C2 ergibt (einige Teilterme von U_C1 und U_C2 heben sich dabei gegeneinander auf):

\tag{12} P_\mathrm{R}(t) = \frac{\left((U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0))*e^{-\frac{\scriptsize 2*t}{\scriptsize R*C}}\right)^2}{R}

Vereinfachen ergibt:

\tag{13} P_\mathrm{R}(t) = \frac{(U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0))^2}{R}*e^{-\frac{\scriptsize 4*t}{\scriptsize R*C}}

Zur Ermittlung der Energie muss dieser Ausdruck über die Zeit integriert werden:

\tag{14} W_\mathrm{R}(t) = \int_0^t P_R(t)\,dt = \int_0^t \frac{(U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0))^2}{R}*e^{-\frac{\scriptsize 4*t}{\scriptsize R*C}}\,dt

Das unbestimmte Integral lässt sich ziemlich einfach lösen:

\tag{15} \int \frac{(U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0))^2}{R}*e^{-\frac{\scriptsize 4*t}{\scriptsize R*C}}\,dt = \frac{(U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0))^2}{R}*-\frac{R*C}{4}*e^{-\frac{\scriptsize 4*t}{\scriptsize R*C}}

Einsetzen der Integrationsgrenzen 0 und t ergibt:

\tag{16} W_\mathrm{R}(t) = \frac{(U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0))^2*C}{4}*\left(1-e^{-\frac{\scriptsize 4*t}{\scriptsize R*C}}\right)

Für den Grenzwert für t → ∞ ergibt sich:

\tag{17} \lim\limits_{t\rightarrow\infty} W_\mathrm{R}(t) = \frac{(U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0))^2*C}{4}

Der Wert des Widerstands kommt in der Formel für den Grenzwert nicht mehr vor. Das bedeutet, dass die ingesamt am Widerstand in Wärme umgewandelte Energie für ausreichend grosse Werte von t (was in der Praxis i.d.R. bereits für ziemlich kleine Werte < 1 s gilt) vom Widerstandswert unabhängig, bzw. für alle Widerstandswerte (quasi) gleich ist. Für das klassische Kondensator-Paradoxon-Szenario mit U_C2(0)=0 ergibt sich für den Grenzwert genau die Hälfte der im Kondensator C1 gespeicherten Energie, wie zu erwarten war.

Nun zur Simulation. Zunächst nochmal die Schaltung:

Kondensator Paradoxon Model

Die beiden Kondensatoren C1 und C2 haben jeweils eine Kapazität von 470 µF. Der Widerstand R hat einen Wert von 0,5 Ω. Die Induktivität L ist mit einem Wert von 1 fH (= 1 × 10^-15 H), wie oben erläutert, vorerst deaktiviert (d.h. verhält sich wie eine einfache Leitung). Der Kondensator C1 ist im Ausgangszustand auf eine Spannung U_C1 = 30 V aufgeladen, der Kondensator C2 ist im Ausgangszustand ungeladen, entsprechend U_C2 = 0 V. Die letzteren beiden Werte werden in der .ic-Direktive ("Initial Condition") festgelegt. Den Grund, warum ich diese spezifischen Werte verwendet habe, erläutere ich später. Die Zeitdauer der Simulation ist in der .tran-Direktive auf 1 ms festgelegt.

Die Schaltung ist in der folgenden Textdatei gespeichert, die sich mit LTspice öffnen lässt:

Dateianhang: Kondensator_Paradoxon.asc (0 KB)

Nicht zwingend notwendig, aber sinnvoll als Ergänzung ist die folgende Textdatei mit den Plot-Definitionen (darin wird festgelegt, welche Kurven auf welche Weise im Plot-Fenster angezeigt werden):

Dateianhang: Kondensator_Paradoxon.plt (0 KB)

Die Plot-Definitions-Datei wird automatisch mit der Schaltung geladen, wenn sie im gleichen Verzeichnis wie die Datei mit der Schaltung gespeichert ist, und den gleichen Dateinamen (natürlich abgesehen von der Extension) hat.

Ein Simulationslauf führt zu folgendem Resultat:

Kondensator Paradoxon Plot

Die grüne Kurve entspricht dem Verlauf von U_C1, die blaue Kurve dem Verlauf von U_C2, und die rote Kurve dem Stromfluss I zwischen den beiden Kondensatoren.

Mittels der Cursor-Funktion von LTspice lassen sich die folgenden Beispielwerte bei t ≈ 100 µs auslesen (der Cursor lässt sich nicht ganz exakt bei 100 µs positionieren):

\begin{array}{rr}
U_\mathrm{C1}\mathrm{(99{,}8216\,µs):} & \mathrm{21{,}42530\,V} \\
U_\mathrm{C2}\mathrm{(99{,}8216\,µs):} & \mathrm{8{,}57471\,V} \\
I\mathrm{(99{,}8216\,µs):} & \mathrm{25{,}70120\,A} \\
\end{array}

Diese Werte kann man nun mit den Ergebnissen vergleichen, die die oben ermittelten Formeln für U_C1 (10a), U_C2 (10b) und I (1) liefern:

\begin{alignedat}{3}\tag{18}
U_\mathrm{C1}(99{,}8216\,µs) &= \mathrm{30\,V-\frac{30\,V-0\,V}{2}* \left( 1-e^{-\frac{\scriptsize 2*99{,}8216×10^{-6}\,s}{\scriptsize 0{,}5\,Ω*470×10^{-6}\,F}} \right) } &&≈ \mathrm{21{,}414138\,V} \\
U_\mathrm{C2}(99{,}8216\,µs) &= \mathrm{\hphantom{0}0\,V+\frac{30\,V-0\,V}{2}* \left( 1-e^{-\frac{\scriptsize 2*99{,}8216×10^{-6}\,s}{\scriptsize 0{,}5\,Ω*470×10^{-6}\,F}} \right) } &&≈ \mathrm{\hphantom{0}8{,}585862\,V} \\
I(99{,}8216\,µs) &= \mathrm{\frac{30\,V-0\,V}{0{,}5\,Ω}*e^{-\frac{\scriptsize 2*99{,}8216×10^{-6}\,s}{\scriptsize 0{,}5\,Ω*470×10^{-6}\,F}}} &&≈ \mathrm{25{,}656553\,A}
\end{alignedat}

Die Werte stimmen halbwegs überein, allerdings nicht allzu genau. Woran könnte das liegen? Hier zeigt sich der Unterschied zwischen einer analytischen Lösung und einer numerischen Lösung. Die oben ermittelten Formeln stellen analytische Lösungen dar. Man setzt die gewünschten Werte in die jeweilige Formel ein, und erhält in einem Schritt das Ergebnis. Dieses Ergebnis ist im Rahmen der Genauigkeit der Eingangswerte und der verwendeten Rechengenauigkeit exakt. Eine Simulation ist hingegen (zumindest üblicherweise) eine numerische Lösung. Bei einer numerischen Lösung wird das Ergebnis in vielen kleinen Schritten berechnet, wobei jeder Schritt nur eine Näherungslösung ist. I.d.R. ist das Ergebnis um so genauer, je kleiner man die Schrittweite macht (was allerdings nur bis zu einer gewissen Grenze funktioniert). Eine kleinere Schrittweite bedeutet jedoch auch, dass es länger dauert, das Ergebnis zu berechnen, weil eine entsprechend grösserere Zahl von Schritten erforderlich ist.

Zum Vergleich führe ich die Simulation nun noch mal mit einer kleinen Änderung durch. Ich begrenze durch das Einfügen des zusätzlichen Werts 1n an vorletzter Position (zwischen dem bereits vorhandenen "1n" und "uic") in der folgenden Direktive den maximalen Timestep bei der Simulation auf 1 Nanosekunde (= 1 × 10^-9 s = eine Milliardstel Sekunde).

.tran 0 1m 1n 1n uic

Die Simulation läuft nun deutlich langsamer. Ein maximaler Timestep von 1 ns bei einer Simulationszeit von 1 ms bedeutet, dass bei der Simulation mindestens 1 Million Schritte durchgeführt werden müssen. Erneutes Auslesen der Beispielwerte ergibt:

\begin{array}{rr}
U_\mathrm{C1}\mathrm{(99{,}8216\,µs):} & \mathrm{21{,}41410\,V} \\
U_\mathrm{C2}\mathrm{(99{,}8216\,µs):} & \mathrm{8{,}58592\,V} \\
I\mathrm{(99{,}8216\,µs):} & \mathrm{25{,}65630\,A} \\
\end{array}

Die Übereinstimmung ist nun erheblich besser, allerdings immer noch nicht 100%ig. Es wäre sicherlich möglich, durch Justieren weiterer Einstellungen (eine weitere Verkleinerung des Timesteps ist nicht unbedingt zielführend) der Simulation eine noch genauere Übereinstimmung zu erreichen, wobei sich allerdings die Frage stellt, in wie weit das einen Nutzen hat. Für die meisten praktischen Anwendungszwecke reicht die Genauigkeit, die mit den Standardeinstellungen von LTspice erreicht wird, aus. Mir ging es in diesem Fall darum, zu zeigen, was die Ursache für die Abweichungen zwischen der Simulation und den Ergebnissen der analytisch ermittelten Formeln ist.

Nun zur Theorie des Falls mit Induktivität. Die Spannungsdifferenz zwischen den beiden Kondensatoren setzt sich in diesem Fall aus der Spannungsdifferenz am Widerstand R und der Spannungsdifferenz an der Induktivität L zusammen:

\tag{19} \Delta U_\mathrm{ges}(t) = \Delta U_\mathrm{R}(t)+\Delta U_\mathrm{L}(t)

Der Stromfluss I(t) durch den Widerstand R und die Induktivität L ist nach dem 1. Kirchhoff'schen Gesetz gleich. Für den Widerstand (für dessen Wert ich nun R_R statt R verwende, da R_R nicht länger der Gesamtwiderstand im Stromkreis ist) gilt:

\tag{20} \Delta U_\mathrm{R}(t) = R_\mathrm{R}*I(t)

Für die Induktivität gilt (entsprechend dem allgemeinen Zusammenhang zwischen Spannung und Strom bei Induktivitäten):

\tag{21} \Delta U_\mathrm{L}(t) = L*\frac{dI(t)}{dt}=L*\dot I(t)

Der Punkt über dem I ist die in der Physik übliche Scheibweise für die erste Ableitung einer Funktion nach der Zeit (diese Notation geht direkt auf Newton zurück). Die Spannungsdifferenz an der Induktivität hängt also nicht vom aktuellen Wert des Stromflusses, sondern -- wie ich weiter oben erläutert hatte -- von dessen Änderungsrate ab.

Um einer Formel für den Stromfluss näher zu kommen, kann man nun Gleichung (20) nach I(t) auflösen, \Delta U_\mathrm{R}(t) anhand von Gleichung (19) ersetzen, und anschliessend \Delta U_\mathrm{L}(t) anhand von Gleichung (21) ersetzen:

\tag{22} I(t) = \frac{\Delta U_\mathrm{R}(t)}{R_\mathrm{R}} = \frac{\Delta U_\mathrm{ges}(t)-\Delta U_\mathrm{L}(t)}{R_\mathrm{R}} = \frac{\Delta U_\mathrm{ges}(t)-L*\dot I(t)}{R_\mathrm{R}}

Nun soll \Delta U_\mathrm{ges}(t) durch die Differenz zwischen U_\mathrm{C1}(t) und U_\mathrm{C2}(t) ersetzt werden. Für die letzteren beiden Werte gilt entsprechend den Gleichungen (5a) und (5b):

\tag{23a} U_\mathrm{C1}(t) = U_\mathrm{C1}(0)-\frac{1}{C}*\int_0^t I(t)\,dt

\tag{23b} U_\mathrm{C2}(t) = U_\mathrm{C2}(0)+\frac{1}{C}*\int_0^t I(t)\,dt

Bilden der Differenz ergibt:

\tag{24} U_\mathrm{C1}(t)-U_\mathrm{C2}(t)=U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)-\frac{2}{C}*\int_0^t I(t)\,dt

Der Ausdruck rechts kann nun für \Delta U_\mathrm{ges}(t) in Gleichung (22) eingesetzt werden:

\tag{25} I(t) = \frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)-\frac{2}{C}*\int_0^t I(t)\,dt-L*\dot I(t)}{R_\mathrm{R}}

Die Gleichung enthält nun ausser I(t) nur noch Konstanten, kann also gelöst werden. Als Lösung ergibt sich (der Lösungsweg ist ziemlich aufwändig, und würde hier zu weit führen):

\tag{26} I(t)=2*\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2}}*e^{-\frac{\scriptsize R_\mathrm{R}*t}{\scriptsize 2*L}}*\sin \left( \frac{t}{2*L}*\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2} \right)

Es gibt noch eine zweite Lösung, die aber weniger interessant ist. Die zweite Lösung gilt dann, wenn der Ausdruck unter den Wurzeln negativ wird. Physikalisch bedeutet das, dass der Strom primär durch den Widerstand R, und nicht durch die Induktivität L begrenzt wird. Das Verhalten der Schaltung ist dann ähnlich wie im Fall ohne Induktivität. Deshalb gehe ich auf die zweite Lösung hier nicht weiter ein.

Zur Berechnung der Spannungen der Kondensatoren wird das Integral des Stromflusses von 0 bis t gebraucht:

\begin{aligned}\tag{27}
\int_0^t I(t)\,dt &= C*\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{2}* \Bigg( 1-e^{-\frac{\scriptsize R_\mathrm{R}*t}{\scriptsize 2*L}}* \Bigg( \cos \Bigg( \frac{t}{2*L}*\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2} \Bigg) \\
&\hphantom{\,=\,}+\frac{1}{\sqrt{\frac{8*L}{R_\mathrm{R}^2*C}-1}}*\sin \Bigg( \frac{t}{2*L}*\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2} \Bigg) \Bigg) \Bigg)
\end{aligned}

Für U_C1 ergibt sich durch Einsetzen von Gleichung (27) in Gleichung (23a):

\begin{aligned}\tag{28a}
U_\mathrm{C1}(t) &= U_\mathrm{C1}(0)-\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{2}* \Bigg( 1-e^{-\frac{\scriptsize R_\mathrm{R}*t}{\scriptsize 2*L}}* \Bigg( \cos \Bigg( \frac{t}{2*L}*\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2} \Bigg) \\
&\hphantom{\,=\,}+\frac{1}{\sqrt{\frac{8*L}{R_\mathrm{R}^2*C}-1}}*\sin \Bigg( \frac{t}{2*L}*\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2} \Bigg) \Bigg) \Bigg)
\end{aligned}

Für U_C2 ergibt sich symmetrisch dazu (der nicht ausgeschriebene Rest stimmt mit Gleichung (28a) überein:

\tag{28b} U_\mathrm{C2}(t) = U_\mathrm{C2}(0) + ...

Die grundsätzliche Struktur der Gleichungen für U_C1 und U_C2 stimmt also mit dem Fall ohne Induktivität (Gleichungen (10a) und (10b)) überein, lediglich der Ausdruck in der Klammer ist deutlich komplizierter. Aus dem Vorhandensein der cos- und sin-Teilterme kann man schliessen, dass es zu einem Schwingungsvorgang kommt.

Nun zur Simulation. Die Schaltung stimmt weitgehend mit der vorhergehenden Schaltung überein, lediglich die Induktivität ist nun mit einem Wert von 500 µH aktiv. Ausserdem ist die Zeitdauer der Simulation nun auf 10 ms festgelegt.

Kondensator Paradoxon L Model

Kondensator Paradoxon L Plot

Genau wie bei der Simulation ohne Induktivität entspricht die grüne Kurve dem Verlauf von U_C1, die blaue Kurve dem Verlauf von U_C2, und die rote Kurve dem Stromfluss I zwischen den beiden Kondensatoren.

Der entscheidende Unterschied zur vorhergehenden Schaltung ist, dass C2 nun nicht mehr nur auf die Hälfte (15 V) der ursprünglichen Spannung von C1 (30 V) aufgeladen wird, sondern auf ca. 79% (≈ 23,7 V). Entsprechend wird C1 bis auf ca. 21% (≈ 6,3 V) entladen. Dieser Zustand tritt nach ca. 1,1 ms ein. Sofern der Umladevorgang allerdings zu diesem Zeitpunkt nicht unterbrochen wird, kommt es zu einem umgekehrten Stromfluss. Nun wird C1 aus C2 geladen. Da bei jedem Umladevorgang ein Teil der Energie am nach wie vor vorhandenen Widerstand R in Wärme umgewandelt wird, gleichen sich die Spannungen bei jeder Schwingung weiter an.

Sofern man den Stromfluss nach der ersten Halbschwingung (d.h. beim ersten Maximum von U_C2) unterbricht -- was sich z.B. durch Einfügen einer Diode in den Stromkreis erreichen lässt, die nur einen Stromfluss von C1 nach C2 zulässt -- ergibt sich für die zu diesem Zeitpunkt (t_peak ≈ 1,1 ms) in den Kondensatoren gespeicherte Energie:

\begin{alignedat}{2}\tag{29}
W_\mathrm{C} &= \frac{1}{2}*C*U^2 \\
W_\mathrm{C2}(t_\mathrm{peak}) &≈ \frac{1}{2}*C*(79\,\%*U_\mathrm{C1}(0))^2 &&≈ 62{,}4\,\%*W_\mathrm{C1}(0) \\
W_\mathrm{C1}(t_\mathrm{peak}) &≈ \frac{1}{2}*C*(21\,\%*U_\mathrm{C1}(0))^2 &&≈ \hphantom{0}4{,}4\,\%*W_\mathrm{C1}(0)
\end{alignedat}

Im Gegensatz zur Schaltung ohne Induktivität ist also zu diesem Zeitpunkt in der Summe noch ca. 67%, d.h. 2/3 der ursprünglichen Energie in den Kondensatoren gespeichert. Dieser Prozentsatz lässt sich auf nahezu 100% steigern, indem man den Wert der Induktivität L erhöht, oder den Wert des Widerstands R verringert.

Der Grund, warum eine Induktivität dazu führt, dass weniger (bis nahezu gar keine) Energie am Widerstand R in Wärme umgewandelt wird, beruht auf der weiter oben erläuterten, weitgehend verlustfreien Zwischenspeicherung eines Teils der durch die Induktivität hindurchfliessenden Energie in ihrem Magnetfeld. Dadurch wird der Stromfluss zum einen gleichmässiger (d.h. weicht weniger stark von seinem Durchschnittswert ab) und wird zum anderen über einen längeren Zeitraum gestreckt (was einen niedrigeren Durchschnittswert zur Folge hat).

Dazu ein einfaches Beispiel: Ein Widerstand von 1 Ω sei für für eine bestimmte Zeit von einem bestimmten Strom durchflossen. Die am Widerstand in Wärme umgewandelte (und damit dem Stromkreis verlorengehende) Leistung und Energie berechnet sich allgemein gemäss:

\tag{30} P_\mathrm{R} = U*I,\;U=R*I \longrightarrow\quad P_\mathrm{R} = R*I^2

\tag{31} E_\mathrm{R} = P_\mathrm{R}*t = R*I^2*t

Bei einem Stromfluss von 10 A für 2 s ergibt sich für die Energie:

\tag{32a} E_\mathrm{R} = \mathrm{1\,Ω*(10\,A)^2*2\,s} = \mathrm{200\,Ws}

Bei einem Stromfluss von 15 A für 1 s, und einem anschliessenden Stromfluss von 5 A für 1 s ergibt sich für die Energie:

\tag{32b} E_\mathrm{R} = \mathrm{1\,Ω*(15\,A)^2*1\,s+1\,Ω*(5\,A)^2*1\,s} = \mathrm{250\,Ws}

Obwohl der Durchschnittswert der Stromstärke in beiden Fällen gleich ist (10 A), und der Strom insgesamt für den gleichen Zeitraum (2 s) fliesst, wird im zweiten Fall (d.h. bei einem ungleichmässigeren Stromfluss) deutlich mehr Energie am Widerstand in Wärme umgewandelt (und geht damit dem Stromkreis verloren).

In diesem Zusammenhang wäre es nützlich, wenn sich das Maximum der von C1 auf C2 übertragenen Energie aus einem gegebenen Parametersatz berechnen liesse. Dazu muss zunächst der Zeitpunkt t_peak bestimmt werden. Ein Blick auf den Plot zeigt, dass die Stromkurve I(t) immer genau zu den Zeitpunkten, wenn U_C2 ein Maximum (und U_C1 ein Minimum) hat, vom positiven in den negativen Bereich wechselt. Solange der Strom von C1 nach C2 fliesst, ist der Stromfluss positiv, sobald der Strom von C2 nach C1 fliesst, ist der Stromfluss negativ, und genau dazwischen Null. Daraus ergibt sich folgender Ansatz:

\tag{33} I(t_\mathrm{peak})=0 \quad\longrightarrow\quad 2*\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2}}*e^{-\frac{\scriptsize R_\mathrm{R}*t_\mathrm{peak}}{\scriptsize 2*L}}*\sin \left( \frac{t_\mathrm{peak}}{2*L}*\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2} \right) = 0

Die Gleichung rechts ist zum einen für t → ∞ erfüllt, was jedoch keine nützliche Lösung für das gestellte Problem ist. Ansonsten ist die Gleichung immer dann erfüllt, wenn das Argument der Sinus-Funktion (der Teilterm in der Klammer) ein Vielfaches von π (im Bogenmaß, entsprechend 180° im Gradmaß) beträgt, da: \sin(n*π)=0,\, n \in \Z. Für den gesuchten ersten Nulldurchgang von I(t) für t > 0 ergibt sich:

\tag{34} \frac{t_\mathrm{peak}}{2*L}*\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2} = 1*π \quad\longrightarrow\quad t_\mathrm{peak} = \frac{2*L*π}{\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2}}

Einsetzen der bei der Simulation verwendeten Werte ergibt:

\tag{35} t_\mathrm{peak} = \mathrm{\frac{2*500×10^{-6}\,H*π}{\sqrt{\frac{8*500×10^{-6}\,H}{470×10^{-6}\,F}-(0{,}5\,Ω)^2}}} ≈ \mathrm{1{,}093\,ms}

Der Wert stimmt mit der Simulation überein.

Mit der Formel für t_peak kann man nun die Spannung U_C2 zu diesem Zeitpunkt berechnen. Die Argumente der Cosinus- und der Sinus-Funktion kürzen sich dabei so, dass als Wert jeweils π übrig bleibt:

\begin{aligned}\tag{36}
U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}} =U_\mathrm{C2}(t_\mathrm{peak}) &= U_\mathrm{C2}(0)+\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{2} \\
&\hphantom{\,=\,}* \left( 1-e^{-\frac{\small π}{\small \sqrt{\frac{8*L}{R_\mathrm{R}^2*C}-1}}}* \left( \cos(π)+\frac{1}{\sqrt{\frac{8*L}{R_\mathrm{R}^2*C}-1}}*\sin(π) \right) \right)
\end{aligned}

Aufgrund von \cos(π)=-1 und \sin(π)=0 ergibt sich daraus:

\tag{37} U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}} = U_\mathrm{C2}(0)+\frac{U_\mathrm{C1}(0)-U_\mathrm{C2}(0)}{2}* \left( 1+e^{-\frac{\small π}{\small \sqrt{\frac{8*L}{R_\mathrm{R}^2*C}-1}}} \right)

Einsetzen der bei der Simulation verwendeten Werte ergibt:

\tag{38} U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}} = \mathrm{0\,V+\frac{30\,V-0\,V}{2}* \left( 1+e^{-\frac{\small π}{\small \sqrt{\frac{8*500×10^{-6}\,H}{(0{,}5\,Ω)^2*470×10^{-6}\,F}-1}}} \right)} ≈ \mathrm{23{,}684\,V}

Als Berechnungs-Link (unterstützt nur den Fall U_C2(0)=0):

U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}} ≈(U/2)*(1+e^-(π/(√((8*L)/(R^2*C)-1)))) where U=30, R=0.5, C=470*10^-6, L=500*10^-6

Auch dieser Wert stimmt mit der Simulation überein.

Mit Gleichung (37) lässt sich also bei einem gegebenen Parametersatz vorausberechnen, auf welche Spannung C2 maximal aufgeladen wird. Dabei gilt allerdings die Bedingung, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv sein muss. Ist das nicht der Fall, wird der Strom primär durch den Widerstand R, und nicht durch die Induktivität L begrenzt, was zur Folge hat, dass C2 -- wie im Fall ohne Induktivität -- maximal auf den Mittelwert der Anfangsspannungen von C1 und C2 aufgeladen wird.

Bisher habe ich alle analytischen Berechnungen so durchgeführt, dass auch von Null abweichende (übrigens auch negative) Anfangsspannungen U_C2(0) für C2 zulässig sind. Um den Aufwand etwas zu verringern, führe ich die folgenden Berechnungen nur für den Fall U_C2(0)=0 durch.

Der Anteil (von 0..1) der Energie, die maximal von C1 nach C2 übertragen wird, berechnet sich gemäss:

\tag{39} f_\mathrm{\tiny W} = \frac{W_\mathrm{C2_{\scriptsize max}}}{W_\mathrm{C1}(0)} = \frac{\frac{1}{2}*C*(U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}})^2}{\frac{1}{2}*C*(U_\mathrm{C1}(0))^2} = \left( \frac{U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}}}{U_\mathrm{C1}(0)} \right) ^2

Einsetzen von Gleichung (37) (mit U_C2(0)=0) in Gleichung (39) ergibt:

\tag{40} f_\mathrm{\tiny W} = \left( \frac{\dfrac{U_\mathrm{C1}(0)}{2}* \left( 1+e^{-\frac{\small π}{\small \sqrt{\frac{8*L}{R_\mathrm{R}^2*C}-1}}} \right)}{U_\mathrm{C1}(0)}\right) ^2 = \frac{1}{4}*\left( 1+e^{-\frac{\small π}{\small \sqrt{\frac{8*L}{R_\mathrm{R}^2*C}-1}}} \right)^2

Einsetzen der bei der Simulation verwendeten Werte ergibt:

\tag{41} f_\mathrm{\tiny W} = \mathrm{\frac{1}{4}* \left( 1+e^{-\frac{\small π}{\small \sqrt{\frac{8*500×10^{-6}\,H}{(0{,}5\,Ω)^2*470×10^{-6}\,F}-1}}} \right)^2} ≈ \mathrm{0{,}623} = \mathrm{62{,}3\,\%}

Als Berechnungs-Link:

f_\mathrm{\tiny W} ≈(1/4)*(1+e^-(π/(√((8*L)/(R^2*C)-1))))^2 where R=0.5, C=470*10^-6, L=500*10^-6

Auch dieser Wert stimmt mit der Simulation überein. Der kleine Unterschied zu Gleichung (29) ist rundungsbedingt.

Durch Auflösen von Gleichung (40) nach L kann man zu einem ansonsten gegebenen Parametersatz und einem gewünschten Anteil f_W der Energieübertragung von C1 nach C2 den erforderlichen Wert der Induktivität L berechnen (wobei die Formel nur für Werte von f_W im Bereich von 0,25 < f_W < 1 gültig ist):

\tag{42} L = \frac{C*R_\mathrm{R}^2}{8}* \left( \frac{π^2}{\ln^2(2*\sqrt{f_\mathrm{\tiny W}}-1)}+1 \right)

Testen mit den Werten der Simulation ergibt:

\tag{43} L ≈ \mathrm{\frac{470×10^{-6}\,F*(0{,}5\,Ω)^2}{8}* \left( \frac{π^2}{\ln^2(2*\sqrt{0{,}623}-1)}+1 \right)} ≈ \mathrm{0{,}0004989\,H} = \mathrm{498{,}9\,µH}

Als Berechnungs-Link:

L ≈(C*R^2)/8*(π^2/(ln^2(2*√(f)-1))+1) where R=0.5, C=470*10^-6, f=0.623

Das stimmt im Rahmen der Rundungsgenauigkeit mit dem Wert 500 µH in der Simulation überein.

Nun kann man z.B. den Wert der Induktivität berechnen, der erforderlich ist, um 99% der Energie von C1 nach C2 zu übertragen:

L_{99\%} ≈(C*R^2)/8*(π^2/(ln^2(2*√(f)-1))+1) where R=0.5, C=470*10^-6, f=0.99 ≈ 1,428 H

Das ist ein bemerkenswert hoher Wert. Eine Induktivität dieser Grösse würde man in der Praxis kaum für einen solchen Zweck einsetzen. Der hohe Wert ist im wesentlichen darauf zurückzuführen, dass der erforderliche Wert der Induktivität sehr stark ansteigt, je dichter der Anteil der übertragenen Energie bei 100% liegen soll. Gibt man sich z.B. mit 98% statt 99% zufrieden, genügt eine wesentlich kleinere Induktivität:

L_{98\%} ≈(C*R^2)/8*(π^2/(ln^2(2*√(f)-1))+1) where R=0.5, C=470*10^-6, f=0.98 ≈ 0,352 H

Nun eine Simulation mit dem analytisch ermittelten Wert der Induktivität 1,428 H für 99% Energieübertragung von C1 nach C2:

Kondensator Paradoxon L99 Model

Kondensator Paradoxon L99 Plot

Genau wie bei den vorhergehenden Simulationen entspricht die grüne Kurve dem Verlauf von U_C1, die blaue Kurve dem Verlauf von U_C2, und die rote Kurve dem Stromfluss I zwischen den beiden Kondensatoren.

Im Plot lässt sich mittels der Cursor-Funktion von LTspice eine maximale Spannung von ca. 29,85 V für C2 auslesen. Dieser Wert wird nach ca. 57,55 ms erreicht.

Für den Anteil der übertragenen Energie ergibt sich:

\tag{44} f_\mathrm{\tiny W} = \frac{W_\mathrm{C2_{\scriptsize max}}}{W_\mathrm{C1}(0)} = \frac{\frac{1}{2}*C*(U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}})^2}{\frac{1}{2}*C*(U_\mathrm{C1}(0))^2} = \left( \frac{U_\mathrm{C2_{\scriptsize max}}}{U_\mathrm{C1}(0)}\right) ^2 ≈ \left( \mathrm{\frac{29{,}85\,V}{30\,V}} \right) ^2 ≈ 0{,}99

Der Wert stimmt mit dem analytisch ermittelten Wert überein.

Nun kann man noch den Zeitpunkt des Maximums von U_C2 in der Simulation mit dem analytisch ermittelten Wert (entsprechend Gleichung (34)) vergleichen:

\tag{45} t_\mathrm{peak} = \frac{2*L*π}{\sqrt{\frac{8*L}{C}-R_\mathrm{R}^2}} ≈ \mathrm{\frac{2*1{,}428\,H*π}{\sqrt{\frac{8*1{,}428\,H}{470×10^{-6}\,F}-(0{,}5\,Ω)^2}}} ≈ \mathrm{0{,}05755\,s} = \mathrm{57{,}55\,ms}

Als Berechnungs-Link:

t_\mathrm{peak} =(2*L*π)/(√((8*L)/C-R^2)) where R=0.5, C=470*10^-6, L=1.428

Auch hier stimmt der Wert in der Simulation mit dem analytisch ermittelten Wert überein.

Am Rande noch zu einem weiteren Effekt, der bei der Schaltung mit Induktivität dann relevant wird, wenn Schwingungen auftreten (d.h. nicht mittels einer Diode oder auf anderem Wege unterbunden werden), und der Wert des ohmschen Widerstands der Schaltung sehr gering ist: Es kommt zur Abstrahlung elektromagnetischer Wellen, was mit einem zusätzlichen Energieverlust verbunden ist. Die entsprechenden Berechnungen sind ziemlich aufwändig, weshalb ich an dieser Stelle dazu nur auf ein Paper von Prof. Kirk T. McDonald (m.E. der weltweit führende Experte für klassische Elektrodynamik) verweisen möchte:

A Capacitor Paradox (pdf) (Archiv-Version vom 15.06.2021)

Abschliessend zum Grund, warum ich die spezifischen Werte U_C1(0) = 30 V, R = 0,5 Ω, C = 470 µF und L = 500 µH in der Simulation verwendet habe. Vor einigen Jahren hat jemand bei physicsforums.com Messungen an einem realen Versuchsaufbau mit diesen Werten durchgeführt: Capacitors paradox #28. Der Wert für den Widerstand R wird dabei allerdings nicht explizit genannt, weshalb ich einen geeigneten glatten Wert auf Basis der Messwerte geschätzt habe. Deshalb ist die Übereinstimmung nur ungefähr, zeigt aber, dass das Verhalten der Schaltung auch in der Realität im wesentlichen mit den analytischen Berechnungen und der Simulation übereinstimmt.

Die Schaltung bei physicsforums.com enthält beim ersten Versuch eine zusätzliche Diode, die dazu führt, dass nur ein Stromfluss von C1 nach C2 möglich ist. Der Stromfluss endet daher, nachdem U_C2 den Maximalwert erreicht hat.