Grundlagen der Physik - Das Nachhilfeforum

Tripane schrieb:hoffe, man kann es dennoch nachvollziehen

:Y:

Tripane schrieb:Zugegeben etwas verwirrend

"Verwirrender" könnte noch die Berechnung der Länge der Flugbahn sein (Integral?)
;)

delta.m schrieb:"Verwirrender" könnte noch die Berechnung der Länge der Flugbahn sein (Integral?)

Ja, Kurvenlängen (Bogenlängen) laufen oft auf Integrale hinaus. Hier auch. Wobei die Vorgehensweisen dafür an sich bekannt sind, die konkrete Bestimmung des Integrals aber oft sehr schwer bis unmöglich sein kann, wenn man für das Ergebnis eine exakte analytische Funktion/Relation haben will. Nicht jedes Integral läßt sich schön analytisch lösen. Man muß dann oft mit Näherungsverfahren zufrieden sein.

Das Linienintegral (d.h. die Länge der Flugbahn) ist in diesem Fall analytisch lösbar, die Lösung ist aber ziemlich aufwändig.

Zur Erläuterung: Eine "analytische" Lösung ist eine allgemeine Formel für die Lösung, in die man anschliessend beliebige Eingangsparameter einsetzen kann. Für viele Probleme gibt es aber, wie @Tripane bereits schrieb, keine analytische Lösung. Dann bleibt nur der Weg einer "numerischen" Lösung, wo das Ergebnis mit konkreten Zahlen näherungsweise (üblicherweise in kleinen Schritten) berechnet wird. Das kann je nach Problem sehr zeitaufwändig sein, und kann bei Verwendung eines für das spezifische Problem ungeeigneten Verfahrens auch zu völlig falschen Ergebnissen führen.

Ich hab aus Jux mal meinen Rechner "befragt". Der bringt für die Bogenlänge einer Parabel mit dem Funktionsterm



raus



Wobei die Parabel im Intervall [ 0, xe] definiert ist. Die x Koordinate beginnt also bei 0 und xe ist der Endpunkt.

ich setze mal ein, a=1 und xe=1 --> Bogenlänge = 1.4789429 (was ich erstaunlich kurz finde, weil diese Parabel ja dann durch den Punkt 1/1 geht, desse kürzeste Verbindung zum Usprung die Gerade mit Länge wäre. Da ist wenig Unterschied :D Für einen gestreckten Schuß wäre a recht klein, z.B. 0.0001 oder so, da wird der relative Fehler zu einer ersatzweisen Geraden logischerweise noch viel kleiner.

Für unsere Situation müßte man die Parabelgleichung noch anpassen bzw. handlicher umformen, oder gegebenenfalls auch mehrere Teile "stückeln".

Ich habe die Rechnung nur mal ansatzweise durchgeführt, um zu sehen, ob das Integral analytisch lösbar ist oder nicht. Bei den gegebenen Voraussetzungen ergibt sich ein Integral der Form:



Das ist eindeutig analytisch lösbar, aber der Lösungsweg ist ziemlich aufwändig. Es würde ein paar Stunden dauern, das einigermassen gut verständlich zu beschreiben, und das ist mir doch ein bisschen viel. ;)

Ich möchte zumindest mal den Grundansatz erläutern, wie man die Länge der Flugbahn berechnet. Man stelle sich zunächst die Bahn auf ein sehr grosses Blatt Papier gezeichnet vor. Nun könnte man mit einem Lineal angefangen vom Startpunkt eines kleines Stück der Bahn abmessen, und sich den Wert notieren. Bei einer gekrümmten Bahn ist das Ergebnis zwar nicht exakt, kommt dem exakten Wert aber nahe, sofern man nur ein angemessen kurzes Teilstück der Bahn abmisst. Anschliessend könnte man das nächste Stück der Bahn abmessen, und den gemessenen Wert zu dem Wert der ersten Messung addieren. Fährt man auf diese Weise bis zum Ende der Bahn fort, erhält man einen Näherungswert für die Länge der Bahn. Mathematisch kann man das so ausdrücken:



In Worten bedeutet das ungefähr: Die Länge der Bahn ist näherungsweise gleich der Summe der Längen der linearisierten Teilabschnitte. Die Wahl der Teilabschnitte ist dabei dem Anwender überlassen. Es sollte einleuchten, dass das Ergebnis dabei um so genauer ist, je kürzer die einzelnen Teilabschnitte sind. Macht man die Teilabschnitte quasi unendlich klein, ist das Ergebnis exakt. Mathematisch sieht das dann so aus:



Mittels des Satz des Pythagoras kann man nun dl in den üblichen x- und y-Koordinaten ausdrücken:



Für das Integral ergibt sich daraus:



Nun wäre es günstig, wenn sich dy "irgendwie" durch dx ausdrücken liesse. Zu diesem Zweck lässt sich y als $f(x)$ betrachten:



Aus dem Grundsatz der Differentialrechnung folgt:



Aufgrund der obigen Definition $y = f(x)$ kann man statt $d(f(x))$ auch $dy$ schreiben:



Für das Integral ergibt sich damit:



$dx^2$ lässt sich nun ausklammern, und aus der Wurzel herausziehen:



Nun muss die konkrete Funktion $f'(x)$ bzw. $f(x)$ bestimmt werden. Physikalisch entspricht der Verlauf der Funktion $y = f(x)$ der Flughöhe des Geschosses. Diese Flughöhe lässt sich zeitabhängig aus der Startgeschwindigkeit in y-Richtung und dem Einfluss der Gravitation (entsprechend dem Weg-Zeit-Gesetz einer gleichmässig beschleunigten Bewegung) berechnen. Um das Ganze etwas allgemeiner als in der ursprünglichen Aufgabenstellung zu halten, sei dabei ein vom Koordinatensystem-Ursprung abweichender Startpunkt x₀, y₀ zulässig.



Da die Bewegung in x-Richtung gleichförmig ist (gemäss der ursprünglichen Aufgabenstellung bleibt die Luftreibung unberücksichtigt), gilt:



Dieser Ausdruck lässt sich nun für t in die obige Formel für y einsetzen:



Ausser bei x handelt es sich bei allen Werten, von denen y abhängt, um Konstanten. Da für das obige Integral die Ableitung dieser Funktion benötigt wird, ist es sinnvoll, zunächst die Potenzen von x zu separieren:



Zusammenfassen der Teilterme entsprechend den Potenzen von x ergibt:



Für das Integral wird die Ableitung dieser Funktion gebraucht (der konstante Teilterm links entfällt dabei ganz):



Dieser Ausdruck kann nun für $f'(x)$ in das Integral eingesetzt werden:



Das ist das in meinem vorhergehenden Beitrag erwähnte Integral der Grundform:



Integrale dieser Form sind grundsätzlich analytisch lösbar, der Aufwand dafür ist mir an dieser Stelle allerdings zu gross. Deshalb ermittle ich im Folgenden nur die numerische Lösung.

Für die Lösung des Integrals werden die Komponenten $v_{0x}$ und $v_{0y}$ der Startgeschwindigkeit gebraucht, die in der ursprünglichen Aufgabenstellung nicht gegeben ist. Gegeben sind der Startpunkt, der Startwinkel, und der Zielpunkt. @Tripane hatte die Berechnung der Startgeschwindigkeit bereits hier gezeigt, ich möchte dies jedoch hier nochmal direkt für die x- und y-Komponenten tun. Abweichend von der ursprünglichen Aufgabenstellung verwende ich dabei die Koordinaten x₀, y₀ für den Startpunkt, und x₁, y₁ für den Zielpunkt.

Allgemein gilt, dass der Tangens des Steigungswinkels einer Funktion an einem bestimmten Punkt gleich dem Wert der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ist:



Für den Startpunkt der Flugbahn ergibt sich auf Basis der oben gewonnenen Formel für y' damit:



Aufgelöst nach $v_{0y}$ ergibt sich:



Für den Zielpunkt der Flugbahn ergibt sich auf Basis der oben gewonnenen Formel für y damit:



Aufgelöst nach $v_{0x}$ ergibt sich (Zwischenschritte lasse ich aus Zeitgründen weg):



Mit den konkreten Werten für den Startpunkt x₀,y₀ = (0, 0), den Startwinkel α₀ = 26,81505° und den Zielpunkt x₁,y₁ = (200, 100) ergibt sich:



Auf Basis dieser Werte kann man nun das Integral, und damit die Länge der Flugbahn numerisch berechnen (aufgrund der Einschränkungen von Wolfram Alpha bei Variablennamen verwende ich v für $v_{0x}$ und w für $v_{0y}$):

∫ sqrt(1+((w/v+(g*x_0)/v^2)-x*g/v^2)^2) dx from x=0 to 200 where x_0=0, v=423.639253, w=214.135276, g=9.81

Als Resultat berechnet Wolfram Alpha:



Das Ergebnis ist leider relativ grob gerundet. Z.B. Maxima und Octave (von denen mir jedoch keine Online-Version bekannt ist, die man mit einem Skript als URL-Parameter aufrufen kann) berechnen auf Basis der gleichen Eingangswerte:



Diesen Wert kann man abschliessend noch mit der Länge der Verbindungsgeraden zwischen Start- und Zielpunkt vergleichen:



Die Flugbahn ist also bemerkenswerterweise nur um weniger als 1 mm länger als die Verbindungsgerade zwischen Start- und Zielpunkt.

uatu schrieb:Ich möchte zumindest mal den Grundansatz erläutern, wie man die Länge der Flugbahn berechnet.

:merle: @uatu

Eine SUPER-Beschreibung!
Bis ca. zur Hälfte konnte ich da noch gut folgen ... :)

uatu schrieb:Die Flugbahn ist also bemerkenswerterweise nur um weniger als 1 mm länger als die Verbindungsgerade zwischen Start- und Zielpunkt.

Das erscheint mir nicht nur bemerkenswert sondern fast unglaublich.

Habe mal mit meinen beschränkten Mathekenntnissen
die (als Gerade angenommene) Fluglinie
zw. Anfangspunkt (t = 0)
und dem Punkt nach t = 0,1 s
berechnet
und komme da schon auf eine knapp 6 cm (0,06m) längere Flugbahn im Vergleich zur direkten Verbindunglinie.

Bin immer noch am überlegen, wo da bei mir der Fehler liegt (?)

uatu schrieb:Die Flugbahn ist also bemerkenswerterweise nur um weniger als 1 mm länger als die Verbindungsgerade zwischen Start- und Zielpunkt.

Wenn der Abschusswinkel fast direkt auf das Zielobjekt gerichtet ist und dadurch die Gravitationsbeschleunigung praktisch vernachlaessigbar ist dies nicht weiter verwunderlich. Uebersetzt in den praktischen Alltag bedeutet dies nur dass man beim Anvisieren des Zielobjektes die Gravitationsbeschleunigung unter diesen Umstaenden vernachlaessigen kann.

Ein realistischere Aufgabenstellung ware wenn man die Austrittsgeschwindigkeit vorgibt (zumindest denke ich das ein Gewehr eine mehr oder weniger gleichbleibende Austrittsgeschwindigkeit der Kugel hat) und mann dann den korrekten Abschusswinkel berechnen muss.

Oder zum ueben: https://theraccoonshare.com/GORILLAS.BAS/

;-)

mojorisin schrieb:Oder zum ueben:

Hihi, ich mag solch simple Spiele 😁 THX

@delta.m:

delta.m schrieb:Habe mal mit meinen beschränkten Mathekenntnissen die (als Gerade angenommene) Fluglinie zw. Anfangspunkt (t = 0) und dem Punkt nach t = 0,1 s berechnet und komme da schon auf eine knapp 6 cm (0,06m) längere Flugbahn im Vergleich zur direkten Verbindunglinie.

Ich komme auf einen etwas anderen Wert, aber im Prinzip sind Deine Überlegungen bis dahin richtig. Es fehlt allerdings ein entscheidender Teil. ;)

Eine Flugdauer von 0,1 s entspricht einer x-Strecke von:



Der Steigungswinkel der Verbindungsgeraden zwischen Start- und Zielpunkt beträgt:



Nimmt man an, dass die Flugbahn mit dem Startwinkel der ursprünglichen Aufgabenstellung (α₀ = 26,81505°) und die Flugbahn auf der Verbindungsgeraden zwischen Start- und Zielpunkt ohne Schwerkrafteinfluss verlaufen, kann man die Bahnlängen nach 0,1 s bzw. der oben ermittelten entsprechenden x-Strecke einfach über den jeweiligen Startwinkel berechnen:




Nach dieser Rechnung beträgt der Unterschied der Bahnlängen nach 0,1 s bzw. der entsprechenden x-Strecke sogar ca. 10 cm. Tatsächlich ist auch die gekrümmte Bahn an dieser Stelle ca. 8 cm länger als die Bahn auf der Verbindungsgeraden:

∫ sqrt(1+((w/v+(g*x_0)/v^2)-x*g/v^2)^2) dx from x=0 to 42.3639253 where x_0=0, v=423.639253, w=214.135276, g=9.81



Nun zu dem fehlenden Teil: Die gekrümmte Bahn ist zwar an dieser Stelle länger als die Bahn auf der Verbindungsgeraden, der Bahnpunkt ist aber auch näher am Zielpunkt. Die x-Entfernung zum Zielpunkt ist bei beiden Bahnen gleich, aber die y-Entfernung ist bei der gekrümmten Bahn geringer. Der Längenunterschied der gekrümmten Bahn relativ zu der Bahn auf der Verbindungsgeraden nimmt ungefähr während der ersten Hälfte der Flugzeit zum Zielpunkt zu (es ist nicht genau die Häfte, weil der Bahnverlauf nichtlinear ist), und während der zweiten Häfte wieder ab. Beides gleicht sich ungefähr aus. Die Bahngeschwindigkeit auf der gekrümmten Bahn ist in der ersten Phase höher (was einer steileren Bahn entspricht), und in der zweiten Phase niedriger (was einer flacheren Bahn entspricht).

Hallo @uatu

Deinen letzten Beitrag zur Begründung, dass die Flugbahn

uatu schrieb am 27.06.2021:... bemerkenswerterweise nur um weniger als 1 mm länger als die Verbindungsgerade zwischen Start- und Zielpunkt

sein soll, habe ich leider nicht verstanden.

Ich habe hier nochmal eine Zeichnung angefertigt um sicher zu sein,
dass wir auch von der gleiche Voraussetzung ausgehen:



(nicht maßstabsgetreu)

S--->V = Verbindungsgerade Start ---> anvisierter Punkt

S--->Z = Verbindungsgerade Start ---> Zielpunkt

Die rote Verbindungslinie (zw. S und Z) ist die Flugbahn,
die nur um weniger als 1 mm länger sein soll als
die Verbindungsgerade zwischen Start- und Zielpunkt (S--->Z).

Habe ich das so richtig verstanden? @uatu

@delta.m
Verstehe ich das richtig, man muss V anvisieren, damit man bei Z landet?

skagerak schrieb:Verstehe ich das richtig, man muss V anvisieren, damit man bei Z landet?

Ja,
oder genauer: Der Lauf des Gewehres zielt auf den Punkt V.

(siehe auch Beitrag von Tripane (Seite 17))

delta.m schrieb:Ja,
oder genauer: Der Lauf des Gewehres zielt auf den Punkt V.

Oder so, ja. Ist das nicht "schlicht" Ballistik? Oder bin ich komplett auf´m falschen Dampfer?

skagerak schrieb:Ist das nicht "schlicht" Ballistik? Oder bin ich komplett auf´m falschen Dampfer?

Dein Dampfer ist o.k. ;)

Es geht mir nur kurz um folgendes:
@uatu hat berechnet,
dass die rote Fluglinie nur 1 mm länger ist als die grüne Verbindungslinie (S--->Z).

Meiner Meinung (Bauchgefühl :) ) müsste sie länger sein - bin aber zu "doof" um es selber nachzurechnen 🙈

delta.m schrieb:Es geht mir nur kurz um folgendes:
uatu hat berechnet,
dass die rote Fluglinie nur 1 mm länger ist als die grüne Verbindungslinie (S--->Z).

Achso. Keine Ahnung, aber das mit dem Meter zur blauen Linie passt doch, oder nicht?

Und Augenscheinlich würde ich auch schätzen dass das mit dem einen mm auch passen könnte.
(hab grad keine Zeit das nachzulesen, schaue grad Akte-X 😁, sorry)

Nachtrag: Dachte Dir ging es um die Blaue Linie.

skagerak schrieb:Oder so, ja. Ist das nicht "schlicht" Ballistik? Oder bin ich komplett auf´m falschen Dampfer?

Unsere Betrachtungen sind eher zu schlicht, um als Ballistik durchzugehen. Das ist eher "schiefer Wurf" und war mal Stoff der Oberstufen an Schulen. Ob das heute noch oder wieder so ist (wahrscheinlich bundeslandspezifisch), weiß ich nicht.
Die Berechnung der Bogenlänge dürfte allerdings nicht mehr zum Schulstoff gehören.
Wegen der Vernachlässigung der Luftreibung kann man das theoretisch noch recht gut behandeln. Bei echter "äußerer" Ballistik spielt der Luftwiderstand eine Rolle, damit die Geschoßform und noch anderes, wie z.B. auch die Corioliskraft. Gerade beim Luftwiderstand muß dann mehr gemessen und experimentiert werden, denn turbulente Strömungen entziehen sich weitgehend einer analytisch exakten Betrachtung. Sogar numerische Methoden dürften da bald an ihre Grenzen kommen, aber damit kenne ich mich jetzt zu wenig aus.

@delta.m: Deine Zeichnung, und die eingetragenen Werte sind korrekt. Es ist allerdings sehr wichtig, sich darüber im Klaren zu sein, dass die Zeichnung, wie Du geschrieben hast, nicht maßstabsgetreu ist.

Möglicherweise hilft folgende Betrachtung, den Längenunterschied < 1 mm plausibler erscheinen zu lassen. Es ist ziemlich einfach, die Fläche zwischen der Flugbahn und der Verbindungsgeraden zu berechnen. Diese Fläche entspricht dem Integral über die Differenz der beiden Kurven:



Die Funktion der Flugbahn y(x) entnehme ich meinem Beitrag vom 27. Juni, wobei ich vereinfachungshalber den Koordinatenursprung als Startpunkt verwende (x₀ = 0, y₀ = 0). Die Funktion der Verbindungsgeraden g(x) ergibt sich aus den Koordinaten des Zielpunkts.



Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt (aufgrund der Einschränkungen von Wolfram Alpha bei Variablennamen verwende ich v für $v_{0x}$ und w für $v_{0y}$):

x^2/2*(w/v) - x^3/3*(g/(2*v^2)) - x^2/2*(100/200) where x=200, v=423.639253, w=214.135276, g=9.81 $≈ \mathrm{36{,}4406\,m^2}$

Zum Vergleich kann man nun ein zu dieser Fläche flächengleiches gleichschenkliges Dreieck konstruieren, dessen Basisseite mit der Verbindungsgeraden übereinstimmt. Aufgrund der Flächengleichheit liegt das Dreieck nicht vollständig im Zwischenraum zwischen den beiden Kurven, sondern ragt teilweise über die Kurve der Flugbahn hinaus.

Allgemein gilt, dass konkave Kurven um so mehr Flächeninhalt im Verhältnis zum Umfang haben, je mehr Ecken sie haben (wobei ein Kreis unendlich vielen Ecken entspricht, also den grössten Flächeninhalt für einen gegebenen Umfang hat -- siehe das "Problem der Dido"). Ein Dreieck hat also tendenziell einen grösseren Umfang für einen gegebenen Flächeninhalt als eine gekrümmte Kurve. Das ist keine exakte Aussage, sollte aber für eine Abschätzung ausreichen.

Für ein gleichschenkliges Dreieck gilt (c = Länge der Basisseite, h = Höhe):



Aus der Höhe kann man die Länge der Schenkelseiten bestimmen (a = Länge einer Schenkelseite):



Zusammenfassen der Formeln und Einsetzen der Werte ergibt:



Die Länge der über die beiden Schenkelseiten angenäherten "Bahn" entspricht der Summe derer Längen:



Die beiden Schenkelseiten zusammen sind also (im Rahmen der hier verwendeten Rechengenauigkeit) um genau 1 mm länger als die Basisseite. Da, wie oben erläutert, ein Dreieck bei gleichem Flächeninhalt nahezu immer einen grösseren Umfang als eine (konkav) gekrümmte Kurve hat, spricht das dafür, dass die Flugbahn tatsächlich um weniger als 1 mm länger als die Verbindungsgerade ist.

Ergänzung zu meinem vorhergehenden Beitrag: Der Begriff "konkav" ist speziell im Hinblick auf Funktionen zu verstehen, nicht im Hinblick auf Figuren im Allgemeinen (wo die Bedeutung anders ist). Es geht bei bei der Einschränkung auf konkave Funktionen darum, "Zickzack"-Verläufe auszuschliessen, mit denen man bei gegebenem Flächeninhalt praktisch beliebig lange Umfänge erreichen kann.

@delta.m

delta.m schrieb am 28.06.2021:Bin immer noch am überlegen, wo da bei mir der Fehler liegt (?)

Die Frage ist ob du wirklich falsch gerechnet hast. Wieso denkst du dass dein Ergebnis falsch ist? Was hast du erwartet?