Die Summe aller natürlicher Zahlen ist -1/12

@james1983
Nichts desto trotz ist das verwendete Beispiel beidseitig begrenzt, so dass 1/(1-x) nur für ein Interval ]-1,1[ gilt. Da kannst du dran rütteln und schütteln wie du willst.

So ähnlich verhält es sich übrigens auch mit der Zeta Funktion:

S(x) = Summe(1/s^n) gilt so nur für x aus C mit R(x)>1 und man darf eben nicht einfach so -1 einsetzten.

Kannst dir mal das hier durchlesen besonders den Schlussteil:
http://scienceblogs.de/mathlog/2014/01/19/123456-112/

@ähhh
interessant vor allem interessant wenn man den Kommentaren zu den weiteren links folgt.

es ist eindeutig nicht traditionel dieser summe diesen wert zuzuweisen

aber scheinbar ist es hilfreich.

möglich dass hier nur Meilensteine für eine Sackgasse in der quantentheorie gelegt werden vielleicht aber auch die Fundamentsteine für einen neuen Horizont

@james1983
Ich sage ja nicht, dass das Ergebnis -1/12 keine Verwendung hat. Es nun mal so, dass man da mit nicht erlaubten Mitteln einen Beweis führt.

Ein Beispiel:
16/64 =1/4
Jetzt könnte jemand behaupten 16/64... man streicht die 6 und bekommt 1/4. Man kommt zwar zu einem richtigen Ergebnis, aber auf einem falschen(mathematisch nicht erlaubten) Weg. Viele Rechnungen in der Physik führen zwar zu richtigen Ergebnisen, verwendung aber eine extrem abartige Mathematik.

@ähhh
ja ich hab mich auch in den artikel und vor allem die kommentare und weiterführenden links vertieft. sehr interessant

auch von der menschlichen Seite und ich muss mit einem schmunzeln feststellen dass manche der Herren Mathematiker nicht Minder einen an der Waffel haben als manche Allmy vorzeige Vögel ;P

vor allem der Blogeintrag von diesem burschen

http://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1

der sich liest wie ein klassischer enyclopedia dramatica eintrag lol

Wenn
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... = -1/12
ist, dann muss
2S = 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...) = -1/6
sein.

Wenn man aber 2S weiter auflöst kommt man zu einem interessanten Ergebnis:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
+ _ _ _ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/6
1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + ... = -1/6
1 + 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...) = -1/6
1 + 2 * (-1/12) = -1/6
5/6 = -1/6

Wenn man noch 1/6 addiert erhält man 1=0.

Wenn die es schaffen, mir auch noch zu erklären, dass 1=0 ist, glaube ich auch ihre Theorie zur -1/12.

PS: Die Rechnung stammt aus einem Kommentar aus dem YouTube-Video.

@John1593

Du darfst diese Umformungen nicht machen :) Die Gründe dafür sind recht komplex und gehen recht tief in die Gruppentheorie rein. Insbesondere ist zu klären, was + _ _ _ bedeutet, und was das für eine Operation ist. Es stellt sich nämlich dann heraus, dass die 0 nicht das neutrale Additionselement ist.

Bei den ganzen Zahlen gibt es z.B. ein solches Element, nämlich die 0, für die selbstverständlich gilt n+0 = 0+n = n. Die Objekte mit denen hier allerdings gehandhabt wird sind komplizierter und man muss die Gruppe schon genau untersuchen. Wahllos +0 einfügen ist jedenfalls nicht erlaubt, das würde aus der Äquivalenzklasse herausführen.

In der Regel muss man die einzelnen Summanden voneinander isolieren (um nachzuvollziehen, welcher Term mit welchem addiert wird), und das geschieht häufig, indem man die natürlichen Zahlen auf komplexwertige Funktionen abbildet. Nun sind Räume, in den Funktionen Vektoren sind natürlich nicht gerade anschaulich, aber gerade in der Physik sind solche Assoziationen häufig legitim. Die auftretenden Ausdrücke werden dabei einfach anders "interpretiert". Genauso wie du z.B. in einer Differentialgleichung auftretenden Unendlichkeiten zu einem Funktional umdeuten kannst, und über diesen Umweg dann zu neuen Aussagen kommst. Das ist keine Magie, sondern einfach nur tiefe Mathematik ;)

Man sollte hier wirklich im Hinterkopf behalten, dass die in dem Numberphile-Video gezeigte "Erklärung" keine mathematisch saubere Herleitung ist (das würde auch niemand verstehen). Stattdessen werden aus den Reihen relativ komplexe Objekte konstruiert, die bestimmte Eigenschaften aufweisen. Die Zuordnung zu 1+2+3... ist aber genauso willkürlich wie Grenzwerte.

@james1983

Man könnte den Thread in Kategorie "überzeugt gelebte Denkfehler" verschieben, aber leider gibt es die Kategorie nicht.

Brady hat ein Folgevideo gemacht :) Jetzt dürft ihr euch wieder die Köpfe über Regularisierungen einhauen ;)

Why -1/12 is a gold nugget

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Bin gestern über die Numperphile Videos gestoßen und fühle mich jetzt dazu verpflichtet meinen Senf hier dazuzugben. War natürlich gestern total aus den Socken da ich ja wie jeder Mensch (oder was auch immer) erstmal "direkt und frontal" darüber nachdenke.

Also so typisch: 1+2+3+4+...=∞
Dann lerne ich hier aber 1+2+3+4+...=-1/12

Nachdem ich mir einige mehr Videos angeschaut habe, mir die wirklich fiesen und Formelgefüllten Wikipedia Artikel angeschaut habe und nachdachte kam ich zu einem anderem Schluss, denn hier wir der Kontext zu oft schlichtweg ignoriert.
Der Denkfehler hier liegt in dem Zeichen = denn:
1+2+3+4+...≠∞ da wir ja ∞ immer nur näher kommen, aber selbst dann irgendwie nie dort ankommen
1+2+3+4+...≠-1/12 da, nun mal ehrlich, die Summe von positiven Zahlen nicht Negativ sein kann, und bei ganzzahligen Zahlen schon gar kein Bruch.

Ich habe weder die richtigen Zeichen noch Worte, aber ich versuche es mal trotzdem irgendwie auszudrücken, mit einem komischen, vielleicht nicht ganz richtigen aber hoffentlich hilfreichem Vergleich.
1=1
1+1=2
1≠2
Apfel=Apfel
Apfel≠Birne
Aber wenn mir Äpfel und Birnen einerlei sind kann ich für mich selber vielleicht sagen:
Apfel "=" Birne
Ich sehe also die Bedeutung hier, nicht die Werte oder Moleküle oder ähnliches, es ist beides Nahrung. Ich betrachte es von einem anderen Kontext.

In dem Sinne:
1+2+3+4+...≠∞
Aber!:
1+2+3+4+...=Grenzwert ∞ (Ich hoffe ihr wißt was gemeint ist, wurde auf der ersten Seite erwähnt).

1+2+3+4+...≠-1/12
Aber!:
1+2+3+4+...=Ramanujan Summe -1/12 (Das wurde übrigens auch auf der ersten Seite erwähnt)

Und hier noch in paar Überlegungen damit wirklich klar wird was gemeint wird:

1-1+1-1+...≠(1∨0)∨(1∧0) [Also weder 1 noch 0 noch beides]
Denn wir oszillieren hier ewig hin und her, da gibt es nicht plötzlich 1 oder 0 in festen Zahlen
Und!:
1-1+1-1+...≠1/2
Denn abseits des Faktes das wir nicht plötzlich stoppen können kommt in dieser Folge nie 1/2 vor
Aber!:
1-1+1-1+...=Grenzwert 1/2
Und!:
1-1+1-1+...=Ramanujan Summe 1/2

Und für 1-2+3-4+... oszillieren die Zwischenergebnisse zwischen allen ganzzahligen Integer Zahlen (1,-1,2,-2,3,-3,...), also:
1-2+3-4+...=Grenzwert 0
Aber!:
1-2+3-4+...=Ramanujan Summe 1/4

Der Kontext macht also einen großen Unterschied und ich denke viele hier haben nicht genug darüber nachgdacht. Das Video oben hat erheblich zu diesen Ideen beigetragen, denn in unserem Standard Kontext ist die Wurzel von -1 eben so nicht existent wie die Lösung von 1+2+3+4+...

Weitere Ideen und Kommentare, Korrekturen (da ist sicher nicht alles richtig in meinem Beitrag) etc. dazu?

kann mir das einer in einfach erklären warum es insgesamt minus sein soll? :)

@XorUnison

Es geht ja nicht um den Grenzwert sondern wohin hin die Cesaro Summe konvergiert. Du vergleichst hier in der Tat Aepfeln mit Birnen :)

@kiefer

Das geht eben aus der Definition der besagten Cesaro Summe hervor, da gibts keine intuitive Erklaerung fuer. Lustigerweise wird das irgendwo in der Physik verwendet und dieser Wert soll anscheinend schon gemessen worden sein. (Wobei natuerlich immer sein kann dass das Experiment Mist ist und nur sich selbst misst)

@McNeal

Schon, aber X=Y heißt nicht automatisch das wir von Cesaro Summen ausgehen, oder?
Also 1+1=2 Heißt für mich nicht das 2 die Cesaro Summe von 1+1 ist. Es mag ja sein das einige wissen was gemeint ist, aber einfach nur X=Y zu schreiben verwirrt effizient alle die es nicht wissen, das ist das Problem, und das erzeugt viel unnötige Diskussion die sich im Kreise dreht. Und ich kann nunmal halt sowohl den Grenzwert als auch die Cesaro Summe betrachten, und manche scheinen der Meinung zu sein nur eines von beiden sei richtig was so nicht stimmt.

@XorUnison

Du kannst bei einem Youtube Video nicht davon ausgehen, dass es formal korrekte Beweise liefert. Das soll ja schliesslich unterhaltsam bleiben und moeglichst vielen Leuten ne Idee geben, was gemeint ist. Wenn du dann mit trockenen Definition ankommst interessiert das niemanden mehr.

Es liegt daran, dass Unendlich keine Zahl ist, man also auch nicht damit rechnen darf wie mit einer Zahl. Wenn man es doch tut, sind die korrekten Ergebnisse andere, als man denkt.

@McNeal

Naja, stimmt auch wieder. Aber 1+2+3+4+...=-1/12 klingt auch irgendwie so ein bisschen extra sensationel, vermutlich eben um Leute zu interessieren und anzuziehen. Man könnte zumindest mal für 10 Sekunden kurz darauf hinweisen dass das so nur begrenzt und eben nicht unbegrenzt richtig ist, das würde dem Unterhaltungswert ja nicht schaden.