Mathematische Frage- und Problemstellungen (Sammelthread)

Habe mit der Suchfunktion keinen passendes Thema gefunden, daher eröffne ich dieses Thema, welches weniger der Diskussion über die Mathematik dienen soll, sondern der Klärung und Diskussion von Frage- und Problemstellungen innerhalb der Mathematik, wie sie etwa an Schule, Berufsschule oder Uni gelehrt wird.

Philosophische Fragestellungen, bspw. ob es eine Art "alternative" Mathematik gibt, ob Mathematik "erfunden" oder "entdeckt" wurde o.ä., sind ggf. an anderer Stelle zu diskutieren. Und auch Fragen oder Diskussionen zur Geschichte der Mathematik wären ein eigenes Thema wert.

Zu beachten wäre vielleicht noch, dass Allmystery kein Nachhilfe-Forum ist, so dass entsprechende Fragen hier in diesem Thread allenfalls geduldet sind, sofern sie dem "höheren Sinn und Zweck" dienen, den Ausführungen im Rahmen einer anderen Diskussion besser folgen zu können. Wenn euch also anderswo und bspw. in einer Diskussion zur Relativitätstheorie mal wieder permanent irgendwelche mathematischen Fachbegriffe wie "Tensor", "Skalar", "irgendwas mit Differentialgleichungen" oder "irgendwas mit Metrik (häh, wtf?)" usw. um die Ohren fliegen, dürfen Fragen dazu natürlich gerne hier gestellt werden.

In diesem Sammelthread geht es also vor allem darum, hier einen Raum zu bieten für mathematischen Frage- und Problemstellungen, die in anderen Threads vielleicht irgendwie aufgekommen sind, deren ausführlichere Diskussion dort aber einfach etwas fehl am Platz bzw. "offtopic" wäre.

Erwähnenswert wäre außerdem vielleicht noch, dass Allmystery die Darstellung mathematischer Formeln mit Hilfe von \LaTeX unterstützt. Einige elementare Beispiele finden sich etwa hier:
Allmystery-Wiki: Mathematische Formeln mit LaTeX

PS: Solltet ihr LaTeX nutzen, denkt daran, dass es aktuell nicht so ohne Weiteres möglich ist, LaTeX-Code zu zitieren. Es gibt da aber einen kleinen Trick: Wenn ihr euren Beitrag nachträglich noch einmal bearbeitet, können andere User auf das Icon oben rechts im Beitrag neben dem Datum und mit dem Tooltip "Beitrag wurde bearbeitet" klicken, um dort dann direkt den LaTeX-Code zu zitieren.

(Fortsetzung von hier)

nocheinPoet schrieb:Ich kenne da so einen Streithansl und "Flacherdler", der an der SRT und der RdG ganz erbärmlich scheitert und sich selbst bei einfachen Analogien uneinsichtig zeigte und weiter gegen Fakten an stritt. Ging um ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Fläche, man kann hier dieses ja von oben und unten betrachten, also die x-Achse eben nach rechts oder auch links legen.

Kein Einsehen, dass wären zwei verschiedene und nicht gleiche Dreiecke.

Tja, ich fürchte, da hatte er zumindest nicht komplett unrecht.

Kurze Version: Man kann sehr wohl argumentieren, dass es immer noch das gleiche Dreieck ist, geändert hat sich lediglich die Perspektive. Stell dir vor, du nimmst ein Buch aus dem Regal, welches mehr oder weniger horizontal dort stand, und legst es anschließend auf den Tisch. Trotz Verschiebung und Drehung ist es immer noch dasselbe Buch, sind ja jetzt nicht plötzlich verschiedene Bücher, völlig egal, wie du das drehst und wendest oder das Koordinatensystem legst.

Lange Version: Es hängt mal wieder vom Kontext ab. Und natürlich von zahlreichen Definitionen. Und in der Regel hat ein Dreieck neben der Position auch so etwas wie eine Orientierung, welche durch die Reihenfolge seiner Eckpunkte definiert wird, bspw. im Uhrzeigersinn (positive Orientierung) oder gegen den Uhrzeigersinn (negative Orientierung).

Kleiner Exkurs: Die Orientierung spielt bspw. eine Rolle in der Computergrafik, wo 3D-Modelle aus einer Vielzahl von Dreiecke (Triangles) zusammengesetzt sind. Jedes Dreieck hat eine Vorder- und Rückseite, die wiederum durch die Reihenfolge der Eckpunkte definiert wird - entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn. Der Normalenvektor eines Dreiecks, der aus den Eckpunkten berechnet wird, zeigt dabei von der Vorderseite weg. Um die Renderleistung zu optimieren, wird bspw. Backface Culling angewendet: Nur die Vorderseite eines Dreiecks wird gezeichnet, während die Rückseite ignoriert wird, da sie normalerweise für den Betrachter unsichtbar ist. Die Orientierung der Dreiecke beeinflusst außerdem die Berechnung der Beleuchtung, da der Normalenvektor für die Lichtberechnung genutzt wird.

Vielleicht hilft es auch, einfach ein paar Begrifflichkeiten zu klären und zu rekapitulieren (eigentlich Basics, war mal Schulstoff):
SpoilerÄhnlichkeit: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie durch Skalierung ineinander überführt werden können, also quasi die gleiche Form haben (Winkel gleich, Seitenverhältnisse konstant).

Kongruenz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind bzw. durch Verschiebung (Translation), Drehung (Rotation) oder Spiegelung ineinander überführt werden können, also quasi gleiche Form und gleiche Größe haben (unabhängig von Position und Orientierung).

Identität: Zwei Dreiecke sind identisch, wenn sie nicht nur kongruent sind, sondern auch in Position und Orientierung übereinstimmen, also gleiche Form, gleiche Größe, gleiche Position und Orientierung.

Bemerkung 1: Die Begriffe "verschieden" oder "gleich" wären ggf. noch zu klären, ist aber eigentlich redundant.

Bemerkung 2: Schöner ist eine Definition im Rahmen der linearen Algebra, wo Transformationen wie Translation, Rotation, Spiegelung etc. über lineare Abbildungen erklärt werden können. Dort sind dann Dreiecke ähnlich, kongruent oder identisch, wenn entsprechende Eigenschaften wie Form, Größe, Position und Orientierung invariant unter bestimmten Transformationen sind.

Bemerkung 3: Tatsächlich sind eigentlich nur Ähnlichkeit und Kongruenz für Dreiecke erklärt, die Identität von Dreiecken habe ich mir an dieser Stelle mal aus den Fingern gezogen, macht in Rahmen der linearen Algebra aber durchaus Sinn, da sämtliche Eigenschaften (Form, Größe, Position, Orientierung) nur invariant unter der sog. identischen Abbildung sind.
Ohne klare Definitionen kann man natürlich stundenlang diskutieren. Was aber leider immer noch fehlt, ist bspw. die Definition des Dreiecks oder der sog. Orientierung sowie natürlich der Kontext (Elementargeometrie, Vektorgeometrie, Differentialgeometrie, Topologie...). In der klassischen Elementargeometrie werden geometrische Figuren bspw. durch grundlegende Objekte wie Punkte und Geraden beschrieben. Hier hat ein Dreieck auch keine Orientierung - es ist rein durch Punkte und Geraden definiert, also als eine Fläche, die von drei nicht-kollinearen Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, gebildet wird.
Anders sieht es in der Vektorgeometrie aus. Die Vektorgeometrie nutzt Vektoren, die in einem sog. Vektorraum definiert sind, um geometrische Objekte zu beschreiben. Dort lässt sich dann auch in sinnvollerweise eine Orientierung erklären, insbesondere über den sog. Normalenvektor bzw. dessen Richtung oder Vorzeichen:

Die Orientierung wird also letztendlich durch die Reihenfolge der Punkte A, B, C des Dreiecks festgelegt. Was jetzt noch genauer zu spezifizieren wäre, ist der (Vektor-)Raum. Damit kann man dann auch das Dreieck bzw. die Punkte A, B, C konkret angeben. Rechtwinklig, sagtest du? Gut, nehmen wir A = (0,0), B = (4,0) und C = (0,3). Die Punkte sind entgegen dem Uhrzeigersinn angegeben, die Orientierung also positiv. Ich denke, damit haben wir wohl alles. Nun sagst du:

nocheinPoet schrieb:Ging um ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Fläche, man kann hier dieses ja von oben und unten betrachten, also die x-Achse eben nach rechts oder auch links legen.

Das "von oben und unten betrachten" wäre mathematisch präzise zu definieren, um Schlüsse ziehen zu können. Aber der zweite Teilsatz reicht mir. Das Legen der x-Achse von links nach rechts entspricht im Prinzip einer klassischen Basistransformation in Vektorräumen. Kann man alles durchrechnen, aber auch so ist vielleicht klar, dass sich dadurch die Orientierung des Dreiecks ändert (vor allem, da nun der Begriff "Uhrzeigersinn" eine andere Bedeutung bekommt, d.h. aus "entgegen dem Uhrzeigersinn" wird nun "mit dem Uhrzeigersinn"). Der Rest ist Anwenden von Definitionen: Geometrisch ist es immer noch das "gleiche" Dreieck, d.h. es ist ähnlich und kongruent zum ursprünglichen Dreieck vor der Basistransformation (bzw. dem Perspektivenwechsel), aber es ist nicht mehr identisch im Sinne der obigen Definition, da sich die Orientierung geändert hat.

Alles steht und fällt also letztendlich mit Definitionen, Axiomen und dem Kontext. Auch in sog. topologischen Räumen lassen sich zwar bspw. Dreiecke erklären, gibt es aber keine Orientierung (nicht einmal Winkel oder Seitenlängen, jedenfalls nicht notwendigerweise). Und in diesem konkreten Fall könnte man vor allem die Definition von "identisch" anfechten, der Rest ist eigentlich "Standardmathematik" (Elementargeometrie und Vektoralgebra). Mir gefällt eigentlich die obige Definition von "identisch", aber sie widerspricht bspw. unserem intuitiven Verständnis von diesem Begriff - das Beispiel mit dem Buch brachte ich ja schon.

Moin,

mir zu früh zum bunten Zitieren, möge mir vergeben werden.

Glaub gelesen zu haben, dass Du in der Liste bei Punkt 4. zur Identität schön, ich meinte schon, geschrieben hast, dass das mehr so Deine Definition ist.

Ich will Dir hier mal wo widersprechen, hab auch damals länger drüber nachgedacht, schauen wir mal.

Also, der Ort und die Orientierung eines Objektes im "Raum" konkreter in einem Bezugssystem, noch konkreter, in einem Koordinatensystem ist beliebig und frei und die sich daraus ergebenen Koordinaten sind keine intrinsische Eigenschaft des Objektes selber.

Daraus ergibt sich auch, dass Geschwindigkeit relativ ist, aber eben auch schon der Ort selber.

Nehmen wir mal einen Kreis, fröhlich in schwarz, Du kannst dazu nun ein Koordinatensystem definieren und der liegt so zentriert im Ursprung und sagen wir mal Radius ist 1 Einheit. Schneidet also x bei −1 und +1 und ebenso auch die y-Achse.

Drehe mal den Kreis und sage mir, ob er ein anderer wird, was sich verändert. Du kannst den Kreis sogar nehmen und um 180 im Raum auf der z-Achse rotieren, bleibt derselbe Kreis und schwarz. Man kann sich ja nun streiten, aus wie viel Dimensionen man diesen Kreis betrachtet, normal aber in Draufsicht, und impliziert so eine z-Achse.

Beim Kreis ist es noch einfach, will ich mal meinen, nehmen wir nun ein rechtwinkliges Dreieck, es wird durch die Winkel seiner drei Ecken definiert. Wenn man nun das Koordinatensystem ändern, ändert sich nicht die Identität des Dreieckes, man kann ja unterschiedliche Koordinatensystem oder auch Bezugssysteme definieren, ein und dasselbe Dreieck hat in unterschiedlichen System unterschiedliche Koordinaten.

Natürlich kann man so auch ein dreidimensionales Koordinatensystem definieren, hier muss man eben aufpassen, mit dem "Beobachter" der oft Probleme macht. Denn nur durch diesen fiktiven Beobachter hat ein solches dreidimensionale Koordinatensystem eine Ausrichtung und Du kannst sagen, ja die y-Achse zeigt nach oben und die x-Achse läuft eben von links nach rechts.

Geht nur, weil Du Dir als Beobachter ein weiteres Beobachtersystem gemacht hast und in Bezug nun zu diesem das andere System bewertest von der Ausrichtung seiner Achsen.

Mathematisch und ohne Dich als Beobachter mit Deinem System haben wir nur ein dreidimensionales Koordinatensystem.

Somit nun zum rechtwinkligen Dreieck, definieren wir ein Koordinatensystem eben so, dass die eine Kathete genau auf der y-Achse und die andere auf der x- Achse liegt, die Hypotenuse ergibt sich, nehmen wir mal die Längen 3, 4 und 5 Einheiten.

Damit haben wir mathematisch ein bestimmtes Dreieck definiert, auch wenn - ich - nun sage, betrachten wir das mal von "hinten" oder schauen wir auf die "Rückseite", dann ist es spiegelverkehrt, bleibt es ein und dasselbe Dreieck.

Nur weil Du das eine Dreieck in unterschiedlichen System unterschiedlich betrachtest, wird es kein anderes Dreieck, die Identität bleibt gleich, es ist nur ein Dreieck, Du kannst aber beliebig viele "Betrachtungen" davon haben.

Wie gesagt, habe schon etwas drüber gegrübelt, mich ja über Tage mit der Flachpfeife gestritten, und ja, nach all den Beleidigungen, die der Kerl erbrochen hat, ist das so legitim und nein, es war nicht hier im Forum.

nocheinPoet schrieb am 21.01.2025:Also, der Ort und die Orientierung eines Objektes im "Raum" konkreter in einem Bezugssystem, noch konkreter, in einem Koordinatensystem ist beliebig und frei und die sich daraus ergebenen Koordinaten sind keine intrinsische Eigenschaft des Objektes selber.

Korrekt, tatsächlich gibt es für Mannigfaltigkeiten eine intrinsische und eine extrinsische Geometrie. Berühmtes Beispiel ist die Krümmung, die sich quasi auch aus der inneren Geometrie ableiten lässt, ohne einen äußeren Raum vorauszusetzen. Lage oder Position setzt hingegen einen Bezugspunkt bzw. einen umgebenden Raum voraus. Bei der Orientierung bin ich mir aber gerade nicht sicher, es gibt zumindest auch noch die Orientierbarkeit (typisches Beispiel für eine nicht-orientierbare Fläche wäre das Möbiusband oder die Klein'sche Flasche).

nocheinPoet schrieb am 21.01.2025:Nehmen wir mal einen Kreis, fröhlich in schwarz, Du kannst dazu nun ein Koordinatensystem definieren und der liegt so zentriert im Ursprung und sagen wir mal Radius ist 1 Einheit. Schneidet also x bei −1 und +1 und ebenso auch die y-Achse.

Drehe mal den Kreis und sage mir, ob er ein anderer wird, was sich verändert. Du kannst den Kreis sogar nehmen und um 180 im Raum auf der z-Achse rotieren, bleibt derselbe Kreis und schwarz. Man kann sich ja nun streiten, aus wie viel Dimensionen man diesen Kreis betrachtet, normal aber in Draufsicht, und impliziert so eine z-Achse.

In der Mathematik arbeitet man, wie gesagt, vor allem auf Basis von Definitionen - was da bspw. ein schwarzer Kreis sein soll... keine Ahnung. Aber ob es noch der gleiche Kreis ist, hängt halt von der Definition und dem Kontext ab. Ein parametrisierter Kreis kann unter Spiegelung natürlich auch seine Orientierung ändern. Wenn der Normalenvektor in Richtung positive z-Achse zeigt, wird er nach Spiegelung des Kreises an der x- oder y-Achse nach unten zeigen. Aber ja, solange wir hier über eine Menge von Punkten sprechen, die von einem gegebenen Punkt den gleichen Abstand besitzen, ist es immer noch der gleiche Kreis.

nocheinPoet schrieb am 21.01.2025:Nur weil Du das eine Dreieck in unterschiedlichen System unterschiedlich betrachtest, wird es kein anderes Dreieck, die Identität bleibt gleich, es ist nur ein Dreieck, Du kannst aber beliebig viele "Betrachtungen" davon haben.

Hängt, wie gesagt, von der Definition ab. Aber zumindest unsere Anschauung sagt uns, dass Identität invariant ist unter Translation und Rotation, nicht aber unter Spiegelung oder Skalierung (denke etwa an mein Beispiel mit dem Buch).

nocheinPoet schrieb am 21.01.2025:Beim Kreis ist es noch einfach, will ich mal meinen, nehmen wir nun ein rechtwinkliges Dreieck, es wird durch die Winkel seiner drei Ecken definiert. Wenn man nun das Koordinatensystem ändern, ändert sich nicht die Identität des Dreieckes, man kann ja unterschiedliche Koordinatensystem oder auch Bezugssysteme definieren, ein und dasselbe Dreieck hat in unterschiedlichen System unterschiedliche Koordinaten.

Natürlich kann man so auch ein dreidimensionales Koordinatensystem definieren, hier muss man eben aufpassen, mit dem "Beobachter" der oft Probleme macht. Denn nur durch diesen fiktiven Beobachter hat ein solches dreidimensionale Koordinatensystem eine Ausrichtung und Du kannst sagen, ja die y-Achse zeigt nach oben und die x-Achse läuft eben von links nach rechts.

Naja, einen "Beobachter" gibt es in der Mathematik eh nicht, auch kein Bezugssystem. Aber in der Regel braucht man schon ein Koordinatensystem, einen Referenzpunkt, um überhaupt in sinnvoller Weise über diverse Eigenschaften von geometrischen Objekten sowie deren Transformationen sprechen zu können. Ohne Koordinatensystem machen gängige Transformationen wie Rotation, Translation, Spiegelung etc. halt einfach keinen Sinn. Unbedingt notwendig sind sie aber nicht, siehe etwa topologische Räume, die ohne Winkel-, Längen- oder Abstandsbegriff auskommen.

nocheinPoet schrieb am 21.01.2025:Mathematisch und ohne Dich als Beobachter mit Deinem System haben wir nur ein dreidimensionales Koordinatensystem.

Beobachter hin oder her, kennt die Mathematik eh nicht, aber um über Koordinatensysteme selbst und bspw. deren Transformationen sprechen zu können, brauchst du natürlich auch wieder einen übergeordneten Rahmen, einen Kontext. Führt an dieser Stelle zwar zu weit, aber Koordinatentransformationen (bspw. Lorentz-Transformationen) helfen letztendlich auch, physikalische Gesetze unabhängig von der Perspektive zu formulieren. Die philosophische Essenz hierbei ist: Die Naturgesetze sollen nicht von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, sondern universell gelten.

nocheinPoet schrieb am 21.01.2025:Somit nun zum rechtwinkligen Dreieck, definieren wir ein Koordinatensystem eben so, dass die eine Kathete genau auf der y-Achse und die andere auf der x- Achse liegt, die Hypotenuse ergibt sich, nehmen wir mal die Längen 3, 4 und 5 Einheiten.

Damit haben wir mathematisch ein bestimmtes Dreieck definiert, auch wenn - ich - nun sage, betrachten wir das mal von "hinten" oder schauen wir auf die "Rückseite", dann ist es spiegelverkehrt, bleibt es ein und dasselbe Dreieck.

Nur weil Du das eine Dreieck in unterschiedlichen System unterschiedlich betrachtest, wird es kein anderes Dreieck, die Identität bleibt gleich, es ist nur ein Dreieck, Du kannst aber beliebig viele "Betrachtungen" davon haben.

Klingt für mich nach einer klassischen Koordinatentransformation, die ändert am geometrischen Objekt selbst natürlich nichts. Ist halt so, als würde man den Mond einmal von der Vorderseite und einmal von der Rückseite betrachten.

@Noumenon

Ohne ein Buch zu schreiben, würde ich Dich mal so verstehen, dass Du mir zustimmst. Und mal was zur "Spiegelung", biegen wir aus Draht ein R und machen mal eine Seite etwas länger, so dass wir das einfach in die Wiese stecken können, schau es Dir an, von "vorne" siehst Du ein R ganz normal, Du kannst aber herumlaufen und von der "Rückseite" siehst Du das R dann "spiegelverkehrt" und es ist nicht nur das "gleiche" R sondern dasselbe, es ist einfach ein Objekt und Du bist es, der da durch die Betrachtung eben zwei Perspektiven und Ansichten von diesem Objekt bekommt.

Schau, in dem "Streit" damals ging es einfach auch darum, dass der "Disputant" einfach nicht geistig flexibel war und borniert uneinsichtig, wider jede Vernunft, es geht hier ja nur um diese eine mögliche Lösung, und hier ist meine Aussage so weit eben richtig.

Klar kann man da auch andere "Lösungen" zaubern, aber meine Aussage in dem Fall wird dadurch ja nie falsch.

In der Mathematik haben wir - wie Du richtig schreibst - keinen Beobachter, der auf ein/das Koordinatensystem "blickt" und sagt, ja also unsere x-Achse muss eben von links nach rechts laufen. Wir haben da gar kein links und rechts.

Es gibt keinen Blick auf das Koordinatensystem in diesem Sinne, wir können also das rechtwinklige Dreieck zeichnen oder definieren und es ist beliebig, ob die x-Achse nun von links nach rechts oder von rechts nach links läuft, ohne Beobachter oder einen übergeordneten Raum haben wir gar keine "Ausrichtung" für das Dreieck.

So was gilt nun auch für das "R" ein spiegelverkehrt gibt es nicht, wenn Du das nur in der einfachen Ebene hast. Ja, ist nicht präzise genug, wir können schon ein R in der Ebene einmal in jene und einmal in die andere "Richtung" darstellen, wir können ja auch zwei zeigen, die auf einer Ebene eben dann gespiegelt sind.

Haben wir eben zwei "Objekte", ist aber nicht der Punkt.

Egal, habe nicht so viel Raum zurzeit, ich will mal hoffen, Du hast das was ich meine aber dann doch schon verstehen können.