Mathematische Frage- und Problemstellungen (Sammelthread)

Habe mit der Suchfunktion keinen passendes Thema gefunden, daher eröffne ich dieses Thema, welches weniger der Diskussion über die Mathematik dienen soll, sondern der Klärung und Diskussion von Frage- und Problemstellungen innerhalb der Mathematik, wie sie etwa an Schule, Berufsschule oder Uni gelehrt wird.

Philosophische Fragestellungen, bspw. ob es eine Art "alternative" Mathematik gibt, ob Mathematik "erfunden" oder "entdeckt" wurde o.ä., sind ggf. an anderer Stelle zu diskutieren. Und auch Fragen oder Diskussionen zur Geschichte der Mathematik wären ein eigenes Thema wert.

Zu beachten wäre vielleicht noch, dass Allmystery kein Nachhilfe-Forum ist, so dass entsprechende Fragen hier in diesem Thread allenfalls geduldet sind, sofern sie dem "höheren Sinn und Zweck" dienen, den Ausführungen im Rahmen einer anderen Diskussion besser folgen zu können. Wenn euch also anderswo und bspw. in einer Diskussion zur Relativitätstheorie mal wieder permanent irgendwelche mathematischen Fachbegriffe wie "Tensor", "Skalar", "irgendwas mit Differentialgleichungen" oder "irgendwas mit Metrik (häh, wtf?)" usw. um die Ohren fliegen, dürfen Fragen dazu natürlich gerne hier gestellt werden.

In diesem Sammelthread geht es also vor allem darum, hier einen Raum zu bieten für mathematischen Frage- und Problemstellungen, die in anderen Threads vielleicht irgendwie aufgekommen sind, deren ausführlichere Diskussion dort aber einfach etwas fehl am Platz bzw. "offtopic" wäre.

Erwähnenswert wäre außerdem vielleicht noch, dass Allmystery die Darstellung mathematischer Formeln mit Hilfe von \LaTeX unterstützt. Einige elementare Beispiele finden sich etwa hier:
Allmystery-Wiki: Mathematische Formeln mit LaTeX

PS: Solltet ihr LaTeX nutzen, denkt daran, dass es aktuell nicht so ohne Weiteres möglich ist, LaTeX-Code zu zitieren. Es gibt da aber einen kleinen Trick: Wenn ihr euren Beitrag nachträglich noch einmal bearbeitet, können andere User auf das Icon oben rechts im Beitrag neben dem Datum und mit dem Tooltip "Beitrag wurde bearbeitet" klicken, um dort dann direkt den LaTeX-Code zu zitieren.

(Fortsetzung von hier)

nocheinPoet schrieb:Ich kenne da so einen Streithansl und "Flacherdler", der an der SRT und der RdG ganz erbärmlich scheitert und sich selbst bei einfachen Analogien uneinsichtig zeigte und weiter gegen Fakten an stritt. Ging um ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Fläche, man kann hier dieses ja von oben und unten betrachten, also die x-Achse eben nach rechts oder auch links legen.

Kein Einsehen, dass wären zwei verschiedene und nicht gleiche Dreiecke.

Tja, ich fürchte, da hatte er zumindest nicht komplett unrecht.

Kurze Version: Man kann sehr wohl argumentieren, dass es immer noch das gleiche Dreieck ist, geändert hat sich lediglich die Perspektive. Stell dir vor, du nimmst ein Buch aus dem Regal, welches mehr oder weniger horizontal dort stand, und legst es anschließend auf den Tisch. Trotz Verschiebung und Drehung ist es immer noch dasselbe Buch, sind ja jetzt nicht plötzlich verschiedene Bücher, völlig egal, wie du das drehst und wendest oder das Koordinatensystem legst.

Lange Version: Es hängt mal wieder vom Kontext ab. Und natürlich von zahlreichen Definitionen. Und in der Regel hat ein Dreieck neben der Position auch so etwas wie eine Orientierung, welche durch die Reihenfolge seiner Eckpunkte definiert wird, bspw. im Uhrzeigersinn (positive Orientierung) oder gegen den Uhrzeigersinn (negative Orientierung).

Kleiner Exkurs: Die Orientierung spielt bspw. eine Rolle in der Computergrafik, wo 3D-Modelle aus einer Vielzahl von Dreiecke (Triangles) zusammengesetzt sind. Jedes Dreieck hat eine Vorder- und Rückseite, die wiederum durch die Reihenfolge der Eckpunkte definiert wird - entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn. Der Normalenvektor eines Dreiecks, der aus den Eckpunkten berechnet wird, zeigt dabei von der Vorderseite weg. Um die Renderleistung zu optimieren, wird bspw. Backface Culling angewendet: Nur die Vorderseite eines Dreiecks wird gezeichnet, während die Rückseite ignoriert wird, da sie normalerweise für den Betrachter unsichtbar ist. Die Orientierung der Dreiecke beeinflusst außerdem die Berechnung der Beleuchtung, da der Normalenvektor für die Lichtberechnung genutzt wird.

Vielleicht hilft es auch, einfach ein paar Begrifflichkeiten zu klären und zu rekapitulieren (eigentlich Basics, war mal Schulstoff):
SpoilerÄhnlichkeit: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie durch Skalierung ineinander überführt werden können, also quasi die gleiche Form haben (Winkel gleich, Seitenverhältnisse konstant).

Kongruenz: Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie deckungsgleich sind bzw. durch Verschiebung (Translation), Drehung (Rotation) oder Spiegelung ineinander überführt werden können, also quasi gleiche Form und gleiche Größe haben (unabhängig von Position und Orientierung).

Identität: Zwei Dreiecke sind identisch, wenn sie nicht nur kongruent sind, sondern auch in Position und Orientierung übereinstimmen, also gleiche Form, gleiche Größe, gleiche Position und Orientierung.

Bemerkung 1: Die Begriffe "verschieden" oder "gleich" wären ggf. noch zu klären, ist aber eigentlich redundant.

Bemerkung 2: Schöner ist eine Definition im Rahmen der linearen Algebra, wo Transformationen wie Translation, Rotation, Spiegelung etc. über lineare Abbildungen erklärt werden können. Dort sind dann Dreiecke ähnlich, kongruent oder identisch, wenn entsprechende Eigenschaften wie Form, Größe, Position und Orientierung invariant unter bestimmten Transformationen sind.

Bemerkung 3: Tatsächlich sind eigentlich nur Ähnlichkeit und Kongruenz für Dreiecke erklärt, die Identität von Dreiecken habe ich mir an dieser Stelle mal aus den Fingern gezogen, macht in Rahmen der linearen Algebra aber durchaus Sinn, da sämtliche Eigenschaften (Form, Größe, Position, Orientierung) nur invariant unter der sog. identischen Abbildung sind.
Ohne klare Definitionen kann man natürlich stundenlang diskutieren. Was aber leider immer noch fehlt, ist bspw. die Definition des Dreiecks oder der sog. Orientierung sowie natürlich der Kontext (Elementargeometrie, Vektorgeometrie, Differentialgeometrie, Topologie...). In der klassischen Elementargeometrie werden geometrische Figuren bspw. durch grundlegende Objekte wie Punkte und Geraden beschrieben. Hier hat ein Dreieck auch keine Orientierung - es ist rein durch Punkte und Geraden definiert, also als eine Fläche, die von drei nicht-kollinearen Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen, gebildet wird.
Anders sieht es in der Vektorgeometrie aus. Die Vektorgeometrie nutzt Vektoren, die in einem sog. Vektorraum definiert sind, um geometrische Objekte zu beschreiben. Dort lässt sich dann auch in sinnvollerweise eine Orientierung erklären, insbesondere über den sog. Normalenvektor bzw. dessen Richtung oder Vorzeichen:

Die Orientierung wird also letztendlich durch die Reihenfolge der Punkte A, B, C des Dreiecks festgelegt. Was jetzt noch genauer zu spezifizieren wäre, ist der (Vektor-)Raum. Damit kann man dann auch das Dreieck bzw. die Punkte A, B, C konkret angeben. Rechtwinklig, sagtest du? Gut, nehmen wir A = (0,0), B = (4,0) und C = (0,3). Die Punkte sind entgegen dem Uhrzeigersinn angegeben, die Orientierung also positiv. Ich denke, damit haben wir wohl alles. Nun sagst du:

nocheinPoet schrieb:Ging um ein rechtwinkliges Dreieck auf einer Fläche, man kann hier dieses ja von oben und unten betrachten, also die x-Achse eben nach rechts oder auch links legen.

Das "von oben und unten betrachten" wäre mathematisch präzise zu definieren, um Schlüsse ziehen zu können. Aber der zweite Teilsatz reicht mir. Das Legen der x-Achse von links nach rechts entspricht im Prinzip einer klassischen Basistransformation in Vektorräumen. Kann man alles durchrechnen, aber auch so ist vielleicht klar, dass sich dadurch die Orientierung des Dreiecks ändert (vor allem, da nun der Begriff "Uhrzeigersinn" eine andere Bedeutung bekommt, d.h. aus "entgegen dem Uhrzeigersinn" wird nun "mit dem Uhrzeigersinn"). Der Rest ist Anwenden von Definitionen: Geometrisch ist es immer noch das "gleiche" Dreieck, d.h. es ist ähnlich und kongruent zum ursprünglichen Dreieck vor der Basistransformation (bzw. dem Perspektivenwechsel), aber es ist nicht mehr identisch im Sinne der obigen Definition, da sich die Orientierung geändert hat.

Alles steht und fällt also letztendlich mit Definitionen, Axiomen und dem Kontext. Auch in sog. topologischen Räumen lassen sich zwar bspw. Dreiecke erklären, gibt es aber keine Orientierung (nicht einmal Winkel oder Seitenlängen, jedenfalls nicht notwendigerweise). Und in diesem konkreten Fall könnte man vor allem die Definition von "identisch" anfechten, der Rest ist eigentlich "Standardmathematik" (Elementargeometrie und Vektoralgebra). Mir gefällt eigentlich die obige Definition von "identisch", aber sie widerspricht bspw. unserem intuitiven Verständnis von diesem Begriff - das Beispiel mit dem Buch brachte ich ja schon.