Auftriebskraftwerk
18.02.2017 um 21:20@fliegenphisher: Anders als in meiner Extremrechnung von vorhin beschränkt sich die Auftriebskraft in der Realität natürlich auf das aus den Auftriebsbehältern verdrängte Wasser.
Rosch Boss Detlef "GröBaZ" D. gibt höchstpersönlich für den Kompressor der Anlage in Spich hier eine Luftleistung von 600 Liter/min an. Das ist ein realistischer Wert, der sowohl zu den anderen technischen Daten der Anlage passt, als auch zu den technischen Daten gängiger Kompressoren mit einer elektrischen Leistungsaufnahme von ca. 4 kW, wie im DEKRA-Messbericht angegeben. Deshalb verwende ich im folgenden diesen Wert. Selbst wenn der tatsächliche Wert halb oder doppelt so gross wäre, hätte das auf die Schlussfolgerung, wie sich im Verlauf der Berechnung zeigen wird, keinen wesentlichen Einfluss.
Allgemein: Die Luftleistung von Kompressoren wird üblicherweise in Normlitern pro Minute angegegeben. Normliter bedeutet, dass die tatsächlich gelieferte (komprimierte) Luftmenge auf Normbedingungen (insbesondere atmosphärischen Druck) umgerechnet wird. Liefert ein Kompressor z.B. 1 Liter Luft bei 2 bar (abs), entspricht das 2 Normlitern, da sich Luft mit einem Druck von 2 bar (abs) unter Normbedingungen (1 bar (abs)) auf das doppelte Volumen ausdehnt.
Man stelle sich nun einen einzelnen unten offenen 600-Liter-Behälter in 10 m Wassertiefe vor. In diesen Behälter wird nun 1 Minute lang die Luft aus dem 600-Liter/min-Kompressor eingeleitet. Das während dieser Zeit eingeleitete Luftvolumen beträgt dann 600 Normliter. Die Luft wird jedoch entsprechend dem Wasserdruck komprimiert. In 10 Metern Wassertiefe beträgt der Druck ca. 2 bar (abs). Bei isothermer Kompression (eine für diesen Fall angemessene Vereinfachung) gilt:
pkompr * Vkompr = patm * Vatm ->
Vkompr = Vatm * (patm / pkompr) = 600 Liter * (1 bar / 2 bar) = 300 Liter
Nachdem die Minute um ist, besitzt der Behälter eine gewisse potenzielle Auftriebsenergie. Er übt eine Kraft in Richtung Wasseroberfläche aus, und kann diese Kraft über eine eine vertikale Strecke von 10 m ausüben. Die Auftriebskraft, die der Behälter ausübt, entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Da sich in dem Behälter 300 Liter Luft befinden, wurden 300 Liter Wasser mit einer Masse von ca. 300 kg daraus verdrängt. Im Prinzip müsste man an dieser Stelle noch das Gewicht der Luft berücksichtigen, das jedoch im Verhältnis zum Gewicht des verdrängten Wassers so gering ist, dass man es hier vernachlässigen kann. Das Gewicht des Behälters sei hier ebenfalls als vernachlässigbar angenommen.
Man könnte die Auftriebskraft des Behälters konkret nutzen, indem man z.B. unten ein Seil daran befestigt, das beim Aufstieg die Welle eines Generators dreht.
Aus den einfachen Zusammenhängen Energie = Kraft * Weg und Kraft = Masse * Fallbeschleunigung ergibt sich für die potenzielle Energie:
E = F * s = m * g * s = 300 kg * 9,81 m/s2 * 10 m = 29.430 Ws
Das ist schon mal ein Anhaltspunkt, berücksichtigt allerdings nicht, dass sich die Luft während des Aufstiegs ausdehnt, was den Auftrieb verstärkt. Der berechnete Wert würde zutreffen, wenn der Behälter nach dem Befüllen verschlossen würde. Ein besseres Ergebnis, das die Ausdehnung der Luft während des Aufstiegs berücksichtigt, kann man erzielen, wenn man das mittlere Volumen der Luft beim Aufstieg ermittelt. Da sich die Luft während des Aufstiegs von 300 Liter auf 600 Liter ausdehnt, beträgt das mittlere Volumen (300 Liter + 600 Liter) / 2 = 450 Liter, entsprechend ca. 450 kg verdrängten Wassers. Mit diesem Wert kann man die Rechnung nun wiederholen:
E = 450 kg * 9,81 m/s2 * 10 m = 44.145 Ws
Da diese Energiemenge in einer Minute anfällt, kann man daraus die Leistung berechnen:
P = E / t = 44.145 Ws / 60 s ≈ 736 W
Auch das ist allerdings nicht das exakte Ergebnis, da die Ausdehnung der Luft nichtlinear verläuft. Die Herleitung der Formel für das exakte Ergebnis, die Integralrechnung erfordert, findet sich in der bekannten Arbeit "Der Wirkungsgrad eines Auftriebskraftwerks" (pdf) von Dipl.-Ing. Peter Bruggmüller, oder auch -- aus einem besonderen Grund in den veralteten Einheiten des Technischen Masssystems -- hier von mir. Die entsprechende Formel lautet:
P = (patm * Vatm * ln(pwasser / patm)) / t
Einsetzen der konkreten Werte für den hier betrachteten Fall ergibt (600 Liter/min = 0,01 m3/s):
P = (100.000 Pa * 0,01 m3 * ln(200.000 Pa / 100.000 Pa) / 1 s ≈ 693 W
Der oben vereinfacht berechnete Wert von 736 W liegt also nicht allzu weit vom mit der "richtigen" Formel berechneten Ergebnis 693 W entfernt.
Dieser Wert von grob 0,7 kW stellt die Obergrenze der Ausgangsleistung dar, die sich bei 10 m Wassersäule mit einer (wohlgemerkt von Rosch selbst angegebenen) Luftleistung von 600 Liter/min erreichen lässt. Es ist dabei völlig egal, wieviele Auftriebsbehälter man verwendet. Es muss zwangsläufig genau so viel Behältervolumen (egal auf wieviele Behälter aufgeteilt) pro Minute die Oberfläche erreichen, wie befüllt wird, da es ansonsten zu einer leistungsmindernden Unter- oder Überfüllung kommen würde. Der (bei gegebener Wassertiefe) für die Ausgangsleistung entscheidende Quotient von verdrängtem Wasservolumen pro Aufstiegszeit ist daher durch die Luftleistung indirekt festgelegt, und kann sich gegenüber dem Idealwert höchstens verschlechtern.
Offensichtlich liessen sich selbst z.B. bei einer Verdopplung der Luftleistung die von Rosch behaupteten Ausgangsleistungswerte von 15 kW .. 60 kW noch nicht mal annährend erreichen.
Von der genannten theoretischen Obergrenze der Ausgangsleistung (bei einer Luftleistung von 600 Liter/min) von ca. 0,7 kW gehen natürlich noch wesentliche Verluste (Reibung, Strömung, etc.) ab, so dass der Rest für nicht viel mehr reichen dürfte, als den Paternoster ohne Belastung in Bewegung zu halten. Die angebliche Ausgangsleistung von 15 kW .. 60 kW muss also zwangsläufig aus einer ganz "anderen" Quelle als dem Auftrieb stammen.
Rosch Boss Detlef "GröBaZ" D. gibt höchstpersönlich für den Kompressor der Anlage in Spich hier eine Luftleistung von 600 Liter/min an. Das ist ein realistischer Wert, der sowohl zu den anderen technischen Daten der Anlage passt, als auch zu den technischen Daten gängiger Kompressoren mit einer elektrischen Leistungsaufnahme von ca. 4 kW, wie im DEKRA-Messbericht angegeben. Deshalb verwende ich im folgenden diesen Wert. Selbst wenn der tatsächliche Wert halb oder doppelt so gross wäre, hätte das auf die Schlussfolgerung, wie sich im Verlauf der Berechnung zeigen wird, keinen wesentlichen Einfluss.
Allgemein: Die Luftleistung von Kompressoren wird üblicherweise in Normlitern pro Minute angegegeben. Normliter bedeutet, dass die tatsächlich gelieferte (komprimierte) Luftmenge auf Normbedingungen (insbesondere atmosphärischen Druck) umgerechnet wird. Liefert ein Kompressor z.B. 1 Liter Luft bei 2 bar (abs), entspricht das 2 Normlitern, da sich Luft mit einem Druck von 2 bar (abs) unter Normbedingungen (1 bar (abs)) auf das doppelte Volumen ausdehnt.
Man stelle sich nun einen einzelnen unten offenen 600-Liter-Behälter in 10 m Wassertiefe vor. In diesen Behälter wird nun 1 Minute lang die Luft aus dem 600-Liter/min-Kompressor eingeleitet. Das während dieser Zeit eingeleitete Luftvolumen beträgt dann 600 Normliter. Die Luft wird jedoch entsprechend dem Wasserdruck komprimiert. In 10 Metern Wassertiefe beträgt der Druck ca. 2 bar (abs). Bei isothermer Kompression (eine für diesen Fall angemessene Vereinfachung) gilt:
pkompr * Vkompr = patm * Vatm ->
Vkompr = Vatm * (patm / pkompr) = 600 Liter * (1 bar / 2 bar) = 300 Liter
Nachdem die Minute um ist, besitzt der Behälter eine gewisse potenzielle Auftriebsenergie. Er übt eine Kraft in Richtung Wasseroberfläche aus, und kann diese Kraft über eine eine vertikale Strecke von 10 m ausüben. Die Auftriebskraft, die der Behälter ausübt, entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Da sich in dem Behälter 300 Liter Luft befinden, wurden 300 Liter Wasser mit einer Masse von ca. 300 kg daraus verdrängt. Im Prinzip müsste man an dieser Stelle noch das Gewicht der Luft berücksichtigen, das jedoch im Verhältnis zum Gewicht des verdrängten Wassers so gering ist, dass man es hier vernachlässigen kann. Das Gewicht des Behälters sei hier ebenfalls als vernachlässigbar angenommen.
Man könnte die Auftriebskraft des Behälters konkret nutzen, indem man z.B. unten ein Seil daran befestigt, das beim Aufstieg die Welle eines Generators dreht.
Aus den einfachen Zusammenhängen Energie = Kraft * Weg und Kraft = Masse * Fallbeschleunigung ergibt sich für die potenzielle Energie:
E = F * s = m * g * s = 300 kg * 9,81 m/s2 * 10 m = 29.430 Ws
Das ist schon mal ein Anhaltspunkt, berücksichtigt allerdings nicht, dass sich die Luft während des Aufstiegs ausdehnt, was den Auftrieb verstärkt. Der berechnete Wert würde zutreffen, wenn der Behälter nach dem Befüllen verschlossen würde. Ein besseres Ergebnis, das die Ausdehnung der Luft während des Aufstiegs berücksichtigt, kann man erzielen, wenn man das mittlere Volumen der Luft beim Aufstieg ermittelt. Da sich die Luft während des Aufstiegs von 300 Liter auf 600 Liter ausdehnt, beträgt das mittlere Volumen (300 Liter + 600 Liter) / 2 = 450 Liter, entsprechend ca. 450 kg verdrängten Wassers. Mit diesem Wert kann man die Rechnung nun wiederholen:
E = 450 kg * 9,81 m/s2 * 10 m = 44.145 Ws
Da diese Energiemenge in einer Minute anfällt, kann man daraus die Leistung berechnen:
P = E / t = 44.145 Ws / 60 s ≈ 736 W
Auch das ist allerdings nicht das exakte Ergebnis, da die Ausdehnung der Luft nichtlinear verläuft. Die Herleitung der Formel für das exakte Ergebnis, die Integralrechnung erfordert, findet sich in der bekannten Arbeit "Der Wirkungsgrad eines Auftriebskraftwerks" (pdf) von Dipl.-Ing. Peter Bruggmüller, oder auch -- aus einem besonderen Grund in den veralteten Einheiten des Technischen Masssystems -- hier von mir. Die entsprechende Formel lautet:
P = (patm * Vatm * ln(pwasser / patm)) / t
Einsetzen der konkreten Werte für den hier betrachteten Fall ergibt (600 Liter/min = 0,01 m3/s):
P = (100.000 Pa * 0,01 m3 * ln(200.000 Pa / 100.000 Pa) / 1 s ≈ 693 W
Der oben vereinfacht berechnete Wert von 736 W liegt also nicht allzu weit vom mit der "richtigen" Formel berechneten Ergebnis 693 W entfernt.
Dieser Wert von grob 0,7 kW stellt die Obergrenze der Ausgangsleistung dar, die sich bei 10 m Wassersäule mit einer (wohlgemerkt von Rosch selbst angegebenen) Luftleistung von 600 Liter/min erreichen lässt. Es ist dabei völlig egal, wieviele Auftriebsbehälter man verwendet. Es muss zwangsläufig genau so viel Behältervolumen (egal auf wieviele Behälter aufgeteilt) pro Minute die Oberfläche erreichen, wie befüllt wird, da es ansonsten zu einer leistungsmindernden Unter- oder Überfüllung kommen würde. Der (bei gegebener Wassertiefe) für die Ausgangsleistung entscheidende Quotient von verdrängtem Wasservolumen pro Aufstiegszeit ist daher durch die Luftleistung indirekt festgelegt, und kann sich gegenüber dem Idealwert höchstens verschlechtern.
Offensichtlich liessen sich selbst z.B. bei einer Verdopplung der Luftleistung die von Rosch behaupteten Ausgangsleistungswerte von 15 kW .. 60 kW noch nicht mal annährend erreichen.
Von der genannten theoretischen Obergrenze der Ausgangsleistung (bei einer Luftleistung von 600 Liter/min) von ca. 0,7 kW gehen natürlich noch wesentliche Verluste (Reibung, Strömung, etc.) ab, so dass der Rest für nicht viel mehr reichen dürfte, als den Paternoster ohne Belastung in Bewegung zu halten. Die angebliche Ausgangsleistung von 15 kW .. 60 kW muss also zwangsläufig aus einer ganz "anderen" Quelle als dem Auftrieb stammen.