Klärung von "Singularität"

Es gibt etliche Themen, wo das Wort "Singularität" auftaucht.

Dieses Thema soll nicht nur zur Klärung dienen, sondern auch zur Interpretation dieser.

Folgendes ist der Fall:

Man spricht in der Mathematik von einem singulären Punkt, wenn die Ableitung an diesem, also genauer gesagt:

Man hat eine Funktion f: R^n --> R^m

und die Jacobi-Matrix an diesem Punkt ist die Null-Matrix, d.h.
Df = 0 , mit der 0 Element m kreuz n, m x n,

d.h. m Zeilen, n Spalten, mit jeweils reellen Einträgen (von mir aus auch komplexen, je nachdem).



So, nun ist dies vielleicht eine Des-Illusionierung derjenigen, die " Singularitäten immer so toll fanden. Nunja, letztlich ist es aber nichts Anderes als das, eine Lösung einer Differentialgleichung, welche einen singulären Punkt enthält (ist mathematisch nicht wirklich leicht zu fassen, geb ich zu, denn der Satz ist ja vom REGULÄREM Punkt).

Aber nunja, besides that, ich interessiere mich gerade für diese "Null"-Ableitungen in der Physik. Und ich glaube, diese sind es, welche auch am meisten solche "Rästel" aufgeben bzw. wo man am genauesten hinschauen muss. Sie sind entweder ein Randwertproblem oder ein Problem, welches man genauer unter die Lupe nehmen muss.

Also voil`a, hier ein Thread für genau solche Sachen.
Wissenschaft, aber auch philosophisches Grenzwissen (in den Interpretationen) sind hier gefragt.

Viel Spaß, ich hoffe um eine rege Diskussion. :-)

@mastermind

Die Jacobi-Matrix dient doch dazu mehrere Funktionen partiell abzuleiten und daraus einen Gradienten zu bilden.

Wie du schon sagtest, ist es ja eine Ableitung, aber es ist doch keine Minimierung auf 0.
Es ist ja nun nicht so, dass alles, was man partiell in einer m x n Matrix ableitet, auf einen Punkt zusammenschrumpft. Genau das ist eine Singularität doch aber.

Wenn du was anderes sagen wolltest, klär mich bitte ruhig auf.
Vielleicht versteh ich dich ja nur falsch.

@Dr.Shrimp
Hast du davon wirklich Ahnung; bzw kannst partielle Ableitungen folgen? Dann würde ich mir Mühe geben zu erklären warum das Schwachsinn ist.

@mastermind

Wer hat dir sowas denn erklärt? Wenn die Ableitung an einem Punkt identisch Null ist, dann hat man bildlich gesprochen keine Steigung, fertig, so wie in der Schule schon. In 3d würde der Tangentialraum einer Kurve (f:R^3->R) in diesem Punkt identisch der x-y Ebene sein.

Ein singulärer Punkt ist ein mathematisch nicht definierter. Innerhalb dieser Klasse gibt es auch unterschiede (hebbare, etc.). Hast du z.B. eine Funktion f:R->R, x|->1/x, so ist die Funktion im Punkt x_0=0 nicht definiert und genau das ist deine Singularität. Witzig wirds in der Funktionentheorie, wenn du komplizierte Integrale durch die Summe solcher Punkte lösen kannst.

Wenn man zurück kommt zu ART, dann hat man dort z.B. in der Schwarzschild Raumzeit eben genau solche funktionalen etwas komplizierter aussehenden zusammenhänge die für einen bestimmten Wert x mathematisch nicht definiert sind und genau das sind dann die berühmt berüchtigten Singularitäten der Raumzeit wo die Physik nicht definiert ist.

@Pumpkins

Pumpkins schrieb:bzw kannst partielle Ableitungen folgen?

Ja, ich hatte Jacobi-Matrices selbst in der Analysis I - Vorlesung.
Und einfach nur partiell ableiten an sich, ist ja kein Ding.

Pumpkins schrieb:Dann würde ich mir Mühe geben zu erklären warum das Schwachsinn ist.

So sei es....

Ich hab deinen Satz falsch gelesen

Dr.Shrimp schrieb:ist doch keine Minimierung auf 0.

hatte das keine geschluckt, sry

Kommt drauf an, ob man es rein mathematisch, oder reell physikalisch betrachten will. Denn in der reellen Physik gibt es nur Näherungswerte und die lassen eine Interpretation bei solchen Extrembeispielen nicht zu. Die Division durch Null z.B. ist in der Mathematik nicht erlaubt, dennoch gibt es Erscheinungen, die anscheinend mit unserem mathematischen Verständnis auf solch ein Problem zulaufen. In der Realität gibt es keine Nichterlaubnis und es gilt: was es gibt das ist erlaubt. Also muss es irgendwie funktionieren, fragt sich nur: wie?

@Foss

Foss schrieb:In der Realität gibt es keine Nichterlaubnis und es gilt: was es gibt das ist erlaubt. Also muss es irgendwie funktionieren, fragt sich nur: wie?

Jedenfalls nicht einfach mit Differentialrechnung.

Vielleicht sollten wir uns mal in die Nähe eines schwarzen Loches begeben. ^^

@Dr.Shrimp:

Äh....also ich meine natürlich, dass man den Punkt genau dann Singularität nennt, wenn die Jacobi-Matrix die Nullmatrix ist.
Sorry, ich war, als ich das geschrieben habe, nicht mehr so ganz auf der Höhe. ;-)
Ich habe zudem einige Sache ein bisschen durcheinandergeworfen.
Die Essenz dessen, was ich sagen wollte, ist:

Was haben solche Singularitäten für eine Bedeutung in der Physik?
Es gibt nur 2 Möglichkeiten (jeweils, in jedem Falle zu prüfen):
a) Entweder, die mathematische Beschreibung ist ungenau und sie haben gar keine Bedeutung.
b) Sie haben eine Bedeutung, die vllt. nicht immer gleich ganz klar ist.

@atraback:

Wikipedia: Singularität (Mathematik)

Ich sehe gerade, "Singularität" bezeichnet eine Vielzahl an Dingen (siehe vor allem auch die englische Version des Artikels).
Dann frage ich mich aber gerade, mit welcher Bedeutung dies nun in der Physik gehandhabt wird.

Aber du verstehst, was ich mit "singulär" als Gegenteil von "regulär" meine?

@Foss:
siehe Antwort an Shrimp

mastermind schrieb:Ich sehe gerade, "Singularität" bezeichnet eine Vielzahl an Dingen

Eigentlich nicht. Singulär bedeutet in der Mathematik nicht dasselbe wie Singularität. Der Englische Wiki Artikel beschreibt eigentlich dasselbe wie in meinem Beitrag oben. Eine singuläre quadratische Matrix z.B. ist eine solche dessen inverse nicht eixistiert und das ist was du wahrscheinlich meinst aber man findet die singulären Punkte einer Abbildung indem man die Jacobi matrix berechnet und guckt zu welchen x_1,... keine Inverse existiert und nicht wann sie identisch der Nullmatrix ist. Ein anderer und meist fruchtbarer Weg: Berechne die Determinante der Jacobi Matrix, setzt sie gleich null und finde die Werte x_1,... für die das gilt.

@atraback:

Eine Singularität bezeichnet in der Mathematik einen Punkt, an dem ein mathematisches Objekt nicht definiert ist oder an dem eine sonst zutreffende Eigenschaft nicht vorhanden ist. Beispiele von Mengen mit singulären Punkten sind:

Gut, kann man jetzt interpretieren, wie man will. Als Eigenschaft, die dort nicht zutreffend ist, könnte man ja z.B. auch "regulär" nehmen.

Aber du hast Recht, die Nullmatrizen sind lediglich ein ganz spezieller Fall.

Dann können wir das ja separat diskutieren, was es bedeutet, wenn sie nicht invertierbar sind und speziell, wenn sie die Nullmatrix ergeben.

lg