Schwarze Löcher

Die Fragen hab ich mir auch gestellt und bisher hab ich auch noch keine wirkliche Antwort. Das Signal der Sonde müsste man theoretisch zeitlich versetzt empfangen können, wäre halt extrem Rotverschoben und verzerrt. Ich denke aber das ließe sich in seine ursprungsform mit moderner Technik zurückberechnen. Theoretisch könnte man das Signal auch als starkes Röntgensignal losschicken, vielleicht ist es dann nicht zu sehr Rotverschoben.

Lonny schrieb:Das andere Problem wurde schon angesprochen. Aus der theoretischen Betrachtung heraus, kann einfach nichts, weder Materieteilchen noch Lichtartiges, zurück, wenn der EH einmal überschritten ist (und ein Signal zählt als lichtartig). Die Zukunft von allem liegt dann bei r=0.

Wenn die Zeit nicht wie gewohnt vorwärts läuft innerhalb des Schwarzen Lochs, ja dann wirds echt schwierig. Nach meiner Logik sollte auch hinter dem Horizont die Zeit irgendwie vorwärts gehen, ansonsten käme ein Objekt ja nie im Zentrum an. Muss allerdings eingestehen Zeitphänomene waren noch nie meine Stärke da bin ich wohl raus.

SagittariusB schrieb:Wenn die Zeit nicht wie gewohnt vorwärts läuft innerhalb des Schwarzen Lochs, ja dann wirds echt schwierig. Nach meiner Logik sollte auch hinter dem Horizont die Zeit irgendwie vorwärts gehen, ansonsten käme ein Objekt ja nie im Zentrum an.

Ja, ich denke, da hast du Recht. Aus meiner Sicht, und die will ich auch gerne zumindest etwas detaillierter darlegen, ist dieses Zeitumkehrphänomen auch nur ein Koordinatenphänomen, was auch direkt am Schwarzschild-Linienelement erkennbar wird. Korrigiert mich gerne jemand, falls ich jetzt hier Blödsinn erzähle. Ich bin nämlich recht neu auf diesem Gebiet unterwegs. In dem Schwarzschild-Linienelement

gilt für die Metrikkoeffizienten im Bereich r>2M ja

Das dreht sich dann innerhalb des EH plötzlich um. D.h. für r<2M findet man plötzlich

Das mag ein Grund dafür sein, weshalb man diesen Teil der Lösung auch lange Zeit ignoriert hat. Das Schwarzschild-Linienelement kann man allerdings umformulieren in Koordinaten, in denen dieser Effekt nicht mehr zu sehen ist, z.B. in diese Form hier (Kruskal-Szekeres-Koordinaten)

Daher würde ich jetzt sagen, dass es nicht so zu interpretieren ist, dass nun Zeit im Schwarzen Loch nicht mehr “vorwärts” läuft. Man könnte den Effekt aber dahingehend interpretieren, dass ein räumliches "Zurückgehen" innerhalb des Ereignishorizonts ebenso unmöglich ist wie eine Rückwärtsbewegung in der Zeit außerhalb des Ereignishorizonts (Weil Raum- und Zeitkoordinate ja gerade die Rollen tauschen).

Lonny schrieb:Das dreht sich dann innerhalb des EH plötzlich um. D.h. für r<2M findet man plötzlich

Ob raum- oder zeitartig wird nicht an gtt und grr alleine festgemacht, du musst den kompletten metrischen Tensor berücksichtigen. Bei ds²<0 ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen raumartig, bei ds²>0 ist er zeitartig und bei ds²=0 ist er lichtartig.

Lonny schrieb:Das dreht sich dann innerhalb des EH plötzlich um

Es geht zwar tatsächlich um einen Tausch von Raum- und Zeitkoordinaten, aber man kann nicht sagen, dass zeitartige Abstände plötzlich raumartig werden oder umgekehrt. Wäre es so, dann würde der Freifaller sich auf einer raumartigen Geodäte bewegen, und eine solche, tachyonische Bewegung würde es ihm ermöglichen, den Bereich hinter dem Ereignishorizont zu verlassen.

Lonny schrieb:Das mag ein Grund dafür sein, weshalb man diesen Teil der Lösung auch lange Zeit ignoriert hat.

Das verstehe ich leider nicht so ganz. Wer genau hat was genau ignoriert?

Lonny schrieb:Das Schwarzschild-Linienelement kann man allerdings umformulieren in Koordinaten, in denen dieser Effekt nicht mehr zu sehen ist

Auch hier bin ich mir nicht ganz sicher, was du meinst. Kruskal-Szekeres-Koordinaten sind am Ereignishorizont nicht singulär. Ist es das, was du meinst?

Arrakai schrieb:Ob raum- oder zeitartig wird nicht an gtt und grr alleine festgemacht, du musst den kompletten metrischen Tensor berücksichtigen. Bei ds²<0 ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen raumartig, bei ds²>0 ist er zeitartig und bei ds²=0 ist er lichtartig.

raum oder zeitartig ist letztlich eine Eigenschaft von Tangentialvektoren und nicht von dem gesamten Linienelement oder der Metrik wie du sagst (oder Abständen). Ich habe hier tatsächlich etwas geschlampt in der Ausdrucksweise, weil ich dachte, dass es keinen Sinn macht, mehr auszuholen. Aber vielleicht interessiert es ja doch den einen oder anderen. Der Kausalcharakter (d.h. zeitartig (g_{ii}<0), lichtartig (g_{ii}=0) oder raumartig (g_{ii}>0)) bezieht sich ja eigentlich auf die Kategoriesierung von Tangentialvektoren eines Tangentialraumes an jedem Punkt der Raumzeit. Auch Koordinatenvektorfelder (die so definiert sind, dass sie jedem Punkt der Raumzeit einen Tangentialvektor zuordnen) benennt man zeitartig, raumartig oder lichtartig/null, wenn alle ihre Tangentialvektoren den gleichen Kausalcharakter haben. D.h. mit g_{ii}:=g(\partial_{i},\partial_{i})<0 ist eigentlich per Definition gemeint, dass das Koordinatenvektorfeld \partial_{i} zeitartig ist (i ist ein Platzhalter für t,r,\theta,\varphi). Der gesamte metrische Tensor g hat im Bereich 0<r<2M als auch r>2M die selben 4 Komponenten g_{tt},g_{rr},g_{\theta\theta}, g_{\varphi\varphi}, die nur von der Radialkoordinate r abhängen. Daher geht meine Formulierung - bis auf die kleine Schlamperei - schon in Ordnung würde ich sagen. Diese Kategorisierung der Tangentialvektoren dient ja letztlich dazu, Begriffe wie Zukunft und Vergangenheit zu modellieren und ist eine Folge der Signatur des metrischen Tensors.

Arrakai schrieb:Das verstehe ich leider nicht so ganz. Wer genau hat was genau ignoriert?

Schwarzschild hatte Ende 1915 zwar seine Lösung präsentiert, aber der Teil für 0<r<2M wurde zunächst für unwichtig gehalten, weil man keine Vorstellung von kollabierenden Sternen hatte und den Teil der Lösung einfach für unphysikalisch hielt. Erst Oppenheimer und Snyder konnte 1939 zeigen, dass in Folge von Gravitationskollaps der EH unterschritten werden kann. Birkhoff konnte zeigen, dass dann für den Bereich 0<r<2M die Schwarzschild-Lösung gilt. Kann man z.B. in Teilen hier nachlesen
https://www.arxiv-vanity.com/papers/1811.06587/

Arrakai schrieb:Auch hier bin ich mir nicht ganz sicher, was du meinst. Kruskal-Szekeres-Koordinaten sind am Ereignishorizont nicht singulär. Ist es das, was du meinst?

Nein das meinte ich nicht. Ich meinte, dass g_{ii} das Vorzeichen am EH nicht ändert und \partial_{i} daher den Kausalcharakter nicht ändert.

@Lonny

Dass gtt < 0 zeitartig und grr > 0 raumartig sein soll, erschließt sich mir ehrlich gesagt nicht. Möglich, dass ich dich falsch verstehe.

Lonny schrieb:aum oder zeitartig ist letztlich eine Eigenschaft von Tangentialvektoren und nicht von dem gesamten Linienelement oder der Metrik wie du sagst (oder Abständen).

Von der Metrik habe ich nicht gesprochen, sondern vom metrischen Tensor resp. dem Linienelement. Weder das eine noch das andere hat die Eigenschaft raumartig, zeitartig oder lichtartig. Allerdings grenzt sich über den Lichtkegel eines Ereignisses ab, welche anderen Ereignisse einen raumartigen, zeitartigen oder lichtartigen Abstand zu ihm haben. Und der Lichtkegel wiederum wird über das Linienelement definiert. Klar ist, dass die Tangentialvektoren alle zeitartig sind, wenn wir den Lichtkegel betrachten. Sie können allerdings zukunfts- oder vergangenheitsgerichtet sein (Vorwärts- bzw. Rückwärts-Lichtkegel). Von Kausalität kann man allerdings nur bei zeitartigen und lichtartigen Abständen sprechen. Sobald ein Abstand raumartig ist, gibt es keine Kausalität zwischen Ereignissen.

Lonny schrieb:Diese Kategorisierung der Tangentialvektoren dient ja letztlich dazu, Begriffe wie Zukunft und Vergangenheit zu modellieren und ist eine Folge der Signatur des metrischen Tensors.

Inwiefern sollte die Kategorisierung eine Folge der Signatur sein? Die Signatur kannst du beliebig wählen, man entscheidet sich für eine und bleibt dann dabei, die meisten ein Leben lang. Egal ob West- (+, -, -, -) oder East (-,+,+,+) Coast convention, die Kategorisierung raumartig, zeitartig oder lichtartig ändert sich nicht.

Ähm...Metrik und metrischer Tensor sind in diesem Kontext immer Synonym! Die Metrik erzeugt auf jedem Tangentialvektorraum ein Skalarprodukt, dass diese besondere Signatur trägt. Wäre die Signatur wie beim Standard-Skalarprodukt im euklidischen Raum gebe es doch keine zeitartigen Vektoren. Ich verstehe übrigens schon, was du meinst, wenn du von zeitartigen/raumartigen Abständen redest, aber nochmal: Diese Begriffe sind nicht für einen Abstandsbegriff erklärt/definiert. Das, was du aber wirklich meinst, steht nicht im Widerspruch zu dem, was ich sage. Du meinst die “Länge” (Norm) eines Tangentialvektors und nicht den Abstand zwischen zwei Punkten (Ereignissen) in der Raumzeit. Auch wenn das Symbol ds^{2} bewusst einen Abstand suggeriert und an Pythagoras erinnern will. Ich zeige mal nur für den zweidimensionalen Fall mit r und t Koordinaten, was ich meine: Die Koordinatenvektorfelder \partial_{t} und \partial_{r} “verwandeln” sich im Tangentialraum an einem beliebigen Punkt p der Raumzeit in Basisvektoren des entsprechenden Tangentialraums (bezeichne ich mal mit \partial_{t}|_{p} und \partial_{r}|_{p}). Das klingt vielleicht jetzt sehr fachlich, es ist aber etwas sehr Einfaches gemeint. Das heißt nichts anderes, als dass jeder Tangentalvektor v in entsprechende Anteile zerlegt werden kann. Man kann also schreiben v=a\cdot\partial_{t}|_{p}+b\cdot\partial_{r}|_{p} mit beliebigen (reellen) Zahlen a,b. Ist g der metrische Tensor, so hat man für das Linienelement
Kurz geschrieben also ds^{2}=a^{2}\cdot g_{tt}+b^{2}\cdot g_{rr}. Je nachdem, ob dieser Ausdruck nun kleiner null, gleich null oder größer null ist, nennt man v zeitartig, lichtartig oder raumartig. Natürlich gelten diese Bezeichnungen auch dann, wenn z.B. a=1 und b=0 ist. Mit anderen Worten also auch für ds^{2}(\partial_{i}|_{p})=g(\partial_{i}|_{p})=g_{ii}  \,\,\,\,(i=t,r).

...und jetzt mal ein sorry dafür, dass hier vielleicht einige abgehängt werden. Das sind zwar absolute Grundkonzepte der Theorie, aber natürlich kann man dem nur folgen und die Aussagen bewerten, wenn man jeden Begriff und jedes Symbol mit Sinn und Bedeutung füllen kann. Andernfalls ist es vermutlich langweilig.

Lonny schrieb:mit beliebigen (reellen) Zahlen a,ba,b.

das beliebige muss natürlich weg..jedes v hat feste Anteile. Und ganz unten ist auch noch ein Tippfehler :)

Lonny schrieb:Ähm...Metrik und metrischer Tensor sind in diesem Kontext immer Synonym!

Gerade in diesem Kontext finde ich es sinnvoll, die Begriffe zu unterscheiden, auch wenn ich im Allgemeinen nicht wirklich darauf achte.

Lonny schrieb:Die Metrik erzeugt auf jedem Tangentialvektorraum ein Skalarprodukt, dass diese besondere Signatur trägt. Wäre die Signatur wie beim Standard-Skalarprodukt im euklidischen Raum gebe es doch keine zeitartigen Vektoren.

Es stehen für den metrischen Tensors zwei Signaturen zur Auswahl, nämlich (-,+,+,+) und (+,-,-,-). Stellt sich die Frage, was "diese besondere Signatur" genau sein soll?

Lonny schrieb:Diese Begriffe sind nicht für einen Abstandsbegriff erklärt/definiert. Das, was du aber wirklich meinst, steht nicht im Widerspruch zu dem, was ich sage.

Hier war meine Formulierung "welche anderen Ereignisse einen raumartigen, zeitartigen oder lichtartigen Abstand ... haben" schludrig, aber - wie hast du es so schön geschrieben? - das geht so schon in Ordnung. Natürlich haben weder der metrische Tensor noch das Linienelement (beide definieren einen - denselben - Abstandsbegriff auf der Raumzeit) "die Eigenschaft raumartig, zeitartig oder lichtartig" (s. meine einleitenden Satz). Dennoch dient ds² der Abgrenzung der Ereignisse. Wobei hier Abstand schon in Ordnung geht, denn zum einen ist eine Metrik eine Abstandsfunktion, und zum anderen handelt es sich um infinitesimale Tangentialvektoren entlang der Weltline eines Beobachters, der sich von einem Ereignis zum nächsten bewegt. Der Zusammenhang ist doch leicht herzustellen und geht schon aus der Definition des Linienelements hervor: ds² = g_μν dx^μ dx^ν, wobei dx^μ und dx^ν Tangentialvektoren sind, deren Tangentialräume an den Ereignissen angeheftet sind.

Allerdings glaube ich, deinen ursprünglichen Einwand zu verstehen. Du schreibst:

Lonny schrieb:Je nachdem, ob dieser Ausdruck [ds²] nun kleiner null, gleich null oder größer null ist, nennt man v zeitartig, lichtartig oder raumartig.

Ich hatte geschrieben (je nach Signatur müssen < und > vertauscht werden):

Arrakai schrieb:Bei ds²<0 ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen raumartig, bei ds²>0 ist er zeitartig und bei ds²=0 ist er lichtartig.

Bzgl. ds² sind wir uns also einig, darauf kann sich dein Einwand also (anscheinend) nicht bezogen haben, bleibt wieder die Formulierung "der Abstand zwischen zwei Ereignissen".

Wobei mir deine Argumentation insgesamt nicht rund zu sein scheint, darüber muss ich aber nochmal schlafen.

Wobei, und das sei hier noch ergänzt, von einem raumartigen, zeitartigen oder lichtartigen Abstand zwischen Ereignissen zu sprechen genauso gängig ist, wie die Begriffe Metrik und metrischen Tensor gleichzusetzen. Beides ist zwar ungenau, aber dafür praktisch.

Arrakai schrieb:Gerade in diesem Kontext finde ich es sinnvoll, die Begriffe zu unterscheiden, auch wenn ich im Allgemeinen nicht wirklich darauf achte.

Warum genau findest du das sinnvoll? Wo hast du das denn her, dass das unterschieden wird?

Arrakai schrieb:Es stehen für den metrischen Tensors zwei Signaturen zur Auswahl, nämlich (-,+,+,+) und (+,-,-,-). Stellt sich die Frage, was "diese besondere Signatur" genau sein soll?

Ich hatte schon geschrieben, was ich damit meine und dir sogar ein Beispiel genannt. Im \mathbb{R}^{4} mit Standardskalarprodukt ist die Signatur des metrischen Tensors bzw. des Skalarprodukts (+,+,+,+). Du hast in diesem Raum alles, was du brauchst, um eine schone Geometrie-Theorie zu formulieren, aber das Konzept “Zeitkegel” kannst du eben vergessen. Du kannst dir auch andere Signaturen überlegen, bei dem eine Aufteilung der Tangentialvektoren eines Tangentialraumes Sinn ergibt - nur ist sie eben nicht unbedingt für die Allg. Rel.Theorie geeignet.

Arrakai schrieb:Wobei hier Abstand schon in Ordnung geht

mach, was du nicht lassen kannst.

Arrakai schrieb:denn zum einen ist eine Metrik eine Abstandsfunktion

Vielleicht musst du mir mal genauer erklären, wo du den Unterschied zwischen dem metrischen Tensor und der Metrik siehst (Ich kenne keinen). In diesem Kontext kenne ich den Begriff “Metrik” als einen Tensor, der mir keine Zahl ausspuckt, die ich als Abstand zwischen zwei verschiedenen Ereignissen interpretieren kann. Ich wüsste noch nicht mal, wie man zwei verschiedene Punkte in diesen Tensor eingeben sollte, weil er nicht so “gebaut ist” bzw. definiert ist, dass man das könnte. Redet man von dem gesamten Tensor auf der ganzen Raumzeit, kann man doch nur zwei Koordinatenvektorfelder eingeben. Redet man von dem durch den globalen Tensor auf die einzelnen Tangentialräume festgelegten Tensor, kann ich zwar zwei Tangentialvektoren eingeben, aber doch nur vom selben Tangentialraum. Klär mich bitte ruhig auf, falls du andere Infos hast.

Arrakai schrieb:. Der Zusammenhang ist doch leicht herzustellen und geht schon aus der Definition des Linienelements hervor: ds² = gμν dxμ dxν, wobei dxμ und dxν Tangentialvektoren sind, deren Tangentialräume an den Ereignissen angeheftet sind.

Das ist einfach falsch. Es sind Einsformen (Koordinateneinsformen).

Arrakai schrieb:Wobei, und das sei hier noch ergänzt, von einem raumartigen, zeitartigen oder lichtartigen Abstand zwischen Ereignissen zu sprechen genauso gängig ist, wie die Begriffe Metrik und metrischen Tensor gleichzusetzen. Beides ist zwar ungenau, aber dafür praktisch.

vielleicht könntest du mal konkreter werden und mal Beispiele für solche Abstände bringen, damit ich verstehe, was du damit meinst. Und was genau ist praktisch?

Lonny schrieb:Ich hatte schon geschrieben, was ich damit meine und dir sogar ein Beispiel genannt.

Wie bereits geschrieben, kommt dieses Beispiel überhaupt nicht in Betracht, wenn es um den metrischen Tensor im Rahmen der ART geht. Hier existieren nur die Möglichkeiten (-,+,+,+) und (+,-,-,-), weshalb ich das Beispiel so nicht als sinnvoll erachtet habe. Meine Frage hat sich damit allerdings erledigt.

Lonny schrieb:Das ist einfach falsch. Es sind Einsformen (Koordinateneinsformen).

Mag sein. Du kannst wegen g ≡ ds² auch g(u, v) ≡ (u • v) schreiben, wenn es dir lieber ist, physikalisch betrachtet ist es dasselbe ("representation of the same physical quantity in the two alternative versions of vector and 1-form", MTW §13.2).

Lonny schrieb:Vielleicht musst du mir mal genauer erklären, wo du den Unterschied zwischen dem metrischen Tensor und der Metrik siehst (Ich kenne keinen).... Klär mich bitte ruhig auf, falls du andere Infos hast.

Die Metrik g_µν(x) definiert einen Abstandsbegriff auf einem metrischen Raum. Der (pseudo-)metrische Tensor g_µν ist eine positiv (semi-)definite Bilinearform auf einer (Pseudo)-Riemann'schen Mannigfaltigkeit. In der Regel wird der metrische Tensor in der Physik einfach Metrik genannt.

Lonny schrieb:vielleicht könntest du mal konkreter werden und mal Beispiele für solche Abstände bringen, damit ich verstehe, was du damit meinst. Und was genau ist praktisch?

Es ist praktisch, kurz und bündig zu formulieren, statt lange auszuholen. Solange man sich dabei an gängige Konventionen hält weiß jeder (der sich mit der Materie auskennt) was gemeint ist, und dann kann man auch mal 5 gerade sein lassen.

Was erwartest du für ein Beispiel? Du kannst beliebige Ereignisse nehmen, deren Abstand hinreichend klein ist. Falls es dir um die Formulierung an sich geht, genügen zwei Minuten googeln:

Der Abstand zweier Ereignisse in der vierdimensionalen Raumzeit ist durch den metrischen Tensor g (Einsteinsche Gravitationstheorie) festgelegt.

Quelle: https://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/abstand-raumzeitlicher-ereignisse/166

Bei solchen räumlich getrennten Ereignissen spricht man von einem raumartigen Abstand. Ereignisse, die einander beeinflussen können, haben dagegen einen zeitartigen Abstand.

Quelle: http://www.relativitätsprinzip.info/relative-gleichzeitigkeit.html (Archiv-Version vom 24.05.2023)

Dass damit kein räumlicher Abstand zu verstehen ist, ist logisch, alleine schon wegen ds² = dτ².

Bliebe die Frage offen, auf was sich dein ursprünglicher Einwand bezogen hat.

@Arrakai
Erstmal danke für die ganzen Links. Ich schau später nochmal genauer rein. Mein ursprüngliches Problem war, dass ich nicht verstehe, wie du nur (d.h. ohne Betrag/Integral und so weiter) mit ds^{2} einen Abstand zwischen Ereignissen bestimmen willst, die nicht infinitesimal beieinander sind und die dann noch mit Begriffen wie zeitartig, raumartig,...austattest. Das kann ja sein, dass das geht. Ich werde mich mal in ein paar Tagen mehr damit beschäftigen.

Arrakai schrieb:Mag sein. Du kannst wegen g ≡ ds² auch g(u, v) ≡ (u • v) schreiben, wenn es dir lieber ist, physikalisch betrachtet ist es dasselbe ("representation of the same physical quantity in the two alternative versions of vector and 1-form", MTW §13.2).

Es gibt Unterschiede zwischen ds^{2} und g, weshalb das Identisch-Symbol hier zu viel des Guten ist. Das eine ist linear, das andere nicht. Beides trägt diesselbe Information, weil es sich wie Bilinearform zu quadratischer Form zueinander verhält und deswegen ineinader umgerechnet werden kann, aber es ist deswegen nicht identisch.... ds^{2} ist eben handlicher und äquivalent -fertig. Muss man ja nicht gleich so übertreiben :)

Arrakai schrieb:Es ist praktisch, kurz und bündig zu formulieren, statt lange auszuholen. Solange man sich dabei an gängige Konventionen hält weiß jeder (der sich mit der Materie auskennt) was gemeint ist, und dann kann man auch mal 5 gerade sein lassen.

Ja, wenn ich es denn auch verstehe, ist ja gut. Aber ich weiß halt nicht, was gemeint ist, und weshalb das jetzt praktisch sein soll ...Aber es ist okay, du musst jetzt kein Beispiel liefern. Ich finde es schon heraus...5 bleibt aber trotzdem ungerade ;)

Arrakai schrieb:Die Metrik g_µν(x) definiert einen Abstandsbegriff auf einem metrischen Raum. Der (pseudo-)metrische Tensor g_µν ist eine positiv (semi-)definite Bilinearform auf einer (Pseudo)-Riemann'schen Mannigfaltigkeit. In der Regel wird der metrische Tensor in der Physik einfach Metrik genannt.

Arrakai schrieb:Wie bereits geschrieben, kommt dieses Beispiel überhaupt nicht in Betracht, wenn es um den metrischen Tensor im Rahmen der ART geht. Hier existieren nur die Möglichkeiten (-,+,+,+) und (+,-,-,-), weshalb ich das Beispiel so nicht als sinnvoll erachtet habe. Meine Frage hat sich damit allerdings erledigt.

...Ich fürchte, wir reden hier heftigst aneinander vorbei.

Definition der Größe?

Zunächst einmal ist allgemein bekannt, dass ein Schwarzes Loch eine Singularität ist und somit so groß wie ein Elektron sein könnte.

ABER: Immer wieder taucht die Definition auf, dass der Schwarzschildradius dazu gezählt wird, da sich dieser ja von der Masse her unterscheidet.
Ich diese Definition grundlegend falsch?
Wird dies als "Krücke" zur Verbildlichung tolleriert?


Gruß
Marcus

@Talax

Ist Dir schon mal aufgefallen, daß wir von einem "Schwarzen Loch" sprechen? Nicht von einem Punkt. Wieso also Loch? Und wieso schwarz?

Weil das Schwarze Loch definiert wird als ein "Raum ohne Wiederkehr", und zwar ein solcher, von dem nicht einmal Licht entweichen kann.

Jede Masse hat einen Schwarzschildradius. Von einem Schwarzen Loch sprechen wir, wenn die Masse sich innerhalb dieses eigenen Schwarzschildradius' aufhält. Dabei ist es erst einmal völlig egal, ob die Masse innerhalb dieses Radius' nun gleichverteilt "herumliegt" oder bis zur Singularität hin komprimiert ist, ja ob überhaupt noch von Materie, von Teilchen gesprochen werden kann. Das Wesentliche ist der Schwarzschildrand, auf dessen Höhe (beim Schwarzschildradius) nichts, nicht einmal mehr Licht, entweichen kann. Der Schwarzschildrand, das ist das, was "schwarz" ist und wie ein "Loch" wirkt (verschlingend). Die den Schwarzschildrand bildende Masse muß sich dafür wie gesagt nur innerhalb des Schwarzschildradius' befinden, die Singularität ist dafür erst mal nachrangig.

@Talax

Talax schrieb:Zunächst einmal ist allgemein bekannt, dass ein Schwarzes Loch eine Singularität ist und somit so groß wie ein Elektron sein könnte.

ABER: Immer wieder taucht die Definition auf, dass der Schwarzschildradius dazu gezählt wird, da sich dieser ja von der Masse her unterscheidet.
Ich diese Definition grundlegend falsch?

Es ist doch egal, ob du r=0 als schwarzes Loch definierst oder 0<r<2M. Es ändert doch überhaupt nichts an der Physik/Mathematik dahinter. Es geht, letztlich um den Bereich 0<r<2M, der von außen als schwarze Scheibe erscheint. Es ist auch nicht allgemein bekannt, dass r=0 das Schwarze Loch ist, sonst würde man doch nicht andauernd auf die andere Definition treffen. Im Übrigen frage ich mich, ob es Sinn ergibt, eine Definition dieser Art mit „richtig“ oder „falsch“ zu bewerten.

@Arrakai

Arrakai schrieb:Bliebe die Frage offen, auf was sich dein ursprünglicher Einwand bezogen hat.

Ursprünglich meinte ich, dass das zeitartige Koordinatenvektorfeld \partial_{t} und das raumartige Koordinatenvektorfeld \partial_{r} am EH wegen des Vorzeichenwechsels von g_{tt} und g_{rr} die Rollen tauschen. D.h., \partial_{t} wird raumartig und \partial_{r} zeitartig. Daraufhin meintest du

Arrakai schrieb:Es geht zwar tatsächlich um einen Tausch von Raum- und Zeitkoordinaten, aber man kann nicht sagen, dass zeitartige Abstände plötzlich raumartig werden oder umgekehrt. Wäre es so, dann würde der Freifaller sich auf einer raumartigen Geodäte bewegen, und eine solche, tachyonische Bewegung würde es ihm ermöglichen, den Bereich hinter dem Ereignishorizont zu verlassen.

basierend auf deiner Feststellung

Arrakai schrieb:Ob raum- oder zeitartig wird nicht an gtt und grr alleine festgemacht, du musst den kompletten metrischen Tensor berücksichtigen. Bei ds²<0 ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen raumartig, bei ds²>0 ist er zeitartig und bei ds²=0 ist er lichtartig.

…du hast mich also darauf hingewiesen, dass ich etwas falsch verstehe und meine Wortwahl nicht richtig ist. Das ist aber offenbar eine Fehlbewertung von dir gewesen. Da ja nun wirklich alle zeitartigen Tangentialvektoren hinterm EH zu raumartigen werden und andersherum (wegen des VZ-Wechsels in Schwarzschildkoordinaten, der da ja nun mal zu beobachten ist am Schwarzschild-Linienelement)...und weil wir hier ja im Wissenschaftsforum sind, muss man ja nicht unnötiger Weise auf seinem falschen Standpunkt berharren. Abgesehen davon impliziert meine Aussage nicht, dass ein zeitartiger Abstand (was auch immer das nun genau sein mag) sich innerhhalb einer Raumzeit ändert, weil hinterm EH nun mal eine andere Raumzeit gegeben ist.

Arrakai schrieb:Der (pseudo-)metrische Tensor g_µν ist eine positiv (semi-)definite Bilinearform auf einer (Pseudo)-Riemann'schen Mannigfaltigkeit.

...übrigens solltest du echt nochmal genau überlegen, ob dieser Satz Sinn ergibt. Ganz besonders im Zusammenhang mit der ART ;)

Lonny schrieb:Mein ursprüngliches Problem war, dass ich nicht verstehe, wie du nur (d.h. ohne Betrag/Integral und so weiter) mit ds² einen Abstand zwischen Ereignissen bestimmen willst, die nicht infinitesimal beieinander sind und die dann noch mit Begriffen wie zeitartig, raumartig,...austattest. Das kann ja sein, dass das geht. Ich werde mich mal in ein paar Tagen mehr damit beschäftigen.

Wer sagt denn, dass in diesem Fall kein Integral genutzt wird? Das Linienelement ist definiert für infinitesimale Abstände zwischen Ereignissen, also zwischen x^α und x^α + dx^α. Da ds² ein Differential ist, musst du bei weiter voneiner entfernten Ereignissen natürlich integrieren, und zwar entlang der Verbindungskurve (Geodäte, beim Freifaller identisch mit der Weltlinie). Sofern der Abstand lichtartig ist, gilt per Definition ds² = 0 (Nullgeodäte). Bei raumartigen Abständen wird es etwas komplizierter, da die beiden Ereignisse nicht im selben Lichtkegel liegen. Hier tut man sich ggf. mit der Signatur (-,+,+,+) wegen ds²=-dτ² etwas leichter.

Lonny schrieb:Es gibt Unterschiede zwischen ds² und g, weshalb das Identisch-Symbol hier zu viel des Guten ist.

MTW nutzen das Symbol wenn der "output" identisch ist, in diesem Fall von g(ξ,ξ) und ds² (wobei ξ für Tangentialvektor bzw. Ereignis steht). Aber ich denke, daran wird es jetzt nicht scheitern... ;-)

Lonny schrieb:Ja, wenn ich es denn auch verstehe, ist ja gut. Aber ich weiß halt nicht, was gemeint ist, und weshalb das jetzt praktisch sein soll ...Aber es ist okay, du musst jetzt kein Beispiel liefern.

Naja, praktisch ist es manchmal bspw. von einer Metrik zu sprechen, statt immer genau zwischen Metrik, metrischem Tensor und Linienelement zu unterscheiden. Man spricht dann von der Schwarzschild-Metrik, auch wenn man das Linienelement hinschreibt. Praktisch ist es auch, die Formeln in natürlichen/geometrisierten Einheiten zu notieren.

Lonny schrieb:übrigens solltest du echt nochmal genau überlegen, ob dieser Satz Sinn ergibt. Ganz besonders im Zusammenhang mit der ART

Du meinst weil eine Lorentzmannigfaltigkeit nicht positiv (semi-)definit ist? Logisch, sonst gäbe es keine raumartigen Abstände. Der metrische Tensor der ART ist genau genommen weder ein metrischer noch ein pseudo-metrischer Tensor sondern lediglich eine symmetrische Bilinearform. Das intressiert aber keinen Phyiker, soviel zum Thema "praktisch"...

Lonny schrieb:Das ist aber offenbar eine Fehlbewertung von dir gewesen.

Eher ein Missverständnis, weil ich dachte, dass du darauf abzielst, dass sich zeitartige zu raumartigen Weltlinien ändern. Das tust du offenkundig nicht (ich nehme an, dass du Weltlinie statt Abstand schreiben würdest, wenn du das Konzept mal verinnerlicht hast):

Lonny schrieb:Abgesehen davon impliziert meine Aussage nicht, dass ein zeitartiger Abstand (was auch immer das nun genau sein mag) sich innerhhalb einer Raumzeit ändert, weil hinterm EH nun mal eine andere Raumzeit gegeben ist.

Deine Schlussfolgerung ist so oder so korrekt:

Lonny schrieb am 23.02.2023:Daher würde ich jetzt sagen, dass es nicht so zu interpretieren ist, dass nun Zeit im Schwarzen Loch nicht mehr “vorwärts” läuft. Man könnte den Effekt aber dahingehend interpretieren, dass ein räumliches "Zurückgehen" innerhalb des Ereignishorizonts ebenso unmöglich ist wie eine Rückwärtsbewegung in der Zeit außerhalb des Ereignishorizonts (Weil Raum- und Zeitkoordinate ja gerade die Rollen tauschen).

Der Koordinatentausch hat in der Tat keine andere physikalische Relevanz als die Tatsache, dass der Freifaller sich nur noch Richtung Singularität (genauer zukünftiger zeitartiger Unendlichkeit) bewegen kann. Ich würde hier gerne ein Penrose-Diagramm einbinden, aber das sieht wegen der Transparenz auf schwarzem Hintergrund bescheuert aus. Siehe daher hier:

https://umwelt-wissenschaft.de/forum/naturphilosophische-themen/3391-gibt-es-singularitaeten#62773 (Archiv-Version vom 05.10.2022)

Es ist spät: Natürlich gerade nicht die zukünftige zeitartige Unendlichkeit. Nur Singulrität, den Teil in Klammern bitte gedanklich streichen…

Arrakai schrieb:MTW nutzen das Symbol wenn der "output" identisch ist, in diesem Fall von g(ξ,ξ) und ds² (wobei ξ für Tangentialvektor bzw. Ereignis steht). Aber ich denke, daran wird es jetzt nicht scheitern... ;-)

Eine andere Erklärung wäre, dass sie das Symbol als Äquivalenzzeichen verwenden. Das wusste ich vorher auch nicht, aber man kann das Symbol anscheinend auch dafür nutzen – was auch erklärt, weshalb der Latexcode \equiv ist :D
Wikipedia: List of logic symbols

Arrakai schrieb:Naja, praktisch ist es manchmal bspw. von einer Metrik zu sprechen, statt immer genau zwischen Metrik, metrischem Tensor und Linienelement zu unterscheiden. Man spricht dann von der Schwarzschild-Metrik, auch wenn man das Linienelement hinschreibt. Praktisch ist es auch, die Formeln in natürlichen/geometrisierten Einheiten zu notieren.

Eine Unterscheidung ist unnötig. Eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit ist i.A. kein metrischer Raum – insbesondere ist eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ÜBERHAUPT kein metrischer Raum. Im Spezialfall der Riemannschen Mannigfaltigkeiten kannst du über den metrischen Tensor eine klassische Metrik erhalten. Aber im Kontext ART bedeutet Metrik eben etwas Eigenes. Die Unterscheidung zwischen Linienelement und metrischem Tensor ist nicht wesentlich von Bedeutung.

Arrakai schrieb:Du meinst weil eine Lorentzmannigfaltigkeit nicht positiv (semi-)definit ist? Logisch, sonst gäbe es keine raumartigen Abstände. Der metrische Tensor der ART ist genau genommen weder ein metrischer noch ein pseudo-metrischer Tensor sondern lediglich eine symmetrische Bilinearform. Das intressiert aber keinen Phyiker, soviel zum Thema "praktisch"...

Die zeitartigen Abstände sind das Problem, nicht die raumartigen. Der metrische Tensor (ob riemannscher oder pseudo) ist ja als 2-fach kovarianter Tensor immer eine Bilinearform. Im Riemannfall ist er halt pos. def. und das wird in dem allgemeineren Fall durch nicht-entartet ersetzt (Im Lorentzfall dann symmetrisch und nicht-entartet)…
Ich kann mir das nicht so ganz vorstellen, dass Physiker wie Einstein, Dirac, Pauli, Heisenberg, Feynman, Weinberg, Hawking, Penrose, MTW und wie sie alle hießen/heißen, an solchen Sachen kein Interesse zeigten. Es ist ja kein Nachteil, wenn man etwas Übersicht hat und Licht ins Dunkle bringt. Möglicherweise hilft es auch dabei, auf neue Ideen zu kommen….jetzt könntest du noch sagen „Jaaaaaa, das sind aber auch alles die theoretischen Physiker, die dafür keine Gasflasche öffnen können 😉…“

Arrakai schrieb:Der Koordinatentausch hat in der Tat keine andere physikalische Relevanz als die Tatsache, dass der Freifaller sich nur noch Richtung Singularität (genauer zukünftiger zeitartiger Unendlichkeit) bewegen kann. Ich würde hier gerne ein Penrose-Diagramm einbinden, aber das sieht wegen der Transparenz auf schwarzem Hintergrund bescheuert aus. Siehe daher hier:

Danke! Hatte bisher nur das Kruskaldiagramm mir angeguckt. Ob die Sektoren (III) und (IV) wohl existieren? ...als Ort der Antimaterie oder so :D

Lonny schrieb:Eine Unterscheidung ist unnötig. Eine Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit ist i.A. kein metrischer Raum – insbesondere ist eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ÜBERHAUPT kein metrischer Raum. Im Spezialfall der Riemannschen Mannigfaltigkeiten kannst du über den metrischen Tensor eine klassische Metrik erhalten. Aber im Kontext ART bedeutet Metrik eben etwas Eigenes. Die Unterscheidung zwischen Linienelement und metrischem Tensor ist nicht wesentlich von Bedeutung.

Gemeinhin fasst man beides mit dem Wort Metrik zusammen, solange man nicht weiter differenzieren muss. Deine Formulierung "von dem gesamten Linienelement oder der Metrik" ist von daher nicht sinnvoll, da man Linienelement und Metrik in diesem Kontext gerade nicht abgrenzen kann. Wenn man allerdings einen metrischen Tensor sehen möchte, dann sollte man eher nicht (nur) nach dem Linienelement fragen. Die Zerlegung in die einzelnen metrischen Koeffizienten kann zuweilen mühsam sein (zumindest, wenn man es auf einem Blatt Papier machen will).

Lonny schrieb:Die zeitartigen Abstände sind das Problem, nicht die raumartigen.

Zumindest ich habe nie geschrieben, dass raumartigen Abstände ein Problem seien. Man muss allerdings auf das Vorzeichen achten, von daher sind sie etwas komplizierter zu handehaben. Unabhängig davon sehe ich auch kein Problem mit zeitartigen Abständen, man muss halt auch hier einige Dinge beachten.

Lonny schrieb:Der metrische Tensor (ob riemannscher oder pseudo) ist ja als 2-fach kovarianter Tensor immer eine Bilinearform. Im Riemannfall ist er halt pos. def. und das wird in dem allgemeineren Fall durch nicht-entartet ersetzt (Im Lorentzfall dann symmetrisch und nicht-entartet)…

Das ist korrekt und teilweise auch im Kontext über den wir diskutieren relevant, aber weshalb stellst du das jetzt einfach so in den Raum? Eine Argumentation kann ich nicht erkennen. Richtig ist allerdings - falls du darauf hinauswolltest -, dass im Falle einer Lorentzmannigfaltigkeit zwei Ereignisse im Allgemeinen keinen wohldefinierten Abstand haben. Allerdings gilt, und das ist wichtig, das Prinzip der maximalen Eigenzeit. D.h. wenn zwei Ereignisse durch genau eine zeitartige Geodäte verbunden sind, dann hat die zugehörige Weltlinie die größte Eigenzeit unter allen kausalen Weltlinien. Aus genau diesem Grund ist die ART "nur" eine lokale Theorie.

Lonny schrieb:Jaaaaaa, das sind aber auch alles die theoretischen Physiker, die dafür keine Gasflasche öffnen können

Ich würde eher sagen, dass das "auch alles die theoretischen Physiker" sind, die das zwar ganz genau wissen, denen es im Kontext der Relativitätstheorie aber herzlich egal ist, eben weil es tatsächlich einfach egal ist. In den meisten einführenden Büchern und auch im MTW wird darauf hingewiesen, und es wird mehr oder minder detailliert ausgeführt, aber relevant für das Verständnis ist es nicht. Deshalb würde ich mich selbst auch (vorsichtig fomuliert) nicht gerade als einen Experten auf diesem Gebiet bezeichnen.

Lonny schrieb:Ob die Sektoren (III) und (IV) wohl existieren?

Die beschreiben ein weißes Loch. Ob es so etwas gibt, kann wohl niemand mit Bestimmtheit sagen.