Inverse Funktionen

Ok, aber unter welchen Bedingungen ist die Umkehrfunktion eine Spiegelung der Normalfunktion um y = x? Es kommt ja dabei nicht unbedingt drauf an, dass die Funkrion bijektiv sein muss. bei y = x^3, die ja bijektiv ist, lässt sich eine eindeutige Umkehrfunktion y = x^(1/3) bilden, die jedoch keine Spiegelung des Graphen um die Symmetrieachse y = x ist. Funktioniert sowas überhauptmal, außer bei linearen?

Also ist die Umkehrfunktion nicht notwendigerweise bijektiv, selbst wenn die Ursprungsfunktion bijektiv ist? Bei Potenzfunktionen, die ja bijektiv sind, sind die Umkehrfunktionen nur injektiv und keine Spiegelungen mehr der Ursprungsfunktion.

Ich bilde mir ein das f(x)=x^(1/3) eine Spiegelung von x³ um y=x wäre! Zumindest wenn ich die beiden Funktionen mir in Gedanken anschaue...

Der Horizont der meisten Menschen ist ein Kreis mit dem Radius Null, und das nennen sie ihren Standpunkt

@maik: Jede Funktion ersten Grades wird durch die Umkehrfunktion so abgebildet, das es einer Spiegelung entspricht an y=x.

N/A

Ja ich weiß aber ich versteh irgendwie ned ganz, wann eine Funktion eine gültige Umkehrfunktion hat, die aber auch eben eine Spiegelung um die Symmetrieachse y = x ist. Bei linearen Funktionen ganz klar und einfach.
Jede lin. Fkt. mit y = ax + b hat y = x/a - b/a als Umkehrfunktion und dieser Graph ist eine Spiegelung des Originalgraphen um die Symmetrieachse y = x und ist bijektiv und stetig.
Ausgeschlossen sind alle Funktionen, die mehrere Lösungsmengen haben, das is klar, da die Umkehrungen dazu führen würden, dass einem Argument x mehrere Funktionswerte zuliegen (Wiederspricht dem Gesetz der Eindeutigkeit von Funktionen). Daher lässt sich so eine Ableitung eigentlich nie darstellen. Aber dennoch gibt es Funktionen, die nur surjektiv sind, wo sich jedoch Umkehrfunktionen berechnen lassen ( y= sinx; y = x^2; ^3...) Diese sind dann nur keine Siegelungen mehr, wie bei den lin. Funktionen.
Bei der Funktion y = 1/x - (Kann man die als Bijektiv bezeichnen ? Oder ist die injektiv, da es ja kein y = 0 gibt ? ) - jedenfalls hat diese unstetige Funktion eine eindeutige gespiegelte Umkehrfunktion, nämlich y = 1/x, die bleibt unverändert, spiegelt sich jedoch selbst um y = x.

Also ab wann ist nun genau eine richtige Umkehrfunktion zu ermitteln? Ob die dabei eine Spiegelung ist oder nicht, spielt wohl keine Rolle, da die meisten erlaupten Umkehrfunktionen injektiv sind, auch wenn die originale Funktion bijektiv war und somit keine Spiegelung stattfindet z.B. bei y = x^3 (bijektive stetige Funktion -> Umkehrfunktion lässt sich eindeutig bestimmen) ist die Umkehrfunktion ja y = x^(1/3) stetig aber nicht bijektiv, also das ganze Zeug is irgendwie verwirrend. Gibts da noch andere Resetzmäßigkeiten nach denen man gehen muss, um zu wissen, wann eine Umkehrfunktion eine Spiegelung um y = x ist oder nicht?

MFG

Maik

mhh, die Umkehrfunktion von x^2 ist aber auch nicht eindeutig.

N/A