Inverse Funktionen

Hallo an alle, ich hab mal ne dumme Frage, kann mir da irgendwie ned weiterhelfen Oo

Und zwar, wie kann man eine Funktion n-ten Grades umkehren, sodass y wieder alleine steht? Ist das irgendwie möglich?

Bei linearen Funktionen geht es ja, indem man die Variablen tauscht und wieder nach y auflöst, also
f(x) = y = ax + b
f^-1(x) = x = ay + b
f^-1(x) = ay = x - b
f^-1(x) = y = x/a - b/a

somit wäre y = x/a - b/a die inverse Form von y = ax + b, weil ja gilt:
f(x) ° f^-1(x) = g(x) = f(f^-1(x)) = f(x/a - b/a) = a(x/a - b/a) + b = ax/a - ab/a + b = x

und y = x ist ja das neutrale Element der verknüpften Menge aller Linearen Funktionen...

Aber wie geht das bei Funktionen 2., 3. oder 4. Grades bzw höheren Grades? Variablentauschen geht schlecht und Lösungsformeln kann man auch schlecht einsetzen...
Also geht das irgendwie, und wenn, wie?

MFG Maik

Vielen Dank an die, die sich die Mühe machen;-)

Du meinst jetzt, dass du die Umkehrfunktion bestimmen willst?

Joa, also bei Funktionen höheren Grades macht das keinen Sinn, da ja dann die Umkehrfunktion nicht mehr einer Spiegelung der Ursprungsfunktion an y=x entspricht.

Aber du sollst eine Antwort bekommen:
y=x^2 ==> x=y^2 und somit y=+Wurzel(x) oder -Wurzel(x)

y=x^3 ==> x=y^3 ==> ... ==> y=x^(1/3)

y=a*x^2 +b*x + c ==> x=a*y^2 +b*y + c ==>
Lösungsformel:
y= -b +- wurzel(b^2-4ac)/2a

für Gleichungen der form x=y^3+...+c und der Form x=y^4+...+c kannst du Lösungsformeln verwenden, geht es aber über y^4 (also y^5, ...), dann gibt es keine Lösungsformeln mehr.

Aber es macht wirklich keinen Sinn, das an Funktionen 2,3,4 Grades zu machen.

N/A

muhahaha
das is gut fürs zwerchfell wenn oberheimer wieder da is und seine geballten infos loslässt

nicht verzagen oberheimer fragen

wie macht der typ das -.-
bei palla das selbe (nur so am rande)

btw:
x und y vertrauschen oder wie hab ich das verstanden


Wer glaubt etwas zu sein hat aufgehört etwas zu werden

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erkennt jemand ein fragezeichen

jetzt dealt er schon mit fragezeichen.
hab zwar nix verstanden, aber bei soviel zeichen wird es wohl stimmen :)

zitat shadow: "Kreis: 288 Beiträge (288 Spam)"
zitat schdaiff: "Du musst deine Sig ändern ... jetz sins ja en paar mehr Spams *g*"
zitat oxayotel:"hat inzwischen mehr als die Doppelte Anzahl an Spam^^"
zitat ThomasCock: "@kreis will auch in deine signatur ^^"

hab versucht aus ? ein grosses ? zusamen zusetzen

Ist ja gut @kilic wir sehen es alle.

Könnt ihr mal die 2 weglassen wenn ihr mich ansprecht.

@ Maik: Die Funktion f:D->R muss auf I=[a,b] aus D stetig injektiv sein.

So hat beispielsweise die brave Funktion f:R->R mit f(x)=y=x² auf [0,oo) für alle y aus [0,oo) die Lösungen x=+sqrt(y), -sqrt(y). Dann gibt es eben zwei Funktionen g1,g2:[0,oo) -> R mit g1(x)=sqrt(y) und g2(x)=-sqrt(y)
Leider sind aber g1 und g2 nicht die einzigen Funktionen, die y=f(x) nach x=f(y) auflösen, sondern gibt es unendlich viele, da wir für jedes y auswählen können, ob wir g1 oder g2 nehmen. Es muss also verlangt werden, dass die Funktion eine, und nur eine, Lösung besitzt.
Es macht keinen Sinn, überall inverse Funktionen zu suchen, Gleichungen höheren Grades kannst du eh nicht umstellen. Für den Logarithmus Naturalis, den Arcus Sinus oder dergleichen hat man unendliche Reihen, welche man findet, indem man die Eigenschaften der Funktionen betrachtet.

da hat jmd. echt aufgepasst... *daumenhoch* ^^

zitat shadow: "Kreis: 288 Beiträge (288 Spam)"
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an oberheimer nat. auch ;)

zitat shadow: "Kreis: 288 Beiträge (288 Spam)"
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Ok, Vielen Dank erstmal für die Antworten!

Hab nochmal ne ganz andere Frage, hab bloß keine Ahnung, wo ich die hinstellen soll Oo, deswegen mach ich se glei hier mit rein^^:
Is hier irgendjemand, der sich extrem gut mit Mathe auskennt und lange Weile hat?^^ Ich hab für den Abschluss der 10 für meine Mathelehrer einen recht komplizierten Test geschrieben, der müsste nur mal kontrolliert werden, also die Lösungen, an sich müsste alles stimmen aber es geht um Kleinigkeiten...
Wer mal lage Weile hat, kann sich mal melden, würde mich wirklich sehr freuen^^

MFG

Maik

gebe Oberheimer recht

@mûreth reicht Injektivität als bedingung für ne Umkehrfunktion? ich dachte die müssten Bijektiv sein!?

Der Horizont der meisten Menschen ist ein Kreis mit dem Radius Null, und das nennen sie ihren Standpunkt

Y = gleich y
y = gleich Y = nicht X sondern alpha Centaurus in <3 - u* x 73 ganze ergibt einen Stellenwert von Nüssen ;-)

Diesser, mein Leib - ist nicht mein wahres ICH...

@maik: Gebe mir mal eine Aufgabe, mal schauen, ob das Interesse da ist zu überprüfen, ob die Lösungen, ... richtig sind.

N/A

@jocelyn:

Die Exponentialfunktion hat ein Bildintervall (0,oo) und ist injektiv - ihre Umkehrfunktion ist der Logarithmus Naturalis. Eine bijektive ist injektiv und surjektiv; Surjektivität ist aber nicht notwendig für eine Umkehrfunktion.

@mûreth: ;)

N/A

@Mûreth
Warum ist Surjektivität nicht notwendig? Bei einer Umkehrung, wird die Zuordnung umgekehrt, dass heißt, wenn bei der Funktion f(x) nicht jedem Funktionswert ein Argument angehört aber wenn, dann ausschließlich eines (Injektivität) heißt das doch, dass bei der Umkehr einige Argumente keinen Funktionswert besitzen oder? Verstößt das nicht gegen die Eindeutigkeit von Funktionen? Also soweit ich weiß, muss eine Funktion bijektiv sein, damit sich eine eindeutige Umkehrfunktion ermitteln lässt. (Jetzt zumindest)

@ Maik: Es macht nichts, solange die Funktion auf einem Intervall stetig ist; es geht nur darum, dass die Funktion an einer Stelle höchstens eine Lösung besitzt. Nimm z.B. die Exponentialfunktion, Ihr Bildbereich ist wie schon gesagt das Intervall I=(0,oo), nimmt also keine Werte kleinergleich 0 an, wir aber beliebig groß. Daher ist sie nicht surjektiv, sondern nur injektiv. Ihre Umkehrfunktion ln(x) ist also auch nur auf I=(0,oo) definiert, aber injektiv und damit bestimmt. Falls dir das nicht einleuchtet, so bedenke dass der Logarithmus Naturalis existiert und ich daher recht haben muss ;)

Danke Mureth, das Beispiel mit exp(x) ist einleuchtend!

Der Horizont der meisten Menschen ist ein Kreis mit dem Radius Null, und das nennen sie ihren Standpunkt