Haben wir die Mathematik (etc.) "erfunden" oder "entdeckt"?

Noumenon schrieb:Nein, der ist mir nicht klar. Inwiefern entspringt bspw. das Konzept "Higgs-Boson" der Sinneswahrnehmung? Hab' noch nie eins gesehen. Du?!

Das Higgs-Boson ist auch eine Erfindung, keine Entdeckung. Auch wenn man es im LHC "entdeckt" hat, so basiert diese Entdeckung auf Theorien, welche durch Selbstwahrnehmung entstanden sind. Ich bin nicht unbedingt Vertreter des wissenschaftlichen Realismus. Elektronen, Higgs-Bosonen etc. sind alles Teile eines Modells, welches wir uns zusammengebastelt haben, durch Selbstwahrnehmung, um unsere Sinneswahrnehmungen sinnvoll zu verknüpfen.

Noumenon schrieb:Wie schon gesagt, trifft das auf alle unsere Konzepte zu. Nimm' etwa das Konzept "Wald". In der Natur mag es zwar viele Bäume geben, doch wo findet man einen Wald...?

Kern ist das, was direkt danach kommt:

Izaya schrieb:Während wir bei den empirischen Naturwissenschaften ja noch versuchen, die Realität darzustellen, ist dies bei der Mathematik nicht der Fall

Die Idee Wald ist tatsächlich eine komplexe Idee, zusammengesetzt aus vielen Entdeckungen. Es ist keine einzelne Sinneswahrnehmung, die einen Wald ausmacht, sondern die Kombination von vielen. Trotz allem zielt diese Idee darauf ab, etwas sinnlich Wahrnehmbares zu beschreiben.

Wobei das Konzept des Waldes natürlich ebenfalls erfunden ist, aber das nur nebenbei.

Noumenon schrieb:Dahinter steckt das Konzept der sog. "Klasse" oder "Klassifizierung". Das kann man nicht nur auf Anzahlen anwenden, sondern bspw. auch auf Schafe, Tische, Lebewesen, Planeten, Betriebssysteme, Kräfte or whatever...

Mit dem Unterschied, dass "alle Mengen mit der Eigenschaft der Dreiheit" nichts ist, was man aus Wahrnehmungen zusammenbasteln kann.

Noumenon schrieb:Doch, selbstverständlich. Es sei denn, du möchtest bspw. bestreiten, dass "Dinge" (arbeiten wir ruhig mit diesem Begriff) in einer "Anzahl" vorliegen können, wie bspw. "Schafe", "Planeten" or whatever...

Wenn ich topologisch einen Beweis führe, der eine 39486298576293487 Dimensionale Sphäre beinhaltet, ist das empirisch?
Mathematik basiert nicht auf Erfahrung (Empirie), sondern auf Axiome aus denen logisch Aussagen hergeleitet werden.

Izaya schrieb:Ich bin nicht unbedingt Vertreter des wissenschaftlichen Realismus.

Okay, mir kam schon ein leiser Verdacht und jetzt verstehe ich auch eher deine Ausführungen (naja, mehr oder weniger... antirealistische Positionen erscheinen mir eher unverständlich).

Izaya schrieb:Elektronen, Higgs-Bosonen etc. sind alles Teile eines Modells, welches wir uns zusammengebastelt haben, durch Selbstwahrnehmung, um unsere Sinneswahrnehmungen sinnvoll zu verknüpfen.

Konzepte, ja. Und du tendierst also eher zum Sensualismus? Nur Sinnesdaten (Qualia) sind real?

Izaya schrieb:Die Idee Wald ist tatsächlich eine komplexe Idee, zusammengesetzt aus vielen Entdeckungen.

Izaya schrieb:Wobei das Konzept des Waldes natürlich ebenfalls erfunden ist, aber das nur nebenbei.

Ja, wie schon die Idee "Baum", aber ich wollte es natürlich nicht zu kompliziert machen...

Izaya schrieb:Mit dem Unterschied, dass "alle Mengen mit der Eigenschaft der Dreiheit" nichts ist, was man aus Wahrnehmungen zusammenbasteln kann.

Doch, die Generalisierung von Anzahlen gelingt Kleinkindern ab einem gewissen Alter mühelos und vermutlich sogar Tieren.

Selbstverständlich handelt es sich bei "Zahl" oder "drei" um Konzepte so wie "Ball". Aber natürlich sind Konzepte selbst keine Wahrnehmungsinhalte, sondern darauf basierende Abstraktionen.

Und wenn du meinst, Zahlen könne man nicht aus der Wahrnehmung "zusammenbasteln", woraus dann? Wie möchtest du bspw. Kindern Zahlen begreiflich machen, ohne dabei auf empirische Gegebenheiten (drei Feuerwehrautos, drei Äpfel, drei Finger, drei Bälle usf.) zu referieren?

Izaya schrieb:Wenn ich topologisch einen Beweis führe, der eine 39486298576293487 Dimensionale Sphäre beinhaltet, ist das empirisch?

Vermutlich nicht.

(Einige) Aussagen der elementaren (euklidischen) Geometrie kann man allerdings empirisch überprüfen und selbst mit Hilfe der (reichlich abstrakten) Algebra lassen sich bspw. Aussagen über die Möglichkeit der Konstruktion mit Zirkel und Lineal ableiten, die dann ganz reale Auswirkungen und einen klaren Bezug zur Empirie haben...
Wikipedia: Würfelverdoppelung#Aufgabe

Es kommt aber noch "schlimmer", Beispiel: Riemann'sche Geometrie und ART...
Wikipedia: Riemannsche Geometrie#Entstehung

Wie es überhaupt sein kann, dass etwas, das mit der Realität überhaupt nichts zu tun hat (Riemann'sche Geometrie, ca. 1854), plötzlich doch etwas mit der Realität zu tun hat (ART, ca. 1913), dürfte ziemlich schwierig zu begründen sein, wenn man mathematische Konzepte und Aussagen für reine Erfindungen ohne Bezug zur empirischen Wirklichkeit hält.

Aber gut, wenn man schon auf den wissenschaftlichen Realismus nicht so viel gibt...

Izaya schrieb:Mathematik basiert nicht auf Erfahrung (Empirie), sondern auf Axiome aus denen logisch Aussagen hergeleitet werden.

Das eine schließt das andere nicht aus, siehe:
Wikipedia: Axiom#Naturwissenschaftlicher Axiombegriff

Axiome sind - mit Blick auf's Münchhausen-Trilemma - lediglich Aussagen, die ohne weitere Begründung als wahr angesehen werden. Daraus folgt allerdings nicht, dass sie frei erfunden oder willkürlich wären.

Noumenon schrieb:Und du tendierst also eher zum Sensualismus?

Noch nie gehört. Muss mich da mal einlesen.

Noumenon schrieb:(Einige) Aussagen der elementaren (euklidischen) Geometrie kann man allerdings empirisch überprüfen

Wie muss ich mir das vorstellen? Wenn eine Aussage in der euklidischen Geometrie wahr ist, also mathematisch bewiesen (oder Axiom), dann gibt es da nichts mehr zu überprüfen. Und wenn eine Aussage vielleicht Wahr oder vielleicht Falsch ist, ist die Empirie vielleicht eine Inspirationsquelle, aber doch kein echtes Instrument zur Überprüfung.

Würde ich den Wert der Kreiszahl Pi mithilfe eines Kreises überprüfen wollen, würde ich zu dem Ergebnis kommen, Pi habe endlich viele Nachkommastellen (da Messungen eine endliche Genauigkeit haben). Mathematisch nicht nur irrelevant (da kein mathematischer Beweis), sondern auch noch falsch.

Noumenon schrieb:Axiome sind - mit Blick auf's Münchhausen-Trilemma - lediglich Aussagen, die ohne weitere Begründung als wahr angesehen werden. Daraus folgt allerdings nicht, dass sie frei erfunden oder willkürlich wären.

Euklidische und Hyperbolische Geometrie haben Axiome, die sich widersprechen (Parallelenaxiom vs. hyperbolisches Axiom). Es können nicht beide Gleichzeitig wahr sein. Wenn man sie als zwei verschiedene Erfindungen der Menschheit betrachtet, stellt das kein Problem dar. Wenn man sie für empirisch hält, sehr wohl, denn dann wären die Geometrien ja Abbildungen (unserer Wahrnehmung) der Realität. Sie könnten nicht beide gleichzeitig wahr sein. Und doch sind sie es, qua Definition. Es ist nicht wie bei Einstein und Newton, wo ein neues, besseres Modell das alte ablöst. Beide Geometrien haben einen absoluten Wahrheitswert. Inwieweit sie die Realität abbilden ist eine andere Sache, die aber vollkommen uninteressant ist, weil Mathematik inhärent nichts mit der Realität zu tun hat.

So, wie wir Sprache mittlerweile nutzen können, um Sachen zu beschrieben, die nicht existieren(da fantasiert), geht es auch mit der Mathematik. Und wie die Sprache, ist Mathematik erfunden.

Klar, so wie die Sprache sich in Bezug zu unseren Wahrnehmungen entwickelt hat, als Instrument zu beschrieben, was wir Wahrnehmen, ist es mit der Mathematik geschehen. Aber die Mathematik ist eben dieses Instrument zur Beschreibung. Wir sehen vielleicht drei Schafe, drei Feuerwehrautos, usw., aber daraus ergibt sich ebenso wenig die Entdeckung der Drei, wie sich die Entdeckung des Wortes Schaf aus der Sichtung eines Schafes ergibt.

neoschamane schrieb:JacobMonod schrieb:
Alles, was man an Dingen wahrnehmen kann, so dass man die Relationen zwischen den Dingen u.a. mit Hilfe von Mathematik beschreiben kann.

also sind fuer dich die "dinge an sich" da, aber nicht die relationen zwischen den dingen?
und die "dinge an sich" sind entdeckt/gefunden, nicht aber deren relationen?

Die Dinge und das Sein der Dinge und die "Dinger" die lebendiges sind...Fortbewegungsfähigkeit...(nicht fertig geschrieben, Textlängenbegrenzung incl. zensierendes Schwurbelverbot).

"relation" bedeutet die Beziehung zwischen den Dingen?
Hm,....
...hier das was mir jetzt gerade zu dem Themading, den Dinge und ihre BeziehungEN einfällt....:
Ich mache mir zuerst, stickpunktartig, ein paar Grundtriggergedanken zu den generellen/grundsätzlichen Grundlagen einer Bezehung.
Infolge, wenn ich noch Zeit habe, gibt es noch ein paar Gedanken von mir, zu dinglichem Ding und WesenDing.

- Geknüpfte und ungeknüpfte Beziehungen sind von sehr langer bis sehr kurzer Haltbarkeit.
- Beziehungen die nur ein paar Stunden andaueren, sind Begegnungen. Etwas brachte 2 bis X kurzeitig zusammen, dabei berührten oder behrührten sie sich nicht. Also ich meine, dass sich die Wege von mind. 2 kreuzen. (Eine Kreuzung ist ja schnell überquert, also hat man schnell hinter sich gebracht. Kurz mal über die Teerstrasse, eine flüchtige Berührung mit dem Kanaldeckelloch, das wars. Fast so wie im Universum. Na ja heutzutage haben Fusgänger die den Kreuzweg nehmen ggf etwas Abgasasche auf dem Haupt und/oder in der Lunge.
(soorry, muss mich textlich verschwurbeln, geht nicht anders, denn das ist es. die Kunst das eine mit dem anderen in Beziehung setzen zu können. Das konnte Leonardo da Vinci, und jeder Mensch kann es lernen,...wenn er selber will.)
..Gedanke zurück zu den Beziehungen....
Eine kurze Berührung z.B. kurzer HautKontakt, ist die kürzeste Beziehung die es gibt. Dabei werden z.B. DNS oder heißt das DNA weitergegeben, übergeben, abgestreift, verloren...
Bei Körper-u. Materienkontakt ist die Wahrscheinlichkeit einer Datenübertragung logisch deutlich größer als wenn überkein einziger winziger K-Kontakt vorhanden ist. (Z.B. Kerze auf brennbaren Material welches auf weiteren Brennbarem steht, das Feuer geht logisch in Kettereaktion in Kontakt mit Brennbarem. Diese Material-Beziehung besteht und ist natürlich.)
Geistiger Kontakt ist reiner/purer G-Kontakt und daher kein Körper-KontaktWert.
Nebenbei: Sprache ist ein ZauberMittel. Ludwig Wittgenstein irrt, als er sagte, Sprache sei wenig zielführend. Denn es kommt nur auf darauf an, ob der Leser ein Richtigmitdenker zum Geschriebenen ist oder halt leider nicht. Das ist ein extrem großes Problem.
Es gibt viele "Dinge" die der Einzelne selber herausFinden muss.
Beweise gibt es aber auch beim selber-heraus-finden niemals ohne eigene VersuchsReihen.

Alles was auch auch nur ein Körnchen verunReinigigung bekommen hat, ist ein StörFaktor in Beziehugen.
...böse Beziehungen - gute Beziehungen... nützliche..unnützliche Beziehugen...
...das Böse ist AUCH das Gute...der LernEffekt aus "bösem"....
...richtg ZUR BeziehungsSache/Angelegenheit mitDenken...
...ohne Versuch 100% gesichert keine ERgebnisse...
...nix kappiert, aber lange rumstudiert...
...das menschgebore Wesen ist ein lebendiges Ding... Vergessen und den Erinnern unterworfen. = Freiheit des Ding "Mensch".
...es können nur dogmatische Ordnungsregeln gegen das Vergessen HELFEN... das das vergessliche Ding "Mensch"...
...das DauerPrinzip hat weige Gülgikeit und wirkt in jeder Beziehung...
...in Fernbeziehung ist nicht alles möglich, was alles möglich ist.
...echte Beziehungen sind nicht virtuelle Beziehungen...
...die Halbwertige Beziehung...
...die nicht vollständig aufrecht erhaltene Beziehung...
...jeder Mensch hat allzeit die freie Wahl (z.B. auf Beziehung) zu verzichten sei es aus Irrtum, Ego oder Dummheit... ...oder gezungenermaßen... ...oder schweren Herzens...
..in aller Regel entscheiden andere Menschen immer mit, weil kein Mensch alleine auf der Welt ist...
Nebenbei: Der freie Wille existiert als 1 freier Wille FÜR ALLE Menschen. Der 1n und der Selbe Maßstab hat 3 Größen. Das Selbe ist 3 Gleiche.
Ich weiß: Jeder Mensch ist eine Schatzkammer!
Suchet und ihr werdet selber finden,...Bezeihungen die dummerweise übersehen werden, fehlen.
...unvollständige Beziehungen...
...Phi mal Daumen-Beziehung...

...das Prinzip des Gleichgewichtes sorgt dafür dass die Dinge ständig ins G-eichGewicht gebracht werden...
"Ein Seiltänzer muss ausgleichen, denn wenn er es nicht tut, kommt es zum Fall.<--dieses Ergebnis steht fest, das ist so sicher wie das Amen in der Kirche und muss mathematisch nicht errechnet werden. Kein Vernünftiger würde dem Seiltänzer fragen er solle doch mal probieren, was passiert, wenn er sich nicht in Balnce hält, nur weil es sein könnte, dass er der einzige Mensch auf der Erde ist, der vielleich schweben kann.
Nebenbei: Wie irrSinnig weit gehen eigendlich die Irrtümer der Wissenschaft? Ist eine gewisse Grundlogik eigendlich noch gültig oder haben die Menschen sie gar verghessen?
...die Dinge ins Lot bringen...
...aus der Beziehung gefallen...
...das Ding geht gegen sich selbst...
...das Ding dreht in alle Richtungen...
...Gegendrehung im Wechsel... inspinn+antispinn, Ebenwechsel+Krümmungsgradwinkel....
...die Teilchen fliegen/verhalten sich wie...
...Beziehung = Webetechnik...
...eine Null von drei NullENwerten...
...das Ding hat nur die gleiche äußere Optik aber "innen" einen völlig anderen Wert....
...die Fernbeziehung....
...Dinge spiegelverkerhrte Ähnlichkeit und Bezeihung (kuchForm+Kuchen, PositvForm+NegativForm)...
...mit und ohne Beziehung = 2 verschiedene Wirkungen des einem "Ding"...
...fehlender, verhinderter Kontakt mit dem Ding...
...wirkungsloses Ding weil es nicht in Kontakt kommt...
...paarweise Dinger sind 1 aus 2...
...Sonderexemplare Dinger, kurzzeitiglebene und langlebige...
...Dinge unabhängig in Beziehung stehen...
...Dinge sowohl miteinander als auch gegeneinander gegen.."eigene Wege"...
...gleiches Ding wie das Eine andere, mit und ohne Wirkungskraft...leer oder voll oder von bis....
...das Selbe ist 1 einziges Ding welches einmalig ist, aber das Eine kann es als Gleiches GleichWertiges sehr oft geben...
...alle "Dinger" sind soWie das eine Ding...
...das Ding ist überall, das bedeutet: Es kommt nicht, denn das Ding ist da.
...Reaktionsgleichheit der verschienden Dinge/Dinger...bei...
...Fernwirkung... unvollständige Wirkung... ...von nix kommt nix...
---alle Dinge brauchen ihre KontaktWege...
DER WEG zur Beziehung...
Anfang und Ende und Neuanfang... jeder Zeit möglich....

Ich bin dann mal weg... SORRY für den Text!
Die Welt hat mich ver.dame.t, mein Herz brennt.... ..aber es brennt niemals aus.

LG
das ewige Feuer des Geistes ...es möge auch für euch ewig brennen.

Viel Spaß mit der Sprache und ihren VerdrehZauber.

Izaya schrieb am 20.04.2019:

Noumenon schrieb am 19.04.2019:(Einige) Aussagen der elementaren (euklidischen) Geometrie kann man allerdings empirisch überprüfen

Wie muss ich mir das vorstellen? Wenn eine Aussage in der euklidischen Geometrie wahr ist, also mathematisch bewiesen (oder Axiom), dann gibt es da nichts mehr zu überprüfen. Und wenn eine Aussage vielleicht Wahr oder vielleicht Falsch ist, ist die Empirie vielleicht eine Inspirationsquelle, aber doch kein echtes Instrument zur Überprüfung.

Zu deiner Frage, wie man sich das vorzustellen hat: Man kann bspw. empirisch überprüfen, dass das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser bei einem Kreis (oder kreisförmigen Objekt) stets gleich ist. Ob man für die Überprüfung jetzt 'ne Pizza, 'nen Fahrradreifen, Bierdeckel oder 'ne Klorolle hernimmt, ist aber nicht wirklich relevant. Und in diesem Sinne liegt hier auch ganz klar Faktenwissen vor, kein fiktiver oder frei erfundener Sachverhalt, der nur deshalb gelte, weil wir Menschen uns das so ausgedacht hätten.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Würde ich den Wert der Kreiszahl Pi mithilfe eines Kreises überprüfen wollen, würde ich zu dem Ergebnis kommen, Pi habe endlich viele Nachkommastellen (da Messungen eine endliche Genauigkeit haben). Mathematisch nicht nur irrelevant (da kein mathematischer Beweis), sondern auch noch falsch.

Wie gesagt können wir nur einige Aussagen der elementaren (euklidischen) Geometrie überprüfen. Das liegt schlichtweg daran, dass unsere empirische Erkenntnis bzw. ein ausschließlich auf Sinneserfahrung basierender Zugang zur Wirklichkeit beschränkt ist.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Euklidische und Hyperbolische Geometrie haben Axiome, die sich widersprechen (Parallelenaxiom vs. hyperbolisches Axiom). Es können nicht beide Gleichzeitig wahr sein. Wenn man sie als zwei verschiedene Erfindungen der Menschheit betrachtet, stellt das kein Problem dar.

Ein hyperbolische Axiom gibt es sogesehen nicht bzw. ist es einfach die logische Negation des Parallelenaxioms, insofern sind beide Axiome bzw. Aussagen natürlich kontradiktorisch und können (gemäß "Satz vom Widerspruch") nicht zugleich wahr sein. Sprachliche Ausdrücke (etwa im Rahmen der Alltagssprache, Biologie, Physik oder Mathematik formuliert) sind per se immer nur Erfindungen (genauso wie die dahinterstehenden Konzepte), soweit stimme ich noch zu. Dass sich Aussagen ggf. widersprechen, ist dann lediglich ein sprachliches (und vielleicht auch erkenntnistheoretisches) Problem, kein ontologisches. Klassisches und berühmtes Beispiel zweier sich widersprechender Aussagen (aus der Physik!): "Ein Photon ist eine Welle." und "Ein Photon ist ein Teilchen." Man beachte ferner auch den historischen Hintergrund, d.h. letztendlich standen hier nicht nur zwei widersprüchliche Aussagen gegenüber, sondern natürlich sogar ganze miteinander konkurrierende Aussagensysteme ("Theorien") mit der Wellenoptik Huygens' auf der einen Seite und und der Korpuskeltheorie Newton's auf der anderen. Auch hier lassen sich derartige Widersprüchlichkeiten a priori natürlich ganz leicht auflösen, indem man beide konkurrierende Theorien einfach als zwei verschiedene Erfindungen der Menschheit betrachtet. Allerdings: Die Physik deshalb (d.h. aufgrund widersprüchlicher Aussagen) ganz pauschal als eine bloße Erfindung betrachten und auf die gleiche Stufe wie Märchen usf. stellen zu wollen, wäre natürlich grober Unfug.

Man müsste hierzu eigentlich noch viel mehr schreiben, aber vielleicht reicht das erst einmal. Wichtig ist: Die Mathematik gründet, wie auch die klassischen empirischen Naturwissenschaften (Chemie, Biologie, Physik usf.), auf einem ganzen Theoriengebäude bestehend aus einer Vielzahl an Teilgebieten, Theorien und natürlich auch Aussagen, die sich (wie sich aber auch für die klassischen empirischen Naturwissenschaften zeigen lässt) ggf. widersprechen können. Und die entscheidende Frage ist, ob die hier bzw. im Rahmen der Mathematik gewonnenen Erkenntnisse bloße Erfindungen des menschlichen Geistes sind (vergleichbar mit Märchen usf.), oder aber unabhängig von uns Menschen bestehende Fakten bzw. Tatsachen widerspiegeln (um nur noch einmal die Kernfrage des Threads zu reformulieren).

Izaya schrieb am 20.04.2019:Wenn man sie für empirisch hält, sehr wohl, denn dann wären die Geometrien ja Abbildungen (unserer Wahrnehmung) der Realität.

Sind sie ja auch. "Kreis" oder "Rundheit" sind Konzepte, die wir der Realität aufstempeln (die "Pizza" ist "rund", die "Klorolle" ist "rund"...). Die Konzepte selbst sind natürlich per se immer nur Abstraktionen (oder Abbildungen).

Izaya schrieb am 20.04.2019:Sie könnten nicht beide gleichzeitig wahr sein. Und doch sind sie es, qua Definition.

Richtig, so wie die Konzepte "Welleneigenschaften" und "Teilcheneigenschaften". Und wie schon bei "Welleneigenschaften" und "Teilcheneigenschaften" kommt es auch bei "euklidischen Geometrien" und "nicht-euklidischen Geometrien" natürlich auf den Kontext an.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Es ist nicht wie bei Einstein und Newton, wo ein neues, besseres Modell das alte ablöst.

Doch, genau so ist es. Vielleicht führe ich das noch aus, ansonsten siehe etwa...
Wikipedia: Absolute Geometrie

Izaya schrieb am 20.04.2019:Beide Geometrien haben einen absoluten Wahrheitswert. Inwieweit sie die Realität abbilden ist eine andere Sache, die aber vollkommen uninteressant ist, weil Mathematik inhärent nichts mit der Realität zu tun hat.

Womit wir wieder bei dem wären, was ich bereits schrieb:

Noumenon schrieb am 19.04.2019:Es kommt aber noch "schlimmer", Beispiel: Riemann'sche Geometrie und ART...
Wikipedia: Riemannsche Geometrie#Entstehung

Wie es überhaupt sein kann, dass etwas, das mit der Realität überhaupt nichts zu tun hat (Riemann'sche Geometrie, ca. 1854), plötzlich doch etwas mit der Realität zu tun hat (ART, ca. 1913), dürfte ziemlich schwierig zu begründen sein, wenn man mathematische Konzepte und Aussagen für reine Erfindungen ohne Bezug zur empirischen Wirklichkeit hält.

-

Izaya schrieb am 20.04.2019:So, wie wir Sprache mittlerweile nutzen können, um Sachen zu beschrieben, die nicht existieren(da fantasiert), geht es auch mit der Mathematik. Und wie die Sprache, ist Mathematik erfunden.

Klar, so wie die Sprache sich in Bezug zu unseren Wahrnehmungen entwickelt hat, als Instrument zu beschrieben, was wir Wahrnehmen, ist es mit der Mathematik geschehen. Aber die Mathematik ist eben dieses Instrument zur Beschreibung.

Sprache ist ein Instrument zur Beschreibung der Wirklichkeit, korrekt. Und dazu gehört natürlich auch die Sprache der Mathematik.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Wir sehen vielleicht drei Schafe, drei Feuerwehrautos, usw., aber daraus ergibt sich ebenso wenig die Entdeckung der Drei, wie sich die Entdeckung des Wortes Schaf aus der Sichtung eines Schafes ergibt.

So richtig verstehe ich irgendwie deinen Standpunkt nicht. Selbstverständlich finden wir das Wort "drei" oder das Symbol "3" genausowenig in der Wirklichkeit vor wie das Wort "Schaf". Das steht doch mit Blick auf eine Differenzierung zwischen Sprache (Symbol), Konzept (Begriff) und Faktum (Ding) aber auch gar nicht zur Debatte. Zur Erinnerung:
Wikipedia: Semiotisches Dreieck

Noumenon schrieb:stets gleich ist

Das würde nur gelten, wenn du entweder ziemlich ungenau misst oder nur perfekt Runde Objekte (die es real nicht gibt) vorliegen hast.

Noumenon schrieb:können wir nur einige Aussagen der elementaren (euklidischen) Geometrie überprüfen

Was doch zeigt, dass sie nicht empirisch aufgebaut ist, oder nicht?

Noumenon schrieb:Die Physik deshalb (d.h. aufgrund widersprüchlicher Aussagen) ganz pauschal als eine bloße Erfindung betrachten und auf die gleiche Stufe wie Märchen usf. stellen zu wollen, wäre natürlich grober Unfug.

Der Unterschied zwischen empirisch wissenschaftlichen Aussagen und metaphysischen Aussagen liegt in der Möglichkeit zur Falsifikation, nicht im Wahrheitsgehalt.
Das die Erde eine Scheibe ist, war auch mal Stand der Wissenschaft. Mittlerweile wurde das falsifiziert. Damit ist es jetzt nicht mehr Wert, als ein Märchen.

Noumenon schrieb:Richtig, so wie die Konzepte "Welleneigenschaften" und "Teilcheneigenschaften".

Nope, wie bei Welle und Teilchen. Und weil die beiden Theorien sich widersprochen haben, hat man sie beide verworfen und spricht nun von Quantenobjekten, die sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften haben. Wobei es noch keine allgemein anerkannte Interpretation der Quantenmechanik gibt.

Die beiden Geometrien sind nicht vereinbar. Wäre die Mathematik empirisch, müsste man mindestens eine verwerfen oder eine inkonsistente Realität annehmen (was die Mathematik nicht kann, da sie Konsistenz annimmt ).
Es können nicht zwei widersprüchliche Aussagen gleichzeitig real wahr sein und wenn doch, dann bildet die Mathematik allein deswegen die Realität nicht ab.

Noumenon schrieb:Doch, genau so ist es. Vielleicht führe ich das noch aus, ansonsten siehe etwa...
Wikipedia: Absolute_Geometrie

Die absolute Geometrie ist eine Verallgemeinerung, die weder das Parallelenaxiom noch das hyperbolische Axiom beinhaltet. Das ist keine bessere Version. Die euklidische und die hyperbolische Geometrie sind vielleicht beide absolute Geometrien, sie widersprechen sich aber weiterhin und die absolute Geometrie mit einem "fehlenden" Axiom ist kein vollwertiger Ersatz geschweige denn eine Verbesserung.

Noumenon schrieb am 19.04.2019:Wie es überhaupt sein kann, dass etwas, das mit der Realität überhaupt nichts zu tun hat (Riemann'sche Geometrie, ca. 1854), plötzlich doch etwas mit der Realität zu tun hat (ART, ca. 1913), dürfte ziemlich schwierig zu begründen sein, wenn man mathematische Konzepte und Aussagen für reine Erfindungen ohne Bezug zur empirischen Wirklichkeit hält.

Ich hätte schon vor 160 Jahren ein Netzwerk zum internationalen Austausch von Daten nahe Lichtgeschwindigkeit beschreiben können, obwohl das Internet noch nicht existiert hat. Trotzdem ist nicht alles, was ich mit Sprache beschreiben kann, real. Das selbe Prinzip gilt hier.

Noumenon schrieb:im Rahmen der Mathematik gewonnenen Erkenntnisse bloße Erfindungen des menschlichen Geistes sind (vergleichbar mit Märchen usf.), oder aber unabhängig von uns Menschen bestehende Fakten bzw. Tatsachen widerspiegeln (um nur noch einmal die Kernfrage des Threads zu reformulieren).

Du siehst doch die Mathematik als Sprache, wie ich. Denkst du denn, dass Erkenntnis, die nur mithilfe der Sprache (Also ohne hinzunahme von Messwerten, oder jeglichen anderen Form der Erfahrung) gewonnen wurde, notwendigerweise ein unabhängig von uns Menschen existierendes Faktum ist?

@Izaya

Wobei das Konzept des Waldes natürlich ebenfalls erfunden ist, aber das nur nebenbe

Mich irritiert as Wort "Konzept" in dem Zusammenhang. Passender finde ich einfach das Wort "Begriff". Wobei Wälder durchaus in der Natur vorhanden sind, eben eine Ansammlung von verschiedenen oder gleichartigen Bäumen, mit oder ohne diverse Büsche. Mit Tieren drin. Insofern kannst Du nciht sagen, Bäume existiereren, aber Wälder nicht.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Das würde nur gelten, wenn du entweder ziemlich ungenau misst oder nur perfekt Runde Objekte (die es real nicht gibt) vorliegen hast.

Erneut sehe ich das Problem nicht. Dass bspw. Positronen die gleiche Masse wie Elektronen besitzen, können wir ebenfalls nur mit endlicher Genauigkeit messen. Ist diese Aussage deshalb falsch? :ask:

Und natürlich gibt es keine perfekte "Rundheit". Genausowenig wie eine perfekte "Pizza" oder "Klorolle". Aber das sagte ich ja schon:

Noumenon schrieb:"Kreis" oder "Rundheit" sind Konzepte, die wir der Realität aufstempeln (die "Pizza" ist "rund", die "Klorolle" ist "rund"...). Die Konzepte selbst sind natürlich per se immer nur Abstraktionen (oder Abbildungen).

-

Izaya schrieb am 20.04.2019:Was doch zeigt, dass sie nicht empirisch aufgebaut ist, oder nicht?

Nein, es zeigt, dass Faktenwissen über allein und bloß auf Basis der Empirie bzw. Sinnesdaten gewonnene Erkenntnisse hinausgeht.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Nope, wie bei Welle und Teilchen. Und weil die beiden Theorien sich widersprochen haben, hat man sie beide verworfen und spricht nun von Quantenobjekten, die sowohl Welleneigenschaften als auch Teilcheneigenschaften haben. Wobei es noch keine allgemein anerkannte Interpretation der Quantenmechanik gibt.

Sie wurden nicht verworfen, sondern auf eine fundamentalere Theorie zurückgeführt. Das is'n Unterschied. So wie etwa auch Einstein's ART keine Widerlegung Newton's Theorie der Gravitation ist, sondern eine Erweiterung. Und die klassische Optik kommt ja auch weiterhin prima mit ihren gewohnten Konzepten aus (und verwirft sie nicht etwa). Man beachte ferner die Ausführungen bei Wiki:

"Die Frage, ob Elektronen oder Lichtquanten Teilchen oder Wellen seien, lässt sich nicht beantworten. Sie sind vielmehr Quantenobjekte, die je nach der Art der Messung, die man an ihnen durchführt, unterschiedliche Eigenschaften in Erscheinung treten lassen. Dieses Problem wurde in der Quantenmechanik in der Kopenhagener Deutung (1927) mit dem dort formulierten Komplementaritätsprinzip zunächst dahingehend gelöst, dass die Festlegung der jeweils beobachteten Eigenschaft nicht allein dem Quantenobjekt zuzuordnen sei, sondern ein Phänomen der gesamten Anordnung aus Quantenobjekt und Messapparatur darstelle." (Wiki, Welle-Teilchen-Dualismus)

In meiner Ontologie sind "Welle" und "Teilchen" natürlich nur Konzepte, genauso wie auch "Quantenobjekt" (in Anlehnung an die klassische "Ding-Ontologie" hätte man natürlich auch von "Quanten-Ding" sprechen können...). Hierzu auch:
Wikipedia: Quantenobjekt

Aber das führt jetzt alles zu weit... bzw. hatte ich dazu wohl auch schon was geschrieben, das war hier.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Die beiden Geometrien sind nicht vereinbar. Wäre die Mathematik empirisch, müsste man mindestens eine verwerfen oder eine inkonsistente Realität annehmen (was die Mathematik nicht kann, da sie Konsistenz annimmt ).
Es können nicht zwei widersprüchliche Aussagen gleichzeitig real wahr sein und wenn doch, dann bildet die Mathematik allein deswegen die Realität nicht ab.

Siehe oben bzw. die bisherigen Ausführungen. Im Prinzip hättest du genauso gut auch sagen und es dir weitaus einfacher machen können: Dreiecke und Kreise sind nicht vereinbar (das eine hat Ecken, das andere nicht), folglich müsste man eines mindestens eines der beiden Konzepte verwerfen oder eine inkonsistente Realität annehmen.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Die absolute Geometrie ist eine Verallgemeinerung...

Korrekt, ja...

Izaya schrieb am 20.04.2019:...die weder das Parallelenaxiom noch das hyperbolische Axiom beinhaltet.

Natürlich nicht, sonst wäre es ja auch keine Verallgemeinerung.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Das ist keine bessere Version.

Die Mathematik entwickelt sich also zurück...? Bspw. hin zu "schlechteren" Geometrien...? Sicherlich wolltest du etwas anderes sagen...

Izaya schrieb am 20.04.2019:Ich hätte schon vor 160 Jahren ein Netzwerk zum internationalen Austausch von Daten nahe Lichtgeschwindigkeit beschreiben können, obwohl das Internet noch nicht existiert hat. Trotzdem ist nicht alles, was ich mit Sprache beschreiben kann, real. Das selbe Prinzip gilt hier.

Erneut sehe ich das Argument nicht. Umgekehrt gilt nämlich auch: Nicht alles, was sich mit Sprache beschreiben lässt, ist fiktiv.

Izaya schrieb am 20.04.2019:Du siehst doch die Mathematik als Sprache, wie ich.

Wie ich das sehe, hatte ich doch schon dargelegt:

Selbstverständlich finden wir das Wort "drei" oder das Symbol "3" genausowenig in der Wirklichkeit vor wie das Wort "Schaf". Das steht doch mit Blick auf eine Differenzierung zwischen Sprache (Symbol), Konzept (Begriff) und Faktum (Ding) aber auch gar nicht zur Debatte. Zur Erinnerung:
Wikipedia: Semiotisches Dreieck

Izaya schrieb am 20.04.2019:Denkst du denn, dass Erkenntnis, die nur mithilfe der Sprache (Also ohne hinzunahme von Messwerten, oder jeglichen anderen Form der Erfahrung) gewonnen wurde, notwendigerweise ein unabhängig von uns Menschen existierendes Faktum ist?

Denkst du umgekehrt, dass Erkenntnis und Faktenwissen ausschließlich durch sinnliche Erfahrungen gewonnen wird?

Noumenon schrieb:Denkst du umgekehrt, dass Erkenntnis und Faktenwissen ausschließlich durch sinnliche Erfahrungen gewonnen wird?

Das meine und deine Frage nicht das exakte Gegenteil voneinander sind, ist die klar?

Ansonsten, wenn Erkenntnis und Faktenwissen über unsere Realität gemeint ist (anstatt Erkenntnis und Faktenwissen über eine konstruierte): Ja.

Izaya schrieb:Das meine und deine Frage nicht das exakte Gegenteil voneinander sind, ist die klar?

Bin nicht sicher.

Izaya schrieb:Ansonsten, wenn Erkenntnis und Faktenwissen über unsere Realität gemeint ist (anstatt Erkenntnis und Faktenwissen über eine konstruierte): Ja.

Hat dann bpsw. mein Smartphone bereits Erkenntnisse über die Realität, wenn ich ein Foto schieße...? Immerhin handelt es sich ja um die gleichen Sinnesdaten, wie ich sie mit dem Auge perzipiere...

Izaya schrieb:Die absolute Geometrie ist eine Verallgemeinerung, die weder das Parallelenaxiom noch das hyperbolische Axiom beinhaltet. Das ist keine bessere Version. Die euklidische und die hyperbolische Geometrie sind vielleicht beide absolute Geometrien, sie widersprechen sich aber weiterhin und die absolute Geometrie mit einem "fehlenden" Axiom ist kein vollwertiger Ersatz geschweige denn eine Verbesserung.

Nachtrag:

"Die nichteuklidischen Geometrien sind Spezialisierungen der absoluten Geometrie. Sie unterscheiden sich von der euklidischen Geometrie, die ebenfalls als eine Spezialisierung der absoluten Geometrie formuliert werden kann, dadurch, dass in ihnen das Parallelenaxiom nicht gilt."
Wikipedia: Nichteuklidische Geometrie

In beiden Fällen handelt es sich also um Spezialfälle einer allgemeineren Theorie.

Noumenon schrieb:Hat dann bpsw. mein Smartphone bereits Erkenntnisse über die Realität, wenn ich ein Foto schieße...? Immerhin handelt es sich ja um die gleichen Sinnesdaten, wie ich sie mit dem Auge perzipiere...

Sehr gute Frage, und schwer zu beantworten, glaube ich.

Ich denke, das Prädikat "erkenntinsfähig" kann nur etwas haben, das über ein Bewusstsein verfügt. Meiner bescheidenen Meinung nach ist das Bewusstsein ein Phänomen, das dazu imstande ist, eine Fülle von Informationen auf das Wesentliche zu reduzieren, und auf einer Matrix abzubilden. Der Zweck ist, dem Träger des Bewusstseins seine Außenwelt mit ihm zu verbinden, und ihn relativ zu dieser Außenwelt nach seinen Bedürfnissen handlungsfähig zu machen. Das hat ein Smartphone natürlich (noch) nicht, also würde ich meinen, dass man da noch nicht von Erkenntnis sprechen kann.

"den Träger und seine Außenwelt mit ihm zu verbinden" klingt richtiger :D

Noumenon schrieb:Hat dann bpsw. mein Smartphone bereits Erkenntnisse über die Realität, wenn ich ein Foto schieße...?

Wenns ein Bewusstsein hat(wovon ich spontan nicht ausgehe), hat's dann Erkenntnis gewonnen. Ja. ( Dabei muss das Bewusstsein den Sinneseindruck nur Wahrnehmen, nicht weiter verarbeiten ).

Noumenon schrieb:In beiden Fällen handelt es sich also um Spezialfälle einer allgemeineren Theorie.

Bzw. um eine Verallgemeinerung der Spezialfälle, wie ich bereits geschrieben habe.

Izaya schrieb:Die absolute Geometrie ist eine Verallgemeinerung

Und jetzt kannst du dich mal mit meiner Frage auseinandersetzen, statt nur Gegenfragen zu stellen :P:

Izaya schrieb:Denkst du denn, dass Erkenntnis, die nur mithilfe der Sprache (Also ohne hinzunahme von Messwerten, oder jeglichen anderen Form der Erfahrung) gewonnen wurde, notwendigerweise ein unabhängig von uns Menschen existierendes Faktum ist?

Izaya schrieb am 24.04.2019:Und jetzt kannst du dich mal mit meiner Frage auseinandersetzen, statt nur Gegenfragen zu stellen :P:

Klar, gerne, nur ist mir immer noch nicht so richtig klar, worauf du mit deiner Frage hinauswillst...

Mathematik zählt - gemäß der FOS - mit zu unzähligen Wissenschaftszweigen (wie übrigens auch schon bei Aristoteles und auch wenn ihr in gewisser Weise natürlich eine Sonderrolle zukommen mag). Insbesondere zählt sie aber also nicht zu den sog. Sprachen. Nichtsdestotrotz bedient sie sich natürlich - wie auch die anderen Wissenschaften - dem Mittel der Sprache zum Ausdruck von Gedanken bzw. Bedeutungszusammenhängen (=> mathematische Notation). Oder anders gesprochen, und um vielleicht auch deine Frage wenigstens halbwegs zu beantworten: Erkenntnis wird hier nicht mit Hilfe der Sprache gewonnen (schon gar nicht ausschließlich oder "nur"), sondern zum Ausdruck gebracht. Die Erkenntnis selbst vollzieht sich im Geiste, in Gedanken (mit Hilfe von Konzepten).

Izaya schrieb am 24.04.2019:Wenns ein Bewusstsein hat(wovon ich spontan nicht ausgehe), hat's dann Erkenntnis gewonnen. Ja. ( Dabei muss das Bewusstsein den Sinneseindruck nur Wahrnehmen, nicht weiter verarbeiten ).

Hier bekommst du dann allerdings ein Problem, denn Bewusstsein ist offenbar kein empirisches Phänomen (genauso wie "Erkenntnis"), d.h. kein Gegenstand sinnlicher Erfahrung (darum ging es ja ursprünglich, s.o.). Du kannst noch so viele Gehirne sezieren, ein Bewusstsein wirst du darin nicht finden. Wie kann dann aber deine Aussage noch als Faktum über reale Zusammenhänge oder gar als empirische Erkenntnis verstanden werden? Müsste man nicht vielmehr den Schluss ziehen, dass das, was du sagst, nichts, aber auch gar nichts mit der Realität zu tun habe?

Noumenon schrieb:nsbesondere zählt sie aber also nicht zu den sog. Sprachen.

Sie zählt natürlich nicht zu den Sprachen, ist aber eine Art Ordnungs- und Kommunikationssystem, mit dessen Hilfe man bestimmte naturwissenschaftliche Phänomene in bestimmte Kategorien gliedern und auch in bestimmte Verhältnisse setzen kann.

navi12.0 schrieb:Sie zählt natürlich nicht zu den Sprachen, ist aber eine Art Ordnungs- und Kommunikationssystem, mit dessen Hilfe man bestimmte naturwissenschaftliche Phänomene in bestimmte Kategorien gliedern und auch in bestimmte Verhältnisse setzen kann.

Dem kann ich nicht ganz folgen bzw. nur bedingt. Die Kategorienbildung oder -gliederung erfolgt ja durch die Einzelwissenschaften selbst. Im Fall der Biologie spricht man hier bspw. auch von Taxonomie ("...bestimmte naturwissenschaftliche Phänomene in bestimmte Kategorien gliedern...") und Systematik ("...in bestimmte Verhältnisse setzen...").

Natürlich lassen sich in diversen Systematiken letztendlich auch abstrakte Strukturen wiederfinden, die dann wiederum Gegenstand der Mathematik sein können. Bspw. handelt es sich beim Phylogenetischen Baum des Lebens um ein sog. Baum im Sinne der Graphentheorie, über den man dann - etwa im Rahmen der Mathematik - diverse Aussagen treffen kann. Vielleicht meintest du das...?

Noumenon schrieb:über den man dann - etwa im Rahmen der Mathematik - diverse Aussagen treffen kann. Vielleicht meintest du das...?

Ganz genau das meine ich. Die verschiedenen Disziplinen machen etwaige Beobachtungen und Aussagen zu ihren Teilgebieten der Naturwissenschaft. Was ist ein Baum, was ist ein Käfer z.B. innerhalb der Biologie, und die Mathematik kommuniziert dann ihrerseits ein Ordnungssystem und die darin enthaltenen Verhältnisse, die eine andere Informationsebene als die der Biologie tangieren. Da sind 2 Bäume und 3 Käfer meinetwegen.

Izaya schrieb am 19.04.2019:Mathematik basiert nicht auf Erfahrung (Empirie), sondern auf Axiome aus denen logisch Aussagen hergeleitet werden.

Mit der Aussage gibt es aber mindestens zwei Probleme:

1. Das erste ist, dass axiomatisches Denken keine gute Erklärung oder erschöpfende Zusammenfassung für tatsächliche mathematische Forschung, inklusive dem Erlangen neuen mathematischen Wissens ist, weder historisch noch kontemporär.

Der flächendeckende Drang nach strenger Formalisierung und Axiomatisierung von mathematischen Theorien ist ein Trend der in der gegenwärtigen Form erst im 19ten Jahrhundert vom Zaun gebrochen wurde. Hilberts Axiomatisierung der euklidischen Geometrie, die Dedekind-Peano Axiome für natürliche Zahlen, Freges Begriffsschrift und Dedekinds Konstruktion der reellen Zahlen sind die ersten streng axiomatisierten Arbeiten im modernen Sinne. Vermutlich willst du aber nicht argumentieren, dass die Geschichte der Mathematik im 19ten Jahrhundert beginnt - Menschen hatten natürlich schon vorher legitimes Wissen über Mathematik. Gruppen, Mengen, Ringe, Zahlen etc wurden schon lange vor spezifischen axiomatischen Theorien untersucht.

Und selbst nach Einsetzen der Axiomatisierung wird doch kontinuierlich neues Wissen erlangt bevor diese fertig ist. Zwischen dem ersten Postulieren von Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und der Fertigstellung der Theorie liegen gut 10 Jahre, und bis dahin hatten man schon Unmengen an Wissen über die zu untersuchenden mathematischen Objekte gesichert.

Auch in der gegenwärtigen Forschung in jungen Theorien kommt die Axiomatisierung eher am Schluss als am Anfang der Untersuchung. Viele kategorientheoretische Untersuchungsgegenstände sind auch HEUTE noch nicht axiomaitisiert, trotzdem erlangen Mathematiker doch Wissen darüber, zB weak n-category, higher topos theory etc.
Es ist natürlich "praktisch" zu behaupten dass Formalisierung, axiomatische Systeme und Deduktion die Grundlage der Mathematik sind, weil es eine einfache Frage zu einer schwierig Antwort zu sein scheint und sie eine gewisse prima facie Plausibilität aufweist, für Alle die mal eine beweislastige Mathevorlesung besucht haben. Nur scheint es nicht das erlangen von neuem Wissen erschöpfen zu beantworten und somit die für die Diskussion relevanten erkenntnistheoretischen Fragen nicht ausreichen zu beantworten.

Und ich bin hier noch nicht mal auf die Tatsache eingegangen dass die meisten publizierten Abhandlungen in Mathematik ohnehin nur Lippenbekenntnis zu gewissen axiomatischen Systemen ablegen - die Mehrzahl der Paper arbeitet nicht explizit mit irgendwelchen Axiomen und oft sind Beweise nicht in irgendeiner machbaren Weise auf ZFC zu reduzieren. Oder darauf dass auch nicht formale Beweise rigoros sein können. Oder auf die Rolle von maschinengestützten Beweisen und Induktion in moderner Mathematik (nicht im Sinne von 'vollständige Induktion' sondern im Sinne von 'Induktionsschluss im Gegensatz du Deduktion').

2.
Das zweite Problem was den Erklärungsgehalt deiner Aussage angeht, ist das Thema "Axiome" an sich. Ja welche Axiome denn?
a) Falls es bestimmte Axiome sind, dann ist man ja offensichtlich mit der Aussage "Mathematik basiert auf Axiomen" nicht am Ende der Erklärung angelangt, sonder hat sie nur verschoben zu Fragen und Überlegungen vis-a-vis den richtigen Axiomen.
b) Falls es beliebige Axiome sein sollen, endet man bei einer Art "if-then-ism" und den gut bekannten, mit dieser Sicht verbundenen Herausforderungen/Probleme. Die da wären, unter Anderem:
- wie schon unter Punkt (1) genannt ist es ahistorisch und in Konflikt mit dem Alltag der Mathematiker: Natürlichen werden prima facie keine x-beliebigen Axiome untersucht.
- will man die Sicht konkretisieren endet man schnell im Zirkelschluss. Stell dir andere Antworten vor wie: Mathematik ist eine Funktion, oder Mathematik ist eine Gruppe...Unabhängig davon ob das Sinn macht, es gibt ja unmittelbar ein Problem: Funktionen und Gruppen werden in der Mathematik untersucht, sind also Teil davon. Aber in das gleiche Problem läuft man wenn man einen "if-then-ism" (Mathematik basiert darauf was woraus folgt) spezifisch formulieren will, es geht ja um irgendwelche Schlüsse der Form (P) ⊢ (Q). Aber dafür brauch ich ja bestimmte Regeln, zumindest ja zum Handling von Syntax etc - aber dabei sind wir ja schon bei etwas was ebenfalls im Rahmen der Mathematik untersucht wird, genauso wie Mengen oder Funktionen.
- Die These erweist sich als problematisch wenn es um die Beantwortung von Problem geht die üblicherweise in der Philosophie der Mathematik diskutiert werden, zB Quine-Putnam Indispensability.

Das Gleiche könnte man nun nochmal wiederholen für den "was daraus folgt" Teil - die Gültigkeit des logischen Schlusses ist ja systemspezifisch.

Der Rest deines Beitrags setzt trivial und ohne weitere Argumentation empirische, a-posteriori Urteile mit dem Entdecken von Wissen gleich und stellt alles Andere dem gegenüber als "erfunden" - oder so. Natürlich akzeptiert derjenige der Realismus in Bezug auf Mathematik vertritt diese Dichotomie so nicht, schlimmer: Er lehnt sich aus bestimmten, ausführlich argumentierten Überlegungen ab. Auch das ist also in gewisser Weise nur eine Inanspruchnahme des Beweisgrundes.

Troelstra schrieb:Auch in der gegenwärtigen Forschung in jungen Theorien kommt die Axiomatisierung eher am Schluss als am Anfang der Untersuchung

Was nicht heißt, das nicht auf Basis dieser Axiome gearbeitet wurde. Sie wurden halt nur später explizit benannt.
Grundsätzlich muss man irgendetwas als wahr annehmen, um wahre logische Schlussfolgerungen zu ermöglichen. Ich kann nicht alles Beweisen, weil es eine bedingungslos wahre Gurndlage geben muss. Und das sind die Axiome. Ob man die jetzt explizit benennt, spielt dabei doch keine Rolle.

Troelstra schrieb:Aber dafür brauch ich ja bestimmte Regeln, zumindest ja zum Handling von Syntax etc

Wenn ich sage ein Programmierer designt Programme und setzt sie technisch um, braucht dieser Programmierer ja auch eine Programmiersprache, eine Recheneinheit usw. usf.
Trotzdem würde ich die Tätigkeit des Programmierens so beschreiben.
Ich beschreibe doch das was, nicht das wie.

Wobei du natürlich die Position vertrittst, dass das handling von Syntax auch Bestandteil der Mathematik ist. Daran hatte ich nicht gedacht. Jedoch denke ich nicht, dass die Syntax, die wir nutzen, entdeckt ist. Bist du dieser Meinung?

Troelstra schrieb:Er lehnt sich aus bestimmten, ausführlich argumentierten Überlegungen ab

Hättest du etwas dagegen, diese Überlegungen auch darzustellen?