Diophantische Gleichungen

Dieser Thread behandeltunter anderem ganzzahlige Lösungen Gleichungen aller Potenzen in der Form der Vermutung Eulers, die in folgendem Artikel umrissen wird:

http://www.nzz.ch/nachrichten/wissenschaft/variationen_zu_einer_vermutung_eulers_1.732803.html

Wie im Artikel erwähnt ist die Vermutung zur besagten Formulierung als falsch widerlegt.

Als Grundlage verwenden wir unter anderem eine Zahlendatenbank, die Jaroslaw Wroblewski seit 2008 im Internet zur Verfügunge stellt:

http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/tables.htm (Archiv-Version vom 18.02.2009)

Diese werden wir um zusätzliche Ergebnisse ergänzen können. Ich persönlich vermute, dass es ein übergeordnetes Muster, das durch die Potenzen geht, geben muss und ein Ziel dieses Threads ist es, dieses Muster zu finden. Ein weiters Ziel ist es, in den verschiedenen Potenzen neue Formeln zu finden.

Ich verweise bereits darauf, dass man allenfalls das Pascal'sche Dreieck ebenfalls betrachten kann, da unter anderem die Entwicklung der Möglichkeiten zur Summenbildung nach den Grössen in diesem Zahlendreieck, beispielsweise den Dreickszahlen für die Quadratzahlen, was bei der Formel von Euklid zum Satz des Pythagoras bereits ersichtlich ist (a² - b² / 2ab / a² + b² für die Bildung der pythagoräischenZahlentripel). Ebenfalls kann man Folgen und Reihen verschiedener Grade näher betrachten oder auch Dinge wie die vollkommenen Zahlen.

Hier noch der Link zu einem Projekt, dass sich unter anderem mit diesen Gleichungen beschäftigt hat - das Projekt hat aber zuletzt ein bisschen dahingedarbt:

http://euler.free.fr/

Es sei noch auf den inzwischen geschlossenen Thread verwiesen, der sich bereits mit der 3. Potenz, also den Kubikzahlen beschäftigt hat:

Der Lehrsatz des Pythagoras in der 3. Potenz

Dies hier ist also die Fortsetzung davon.

Freundliche Grüsse

ich gut in mathe ,
aber sowas verstehe ich nicht XD

Anhang: gw54087,1242831578,Higher_Powers.xlsx


Hier mal ein Einblick, was ich bisher für die einfachste Form der Gleichung an Material sammeln konnte (ab der 4. Potenz), die Spitze des Eisberges sozusagen im Dateianhang als Exceltabelle:

Quellen:
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation5thPowers.html
http://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/rmpowers.htm#5power (Archiv-Version vom 21.04.2009)

Als Dateianhang sind Excel-Tabellen angefügt mit einigen Ergänzungen. Diese geben einen Einblick in das bereits vorhandene Material, unter anderem einer Paarformel für die 5. Potenz. Wenn man die 414 - Gleichungen betrachtet, sprich vier 4. Potenzen, deren Summe ebenfalls eine zur 4. Potenz erhobenen Zahl ist, dann fällt mir auf, dass die meisten Differenzen der zwei grössten Grössen D und E verschieden sind, dass aber die Differenz 625 und das Vielfache davon gehäuft auftreten.

@Tommy137
@emodul

Ist es Euch möglich ein ähnliches Programm zu schreiben, wie bei den Kubikzahlen von Euch vorgeführt, dass beispielsweise bei den 4. Potenzen nur die Differenz E - D = 625 sucht für die Gleichung A^4 + B^4 + C^4 + D^4 = E^4 und wenn ja, bis zu welcher Grösse von E ist das möglich? Das Prinzip ist dasselbe wie bei den Kubikzahlen.

Ebenfalls frage ich mich, ob es möglich ist bei den 5. Potenzen Sextupel zu ererechnen, die Ergebniss mit E > 500 beinhalten. Was meint Ihr?

Ein Suche bei den siebten Potenzen erübrigt sich im Moment wohl, da die Zahlen immer grösser werden, für die die Basen stehen (2^7 = 128, 3^7 = 2187, etc.)

@Broly

Mit einigen Erklärungen wird es, wenn man nur die ganzen Zahlen betrachtet relativ simpel. Das einfachste Beispiel bei den Quadratzahlen, sprich der 2. Potenz, ist das pythagoräische Zahlentripel 3 - 4 - 5. Die Zahlen sind die Basen, der Exponent 2 wird vorausgesetzt: 3² + 4² = 5² oder 9 + 16 = 25. Für die Quadratzahlen hat vor langer Zeit Euklid eine bekannte Formel gefunden mit zwei Variablen. Wenn man alle Lösungen zweier Zahlenpaare betracht und diese als Tabelle darstellt, ist ein Muster erkennbar, wie sogenannt primitve Tripel, die sich nicht weiter kürzen lassen, und multiplizierte Tripel sich gegenseitig abwechseln. Dasselbe Muster wiederholt sich bei den Kubikzahlen. Interessanterweise ist hier das einfachste Beispiel 3³ + 4³ + 5³ = 6³. Die Vermutung liegt für mich Nahe, das es ein relativ simples Verfahren geben könnte, mit dem man die Suche nach zusammengehörender Summen von Potenzen vereinfachen kann. Denn in Tabellenform dargestellt ist ersichtlich, dass diese Summen untereinander geschrieben als Folgen und Reihen verschiedener Grade dargestellt werden können. Je höher die Potenz, desto höher die Grade der Folgen.
Ich erläutere das später auch noch in Tabellenform.

Freundliche Grüsse aus dem Fuchsbau

P.S. Zu den Kubikzahlen werde ich bald die gesamte Formelsammlung zur Verfügung stellen und erstmals auf die Formel von Noam Elkies und später nochmals auf die von Leonhard Euler eingehen.

Anhang: gw54087,1242831768,Higher_Powers.xls


Und damit man die Datei auch sicher öffnen kann, hier noch in einem anderen Format.

Bevor ich zur besseren Erläuterung auch noch auf die Formel von Euklid zu den Quadratzahlen eingehe, stelle ich hier noch eine Formel von Noam Elkies vor für die Kubikzahlen vor, die ich diesen Winter während einer Recherche gefunden habe, nachdem ich meine eigene Arbeit mit einer Formel von Hardy & Wright (ebenfalls für Kubikzahlen) kombiniert hatte.

http://www.math.harvard.edu/~elkies/4cubes.html
http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/96/4cubes

Ich persönlich hoffe nun, dass sich meine Lösung grundlegend von der von Elkies unterscheiden wird und sich meine Zahlenbild mit seiner Formel nicht darstellen lässt.
Ich muss das aber erst noch überprüfen.

Die Auflösung als Excel-Datei folgt in Kürze.

Anhang: gw54087,1242904805,Elkies_1.0.xls


Hallo Tommy137

Da ich sehe, dass Du online bist, hier mal meine Elkies Arbeitsdatei, wie sie sich im Moment präsentiert als Dateianhang. Die hellblauen Tabellen habe ich selber schon in meiner ursprünglichen Arbeit gefunden, respektive wiedergefunden, da bei Elkies bereits enthalten. Die restlichen sind in der Verknüpfung enthalten, die ich erstellt habe von meiner Arbeit mit der Formel von Hardy & Wright. Es gilt noch nachzuprüfen, ob ich eine unabängige Arbei vorlegen kann, oder ob meine Arbeit ein Abbild Elkies ist und somit noch nichts Neues bietet.

Ich bin momentan unter anderem dabei, die Quadrupel von Dir und Emodul mit der Datenbank von Wroblewski abzugleichen. Auf alle Fälle enthält das Programm, mit dem Du die Ergebnisse bis einer Million gerechnet hast bei D - C = 1 keine Fehler. Es ist also Dir überlassen das Programm auf höhere Werte anzusetzen. Alles über einer Million ist unveröffentlicht. Das gleiche gilt für die Ergebnisse von Emodul bis 100'000 mit D - C von 1 bis 9.

Herzliche Grüsse aus dem Fuchsbau

@Tommy137
@emodul