Der Lehrsatz des Pythagoras in der 3. Potenz

Ich habe mich in meiner Freizeit längere Zeit anstatt mit Kreuzworträtseln oder Sudokus einfach mit ganzen Zahlen beschäftigt. Nachdem ich unter anderem den Satz des Pythagoras und das Pascalsche Dreieck von vorne bis hinten untersucht und durchgerechnet habe, bin ich irgendwann bei den Kubikzahlen-Quadrupeln gelandet (cubic quartets). Erstaunt musste ich feststellen, dass das Thema bisher alles andere als umfassend abgehandelt wurde. Es gibt wohl Leute, die mit Hilfe von Computern lange Listen mit allen Quadrupeln bis zu einer gewissen Grösse erstellten, diese Daten dann aber nicht weiterverabeitet haben. Wenn man die Quadrupel in Tabellen gliedert, kann man aus diesen Tabellen Formeln konstruieren.

Hier einige Bespiele von Tabellen. Diese sind ein möglicher Ansatz (Quadrupel mit A=1), ich habe aber einen anderen Ansatz viel weiter verfolgen können. Diese Tabellen dienen in erster Linie der Illustration.


1 8 6 9
1 71 138 144
1 242 720 729
1 575 2292 2304
1 1124 5610 5625


-1 10 9 12
-1 73 144 150
-1 244 729 738
-1 577 2304 2316
-1 1126 5625 5640


8 10 6 12
71 73 138 150
242 244 720 738
575 577 2292 2316
1124 1126 5610 5640


4 5 3 6

121 122 360 369

562 563 2805 2820


Die obenstehenden vier Tabellen kann man problemlos im Excel bearbeiten. Horizontal sind in 4er-Gruppen Quadrupel der Form A³+B³+c³=D³, die Zahlen stellen also nur die Basen da. In der Vertikalen bilden sich untereinander Folgen, bzw. Reihen. Deshalb lassen sich die Tabellen auch in Formeln ausdrücken und bis in die Unendlichkeit weiterziehen. Für diese einfachen Tabellen kann man n-Polynominatoren mit einer unbekannten Variablen rechnen. Für die erste Tabelle existiert die Formel bereits.
Dies hier ist nur ein kleiner Teil aller Quadrupel und Tabellen. Da ich aber schon weiter vorangeschritten bin in meiner Arbeit, ist jetzt schon für mich ersichtlich, dass sich alle ganzzahligen Lösungen für obige Gleichung schlussendlich mit nur einer Formel mit mehreren Variablen ausgedrücken lassen müssen können, analog zu den Quadratzahlen-Tripeln und der Formel von Euklid.

Ziel dieses Threades wäre es, weitere Tabellen zu finden, und diese wiederum in das ganze "Kubikzahlensystem" einzuordnen. Wer mag sich beteiligen? Ausserdem wäre es interessant herauszufinden, ob es irgendwo eine Entsprechung gibt, beispielsweise in der Raumgeometrie, zum Lehrsatz des Pythagoras mit der Hypothenuse und den Katheten.

Als kleiner Anreiz, an der Aufindung der Formel und den Teilformeln arbeitet auch ein Mathematikprofessor mit. Vielleicht finden wir gemeinsam ebenfalls etwelche Teilformeln. Bei einfachen Tabellen und ihren n-Polynominatoren ist er aber klar im Vorteil, da sein Taschenrechner die Formeln liefern kann. Bei den Paarformeln und den Formeln mit drei Variablen wirds dann schon etwas schwieriger.

ööhm. was werden uns denn diese Quadrupeln und Polynominatierten Tripel bringen?

Gibt es auch einen "Nutzbaren" Anreitz, was man von so einer Teilformel hat ?

Habe mir da gerade schnell ein Progrämmchen gestrickt, das die Zahlen für mich berechnet, da ich zu faul bin, um da jetzt irgendwelche Gesetzmässigkeiten herzuleiten. Wenn Du willst, stelle ich den Quelltext hier rein. Oder besser ich schicke ihn Dir per PN, da es ziemlich übel codiert ist ...

Hier mal eine Kostprobe mit A=1, A=7, A=17. Doubletten werden, wie Du siehst, nicht berücksichtigt.
A=1
1 6 8 9
1 8 6 9
1 71 138 144
1 135 138 172
1 138 71 144
1 138 135 172
1 242 720 729
1 372 426 505
1 426 372 505
1 426 486 577
1 486 426 577
1 566 823 904
1 720 242 729
1 823 566 904
A=7
7 14 17 20
7 17 14 20
7 42 56 63
7 54 57 70
7 56 42 63
7 57 54 70
7 119 303 309
7 303 119 309
7 317 525 561
7 497 966 1008
7 525 317 561
7 945 966 1204
7 966 497 1008
7 966 945 1204
A=17
17 2 40 41
17 4 22 25
17 7 14 20
17 14 7 20
17 22 4 25
17 40 2 41
17 40 86 89
17 57 177 179
17 86 40 89
17 102 136 153
17 135 640 642
17 136 102 153
17 175 380 392
17 177 57 179
17 191 274 302
17 274 191 302
17 380 175 392
17 519 640 738
17 564 807 890
17 640 135 642
17 640 519 738
17 687 694 870
17 694 687 870
17 807 564 890

Wenn die Zahlen für B und C viel grösser als 1000 werden, dann macht mein Proggie allerdings schlapp, weil die Zahlen bei X^3 einfach zu gross werden. habe jetzt auch nicht überprüft, ob die berechneten Zahlen alle stimmen ...

Emodul

@Fuchs76
A³+B³+c³=D³

Welche Linie ist 'D'?

Oh, das wird den Weltuntergangspanikern gefallen! :D
Hat mich jetzt selbst etwas überrascht.

666 888 111 999

Emodul

@emodul

Mach eine Webseite darüber, kündige was-auch-immer an, behaupte dass Du den Durchblick hast und die Weltverschwörung kennst und aufdecken wirst, aber Kapital brauchst, eröffne ein Spendenkonto und in 6 Monaten lebst Du gut mit Champagner und Kaviar.

Hat mich jetzt selbst etwas überrascht.


Naja, wenn 1³+6³+8³=9³, dann sollte das ja klar sein...

Ach ja, einen Doktortitel von einer Internet - Uni musst Du Dir natürlich auch besorgen, ist aber relativ billig. Diplom einscannen und auf der Seite unterbringen. Überzeugt jeden Unbedarften. Und davon gibt es eine Riesenmenge.

@OpenEyes
Gute Idee, werde das gleich mal in Angriff nehmen :D

@Tommy137

Tommy137 schrieb:Naja, wenn 1³+6³+8³=9³, dann sollte das ja klar sein...

Psst. Solche Details wollen die Weltuntergangspaniker doch gar nicht wissen.

Ok, genug gespamt. Wäre schade, wenn dieser doch recht spezielle Thread deswegen geschlossen würde.

Emodul

@Fuchs76
"Ausserdem wäre es interessant herauszufinden, ob es irgendwo eine Entsprechung gibt, beispielsweise in der Raumgeometrie, zum Lehrsatz des Pythagoras mit der Hypothenuse und den Katheten."

Ich denek ich habe dir das schon mal geschriben aber ich schreibe es dir noch mal.

Die 2 im Satz des Pythagorath stammt sozusagen aus der existenz eines Skalarproduktes mit zwei Argumenten.....

Ein skalrprodukt <,> ist eine Bilinearform die zwei Vektoren a und b nimmt und einen Skalar rausspukt.
<a,b>


Zwei Vektoren stehen senkrechtaufeinander wenn ihr skalarprodukt null ist. also wenn <a,b>=0

der Betrag der Vektoren ist <a,a>

uN ddarum hat man immer

<a+b,a+b>=<a,a>+<a,b,>+<b,a>+<b,b>=<a,a>+<b,b>

Wenn es sowas wie senkrechtstehen uebrhaupt gibt bekommt man automatisch IMMER den Satz des Phytagorath raus....

Soviel zum Thema Geometrie in Hilbertraumen.....

Wenn du allgemein Normierte Raeume betrachtest

Kannst du R^3 mit der der Norm betrachten
deine Quadruper(zumindest die mit nur positiven eintraegen sind dann diejenigen Punkte indenen eine ganzzahlige Kugel der 3er Norm im R^3 ein Ganzzahliges Gitter schneidet.

So wie die Phytagoraeischen Zahlentrippe die Punkte sind in dene eine Ganzahlige Kugel der zweier Norm im R^2 ein Ganzzahliges Gitter schneidet.....

Eine Formulierung wie fuer das rechtwinklige Drieeck wirst du mit der 3er Norm aber nicht finden weil es fuer diese norm sowas wie rechtwinklig nicht gibt

Weiter als bis zu dem Punkt oben wirst d die naalogie also nicht bringen koennen.

@JPhys

Ich antworte Dir zuerst. Siehst Du, ich habe mich eben nur mit den ganzen Zahlen beschäftigt. Ich muss mir Deinen Beitrag wohl ein paar mal durchlesen bevor ich da komplett steige. Übe bitte ein wenig Nachicht mit mir. :-)

Wenn ich Dich richtig verstanden habe, gibt es wohl keine Entsprechung in der Geometrie. Ich kann also mit den Grössen 1, 6 + 8 keine Grösse 9 irgendwo "ablesen"?
Schade. Gäbe es noch andere Möglichkeiten

@emodul

Danke für die Mühe, die Du Dir gemacht hast. Leider kann ich keine Programme schreiben so wie Du. Ich bin in dieser Beziehung nicht versiert. Zu Beginn habe ich mir die Quadrupel noch von Hand rausgesucht. Das geht am einfachsten, wenn man wie Euler gemäss der Definition A³+B³=D³-C³. Ich habe aber im Verlaufe meiner Recherche eine Site gefunden, auf der sämtliche primitiven Quadrupel bis zur der Grösse C=1000 aufgeführt sind.

http://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/Cubesums.htm

Es hat nur einige wenige dabei, die nicht primitv sind, sprich gekürzt werden können.

Wenn Dir aber mal langweilig ist und Du Quadrupel finden kannst mit C>1000, dann wäre das sicher sehr interessant, da diese wiederum eigentlich neu sind, respektive habe ich keine nennenswerten Quadrupel in der Grössenordnung gefunden. Diese Quadrupel wären in meinen Augen Deiner Urheberschaft. (Ausnahme sind die Quadrupel beginnend auf 1, die sind bis D=10000 vorhanden)

Überhaupt bietet die Power Page von Steven Dutch einige Inhalte zu diesem "System" auch für höhere Potenzen.

http://www.uwgb.edu/dutchs/RECMATH/rmpowers.htm (Archiv-Version vom 15.02.2009)

@DerDicke

Zitat: "ööhm. was werden uns denn diese Quadrupeln und Polynominatierten Tripel bringen?

Gibt es auch einen "Nutzbaren" Anreitz, was man von so einer Teilformel hat ?"

Das ist ja eben die Frage, ob es einen praktischen Nutzen haben könnte, ob eine Teilformel oder eine Formel die alle Lösungen liefert irgendwie praktischen Nutzen haben könnte. Grundsätzlich ist es ja in der Mathematik nicht so, dass der praktische Nutzen im Vordergrund steht. Natürlich würde es mich aber sehr freuen, wenn sich eine Anwendungsmöglichkeit ergäbe.

@Fuchs76
kurz gesagt... es gibt keinen praktischen Nutzen !? ok...

trotzdem eine nette Spielerei :D

@Fuchs76
Ok, dann betreten wir hiermit wohl Neuland :D
Habe die jetzt nicht von Hand nachgerechnet, hoffe es stimmt:

2 852 744 1010
2 852 972 1154
2 972 852 1154

3 509 1156 1188
3 1116 1278 1515
3 1156 509 1188
3 1278 1116 1515

4 963 972 1219
4 972 963 1219

5 1059 1282 1488
5 1282 1059 1488

6 810 828 1032
6 828 810 1032
6 865 1119 1270
6 1119 865 1270

7 162 1190 1191
7 497 966 1008
7 569 1288 1324
7 945 966 1204
7 966 497 1008
7 966 945 1204
7 1190 162 1191
7 1288 569 1324

8 568 1104 1152
8 606 964 1038
8 786 955 1107
8 955 786 1107
8 964 606 1038
8 1080 1104 1376
8 1104 568 1152
8 1104 1080 1376

9 639 1242 1296
9 642 927 1020
9 735 1020 1134
9 927 642 1020
9 1020 735 1134
9 1215 1242 1548
9 1242 639 1296
9 1242 1215 1548

10 723 1277 1350
10 783 953 1104
10 953 783 1104
10 1277 723 1350

Ich meld mich morgen mal noch wegen dem Programm. Das Problem ist eben, dass bei ca. 2000 schluss ist, da die Werte dann einfach einen Overflow produzieren. Das von mir schnell geschriebene Matlab-Skript hat dieses Problem zwar nicht, aber es ist so unheimlich langsam, dass es mir hier den Computer stundenlang ausbremst.

Mein Programm müsste umgeschrieben werden, damit es irgendeine Big-Integer-Arithmetic-Library nutzen könnte oder aber die verschachtelten For-Schleifen im Matlab-Skript müssten vernünftig vektorisiert werden ...

Emodul

Wie gesagt, ich hoffe schon, aber ich weiss es nicht. Vielleicht könnte man ein Zahlenrätselheft machen wie Sudoku. ich denke aber nicht an einen finanziellen Nutzen. Als Beispiel dient mir die Fibonacci-Folge, die in der Natur, bei Sonnenblummen und Tannenzapfen zum Beispiel, effektiv ablesbar ist (Wachstum). Da in diesen Tabellen verikal ebenfalls Folgen auftreten, könnte es doch sein, dass es irgendwo eine entsprechung gibt, vielleicht für die Spalte mit den Resultaten D.

@emodul

Und nochmals herzlichen Dank. Du wirst somit auch als Quelle für obenstehende Quadrupel angegeben. Ich hatte das gleiche Problem im Excel, als ich mit Formeln arbeitete, irgendwann macht der Rechner einfach schlapp. Die ergebnisse werden wahrscheinlich stimmen, ich werde sie noch überprüfen und die primitiven Quadrupel aussortieren (3,4,5,6->6,8,10,12).

@Fuchs76
Keine Ursache. Ja, Excel ist wohl nur gut, um die Werte dann zu überprüfen. Zum Ausrechnen ist das eher nix.
Das von mir geschriebene Programm rechnet mir die Werte zwar sehr schnell aus, aber eben bei 2000 ist leider Schluss. Ein guter Grund, mich mal mit diesen Bibliotheken für grosse Zahlen zu befassen.

Gute Nacht.

Emodul

Schlaf gut.

Naja.. bringt es uns denn jetzt was endlose Tabellen zu erzeugen?
Ich dachte hier ginge es um die Ausarbeitung einer Formel die diese Basen On-The-Fly produziert ohne einen Brute-Force ansatz zu verwenden.

Offensichtlich können diese Tabellen lang werden ;)

Ich könnte euch jetzt ein entsprechendes Tool in einer Sprache euer Wahl programmieren aber wie gesagt... worauf soll das hinauslaufen? Blindes Mustersuchen in einem Haufen 100stelliger Zahlen?

@SSDD

Nein, natürlich nicht so hoch, aber einige Quadrupel mehr schaden schon nicht. Von den Tabellen braucht man eigentlich nur vier Zeilen um den n-Polynominator zu berechnen. Die einzelnen Tabellen kann man multiplizieren mit 1, 8, 27 etc. und die Zwischenräume jeweils mit entsprechenden primitiven Quadrupeln ergänzen. So bekommt man dann auf eine Paarformel. Meine Tabellen habe ich gefunden, in dem ich die Differnez von C zu D als erstes Ordnungskriterium verwendet habe. Nun hatte ich das Glück auf eine Formel gestossen zu sein, die von Vieta im 16. Jhd. gefunden wurde und von Euler später nachbearbeitet. Diese Tabellen steigen in den Differenzen von C zu D konstant an, zunächst einmal in 3er-Schritten. Die Tabellen von Vieta und Euler lassen sich mit meinen kombinieren, es ensteht ein "Suprasystem" mit neu drei unbekannten Variablen. Dieses beinhaltet schon zoemlich viel der kleinsten Quadrupel.

Für alle Formeln gilt, dass sie für alle rationalen Zahlen gelten.

P.S. Beim blinden Mustersuchen bin ich mittlerweile ziemlich fit, ich weiss, worauf ich achten muss. Ist eine gute Kopfrechenaufgabe. Die Zahlen in den Spalten sind aneinadergereiht Folgen 3. und 4. Grades.