Der Lehrsatz des Pythagoras in der 3. Potenz

@Niselprim

Das ist eben eine der offenen Fragen, ob es eine Entsprechung für die Grösse D gibt, oder ob es nur eine mathemaische Lösung dieser Gleichungen ist. Für Hinweise bin ich jederzeit dankbar.

@Fuchs76

Wäre schon erstmal interessant, was man da ausrechnen soll ;)
Naja, vielleicht ergibt es das Kugelvolumen um einen Würfel?

Wer weiss...

Wenn man drei Würfel hat mit den Kantenlängen A, B und C hat ergibt die Summe der Volumen einen Würfel mit der Kantenlänge D. Vielleich lässt sich das auch in Kugeln ausdrücken.

Wo das ganze reinpasst und ob überhaupt weiss ich eben bis jetzt noch nicht. Mein alter Marhematiklehrer hat mich aber dahingehend beruhigt, dass es in der Mathematik nicht in erster Linie um den praktischen Nutzen geht. Aber natürlich würde es mir schmeicheln, wenn sich eine Anwendung ergeben würde.

Wenn man drei Würfel hat mit den Kantenlängen A, B und C hat ergibt die Summe der Volumen einen Würfel mit der Kantenlänge D. Vielleich lässt sich das auch in Kugeln ausdrücken.

Das wirst du dir ja wohl noch selber herleiten können ;)

@Fuchs76

Sehr wahrscheinlich wird es so sein, wenn man nach Pythagoras geht.
Nur scheinbar ist es ohne Sinn, weil man ja sonst keine Schlussfolgerungen schließen kann, da ja beispielsweise die Winkel in einem Würfel alle 90° haben.

@Tommy137

Ich bearbeite gerade Deine erste Ausbeute. Sieht so aus, als ob ich die Tabelle aus dem Ausgangspost ausmultiplizieren kann. Wäre es möglich, das Programm diejenigen suchen zu lassen, die auf 81 beginnen?

Anhang: gw48533,1231703139,quadruples1.txt


Bitte.

Danke :-)

Anhang: gw48533,1231703764,Erste_Paarformeln.xls


Hier einmal ein Beispiel für eine ausmultiplizierte Tabelle, die in eine Paarformel gewandelt werden kann:

@Tommy137

Diese Tabelle konnte ich mit Hilfe Deiner Quadrupel finden, sie ist ganz neu:

16 128 96 144
16 470 657 729
16 1136 2208 2304
16 2234 5505 5625
16 3872 11520 11664
16 6158 21441 21609
16 9200 36672 36864
16 13106 58833 59049
16 17984 89760 90000

Jeder zweite Quadrupel ist ein primitiver, der Rest dividiert durch 16 ergibt die Tabelle aus dem Ausgangspost. Da die Entsprechung nicht bei 81 liegt, muss sie bei 9 oder 27 liegen. Ich übeprüfe erstmals die 9. Wenn diese Teilarbeit fertig ist, kann man wiedeum eine Paarformel konstruieren.

@Tommy137
Mal ne Frage bezüglich des von Dir verwendeten Algorithmus. Basiert der auf Brute-Force?

Scheint auf jeden Fall recht schnell zu sein. Schätze mal, es ist nicht ein reiner Brute-Force-Ansatz.
Mir ist eben aufgefallen, dass Du bzw. Dein Programm nicht alle Lösungen findet. Oder gibt es eine Erklärung, weshalb die z.B. fehlen (sind das Mehrfache?)?:

81 12 136 145
81 33 45 87
81 71 384 386
81 90 111 138
...
81 522 2295 2304

Sind jetzt nur ein paar Beispiele, um die Frage zu klären.

Emodul

@ emodul

Ist eigentlich ein reiner BruteForce-Ansatz.

Die genannten Beispiel tauchen bei mir nicht auf, da immer A < B vorausgesetzt wird und auch nur primitive Quadrupel ausgegeben werden.

Z.B. 81 90 111 138 entspricht 3*(27³+30³+37³)=3*46³

@emodul

Es werden nur primitive Quadrupel angezeigt. Bei Bedarf müssen diese multipliziert werden. Ich erstelle forlaufend im Excel einen Übertrag, um eine vollständige Sammlung zu erhalten.

@Fuchs76
@Tommy137
Ah ok, die Bedingung A < B habe ich jetzt komplett übersehen ...

Emodul

Die Tabelle findet tatsächlich einen Fortsatz. 9 passt, multipliziert mit 9 ergibt unsere 81.
Wenn ich Dich nochmals fragen darf, @Tommy137, darf ich bitte noch die Quadrupel beginnend auf 256 haben? Dann habe ich vier Tabellen und kann somit weitere Tabellen "produzieren". Die vier Tabellen ergeben die Grundlage für eine weiter Paarformel, abe mit einem anderen Ansatz, als ich bisher verfolgt hatte. Früher ode später wird man diese einzelnen Komponenten verbinden können.

9 72 54 81
9 183 220 256
9 366 580 625
9 639 1242 1296
9 1020 2338 2401
9 1527 4024 4096
9 2178 6480 6561
9 2991 9910 10000


81 648 486 729
81 1647 1980 2304
81 3294 5220 5625
81 5751 11178 11664
81 9180 21042 21609
81 13743 36216 36864
81 19602 58320 59049
81 26919 89190 90000

Ich werde dann ein gesammeltes Arbeitsblatt erstellen und dieses hier reinstellen. Bis jetzt ist das ja eine fruchtbare Angelegenheit.:-)

256 311 398 479
256 467 3629 3632
256 563 4656 4659
256 621 923 1014
256 717 891 1030
256 1854 7277 7317
256 2253 7515 7582
256 2565 8403 8482
256 3425 4518 5097
256 4244 4665 5625

256 4244 4665 5625

Der passt auch. Somit kann man den n-Polynominator aus dem Ausgangspost ebenfalls in eine Paarfornmel umrechnen. Lieben Dank, das ist jetzt vor allem auf Deinem Mist gewachsen...

Anhang: gw48533,1231711169,Formelsammlung.xls


Hier mal noch als Anhang die Formeln von Vieta, Euler und Ramanujan, die Quadrupel bis C=1000 und zwei weitere Polynominatoren.

@Fuchs76
Hier mal noch das versprochene Skript. Das Skript kann per Copy and Paste direkt in die Scilab-Konsole eingegeben werden. Scilab gibt es hier (gratis) zum Download: www.scilab.org

Mit einigen Änderungen läuft das Skript auch unter Octave oder Matlab, allerdings unter Octave wegen den verschachtelten For-Schleifen nur sehr langsam. Unter Matlab müsste es eigentlich relativ schnell laufen, da Matlab einen JIT-Compiler drin hat. Mangels Lizenz kann ich das aber hier nicht ausprobieren.

Variablen/Erklärungen:
gcd2(a,b): Funktion für grössten gemeinsamen Teiler
quad(): Funktion um primitive Quadrupel zu berechnen
A: Wert für A muss am Anfang festgelegt werden
UPB: Grenzwert für B, sollte grösser als A gewählt werden
UPC: Grenzwert für C, Sollte grösser als A gewählt werden
B: Laufvariable B, Startwert ist A
C: Laufvariable C, Startwert ist A

Ausgabe/Format:
A < B < C < K

Howto/Vorgehen:
Wert für A festlegen (z.B. A=1), Grenzwert für B und C festlegen (UPB=1000, UPC=1000), dann modifiziertes Skript per Zwischenablage in Scilab-Konsole einfügen und Enter drücken und dann abwarten und Tee trinken oder alternativ ein Snickers knabbern ...

// UNTERHALB DIESER LINIE BEGINNT SKRIPT
clear
function erg=gcd2(a,b)
r=modulo(a,b)
while(r>0) a=b;b=r;r=modulo(a,b);end
erg=b
endfunction
function quad()
A=1;
UPB=1000;
UPC=1000;
Third=1.0/3.0;
for B=A:UPB;
for C=A:UPC;
qval=A*A*A+B*B*B+C*C*C;
val=ceil(qval^(Third));
K=val;
val=K*K*K;
if (val==qval & C > B)
if (gcd2(A,B) == 1 | gcd2(A,C)==1 | gcd2(A,K)==1)
printf("\n%d %d %d %.0f", A, B, C, K);
end
end
end
end
printf("\n");
endfunction
quad()
// OBERHALB DIESER LINIE ENDET SKRIPT

Mit dem Skript gewinnt man natürlich keinen Schönheitswettbewerb und besonders schnell ist es auch nicht. Dafür ist es einfach zu Lesen/Verstehen. Eine schöne Ausrede für einen inkompetenten Hobbyprogrammierer, wie ich finde :D

Emodul

if (gcd2(A,B) == 1 | gcd2(A,C)==1 | gcd2(A,K)==1)


Diese Kontrolle wollte ich eigentlich auch nehmen, aber dann fiel mir auf, dass das keine notwendige Bedingung ist. Klar wird das, wenn A eine Zahl mit einer größeren Anzahl verschiedener Primfaktoren ist.

Zum Beispiel erhält man dadurch nicht die Lösung:

210 469 531 640

Primfaktorenzerlegung:
210 = 2*3*5*7
469 = 7*67
531 = 3²*59
640 = 2⁷*5