Energie auf Transportbändern

Neulich auf dem Flughafen habe ich mir mal wieder Gedanken gemacht. Da gibt es doch diese langen, horizontalen "Rolltreppen", also diese Transportbänder, mit denen man schneller durch die langen Terminals kommt.

Ich laufe mit einer Geschwindigkeit v durch den Flughafen, und um mich auf diese Geschwindigkeit zu beschleunigen, benötigte ich 1/2m*v^2 als Energie.

Nun komme ich an den Anfang des Transportbandes. Zufälligerweise hat das Band ebenfalls die Geschwindigkeit v. Wenn ich mich auf das Band stelle, bleibt meine kinetische Energie erhalten, die relative Geschwindigkeit gegenüber dem Band ist aber 0.

Nun bleibe ich auf dem Band nicht stehen, sondern beginne wieder zu laufen, bis ich meine normale Laufgeschwindigkeit v erreicht habe. Dafür wende ich nochmal 1/2m*v^2 auf. Der gesamte Energieaufwand für mich beträgt also 2 * 1/2m*v^2 = m*v^2. Soweit alles klar.

Nun komme ich ans Ende des Bandes, und da ich nicht abbremse, laufe ich folglich mit 2v vom Band herunter. Meine Energie beträgt nun 1/2m*(2v)^2 = 1/2m*4*v^2 = 2m*v^2.

Aber wo kommen nun die fehlenden mv^2 her, ich selber habe doch nur 1x mv^2 an Energie hineinivestiert?

Irgendwie komme ich nicht auf den Trick...

zaeld schrieb:Aber wo kommen nun die fehlenden mv^2 her, ich selber habe doch nur 1x mv^2 an Energie hineinivestiert?

Kann sein dass ich da was falsch verstehe...aber evt vom Laufband übertragenderweise?

skagerak schrieb:Kann sein dass ich da was falsch verstehe...aber evt vom Laufband übertragenderweise?

Würde ich auch sagen. Die anderen mv^2 kommen vom Förderband. Dieses liefert nicht nur 1/2 mv^2 indem es dich vorwärtsbringt, es muß auch nochmal 1/2 mv^2 liefern um nicht langsamer zu werden, wenn du beginnst auf dem Band erneut zu laufen. Sonst würdest du es ja "zurücktreten".

@zaeld

Die kommt logischerweise vom Laufband..

Wenn du in einem Bus vorwärts Läufst und dann raus springst hast du auch zusätzlich zu deiner eigenen Laufgeschwindigkeit die des Busses oben drauf.

Ähnliches Beispiel aber doch anders:

(Um keine Moralisten auf den Plan zu rufen, unterstelle ich, dass es sich um einen Stunt handelt. Niemand kommt zu schaden)

Nehmen wir an, ein Auto knallt frontal gegen eine Betonwand, ohne zurückzuprallen. Es wird die Energie 1/2 mV^2 frei.
Jetzt dasselbe mit doppelter Geschwindigkeit: Es werden 1/2 m (2v)^2 frei, also 2mv^2

Und jetzt prallen zwei entgegenkommende Fahrzeuge aufeinander, von denen jedes die Geschwindigkeit v und die Masse m hat. Wieviel Energie wird jetzt frei?

@Tripane
Es entzieht sich leider meiner Kenntnis ob man sich beim Gehen vorwärts schiebt oder ob man einfach eine Position wechselt. Kommt vielleicht auf die Gangart an.

Angenommen man wechselt nur die Position.
Denn hätte das ja keinen Einfluss auf das Band (abgesehen von der Körpermasse die das Band zusätzlich bewegen muss).
Also hat man erst mal die Geschwindigkeit vom Band.
Angenommen das Band hat die sogenannte Schrittgeschwindigkeit, und man läuft mit exakt der selben Geschwindigkeit, ist man also in Relation zu einer neben dem Band stehenden Person 2 mal V schnell.

@Nerok
Oder einfach ausgedrückt, so, ja :-D

Tripane schrieb:Und jetzt prallen zwei entgegenkommende Fahrzeuge aufeinander, von denen jedes die Geschwindigkeit v und die Masse m hat. Wieviel Energie wird jetzt frei?

Da ist für mich ja viel interessanter :-)

Ich würde jetzt denken, dass es dann eben 1 mal v und m wäre, weil man beide Richtungen nicht zusammenlegen kann. Entweder man misst von der einen oder anderen Seite.
Beziehungsweise, die Energien tauschen sich gegenseitig aus oder so.

Aber das jetzt auch nur aus meiner Laiensicht. Hab ja kaum Ahnung davon :-)

@skagerak
@Tripane

Wenn zwei Fahrzeuge mit Masse m und Geschwindigkeit v aufeinanderprallen, wird m*v² Energie in Verformungsarbeit umgesetzt. Es wird schließlich zweimal die Masse m um |v| abgebremst...

@skagerak
@Rho-ny-theta

Ja, das stimmt auch, es wird mv^2 frei. :)  

Man könnte aber (fälschlicherweise) auch argumentieren, dass es 2mv^2 sein müssen, weil ja jedes Auto, das andere mit 2v auf sich zukommen sieht, so dass es nach dem quadrieren 4v^2  sein müssen, bzw. im Gesamtergebnis 2mv^2.

@Tripane

Dann müsste man aber erklären, wo das zweite m*v² an Energie herkommt, da beide Autos vor dem Zusammenstoß ja jeweils nur 1/2*m*v² an kinetischer Energie mitgenommen hatten :D

@zaeld: Das geht noch viel besser. ;) Du beschleunigst z.B. ein 1-kg-Objekt in 100 Schritten auf 100 m/s. Energieaufwand entsprechend Deinem Laufband-Beispiel:

E = n * 1/2 * m * v² = 100 * 1/2 * 1 kg * (1 m/s)² = 50 J

Resultat:

E = 1/2 * m * v² = 1/2 * 1 kg * (100 m/s)² = 50.000 J

Hurra! Freie Energie in Hülle und Fülle! :D

Oops, Korrektur: ... = 5.000 J

Aber Faktor 100 ist schiesslich auch nicht schlecht. ;)

@zaeld

zaeld schrieb:Irgendwie komme ich nicht auf den Trick...

Du musst die kinetische Energie des Bandes in die Energiebilanz mit reinnehmen sonst berechnest du nur Teile und deren Summe muss niocht diesselbe sein ausunterschiedlichen Bezugssystemen.

zaeld schrieb:Wenn ich mich auf das Band stelle, bleibt meine kinetische Energie erhalten, die relative Geschwindigkeit gegenüber dem Band ist aber 0.

Hier bekommst du Schwierigkeiten, wenn du nicht sauber definierst. Ich verstehe was du Aussagen willst aber es ist schwammig. Die kinetische Energie bleibt aus beiden Bezugssystmen erhalten (aus Sicht des Flughafens und aus Sicht des Bandes, die Werte sind aber unterschiedlich und nur null aus SIcht des Bandes.)

zaeld schrieb:Der gesamte Energieaufwand für mich beträgt also 2 * 1/2m*v^2 = m*v^2. Soweit alles klar.

Und hier schleicht sich jetzt der Fehler ein, den du summierst die kinetische Energie aus Sicht von zwei unterschiedlichen Bezugssystemen. Anschaulicher und konsistenter ist es die Gesamtsituation klar aus Sicht des jeweiligen Bezugssytstems zu beschrieben. Ich mache das hier für den Beobahchter ruhend zum FLughafen und einemal ruhend zum Transportband:

Der Flughafenbeobachter würde sagen: Fall 1=Laufen bevor dem Laufband:
E_{Kin_vor_band} = 1/2 ⋅ 70kg ⋅ (1 m/s)² = 35 J

Fall 2 = Laufen auf dem Band:
E_{Kin_auf_band} = 1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (1 m/s + 1 m/s)^2 = 140 J

Man beachte hier das man die Einzelgeschwindigkeiten in der Klammer addiert, und nicht die Einzelenergien ausrechnet und dann zusammenaddiert.

Ein stationäre Beobachter auf dem Band sitzend würde die Situation so beschrieben:

Der würde sagen Fall 1:
E_{Kin_vor_band} = 1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (0 m/s)² = 0 J

Fall 2 du auf dem Band:
E_{Kin_auf_band} = 1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (1 m/s)^2 = 35 J


Jetzte habe ich aber immer noch den gleichen Fehler gemacht, nämlich nur die kinetische Energie des Mannes zu betrachten. Daher sieht es jetzt so aus als ob die geleistete Arbeit abhängt vom Bezugssystem, was seltsam wäre denn dann könnten wir eine absolute Geschwindigkeit bestimmen. Tatsächlich haben wir aber den Fehler gemacht und uns nur Teilenergien angeschaut. Die kinetische Energie des Ttransportbandes haben wir völlig außer acht gelassen und somit keine Gesamtenergiebetrachtung durchgeführt.

Daher müssen wir unbedingt den Rückstoss miteinbeziehen den der Mensch auf das Transportband ausübt und daher negativ beschleunigt. Das wird benötigt denn es gilt der Impulserhaltungssatz. Zur Vereinfachung nehme ich an das das Transportband ebenfalls eine Masse von 70 kg hat und sich nach links oder rechts bewegen kann (ähnlich einem gezogenen Tuch das keine Umlenkrollen besitzt)


Dann ergibt sich aus Sicht des FLughafenbeobachters:

Fall 1=Mann läuft bevor dem Laufband:
E_{Kin_vor_band} = E_Mann + E_Band = 1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (1 m/s)² +1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (1 m/s)² = 70 J

Fall 2 = Mann läuft auf dem Band:
E_{Kin_auf_band} = E_Mann + E_Band =1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (2 m/s)² + 1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (0 m/s)² = 140 J

Nun warum steht jetzt im Fall 2 das Band still? Aufgrund des Rückstosses der Beschleunigung des Mannes wird das Tuch in entgegengesetzte Richtung beschleunigt. Das ergibt sich aus dem Impulserhaltungssatz. D.h. der Mann muss aus Sicht des Flughafenbeobahcters 70 J Beschleunigungsarbeit aufwenden, denn das Laufband ist gleich schwer wie er, daher braucht er die doppelte Energiemenge für die Geschwindigkeiterhöhunh um 1 m/s. (In der Realität ist das Band fest mit dem Antriebe verankert und dieser fest mit der Erde, d.h. wir haben kein geschlossenens System wenn wir nicht die Erde miteinbeziehen)

(siehe auch: Wikipedia: Rückstoßantrieb#Physikalischer Hintergrund
--> 3. Formel zur Berechnung der anteiligen Energiemengen auf die unterschiedlichen Massen)


Die Energiedifferenz ergibt sich zu:
ΔE₁ = E_{Kin_auf_band} - E_{Kin_vor_band} = 70J


%-------------------------------------------------
Aus Sicht des Bandbeobachters ergibt sich:

Fall 1=Laufen bevor dem Laufband:
E_{Kin_vor_band} = E_Mann + E_Band = 1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (0 m/s)² +1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (0 m/s)² = 0 J


Fall 2 = Laufen auf dem Band:
E_{Kin_auf_band} = E_Mann + E_Band =1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (1 m/s)² + 1/2 ⋅ 70 kg ⋅ (- 1 m/s)² = 70  J

ΔE₂ = E_{Kin_auf_band} - E_{Kin_vor_band} = 70J

Auch hier ergibt sich Aufgrund des Rückstosses der Beschleunigung des Mannes, dass das Tuch in entgegengesetzte Richtung beschleunigt wird. Das ergibt sich aus dem Impulserhaltungssatz. D.h. der Mann muss aus Sicht des Flughafenbeobahcters 70 J Beschleunigungsarbeit aufwenden, denn das Laufband ist gleich schwer wie er, daher braucht er die doppelte Energiemenge für die Geschwindigkeiterhöhunh um 1 m/s.

--> Damit ist ΔE₁ = ΔE₂, das heißt auch aus Sicht der unterschiedlichen Bezugssysteme ist die aufzuwendende Arbeit des Mannes die Gleiche.

Danke für die Antworten.

Daß der Mensch auf dem Band beim Beschleunigen das Band abbremst, war mir schon klar, habe das im Eingangspost aber noch nicht erwähnt. Meine Überlegung dazu war nämlich folgende:

Wenn das Band wie im Post hierdrüber beschrieben das gleiche wiegt wie die Person, wird das ziemlich einfach. Wenn aber das Band sehr viel schwerer als die Person ist, wird das Band kaum abgebremst, und da die Geschwindigkeit mit dem Quadrat in die Energie einfließt, dürfte das Band auch nicht die gleiche Energie verlieren wie die Person hinzubekommt, hatte ich mir überlegt.

Allerdings habe ich nicht bedacht, daß das Band von der Person ja nicht von einer geringen Geschwindigkeit auf Null abgebremst wird, wo diese Überlegung Gültigkeit hätte, sondern von einer hohen Geschwindigkeit (die normale Betriebsgeschwindigkeit) auf eine geringfügig niedrigere. Da diese Differenz jedoch quadratisch in die Energieänderung eingeht, könnte das insgesamt doch hinhauen (und da bin ich mir ziemlich sicher).

Das genauer durchzurechnen habe ich gerade keine Lust, vielleicht später mal.

zaeld schrieb:Allerdings habe ich nicht bedacht, daß das Band von der Person ja nicht von einer geringen Geschwindigkeit auf Null abgebremst wird, wo diese Überlegung Gültigkeit hätte, sondern von einer hohen Geschwindigkeit (die normale Betriebsgeschwindigkeit) auf eine geringfügig niedrigere. Da diese Differenz jedoch quadratisch in die Energieänderung eingeht, könnte das insgesamt doch hinhauen (und da bin ich mir ziemlich sicher)

Mit genau dem Absatz hast du die korrekte Lösung gefunden. Nur dass es in der Regel nicht die Geschwindigkeit ist, die den Ausschlag gibt (sonst wäre das Band ziemlich gefährlich) sondern der Unterschied in der Masse - der Fall ist uns allen aus dem Alltag bekannt, Bsp. Auffahrunfall Auto gegen LKW. Der LKW ist so viel schwerer als der PKW, dass die vom PKW übertragene Energie diesen kaum bremst, dass Auto hingegen kriegt fast soviel Verformungsarbeit ab, als wäre es an eine Wand gefahren.

@zaeld

Rechenbeispiel dazu:

Ein Kleinwagen mit 2t Gewicht wird frontal mit 100km/h pro Seite vom allseits beliebten 40-Tonner vergenusswurzelt.

Vor dem Zusammenstoß:

Kleinwagen: 1/2*2000kg*(27.78m/s)² = 771.7kJ ordentlich
LKW: 1/2*40 000kg*(27.78m/s)² = 15.435 MJ das wird wehtun... (Vorzeichen für die Richtung sparen wir uns)

Nun rappelt's im Karton.

1. Schritt:
Der PKW überträgt seine ganze Energie auf den LKW, damit
PKW = 0 J
LKW = 15.435 MJ - 771.7 kJ = 14.66 MJ - der PKW ist also vollständig abgebremst, der LKW hat hingegen nur ca. 5% seiner kinetischen Energie verloren. Jetzt müssen wir nur noch ausrechnen, welche Geschwindigkeit nun der Gesamtschrotthaufen mit der neuen Masse von 42 Tonnen hat:

2. Schritt:
14.66 MJ = 1/2*42 000kg*v² -> v = Wurzel(14.66 MJ / (1/2*42000kg)) = 26.421 m/s = 95.12 km/h - der LKW hat somit nur weniger als fünf km/h verloren, schiebt aber jetzt den plattgemachten Fiat Panda (o.Ä.) vor sich her.

Was hat nun aber die arme Sau im Twingo (o.Ä.) an Energie abbekommen? Berücksichtigt man das Vorzeichen für die Richtung, erlebte der Insasse des Fahrzeugs ein delta v von 195,12 km/h - vorher fuhr er mit 100km/h nach "rechts", jetzt "fährt" er mit 95,12 km/h nach "links".

3. Schritt:
Energietransfer: 1/2*m*|delta v|² = 1/2*2000kg*(195.12km/h)² = 2.938 MJ

Wäre er mit 200 auf die Mauer geballert, hätte er 3.086 MJ abbekommen.

Wir stellen also fest: Ist der Unfallgegner hinreichend viel schwerer als Probant A, entspricht die Wucht des Zusammenstoßes ungefähr der Situation, mit doppelter Geschwindigkeit in eine Wand zu fahren.

Rho-ny-theta schrieb:Wir stellen also fest: Ist der Unfallgegner hinreichend viel schwerer als Probant A, entspricht die Wucht des Zusammenstoßes ungefähr der Situation, mit doppelter Geschwindigkeit in eine Wand zu fahren

Joa, ist halt alles eine Frage der Faktoren, Bedingungen und Situation oder nicht?

Rho-ny-theta schrieb am 03.08.2017:1. Schritt:
Der PKW überträgt seine ganze Energie auf den LKW, damit
PKW = 0 J
LKW = 15.435 MJ - 771.7 kJ = 14.66 MJ - der PKW ist also vollständig abgebremst, der LKW hat hingegen nur ca. 5% seiner kinetischen Energie verloren. Jetzt müssen wir nur noch ausrechnen, welche Geschwindigkeit nun der Gesamtschrotthaufen mit der neuen Masse von 42 Tonnen hat:

2. Schritt:
14.66 MJ = 1/2*42 000kg*v² -> v = Wurzel(14.66 MJ / (1/2*42000kg)) = 26.421 m/s = 95.12 km/h - der LKW hat somit nur weniger als fünf km/h verloren, schiebt aber jetzt den plattgemachten Fiat Panda (o.Ä.) vor sich her.

Was hat nun aber die arme Sau im Twingo (o.Ä.) an Energie abbekommen? Berücksichtigt man das Vorzeichen für die Richtung, erlebte der Insasse des Fahrzeugs ein delta v von 195,12 km/h - vorher fuhr er mit 100km/h nach "rechts", jetzt "fährt" er mit 95,12 km/h nach "links".

3. Schritt:
Energietransfer: 1/2*m*|delta v|² = 1/2*2000kg*(195.12km/h)² = 2.938 MJ

Die Rechnung ist übrigens so nicht richtig. Im Falle eines inelastischen Stoßes berechnet sich die Endgeschwindigkeit aus der Impulserhaltung:

m₁*v₁ + m₂*v₂ = (m₁ + m₂)*v_ges.

v_ges. = (40 - 2)/(40 + 2) * 100 km/h = 90,4 km/h