Quadratzahlen als Summe von Prim- und Dreieckszahlen.

Hallo,

habe ein Problem und bräuchte mal Hilfe.

Ich möchte -so überheblich sich das anhören mag- die Unendlichkeit der Sophie Germain Primzahlen beweisen.
(Bin kein Mathematiker und meine Kompetenz hält sich stark in Grenzen)

Ich habe zwei Vermutungen aber keine Idee wie ich die beweisen kann, dabei bräuchte ich bitte Anregungen oder besser noch Hilfe. Sind diese Vermutungen bewiesen, ist auch die Unendlichkeit der S.G.P. bewiesen.

1. Vermutung:

Man kann jede Quadratzahl
(deren Wurzel keine Dreieckszahl sein darf, das dürfte nur auf die 36 zutreffen)
als Summe einer Dreieckszahl und einer Primzahl schreiben, gleichwohl es mehrere Möglichkeiten gibt.

2. Vermutung:

Ist die Quadratzahl durch drei teilbar, so ist mind. einer der Primsummanden eine Sophie Germain Primzahl.


So siehts aus, wie beweisen?

1+3=4 (2²)
6+3=9 (3²)
3+13=16 (4²)
6+19= 25 (5²)
---------------- =36 (6²)
36+13, 6+43 =49 (7²)
3+61, 21+43, 45+19=64 (8²)
78+3, 10+71, 28+53 = 81 (9²)
3+97, 21+79 = 100 (10²)
78+43 = 121 (11²)
55+89, 91+53 = 144 (12²)
6+163, 66+103, =169 (13²)
45+151 =196 (14²)
28+197, 136+89 = 225 (15²)
253+3, 153+103,105+151,45+211, 15+241 = 256(16²)
276+13, 210+79, 78+211,66+223,6+283 = 289(17²)
253+71, 91+233, 55 +269 =324 (18²)

171+229=400(20²)
190+251,10+431=441(21²)

1128+97 =1225 (35²)

@Radix
Mein Wissen zur Zahlentheorie ist zwar auch beschränkt, aber für einen Beweis würde ich mich erstmal fragen, ob man die SGP allgemein irgendwie fassbar machen kann. Gibt es eine Vorschrift oder eine spezifische Eigenschaft, die nur für diese Zahlen zutrifft?
Selbe Fragen hinsichtlich der Dreieckszahlen.

Der Tag war zwar lang, aber dennoch bin ich mir unsicher, ob der 2. Beweis so überhaupt durchführbar ist. Denn um die Allgemeingültigkeit der Aussage zu zeigen, müsste man ja die Unendlichkeit der SGP voraussetzen können, was ja aber noch nicht geht... Kniffelig.

@BlackFlame

BlackFlame schrieb:Denn um die Allgemeingültigkeit der Aussage zu zeigen, müsste man ja die Unendlichkeit der SGP voraussetzen können, was ja aber noch nicht geht...

Vollständige Induktion ist immer der Schlüssel :D

@Radix
Keine Ahung, aber ist das hier nicht eher ein Diskussionsforum, oder wird das jetzt mehr und mehr zum Nachhilfe-Forum?

@xXGEH-H-EIMXx
Auch wieder wahr...
Bleibt trotzdem noch die Frage, ob man diese speziellen Zahlen soweit formalisieren kann, dass man mit ihnen überhaupt irgendeinen Induktionsschritt durchführen könnte?


Aber der Einwand ist richtig, was brächte es denn, wenn man deren Unendlichkeit beweisen könnte?
Im Sinne einer Diskussion: Sollte man das überhaupt beweisen können? Welche Auswirkungen hätte dies?......... Naja, wirkliches Diskussionspotential seh ich hier auch nicht.

@BlackFlame

BlackFlame schrieb:Gibt es eine Vorschrift oder eine spezifische Eigenschaft, die nur für diese Zahlen zutrifft?

Ja, die gibt es.

Die 5 ist als Bspl. eine S.G.P, weil sie multipliziert mit 2 und addiert mit 1 eine Primzahl ausspuckt.

Wikipedia: Sophie-Germain-Primzahl

Im Prinzip ist dies das Wesen der Faktoren von Dreieckszahlen

also als Bspl:

10= 2*5 ( 2*2 +1)
15= 3*5 (3*2-1)
21= 3*7
28= 4*7 usw...

BlackFlame schrieb:Selbe Fragen hinsichtlich der Dreieckszahlen.

Ja, ist der kleine Gauß.

n(n+1)/2= 1+2+3+4.....+n

BlackFlame schrieb:Kniffelig.

Es muss ja einen Grund haben, warum es so ist wie es ist. Aber davon abgesehen, erinnern wir uns an Euklids schönen Beweis. Stell dir mal vor, Du wärest in seiner Lage und würdest seinen Beweis nicht kennen!

@xXGEH-H-EIMXx

xXGEH-H-EIMXx schrieb:Keine Ahung, aber ist das hier nicht eher ein Diskussionsforum, oder wird das jetzt mehr und mehr zum Nachhilfe-Forum?

Naja, also man sollte doch schon sehen, dass wenn es uns gelingen würde, dieses Beweis zu erbringen, er auf eine kollektive Zusammenarbeit schauen kann.
Noch viel mehr, man könnte ein ganzes Faß aufmachen -was gleichwohl schnell in der Philosophie enden könnte- was die Primzahlen angeht und dabei ist es völlig wurscht, ob es 4n-+1, 6n+-1 oder eben Sophie Germain Primzahlen sind.

Primzahlen sind meiner Meinung nach immer einer Diskussion würdig.

BlackFlame schrieb:Welche Auswirkungen hätte dies?.

Erkenntnis über das Wesen der Mathematik selbst!

Ich darf hinzufügen:

Quadratzaheln die durch 3 teilbar sind, haben immer Dreieckszahlen in denen ein Primfaktor steckt, rechnet man mit zwei Faktoren.
Weiter ist mir aufgefallen, dass Etwas mehr als die Hälfte der Primzahlen die summiert mit einer Dreieckszahl eine Quadratzahl ergibt, addiert mit zwei eine Dreieckszahl ist.

Man o man, da habe ich schon die zwei Griffe einer Zange aber schaffe es nicht sie zusammen zu drücken.

Achso noch eines vielleicht, Nachhilfe ist es nicht, wenn dann ist es Leidenschaft, denn ich lerne nicht, ich schaue! Also ich habe da so meine eigenen Gedanken zu....Prof. Taschner

@BlackFlame

Was bringt es denn, wenn man weiss, dass es für a^n+b^n=c^n, n>2 keine Lösung gibt?
Und trotzdem gab es darüber grosse Diskussionen, ja Menschen sind gestorben.

Was bringt es, wenn man weiss, dass es unendlich viele Primzahlen gibt?

Weiss ich nicht aber ich finde es interessant, weil ich weiss, dass alles auf Zahlen aufgebaut ist und diese auf Primzahlen!

@Radix

Kurze Frage zu deiner These Nr.1:

Als Summe exakt einer Dreieckszahl und exakt einer Primzahl?

@Rho-ny-theta

Es gibt mehrer Möglichkeiten, ich gebe ein Bspl.:

Bei der

3² haben wir es mit exat einem Primsummand und einem Dreieckssummand zu tun:

3*4/2= 6 Dreieckszahl

und 3 (die nichts mit dem der oberen 3 zu tun hat) ist eine Primzahl

6+3=9

bei der

16² dagegen haben wir schon
5 Möglichkeiten

253+3, 153+103,105+151,45+211, 15+241 = 256(16²)

wobei die vorderen Summanden 253 usw.. die Dreieckszahlen sind.

11*23 = 253 = die 22 Dreieckszahl also 1+2+3+4+...+22

@Rho-ny-theta
Aber ich glaube ein "Ja" wäre richtig! Aus einer Primzahl und einer Dreieckszahl kann man eine Quadratzahl summieren, immer (Vermutung)Also nicht mit jeder beliebigen...is schon klar? Gleichwohl es meherer Prim- und Dreieckszahlen gibt, die diese Lösung erfüllen.

Radix schrieb:Also nicht mit jeder beliebigen...is schon klar?

Bei den n² Zahlen die durch drei teilbar sind, sind die Primzahlen immer (Vermutung) 6n-1 und die Dreieckszahlen haben immer (Vermutung) einen Primfaktor inne, rechnet man mit zwei Faktoren Beispiel:

190 = 19*10

Die Primzahlen verhalten sich suspekt und das ist doch sehr seltsam, fast alle Primsummanden kommen doppelt oder dreifach vor. Das ganze "System" Primzahl + Dreieckzahl = Quadratzahl verhällt sich äussert seltsam. Ist man von den Primzahlen eigtl. gar nicht gewohnt...
Aber trotzdem kann ich die Lösung alleine nicht sehen.

Radix schrieb:Ja, ist der kleine Gauß.

n(n+1)/2= 1+2+3+4.....+n

Ich glaube der Name: "kleiner Gauß" liegt wirklich an dem Alter, da er als Schulbub die Formel benutzt haben soll, die er gefunden hat. (Für Interssierte. Ich weiss aber nicht ob der kleine Gauß wirklich darauf zurück geht.)

Radix schrieb:(deren Wurzel keine Dreieckszahl sein darf, das dürfte nur auf die 36 zutreffen)

Warum nur die 36?

Weil deren Wurzel eine Dreieckszahl ist, ist aber auch nur eine Vermutung die darauf beruht,
dass die 1225 =35²= 1128+97.

Also es liegt nicht an den Dreieckszahlen die zugeleich Quadratzahlen sind...?!

Man kann es aber auch nicht überprüfen, da die 36 die einzige Quadratzahl ist, deren Wurzel (6) eine Dreieckzahl ist!

was ist mit 1 ,9 ,100 ,225 ....? Deren Wurzeln sind auch Dreieckszahlen.

Edit: Achso. Du meinst wenn Quadratzahl = Dreieckszahl?

@suchard

Also die Wurzel von 1 ist eine Dreieckzahl, nun versuche dein Glück mit der 1²= Welche Primzahl+ welche Dreieckszahl?

Die 9 ist keine Dreieckszahl

die 100 ist keine Dreieckzahl

die 225 auch nicht.

ich glaub war mein Fehler, soll heissen, die 36 ist eine Dreieckszahl, im Quadrat gesehen ist die Wurzel eine Dreieckszahl.

suchard schrieb:Edit: Achso. Du meinst wenn Quadratzahl = Dreieckszahl?

(Y) Naja, Genau!