Drehung der Atome

Bekannter schrieb:Was heißt Teilchenmittelpunkt?

Naja, man hat ja nun festgestellt, dass die Form eines Elektrons nahezu einer Kugel entspricht, und einer Kugel kann ich einen Mittelpunkt zuordnen. Der Elektronenradius (der klassische sowie der Wirkungsquerschnitt) entsprechen ungefähr 3 * 10^-15m

http://www.spektrum.de/alias/form-des-elektrons/zu-rund-fuer-die-supersymmetrie/1214120

Wow, mir war bisher nicht klar, dass vor 40 Jahren die Elementarteilchenphysik zur Allgemeinbildung zählte. Als ich die 10. Klasse beendete, war ich froh, schon mal was von den Binomischen Formeln und den einfachsten Grundlagen der Elektrotechnik gehört zu haben.

@Peter0167

Das Problem ist, dass Elektronen keine "Kugeln" sind, die zusammenstoßen können. Elektronen haben keinen Radius, keine Ausdehung. Sie sind aber auch nicht unendlich kleine Punkte. Elektronen sind Quantenobjekte, und das ist extrem schwierig zu erklären. Es gibt nämlich in unserer Erfahrung nichts Vergleichbares.

Ein großes Problem dabei ist mit Sicherheit, dass man üblicherweise solchen Unsinn wie "Elektronen sind Welle und Teilchen gleichzeitig" hört, was das Verständnis nur noch erschwert. Elektronen sind nämlich weder Teilchen, noch Welle, sondern eben ein Quantenobjekt. Ein solches Quantenobjekt lässt sich in bestimmten Extremsituationen durch eine Welle oder durch ein Teilchen annähern, das ist richtig. Aber es ist und bleibt ein Quantenobjekt.

Mathematisch ist ein Elektron etwas unglaublich Abstraktes. Das Objekt, das seinen Zustand beschreibt ist ein Funktional, also eine Abbildung von einem Funktionenraum. Das irgendwie zu deuten ist nicht trivial.

In manchen Fällen ist es jedoch möglich, diese Abbildung mit einer bestimmten Funktion zu assoziieren. Das kannst du dir dann wie eine "Wolke" im Raum vorstellen. Orbitale sind z.B. solche Wolken. Die Grafiken, die du dazu meistens siehst sind zwar wiederrum nur eine reduzierte Darstellung dieser Wolke (es fehlen die reellen und komplexen Anteile, außerdem wird in der Regel nur einen Potentialfläche gezeichnet), aber können dir dir doch eine Vorstellung von der "Form" eines Elektrons geben.

Das Entscheidende ist nämlich das: Die Wirkung des Elektrons ist überall in dieser Wolke gleichzeitig. Es ist kein kleiner Punkt, der zufällig hier und da erscheint, sondern diese Wolke ist (von einem gewissen Standpunkt aus betrachtet) das Elektron.

Du weiß damit also, wie ein Elektron "aussieht", wenn es sich in einem Atom befindet. Und wenn ein Elektron frei im Raum herumflitzt, dann hat es auch eine gewisse "Form", also eine solche Wolke, die damit assoziiert werden kann.

Und diese Wolken sind (wiederrum in guter Näherung) die Objekte, die miteinander interagieren. Zwei kollidierende Elektronen sind also zwei solche Wolken, die in Wechselwirkung treten, weil sie sich zu "nahe" kommen.

Und was dabei passiert ist, sagen wir mal... kompliziert ;) In erster Linie kann man sagen, dass diese Wolken sich abstoßen. Das hat viele Gründe, z.B. sind die Wolken an das Photonenfeld gekoppelt. Darüber können sich Schwingungen übertragen, die dann die Wolken auseinandertreiben. Das ist das, was man dann als die elektrische Abstoßung der Elektronen wahrnimmt. Es gibt aber noch andere Effekte, die die Wolken sich abstoßen lassen. Viele dieser Effekte (z.B. Fermidruck) treten spürbar auf, wenn die Wolken sich stark überlappen, also ganz eng beieinander sein. Insgesamt könnte das dann so aussehen:



Das soll jetzt mal die Kraft sein, die die Elektronen auseinandertreibt, wenn sich die Wolken zunehmend stark überlappen. Du siehst, dass die Kraft extrem groß wird, wenn die Entfernung klein wird, darüber aber winzig klein ist.

Und eine solche Kraft sieht von außen aus, als ob die Teilchen zusammenprallen. Erst gibt es nämlich eine nicht wahrnehmbar kleine Kraft, und dann ist sie auf einmal riesig, woraufhin sie sich sofort wieder voneinander entfernen.

Wenn du jetzt Elektronen kollidieren lässt, dann sorgst du dafür, dass sie sich sehr nahe kommen. Bis zu einer bestimmten Energie siehst du nur einen normalen Stoß. Anhand der Bewegung nach diesem Stoß kannst du dem Elektron dann einen "Radius" zuordnen. Du tust also so, als ob diese Kraft unendlich steil wäre, und somit eine Art "Wand" darstellt. In der Grafik z.B. bei 0.15 oder so.

Gibst du den Elektronen mehr Energie, dann baut sich in diesem Potential eine ziemliche Menge Energie auf, und das kann dann zu vielen anderen lustigen Sachen führen. Bestünde das Elektron z.B. aus wiederrum anderen Teilchen, dann würde man vermuten, dass diese irgendwann mal auseinanderbrechen, wenn man die Belastung nur groß genug macht. Das scheint aber nicht der Fall zu sein.

Man kann sogar nichtmal eine irgendwie geartete Richtungsabhängigkeit der Elektronen feststellen, die Wolke scheint also (bei einem ruhenden, kräftefreien Elektron) absolut symmetrisch zu sein. Deswegen sagt man, dass Elektronen rund sind. Aber wie gesagt, sie haben weder eine feste "Form" (diese hängt immer von dem ab, was das Elektron gerade macht), noch einen Radius. Das sind lediglich Hilfsgrößen, die in manchen Situationen ganz nützlich sein können.

Nebenbei bemerkt: Das was man so gemeinhin als Elektron betrachtet ist auch nur ein "Nebeneffekt" von komplexeren Vorgängen. Das Elektronenfeld an sich hat nämlich an sich keine "schweren Elektronen". Es wechselwirkt jedoch mit dem Neutrinofeld, wobei durch eine bestimmte Symmetriebrechung ein Objekt entsteht, das man dann als "Elektron" kennt ;) Aber es ist erstmal kein grundlegendes Objekt in unserem Universum.

@HYPATIA

Interessante Darstellung.

HYPATIA schrieb: Ein großes Problem dabei ist mit Sicherheit, dass man üblicherweise solchen Unsinn wie "Elektronen sind Welle und Teilchen gleichzeitig" hört, was das Verständnis nur noch erschwert. Elektronen sind nämlich weder Teilchen, noch Welle, sondern eben ein Quantenobjekt. Ein solches Quantenobjekt lässt sich in bestimmten Extremsituationen durch eine Welle oder durch ein Teilchen annähern, das ist richtig. Aber es ist und bleibt ein Quantenobjekt.

hmmm... könnte ich das Elektron nicht auch als "Stehende Welle" betrachten? Ich meinen dann währe es im Prinzip Welle, Teilchen, Quantenobjekt zugleich? Oder stelle ich mir das dann doch zu einfach vor?

HYPATIA schrieb:Das kannst du dir dann wie eine "Wolke" im Raum vorstellen.

Trifft das eigentlich auch auf freie Elektronen zu? Diese sind ja nun an keine Orbitale gebunden, und können sich den äußeren Bedingungen entsprechend "frei" bewegen. Wie diese Bewegung letztlich verläuft ist sicher auch noch ein Rätsel. Ich vermute mal, dass freie Elektronen ständig mit allen möglichen anderen "Teilchen" (Photonen, anderen Elektronen, Atome, Moleküle, ...) wechselwirken, und sich somit ziemlich ungeordnet bewegen, aber das ist wieder ein anderes Thema...

Das Entscheidende ist nämlich das: Die Wirkung des Elektrons ist überall in dieser Wolke gleichzeitig. Es ist kein kleiner Punkt, der zufällig hier und da erscheint, sondern diese Wolke ist (von einem gewissen Standpunkt aus betrachtet) das Elektron.

Das ist mal eine sehr schöne und verständliche Beschreibung, die ich bisher noch nicht kannte. Gerade heute Morgen hatte ich dazu gelesen, dass die Eigenschaften von Molekülen im Grunde von der Anordnung der Valenzelektronen, der im Molekül gebundenen Atome abhängen. Die Verteilung bzw. Anordnung dieser Elektronen erfolgt dort nicht beliebig, sondern ist von ganz bestimmten quantenmechanischen Regeln (z.B. Hundsche Regel) abhängig (entsprechend ihrem Energiezustand).

Puuuh, ansonsten ist das mal wieder ein sehr anspruchsvoller Beitrag, der es verdient hat, dass man sich intensiver damit befasst......eben ein echter "Hypatia". Und genau das werde ich auch noch tun, sobald ich etwas Zeit dafür erübrigen kann. Ich brauche dafür etwas mehr Ruhe, das kann ich nicht neben der Arbeit durcharbeiten. Auf jeden Fall ist das ein spannendes Thema.

Bumbelbee schrieb:hmmm... könnte ich das Elektron nicht auch als "Stehende Welle" betrachten? Ich meinen dann währe es im Prinzip Welle, Teilchen, Quantenobjekt zugleich? Oder stelle ich mir das dann doch zu einfach vor?

Du kannst nicht einfach einen Begriff in den Raum werfen, und denken dass damit alles geklärt ist ;)



Das ist eine stehende Welle. Zu sagen, dass das jetzt Welle und Teilchen gleichzeitig wäre, ist irgendwie Mumpitz.


Quantenzustände sind hochdynamische Systeme, die sich in ständiger Bewegung befinden. Aus jedem Zustand entwickelt sich ein Folgezustand, aus dem wiederrum der nächste Zustand entsteht, und so weiter. Die Veränderung des Zustands wird durch die Schrödingergleichung beschrieben.

Auf diese Weise modelliert die Quantenmechanik die Natur: Man nimmt als Ausgangspunkt einen Zustand den man kennt, und berechnet dann mit der Schrödingergleichung die Zeitentwicklung. So weiß man dann, in welchem Zustand sich das System nach einer gewissen Zeit befindet. Das ist das gleiche Prinzip wie in der Newtonschen Mechanik, wo man die Welt durch viele Punktmassen beschreibt, und Kräfte und Trägheit den Verlauf der Bahnen der Massen bestimmt.

Abgesehen davon, dass die QM einen etwas anderen mathematischen Formalismus benutzt (vergleichbar mit der Hamiltonschen Formulierung der klassischen Mechanik), sind die Objekte außerdem eben keine Punktmassen sondern Quantenobjekte. Und deren Zustandsbeschreibung ist wie gesagt etwas anspruchsvoller.

In einfachen Fällen gibt es wie gesagt eine "Wolke" im Raum. Die Form dieser Wolke wird dabei durch die Schrödingergleichung bestimmt. Dort werden Energien, Potentiale und Kräfte eingesetzt, um die Dynamik der Wolke zu bestimmen. Mathematisch ist diese "Wolke" dabei eine räumlich verteilte komplexe Funktion. Komplex heißt, dass der Zahlenkörper die komplexen Zahlen sind, es gibt also einen reellen und einen imaginären Anteil. Diese beiden Anteile sind aber nicht voneinander entkoppelt, sondern wechselwirken so, wie es die Schrödingergleichung angibt. Diese Wechselwirkung ist dabei oszillierend, weswegen man die "Wolke" Wellenfunktion nennt.

Das ist ein häufiges Missverständnis. Die Wellenfunktion beschreibt das Quantenobjekt, ganz gleich was es macht. Der Name kommt von den zugrundeliegenden mathematischen Mechanismen.

Nun ist es so, dass die Schrödingergleichung in der Regel nicht so ganz einfach gelöst werden kann. Meistens interessiert man sich deshalb für spezielle Zustände, für die das zeitliche Verhalten ganz einfach angegeben werden kann.

In diesem Fall hätten wir gerne Zustände, die sich überhaupt nicht messbar verändern. Wenn sie sich nämlich nicht verändern, dann sind sie stabil, und werden in der Natur sehr gehäuft auftreten. Genauso wie 20 Steine aufeinander balanciert zwar möglich ist, aber du trotzdem häufiger Steine nebeneinander liegen siehst.
Zustände die sich nicht zeitlich verändern sind die Eigenzustände des Hamiltonoperators. Sie sind aus vielerlei Hinsicht interessant. Zum Beispiel kann man ihnen sinnvoll eine feste Energie zuordnen. Außerdem sind sie wie gesagt stabil und lassen sich elegant durch eine vereinfachte Version der Schrödingergleichung berechnen.

Es stellt sich heraus, dass diese Zustände dann stehende komplexe Wellen sind. Das heißt die reellen und imaginären Anteile gehen periodisch ineinander über, während der komplexe Betrag konstant bleibt. Es dreht sich also nur die Phase.

Ganz spezielle Eigenzustände sind zum Beispiel Orbitale. Die erhält man nämlich, wenn man die Wellengleichung für ein Coulomb-Potential löst, also in der Anziehungskraft eines Atomkerns. Orbitale sind die zeitlich stabilen Zustände, die um einen Atomkern auftreten können. Das bedeutet aber auch, dass ein solches Elektron überhaupt garnichts macht. Es ist ja zeitlich unveränderlich. Das Orbital erklärt also nicht, wie Elektronen z.B. durch Photonen Energie erhalten können, wie sie selber Photonen abstrahlen können usw. Dazu muss das zeitliche Verhalten des Elektrons und aller anderen involvierten Teilchen mit der "richtigen" Schrödingergleichung untersucht werden. Und nicht nur die stehende Welle, die sich stabil hält und nicht viel Spekakuläres macht.

Das soll natürlich nicht heißen, dass die Eigenzustände nicht sehr nützlich sind. Mit ihnen kann man trotzdem viele Rückschlüsse auf das Verhalten des Systems schließen. Aber es ist halt nur ein Spezialfall.

Also: Das ist eine stehende Welle:



Aber das ist nicht das einzige was ein Elektron kann. Ganz im Gegenteil, das ist der langweiligste Fall ;)

Peter0167 schrieb:Trifft das eigentlich auch auf freie Elektronen zu? Diese sind ja nun an keine Orbitale gebunden, und können sich den äußeren Bedingungen entsprechend "frei" bewegen. Wie diese Bewegung letztlich verläuft ist sicher auch noch ein Rätsel. Ich vermute mal, dass freie Elektronen ständig mit allen möglichen anderen "Teilchen" (Photonen, anderen Elektronen, Atome, Moleküle, ...) wechselwirken, und sich somit ziemlich ungeordnet bewegen, aber das ist wieder ein anderes Thema...

Ja das trifft auch auf freie Elektronen zu. Der Unterschied ist, dass freie Elektronen nicht nur quantisierte Zustände einnehmen. Um einen Atomkern gibt es nur bestimmte Zustände die das Elektron stabil einnehmen kann. Alle anderen Konfigurationen sind instabil und verändern sich zeitlich. Im freien Raum gibt es dagegen eine solche Quantisierung nicht.

Die Bewegung eines Elektrons ist keineswegs ein Rätsel. Sie ist wieder eine Folge von Zuständen, genau wie bei Newton. Nur dass bei Newton sich halt eine Punktmasse verändert, in der Quantemechanik dagegen die Wellenfunktion. Berechnen lässt sich das mit der Schrödingergleichung. Ungeordnet ist die Bewegung allerdings nicht. Sie bewegen sich ähnlich wie Photonen, nur haben sie sehr viel mehr Energie und reagieren z.B. auf elektrische Felder.

Trotzdem ist die Bewegung in einem gewissen Sinne "gerade". Dazu müssten wir aber auf Wirkungsprinzipe eingehen, und in die Hamiltonsche Mechanik einsteigen, aber das wird hier einfach viel zu kompliziert :)

HYPATIA schrieb: Im freien Raum gibt es dagegen eine solche Quantisierung nicht.

...und schon wieder ein interessanter Gedanke, wir sollten sparsamer damit umgehen, sonst spielen irgendwann inflationäre Effekte eine Rolle, und ich erweise solchen Erkenntnissen nicht mehr die gebührende Wertschätzung.

Ich nehme mal an, dass damit nicht gemeint ist, dass E=h*f für gewisse Teilchen im Plasmazustand nicht gilt, sondern das "eine solche Quantisierung" nur auf die Atom-Orbitale bezogen war. [Klugscheissmodus off]

Übrigens, bei meinen Überlegungen zur Bewegung freier Elektronen hatte ich irgendwie dieses Bild vom frühen Universum vor Augen, also bis zum Zeitpunkt der Rekombination ca. 380.000 Jahre nach dem Urknall. Damals wurden die freien Elektronen von einer Horde ziemlich wütender Photonen sehr effektiv gestreut, was sich heute noch gut anhand Homogenität und Isotropie der kosmischen Mikrowellenstrahlung nachweisen lässt. Soweit ich weiß, hat man bis heute noch kein genaueres Schwarzkörperspektrum messen können, als bei der Hintergrundstrahlung. Aber dankenswerterweise herrschen heute angenehmere Temperaturen, und somit lassen sich die Bewegungen der Elektronen bedeutend besser nachvollziehen.

Eigentlich gilt mein Interesse ja mehr den kosmologischen Themen, bzw. der Astronomie und Astrophysik. Aber egal worum es geht, man landet immer wieder in der Quantenmechanik, also werde ich mich damit wohl noch intensiver auseinandersetzen müssen, und für deine Hilfestellung dabei, bin ich dir wirklich unendlich dankbar.

@HYPATIA

Danke für die ausführliche Erklärung, wirklich interessant. Ich dachte dabei auch an so etwas:



Ich versuche mir eben diesen "Welle-Teilchen" Dualismus bildlich vorzustellen. Lieg ich da Falsch wenn ich sage das Teilchenmodell ist eigentlich nur eine Abstraktion und in Wirklichkeit gibt es nur "schwingende Energiepakete" die sich Transformieren können? Salopp ausgedrückt :P

Gibt ja auch den Begriff der Materiewelle beispielsweise wobei jedem "Ding" eine Wellenlänge zugeordnet werden kann.

Bumbelbee schrieb:Lieg ich da Falsch wenn ich sage das Teilchenmodell ist eigentlich nur eine Abstraktion und in Wirklichkeit gibt es nur "schwingende Energiepakete" die sich Transformieren können?

Nö, das ist grundsätzlich richtig. Grundsätzlich beschreiben wir die Welt durch eine Reihe von Feldern, wie z. B. dem Photonen-Feld, oder dem Elektronen-Feld. Bestimmte stabile Schwingungserscheinungen in diesen Feldern treten dann wieder quantisiert auf. Das heißt, wie bei den Orbitalen gibt es fest unterscheidbar Zustände. Und in der Regel arbeitet man nur wieder mit diesen Eigenzuständen, den sogenannten Fock-Zuständen. Das nennt man dann Teilchen, also bestimmte quantisierte Anregungen in dem Feld. Ausgehend davon kann man dann das Verhalten von diesen Teilchen in einem festen Fock-Zustand untersuchen, was dann zum Beispiel genau das ist, was man bei Orbitalen macht. Quasi eine Abstraktion nach der anderen, um das Problem immer einfacher zu machen.

In diesem Sinne ist ein Teilchen also tatsächlich ein Energiepaket, das sich verändert. Die Veränderung wird dann natürlich mit einigen Vereinfachungen beschrieben. Weil nämlich sich ja eigentlich das zugrundeliegende Feld verändert, und das Teilchen nur eine Näherung für ein spezielles (aber interessantes) Phänomen ist, gehen dabei bestimmte Informationen verloren. Das ist meistens nicht schlimm, weil die Näherung sehr gut ist. Ansonsten muss man sich anderweitig behelfen, zum Beispiel indem man die Felder genau berechnet, oder Störungen in dem Feld als virtuelle Teilchen abstrahiert. Das ist zum Beispiel notwendig, wenn etwa Elektronen über das Photonen-Feld wechselwirken, aber dabei keine komplette Anregung des Feldes geschieht.

Bumbelbee schrieb:Gibt ja auch den Begriff der Materiewelle beispielsweise wobei jedem "Ding" eine Wellenlänge zugeordnet werden kann.

Das ist richtig, und auch wieder ein Folge von "Vereinfachungen", bzw. Zusammenfassung von bestimmten Phänomenen zu einem einzelnen Teilchen. Das Elektronenfeld wechselwirkt zum Beispiel mit dem Neutrinofeld und dem Higgs-Feld. Es gibt dann bestimmte Anregungen, die stabil zusammenhalten und das bezeichnet man dann als Elektron. Bricht man dann die Dynamik dieses Elektrons soweit runter, dass man es als isoliertes "Teilchen" modelliert und eine Bewegungsgleichung erhält (Schrödingergleichung), dann ergeben sich wieder Schwingungen zwischen dem reellen und komplexen Anteil des Zustands (Wellengleichung). Diese Oszillation lässt sich dann mit einer Wellenlänge beschreiben, und es treten die üblichen Welleneffekte, wie Interferenz, Beugung usw. auf.

Peter0167 schrieb:Ich nehme mal an, dass damit nicht gemeint ist, dass E=h*f für gewisse Teilchen im Plasmazustand nicht gilt, sondern das "eine solche Quantisierung" nur auf die Atom-Orbitale bezogen war.

Interpretier da nicht zu viel rein. Es geht bei der Quantisierung immer erstmal nur im bestimmte Eigenzustände, also Zustände, die in einer bestimmten Hinsicht "interessant" sind. In manchen Situationen sind solche Zustände unendlich fein abgestuft, und in anderen Fällen nur in diskreten Schritten.

Stell dir z.B. eine gewellte Oberfläche vor. Wenn du da eine Kugel irgendwo (klassisch) stabil hinlegen willst, dann geht das nur an ganz bestimmten Stellen, nämlich in Mulden. Auf eine glatten Ebene kannst du die Kugel dagegen überall hinlegen und du bekommst einen stabilen Zustand.

Genauso funktioniert das in der Quantemechanik. Wenn du der Wellenfunktion bestimmte Bedingungen aufprägst, dann kann das dazu führen, dass nicht mehr jeder mögliche Zustand deinen Bedingungen genügt.

Beispiel:
Angenommen ein Quantenobjekt wird in einen (eindimensionalen) Kasten eingesperrt. Wir suchen jetzt zeitlich stabile Zustände. Wir klatschen nun also unsere zeitunabhängige Schrödingergleichung auf diese Umgebung und erhalten dann als Ergebnis, dass alle Sinusfunktionen mit Ränder auf Null stabile Zustände ergeben:



Wenn das Quantenobjekt also in einem dieser Zustände ist, dann ist das ein stabiler Zustand. Weil aber nunmal die Sinus-Funktion so wellenförmig ist, passen nur bestimmte Wellenlängen in den Kasten, um die genaue Bedingung zu erfüllen. Deswegen sind diese Zustände quantisiert. Deswegen kann das Quantenobjekt aber trotzdem auch in anderen Zuständen sein:



Hier siehst du drei Wellenfunktionen. Links, in rot und blau sind die komplexen Anteile der Wellenfunktion aufgezeichnet, rechts davon der Betrag. Du siehst, bei allen drei Zuständen schwingen die reellen und imaginären Anteile miteinander. Deswegen heißt die Funktion Wellenfunktion. Die beiden ersten Zustände sind Eigenzustände des Hamiltonoperators, und du siehst, dass sich die Beträge der Funktionen nie ändern. Das ist auch das, was bei Elektronenorbitalen der Fall ist.
Die letzte Funktion dagegen ist kein Eigenzustand, und die Form ändert sich. Das ist das ganz allgemeines Verhalten von Zuständen, und erfordert einiges mehr an Rechnung. Aber diese sind nicht irgendwie quantisiert, die Zustände gehen flüssig ineinander über.

Hm... bei all den höchst abstrakten und mannigfachen Beschreibungen und Modellen der Elementarteilchenphysik frage ich mich immer wieder, was genau man sich denn nun unter "Materie" vorzustellen hat.

Was genau sind 'Felder' und deren mysteriöse 'Anregungen'? Was ist eine 'Welle', was eine 'Wellenfunktion' und wie genau hat man sich deren imaginäre Anteile vorzustellen? Reden wir nur über abstrakte Konzepte, mathematische Modelle, mit denen wir die Welt unserer Sinneseindrücke strukturieren, um sie uns irgendwie (be)greifbar zu machen, oder stehen dahinter reale, physikalische Korrelate, die sich lediglich unseren Sinnen und unserer Anschauung entziehen?

Aber frei nach Feynman - "Halt's Maul und rechne!" - verbieten sich wohl derartige und andere Fragen, wie sie selbst einige renommierte Größen der Elementarteilchenphysik bestenfalls vage zu beantworten wag(t)en (Schrödinger, Heisenberg, Planck, Zeilinger, Dürr...).