Woher kam das Problem der Ultraviolettkatastrophe?

Im Thread "Jahrestage der Wissenschaft" kam die Frage auf "Warum es Probleme gab zu erklären warum ein Ofen nicht glüht wenn er kalt ist".
Der Aufwurf kam dazu von @Peter0167 in diesem Thread: Jahrestage der Wissenschaft (Seite 9) (Beitrag von Peter0167). Da das Problem recht interessant ist und einen Einstieg in die Quantenmachnik gibt will ich die Antwort dazu gerne hier diskutieren.

Nun um das Problem zu verstehen woher die Ultraviolettkatastrophe kommt muss man verstehen wie das Rayleigh-Jeans-Gesetzt hergeleitet wurde. Ich will dazu die dahinterstehenede Mathematik eher grafisch veranschaulichen als mit Formeln, in der Hoffnung das dies das Verständnis erleichtert.

Das Rayleight-Jeans wird folgendermaßen begründet:

Man betrachte als vereinfachtes Beispiel einen würfelförmigen Hohlraum der Seitenlänge L und des Volumens V, der elektromagnetische Hohlraumstrahlung im thermischen Gleichgewicht enthält. Im Gleichgewicht können sich nur stehende Wellen ausbilden; die erlaubten Wellen können in beliebige Richtungen laufen, müssen dabei jedoch die Bedingung erfüllen, dass zwischen zwei gegenüberliegende Hohlraumflächen jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Halbwellen passt. Das hat folgenden Grund: Da die elektromagnetischen Wellen innerhalb der Wände des Hohlraums nicht existieren können, ist dort die elektrische und magnetische Feldstärke null. Damit müssen sich die Knotenpunkte der Wellen an den Oberflächen der Innenwände befinden. Es sind also nur bestimmte diskrete Schwingungszustände erlaubt; die gesamte Hohlraumstrahlung setzt sich aus diesen stehenden Wellen zusammen.

Wikipedia: Plancksches Strahlungsgesetz#Herleitung und Historie

Was bedeutet das? NUn folgende 1D Grafik soll das Veranschaulichen:



Auf der linken Seite sehen wir einen 1D Hohlraum in dem die ersten fünf möglichen Moden eingezeichnet sind. Auf der rechten Seite sehen wir das dazugehörige Spektrum der einzelnen Moden. Die erste Mode ist eine Halbwelle die sich über einen Meter erstreckt. Eine längere Mode passt nicht in den Hohlraum daher ist das die tiefstmögliche Frequenz. Im Spektrum hat man daher einen Peak bei 0.5 \frac{1}{m} . Die nächste Mode ist ein Ganze Welle mit einem Peak bei 1 \frac{1}{m} . Hier sind die ersten fünf Moden aufgezeichnet tatsächlich passen aber unendlich viele Moden in diesen Hohlraum.

Im untersten Diagramm sind man nun die Überlagerung der ersten fünf Moden wie sie sich im Kasten ausbreiten (links) und die dazugehörige spektrale Verteilung.

Im untersten rechten DIagramm sehgen wir nun die sogenannte "Zustandsdichte" der ersten fünf Moden. Das Wort bedeutet nicht mehr als das man damit aussagen kann wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist eine Mode einer bestimmten WEllenzahl zu finden. Die Wahrscheinlichkeit ist 0 eine Welle mit der Frequenz 1.25 \frac{1}{m} zu finden aber sie ist z.B. = 1 eine Welle mit der WEllenzahl 1 \frac{1}{m} zu finden.

In diesem eindimensionalen Fall haben also alle Wellenzahlen die entweder halbzahlig oder ganzzahlig sind eine 100% Besetzungswahrscheinlichkeit.

Wichtig hier: Das alles hat bis hierhin noch nichts mit Quantisierung zu tun.

WEiters im Wiki-Link:

Wenn alle Oszillatoren im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T schwingen, dann wäre nach dem Gleichverteilungssatz der klassischen Thermodynamik zu erwarten, dass jeder dieser Oszillatoren im Mittel die kinetische Energie kT/2 und die potentielle Energie kT/2, also insgesamt die Energie kT trägt.

Das heißt die Energie einer jeden Schwingung ergibt sich aus k_B \cdot T wobei k_B die Boltzmann Konstante ist. Das bedeutet das jede Mode

1. gleich viel Energie abbekommt nämlich k_B \cdot T, und
2. diese Energie wäre kontinuierlich

Punkt 2. bedeutet jede Mode könnte beliebig kleine Portionen an Energie tragen.

Wollen wir nun die Gesamtenergie berchnen würden wir ganz einfach die Energien der einzelnen Moden aufaddieren. Da es aber unendlich viele Moden gibt und jede den gleichen Energieanteil besitzt erhält man daher das in diesem Hohlraumresonator unendlich viel Energie drinne sein muss. Man nennt dies die sogenannte Ultraviolett-Katastrophe.

Hier will ich an dieser Stelle mal stoppen und Fraghen diskutieren falls welche da sind.

Die Frage " warum ein Ofen nicht glüht wenn er kalt ist" könnte ich auch ohne die Rechnerei erklären, ganz einfach aus der Beschreibung der Arregatzustände von Eisen. Irgendwie verstehe ich das Problem nicht.

@Lupo54

Lupo54 schrieb:Irgendwie verstehe ich das Problem nicht.

Es geht darum das, bevor Planck das Plancksche Strahlungsgesetz einführte, die damaligen Gesetze falsche Vorhersagen machten. Insbesonder das Rayleigh-Jeans Gesetz machte gute Vorhersagen für große Wellenlängen (oder kleine Frequenzen), führte aber zu abstrusen Vorhersagen für hohe Frequenzen (auch als Ultraviolettkatastrophe bekannt):

Wikipedia: Rayleigh-Jeans-Gesetz

Laut dem Rayleigh-Jeans-Gesetz müsste jeder Körper ständig glühen unabhängig von seiner Temperatur. Natürlich weiß jeder, das ein kalter Ofen nicht glüht, die Frage ist aber wo dann der Fehler beim Rayleigh-Jeans-Gesetz steckt? Und wieso kann die Quantisierung aus diesem Dilemma helfen?

Zusammengefasst war die Frage: Wieso funktioniert das Rayleigh-Jeans Gesetz nicht bei hohen Frequenzen, und was machte Planck bei seinem Gesetz anders? Woran sieht man beim Planckschen Strahlungsgesetz die Quantisierung?

mojorisin schrieb:Punkt 2. bedeutet jede Mode könnte beliebig kleine Portionen an Energie tragen.

Und genau das war wohl auch das Problem, zumindest habe ich das so aus der Original-Rede von Planck, die mir uatu heute freundlicherweise verlinkt hatte, herausgelesen.

Er löste es schließlich, indem er E nicht mehr als beliebig teilbar betrachtete, sondern zusammengesetzt aus einer begrenzten Anzahl gleicher endlicher Teile. Ich frage mich nun, ob die Sache mit dem Wirkungsquantum ein "Glückstreffer" war, ein mathematischer Trick, durch den letztlich alles wieder gepasst hat, oder ließe sich das auch ohne den berühmten "Akt der Verzweiflung" sauber ... oder besser gesagt "anders" herleiten?

Ich weiß natürlich, dass heute im Grunde nichts so gut bestätigt ist, wie die Quantenmechanik, aber nachdem ich in den letzten Tagen mehr darüber erfahren habe, habe ich so ein Floh im Ohr, der mir immerzu einreden will, dass alles nur ein "Schuss ins Blaue" war, ... und damit hatte ich echt nicht gerechnet :D

Auf jeden Fall ist das endlich mal wieder ein schönes Thema, und ich finde es gut, dass es jetzt auch einen eigenen Thread hat. Bin schon sehr darauf gespannt, was hier noch alles kommen wird.

@Peter0167

Peter0167 schrieb: Ich frage mich nun, ob die Sache mit dem Wirkungsquantum ein "Glückstreffer" war, ein mathematischer Trick, durch den letztlich alles wieder gepasst hat, oder ließe sich das auch ohne den berühmten "Akt der Verzweiflung" sauber ... oder besser gesagt "anders" herleiten?

Ich denke Planck wusste am Anfang nicht genau wohin die Resie geht. Aber es wart nicht ein "Glückstreffer sondern hat viel mit physikalischer Intuition und äußerst weitreichendem Grundlagenverständnis zu tun:

Planck stützte sich bei seiner Herleitung des Strahlungsgesetzes nicht auf den rayleighschen Ansatz, vielmehr ging er von der Entropie aus und fügte in die Gleichungen probeweise verschiedene Zusatzterme ein, die nach den damaligen Physikkenntnissen zwar unverständlich waren – ihnen aber auch nicht widersprachen.

Wikipedia: Plancksches Strahlungsgesetz#Die empirische Lösung

Planck war mit Sicherheit Experte auf dem Gebiet der Wärmetheorie und der Boltzmann-Statistik was man am Thema seiner Dissertation sieht:

"Über den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie"

Von daher war das Ganze nicht ein Glücksgriff, sondern eine Reise in unbekanntes Gebiet, aber auf Grundlage von weitreichenden grundlgeneden Kenntnissen und auch der richtigen physikalischen Intuition.

Aber es ist interssant das Thema tasächlich auch physikalisch anzugehen, denn es zeigen sich ziemlich schnell die weitreichenden Einflüsse in das Reich der statistischen Thermodynamik usw.

mojorisin schrieb:Ich denke Planck wusste am Anfang nicht genau wohin die Resie geht.

Heute Vormittag hatte ich endlich mal etwas Zeit übrig, und habe sie auch sinnvoll genutzt. Dabei bin ich auf diese (wie ich finde sehr gute) Seite gestoßen, wo das Ganze noch mal von Anfang an sehr verständlich erklärt wird.

https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/nawi.inst.251/Didactics/quantenchemie/html/schwK-F.html

Nicht nur die Frage, warum es nicht zur Ultraviolettkatastrophe kommen kann, wird dort beantwortet, man bekommt auch einen Eindruck, wie Planck letztlich zu seiner Strahlungsformel kam. Mein erster Eindruck, da wäre viel Glück im Spiel gewesen, war wohl falsch. Auf vielen Seiten wird es immer noch so dargestellt, als wenn Planck da in kürzester Zeit nur eine Brücke über eine Definitionslücke zwischen zwei Formeln gebaut hätte, und dabei mehr oder weniger nur geraten hätte.

So einfach war es natürlich nicht. Betrachtet man es im Kontext dieser Zeit, wird schnell klar, dass Planck nicht viel zur Verfügung stand, worauf er zurückgreifen konnte, da Vieles einfach noch nicht bekannt war. Letztlich standen ihm nur die Mittel aus der statistischen Thermodynamik zur Verfügung, der Rest war (wie mojo schon schrieb) Intuition, Sachverstand. und alles andere auch noch :D

Und am Ende der Seite wurde mir sogar noch eine weitere Frage beantwortet, die sich mir stellte, nämlich die Frage, ob sich Plancks Strahlungsformel auch anders herleiten lässt. Und die Antwort lautet: ja, mit Einsteins Photonenhypothese und den Erkenntnissen aus dem Bohrschen Atom (Energieniveaus) ist est letztlich auch möglich.

@Peter0167:

Peter0167 schrieb:... nur die Mittel aus der statistischen Thermodynamik ...

Hmmm ... ich möchte Planck's Leistung keinesfalls schmälern, aber man muss evtl. unterscheiden, wie er die Formel gefunden hat, und wie er sie anschliessend hergeleitet hat. Rein formal hat seine Formel wesentliche Ähnlichkeit mit der Wien'schen Strahlungsformel. Ich schrieb ja drüben bereits, dass das Zusammenfügen der Wien'schen Strahlungsformel und der Raleigh-Jeans-Strahlungsformel eigentlich ein rein mathematischer Schritt ist, der vom physikalischen Hintergrund weitgehend unabhängig ist. M.E. spricht der historische Ablauf dafür, dass Planck die Formel zunächst durch mathematische Überlegungen gefunden hat, und die physikalische Bedeutung erst danach.

Richard Feynman erklärt nur einer Minute, wie man ein neues physikalisches Gesetz entdeckt:

The Scientific Method-Richard Feynman

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"First, we guess it ..." ;)

@uatu
Tja, und die dieser Phase bleiben die meisten „Erfinder“, welche „mal eben“ die Relativitätstheorie widerlegen, halt hängen.