Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel

perttivalkonen schrieb:. Mein "2:5" wäre sauber also ein "1:2,5"

Nope. @Thaddeus hat hier schon recht.
1:1 ist ja auch eine 50%ige Wahrscheinlichkeit und keine 100%ige.

Es ist ja das Verhältnis, gewinne gegen Nieten, quasi.

Und bei einer Wahrscheinlihckeit von 2/5, dass es Korrekt ist, hat man bei 5 Versuchen ein Verhältnis von:
2:3
Was "sauber" 1:1,5 wäre.

Wobei ich den Fehler selbst auch andauernd mache, also da werfe ich dir nichts vor :D

@Thaddeus
@Izaya
Wahrscheinlichkeit gibt man als "1:n" an, was bedeutet, daß in n Fällen das zu erwartende Ergebnis 1 mal auftritt. Man kann Wahrscheinlichkeiten auch in Prozent angeben. Die Bezeichnung "1:1" zur Bezeichnung einer fünfzigprozentigen Wahrscheinlichkeit beschreibt nicht die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, sondern das Verhältnis des zu erwartenden Ereignisses zu dessen Ausbleiben.
Also: nicht Wahrscheinlichkeit und Verhältnis verwechseln.

perttivalkonen schrieb:Wahrscheinlichkeit gibt man als "1:n" an, was bedeutet, daß in n Fällen das zu erwartende Ergebnis 1 mal auftritt

Nein, das ist 1/n.
1:n ist das Verhältnis.

perttivalkonen schrieb:Je größer der Pool wird, desto mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit dem Wert 1:2 an.

Wie beim Lotto: Je mehr verschiedene Tipps ich abgebe, desto höher ist meine Gewinnchance. Hier geht es aber nur um einen einzigen Tipp, und der hat nicht einmal etwas mit Zufall zu tun.

Die gegebene Fragestellung grenzt klar ein: Das Attribut "Geschlecht" kann nur "Mädchen" oder "Junge" sein, der Vater hat zwei Kinder, von denen jedes eines dieser Attribute besitzt, und absolut sicher ist, dass wenigstens ein Kind das Attribut "Junge" trägt.

Kombinatorisch bleibt da für mich nur ein Ergebnis übrig - wie schon ausführlich erklärt.

Ups, sorry, habe tatsächlich übersehen, dass ich eine Antwort hatte

@perttivalkonen

Gerade wenn Du Dich von vornherein entscheidest, nicht zu wechseln, wird es deutlich.

Ja, das leuchtet mir inzwischen auch ein.

Nur, was spricht dagegen, dass ich jetzt die zweite Enscheidung als neue Situation mit neuer Ausgangsbasis betrachte? Also, ab dann 1:1 Wahrscheinlichkeit?

Nun zeigt Dir der Showmaster aber freiwillig, daß hinter einer der beiden Türen nix ist. Wälke dennoch beide Türen, nimm also die 2:3-Wahrscheinlichkeit, und gib die offene Tür wieder ab, die mit der Wahrscheinlichkeit 0 (0:3). Wieviel Gewinnwahrscheinlichkeit also bleibt Dir?

Rein rechnerisch mag sich das prima ausgehen, ich sehe aber dennoch, dass sich mit Runde 2 eine neue Situation ergeben hat.


@Izaya

Ist das Auto hinter 1 -> Wechsel ist ne Niete (Egal, welche Tür uns gezeigt wird)
Ist das Auto hinter 2 -> Wechsel ist ein Gewinn
Ist das Auto hinter 3 -> Wechsel ist ein Gewinn

Äh, es gibt aber in Runde 2 keine dritte Tür mehr. Eine Niete ist bereits weg gefallen. Lassen wir mal Tür 1 (aus @perttivalkonen Grafik [die mich leider noch mehr verwirrt]) mit der Niete wegfallen. Ich muss mich also neu entscheiden.

Die Tatsache, dass ich jetzt etwas mehr weiß als vorher, verändert die Situation und somit die WSK. Ich muss nämlich keine WSK für eine Möglichkeit berechnen, wenn ich es 100% weiß.
Mein Wissen um das Geheimnis der einen Tür, verändert jetzt die Ausgangssituation zur Berechnung der WSK für den Rest der Auswahl. Wir haben somit keine RestWSK auf dieselbe Frage, sondern wir haben eine neue WSK auf den Rest der Wahl.

[/i]Jetzt ergibt sich folgende Konstellation:
Ich habe auf Tür 2 getippt:
Ist das Auto hinter 2 -> Wechsel ist ein Verlust
Ist das Auto hinter 3 -> Wechsel ist ein Gewinn

Ich habe auf Tür 3 getippt:
Ist das Auto hinter 2 -> Wechsel ist ein Gewinn
Ist das Auto hinter 3 -> Wechsel ist ein Verlust

Fifty-Fifty.

Ich sehe das Problem ja auch darin, dass diese AutoGeschichte für mich keine einheitliche Situation darstellt, sondern zwei: eine frühere und eine neuere. Es ist nicht die Rechnung, die ich nicht verstehen würde, es ist die Betrachtungsweise des Problems an sich, die ich hier für falsch halte.

Mal einen Vergleich, ich hoffe, er hinkt nicht zu sehr:

Erinnern wir uns an den Film "Zehn kleine Negerlein"? Da wird ein Gast nach dem anderen ermordet. Niemand kennt den Täter. Mit jedem Mord erhöht sich die WSK für jedender restlichen Gäste, der Mörder zu sein. Die wegfallende Wahrscheinlichkeit wird auf jeden der anderen gleich aufgeteilt.
Und nicht nur auf einen bestimmten alleine.

Warum? Weil jeder von vornherein gleich verdächtig ist. Solange, bis nur mehr zwei übrig sind. Dann weiß der eine, dass es der Andere ist, und der Andere weiß, dass der Eine es weiß. In dem Fall ist es aber kein Verdacht mehr, sondern Gewissheit. In welchem Fall sich das Berechnen der WSK erübrigt.

Aber auch in diesem Fall gebe es zwei Möglichkeiten, das Problem zu überdenken. Einmal aus der inneren Sicht: eben, der eine Unschuldige kennt jetzt den Schuldigen, und somit könnte man dem die ganze WSK aufdividieren (ist nach der WSK Rechnung falsch, denn einen 100% WSK ist ja Gewissheit).
Die zweite Sichtweise ist eine externe: der Zuschauer weiß nämlich immer noch nicht, wer es denn war. Für den Zuschauer ergibt sich jetzt jetzt eine 1:1 WSK, nicht wahr? Auch wenn die WS, dass es nur einer sein kann, 100% wäre, so ist doch die WSK, dass der Zusehen richtig tippt, 0,5.

Und gerade diese Frage "Nur wer?" stellt mEn eben eine völlig andere Situation dar, die neu berechnet gehört. Es geht jetzt um die WSK, mit der ich richtig tippe. Nicht darum, wer der Mörder . ist. Die kulminiert tatsächlich auf einen.

Es sind einfach zwei verschiedene Ausgangssituationenzur Berechnung.
1. Wer ist der Täter? Und hier erhält einfach jeder immer den gleichen Anteil an der WSK.
2. Habe ich richtig getippt?

Und so ist es mit den Türen. Jede steht von vornherein unter Verdacht, das Auto sein zu können. Wenn jetzt ein Verdächtiger weg fällt, sollte sich aber dieser Verdacht eigentlich gleichmäßig auf die beiden anderen Türen verteilen.

schukoplex schrieb:Je mehr verschiedene Tipps ich abgebe, desto höher ist meine Gewinnchance

Du gibst aber nicht mehr verschiedene Tipps ab.
Da hast du @perttivalkonen falsch verstanden.

Deine Argumentation funktioniert nur, wenn es nur 4 Kinder, 2 Mädchen und 2 Jungen, auf der ganzen Welt gibt. Sobald es mehr sind, funktioniert es nicht mehr und die Wahrscheinlichkeit ändert sich. Sie nähert sich 1/2 an. Und da es relativ viele Kinder gibt, behaupte ich einfach mal, kann man sagen, dass es relativ knapp unter 1/2 passt. Nicht mit deinen 1/3.

Izaya schrieb:Nein, das ist 1/n.
1:n ist das Verhältnis.

N ist die Zahl aller Kinder. Ist das Verhältnis "Junge-Mädchen" 1:1, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen zu treffen, "1:2". In einem von zwei Fällen treffe ich einen Jungen. Wahrscheinlichkeit 1:2 ist 50% Wahrscheinlichkeit (1:1=1, also 100% von 1; 1:2 ist nun mal 0,5, also 50% von 1).

Wie sollte sonst auch 1 die Obergrenze einer Wahrscheinlichkeit sein, wenn 1:1 - also ausgerechnetes Ergebnis: 1! - erst ne 50%-Wahrscheinlichkeit bezeichnet?

Einfacher:

Es nutzt mir nichts, wenn ich berechne, dass die WSK, die richtige Tür zu treffen, sich erhöht hätte, wenn ich aber nicht weiß, welche der beiden Türen es wäre.

Es nutzt mir auch nichts, wenn die richtige Tür jetzt tatsächlich eine höherer WSK hätte, denn ich weiß immer noch nicht, welche der beiden Türen dies wäre.

Das Auto kann trotzdem hinter der Tür mit der geringeren WSK stehen. Daraus ergibt sich für den Kandidaten daher immer noch eine 1:1 Chance.

@off-peak
Magst Du noch meine Fragen an Dich beantworten, oder hab ich da was übersehen?

@off-peak

off-peak schrieb:Das Auto kann trotzdem hinter der Tür mit der geringeren WSK stehen. Daraus ergibt sich für den Kandidaten daher immer noch eine 1:1 Chance.

Spiel das Spiel mal mit 100 Türen durch. Dann wird es vielleicht klarer. Alle Nieten werden nach und nach wegezogen. Übrig bleiben zwei Türen.

Eine die du von ANfang an ausgewählt hast und eine andere.

Die Tür für die du dich entschieden hast wird nur nicht geöffnet, gerade weil du sie durch das Auswählen von Anfang blockierst. Dadurch erhöht sich aber nicht die Wahrscheinlichkeit das hinter dieser von dir gewählten Tür auch das Auto befindet.

DAS ist genau der Trugschluss beim Ziegenproblem.

off-peak schrieb:Nur, was spricht dagegen, dass ich jetzt die zweite Enscheidung als neue Situation mit neuer Ausgangsbasis betrachte? Also, ab dann 1:1 Wahrscheinlichkeit?

Da spricht nichts dagegen, außer, dass Du wenn Du die Infos aus der Vorrunde ignorierst Deine Chancen verschlechterst. Du kannst theoretisch sogar drauf bestehen das Offene Tor mit der Niete zu nehmen :-)

off-peak schrieb:Nur, was spricht dagegen, dass ich jetzt die zweite Enscheidung als neue Situation mit neuer Ausgangsbasis betrachte? Also, ab dann 1:1 Wahrscheinlichkeit?

Weil Du dann einen Teil dessen, was die Wahrscheinlichkeit massiv beeinflußt, einfach wegläßt. Daher fehlt dann was und Deine Rechnung wird ungültig.

Es gibt hier nur drei variable Faktoren: Welche Tür wählt man? Ist es die Tür mit dem Preis? Wechselt man? All das muß einfließen.

Thaddeus schrieb:Stell Dir vor, es sind 10000 Türen. Ein Preis, 9999 Nieten.
Chance, daß Du sofort richtig liegst: 1 in 10000, mickrige Chance.
Jetzt kommt der Moderator und entfernt 9998 Nieten.

Ist es dann immer noch beliebig, ob Du wechselst? Denn die Wahrscheinlichkeit, daß der Preis nach der ersten Entscheidung im Topf geblieben ist, ist 9999 in 10000. Fast schon sicher.

off-peak schrieb:Nur, was spricht dagegen, dass ich jetzt die zweite Enscheidung als neue Situation mit neuer Ausgangsbasis betrachte? Also, ab dann 1:1 Wahrscheinlichkeit?

Es wäre ne 1:2-Wahrscheinlichkeit (Dein 1:1 meint das Verhältnis von "richtige Wahl - falsche Wahl"), wenn die eine Tür vor Deiner Wahl geöffnet worden wäre. WUrde sie aber nicht. Deswegen kannst Du Deine 1:3-Wahrscheinlichkeit beim Auswählen aus drei Türen nun auf eine 2:3-Wahrscheinlichkeit erhöhen.

Stell Dir das Ziegenquiz mit drei Kandidaten vor. Jeder wählt je ein Tor, A wählt Tor 1, B 2 und C 3. DerHauptgewinn steckt in Tor 3-

Nun zeigt der Showmaster jedem Kandidaten ein leeres Tor, aber so, daß die anderen Kandidaten es nicht sehen.

A sieht Tor 2 offen, er wechselt zu Tor 3.
B sieht Tor 1 offen, er wechselt ebenfalls zu Tor 3.
Nur C wird auf eine Niete wechseln, egal, welches der beiden Tore 1 und 2 der Showmaster für ihn öffnet.

Tatsächlich bringt in zwei von drei Fällen der Wechsel den Hauptgewinn. Aber ohne Wechsel erlangt man nur in einem von drei Fällen den Gewinn.

In keinem dieser Fälle ergibt sich eine 50/50-Chance.

off-peak schrieb:Nur, was spricht dagegen, dass ich jetzt die zweite Enscheidung als neue Situation mit neuer Ausgangsbasis betrachte? Also, ab dann 1:1 Wahrscheinlichkeit?

Dass du mehr Informationen hast. Wenn du in dem Moment in die Game-Show reinrennen würdest, und du somit diese extra-Informationen nicht hättest, wäre die Wahrscheinlichkeit 50%.
Aber du weißt, dass deine Tür eine Wahrscheinlichkeit von 1/3 hat, die Gewinnertür zu sein(mit ihr kann ja nichts gemacht werden, also ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht), und die restlichen Türen die restliche Wahrscheinlichkeit, 2/3, innehaben. Da nurnoch eine der beiden anderen Türen übrig ist, ergibt sich, dass der Wechsel sich lohnt.

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perttivalkonen schrieb: "1:2".

beschreibt 1 zu 2, also 1 Junge auf 2 Mädchen. Sprichst du von einem in zwei, so schreibst du 1/2, was dann auch 50% entspricht.

Der Doppelpunkt ist hier ja nicht als Divisionszeichen gedacht.

@Thaddeus

Thaddeus schrieb:Ich behaupte auch, daß die Wahrscheinlichkeit knapp unter 1/2 liegt. Petze Wikipedia meint das ja auch.

Hast du ein Link dazu.

Izaya schrieb:Der Doppelpunkt ist hier ja nicht als Divisionszeichen gedacht.

@perttivalkonen
Muss mich korrigieren. Genau genommen ist es eins. Aber es wird mit dieser Schreibweise typischerweise die Chance (Wahrscheinlichkeitsverhältnis)und nicht die Wahrscheinlichkeit angegeben.

Izaya schrieb:beschreibt 1 zu 2, also 1 Junge auf 2 Mädchen.

Das wäre eine Verhältnisangabe. Auf einen Jungen kommen zwei Mädchen bzw. auf zwei Mädchen kommt ein Junge. Das ist das Junge-Mädchen-Verhältnis. Verhältnis!!!

Die Wahrscheinlichkeit dagegen ist ein Junge auf drei Kinder oder zwei Mädchen auf drei Kinder. Die Wahrscheinlichkeit, unter drei Kindern bei einem 1:2-Jungemädchen-Verhältnis auf einen Jungen zu treffen, diese Wahrscheinlichkeit liegt bei 1:3. Himmelsakranochmal. ;)

Izaya schrieb:Der Doppelpunkt ist hier ja nicht als Divisionszeichen gedacht.

Doch, ist er. WIe gesagt, sonst gäbe es nicht Null und Eins als Grenzen der Bezeichnung einer Wahrscheinlichkeit.

perttivalkonen schrieb:Verhältnis

EBEN!!!
Diese Schreibweise nutzt man für Verhältnisse. Wahrscheinlichkeiten gibt man als Brüche, in Prozent oder Dezimal an. Aber niemals in so einer Schreibweise.

Izaya schrieb:niemals

Ausnahme: Lotto.
Fällt mir so spontan ein :D

Ansonsten wird es schwer, dass zu finden...

Hmm, ich würde bei so etwas wie dem 'Ziegen-Problem' nicht mit Wahrscheinlichkeiten rechnen ... das kann man vielleicht bei Spielen, die von den Akteuren weitgehend unabhängig sind, wie z.B. Roulette, aber nicht in so einer Spielshow ...

Viel eher muss man auf die subjektive Ebene des Showmasters eingehen, denn der will schließlich eine Gewinnausschüttung vermeiden ...
Nachdem der Showmaster ein Tor geöffnet hat, bleiben also 2 Möglichkeiten, wenn er anbietet, zu wechseln:
1. Der Showmaster will den Kandidaten zu dem falschen Tor locken
2. Der Showmaster blufft und hofft darauf, dass der Kandidat auf 1. spekuliert

Hier kann man mit Empathie eine bessere Gewinnchance als 50 % herausholen, wenn man den Showmaster 'lesen' kann ...