Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel

@mojorisin
Is mir grad klar geworden. Auch der bekannte Sohn muß von der Menge der Jungen abgezogen werden. Ich bleibe also dabei, die Wahrscheinlichkeit, daß das Geschwister ein Bruder ist, liegt ganz knapp unter 1/3.

perttivalkonen schrieb:Mach das mal mit je drei Pillen, kommst Du dann ebenfalls auf 2:3, daß er lügt?

Prinzipiell sind wir hier doch wieder beim "Ziegenparadoxon": Sobald klar ist, dass eines der zwei Kinder des Vaters ein Sohn ist, wird quasi "ein nichtgewähltes Tor geöffnet", und die Wahrscheinlichkeit für das Geschlecht des zweiten Kindes ererbt die Restwahrscheinlichkeit.

@perttivalkonen
Du kommst auf die 1/3, indem du alle Möglichkeiten aufzählst und ihnen genau dieselbe Wahrscheinlichkeit aufdrückst. Laplace-Experiment. Dann betrachtest du es als Urne und änderst nochmal was an den Wahrscheinlichkeiten. Das ist etwas Problematisch, nicht?

Wenn, dann müsstest du es doch als zweimal ziehen sehen (also komplett Urne). Wir haben bereits einmal gezogen und den Sohn bekommen, dann ziehen wir ein zweites mal. Die Wahrscheinlichkeit für einen zweiten Sohn würde dann etwas unter 1/2 liegen. Nicht etwas unter 1/3.


@mojorisin

mojorisin schrieb:Mädchen und Jungen sind gleichverteilt also 50/50

Wenn du die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen oder einen Jungen zu bekommen meinst, dann stimmt 1/3 und es ist quasi der 3-seitige Würfel. Wenn du die Menge aller Jungen und Mädchen meinst, dann ist es eine Urne und es ist etwas unter 1/2.

@Izaya

Izaya schrieb:Wenn du die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen oder einen Jungen zu bekommen meinst, dann stimmt 1/3 und es ist quasi der 3-seitige Würfel. Wenn du die Menge aller Jungen und Mädchen meinst, dann ist es eine Urne und es ist etwas unter 1/2.

Das Problem ist bei der Wikipedia beschrieben:

Wikipedia: Junge-oder-Mädchen-Problem

Darin heißt es:

Das Junge-oder-Mädchen-Problem, auch als Zwei-Kinder-Problem[1] oder Geschwisterproblem bekannt, ist eine Aufgabe mit Bezug zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Aufgabenstellung handelt von der Möglichkeit, bei Zwei-Kind-Familien aus der Kenntnis des Geschlechts eines der beiden Kinder eine bedingte Wahrscheinlichkeitsaussage über das Geschlecht des anderen Kinds machen zu können. Die ursprüngliche Formulierung des Problems wurde von Martin Gardner 1959 im Scientific American veröffentlicht und besteht aus zwei Fragen:

1. Herr Müller hat zwei Kinder. Das ältere Kind ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind?
2. Herr Schmidt hat zwei Kinder. Mindestens eines von ihnen ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?

Gardner gab ursprünglich die Antworten 1/2 und 1/3, musste aber später zugeben, dass die Antwort auf die zweite Frage auch 1/2 sein kann, abhängig davon, wie die Information über das Geschlecht eines der Kinder erhalten wurde.[2][

Auf was ich mich hauptsächlich beziehe ist die dritte Fragestellung in Wiki:

Wikipedia: Junge-oder-Mädchen-Problem#Dritte Fragestellung

Darin heißt es:

„Welches Geschlecht hat eines Ihrer Kinder?“ Antwort: „Eines meiner Kinder ist ein Mädchen.“

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind?

Ich habe die Frage leicht abgeändert in dem ich nicht nach einem Kind frage sondern eines der Kinder sehe, wobei die INforamtion dieselbe ist. Ich weiß das Geschlecht von einem der beiden Kinder.

Die Lösung in Wikipedia auf die Frage wie groß die Wahrscheinlichkeit ist das beide Kinder Mädchen sind ist 1/2.

Izaya schrieb:Du hast angegeben, dass es so viele Mädchen wie Jungen gibt. Die kann man alle in eine Urne packen. Dabei sind auch die Kinder des Vaters. Nun haben wir bereits einen Jungen. Also ist die Menge der übrigen Jungen geringer als die der Mädchen!

Was Du machst, das ist nicht: "Finde heraus, welches Geschlecht das Geschwister des Sohnes hat", sondern dies: Finde heraus, welches Geschlecht das in der Zukunft geborene Geschwister des Jungen haben wird, wenn nach seiner Geburt gleich viel Jungen wie Mädchen existieren werden.

Vorab ist nämlich schon mal gewiß: unter Geschwisterpaaren gibt es 50% gleichgeschlechtlicheGeschwister und 50% getrenntgeschlechtliche Geschwister. Unter den gleichgeschlechtlichen Geschwistern gibt es nun aber 50% Brüder und 50% Schwestern als Paar. Also liegt das Verhältnis Bruder-Bruder zu Bruder-Schwester stets bei 1:2, und somit beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Jungen, einen Bruder zu haben, 1:3.

Und erst jetzt mußt Du den bekannten Jungen nochmals von der Wahrscheinlichkeit 1:3 abziehen. Deswegen: kleiner als 1:3.

Der Witz ist: Jungen haben in der Tat eine 1:3-Wahrscheinlichkeit, daß das zweite Geschwister ebenfalls ein Junge ist. Nicht eine 50/50-Wahrscheinlichkeit. Würdest Du hingegen sagen, Kinder haben eine 50/50-Chance, daß das zweite Geschwister das slbe Geschlecht hat, dann hättest Du recht. (Mädchen haben natürlich ebenfalls nur eine 1:3-Wahrscheinlichkeit für eine Schwester als zweites Kind seiner Eltern.)

@schukoplex

Prinzipiell sind wir hier doch wieder beim "Ziegenparadoxon": Sobald klar ist, dass eines der zwei Kinder des Vaters ein Sohn ist, wird quasi "ein nichtgewähltes Tor geöffnet", und die Wahrscheinlichkeit für das Geschlecht des zweiten Kindes ererbt die Restwahrscheinlichkeit.

Und auch her stell ich dieselben Fragen, weil ich immer noch keine Antwort darauf erhalten oder sie übersehen habe: Warum wird die Restwahrscheinlichkeit nur auf einen, noch dazu auf einen bestimmten, Teil übertragen, nicht aber auf den anderen oder gar auf beide aufgeteilt?

@off-peak

off-peak schrieb:Und auch her stell ich dieselben Fragen, weil ich immer noch keine Antwort darauf erhalten oder sie übersehen habe:

DU hast eine Tür gewählt der Moderator aber noch nichts weiter unternommen.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit des Autos hinter der von dir gewählten Tür?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit des Autos hinter den zwei nicht von dir gewählten Türen?

Ich behaupte auch, daß die Wahrscheinlichkeit knapp unter 1/2 liegt. Petze Wikipedia meint das ja auch.

Die Frage lautet nicht, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, daß man einen Vater mit einem Sohn trifft... der erste Sohn ist von vorn herein gegeben und vermindert lediglich die Gruppe der Jungen um 1, wenn man es ganz genau meint.

Also ist die Wahrscheinlichkeit, daß es ein Junge wird: (Anzahl Jungen - 1) / (Anzahl Jungen + Anzahl Mädchen)

Die Möglichkeit, daß es ein Vater mit zwei Töchtern sein könnte, kommt hier nicht vor und ist damit ausgeschlossen.

perttivalkonen schrieb:Was Du machst, das ist nicht: "Finde heraus, welches Geschlecht das Geschwister des Sohnes hat", sondern dies: Finde heraus, welches Geschlecht das in der Zukunft geborene Geschwister des Jungen haben wird, wenn nach seiner Geburt gleich viel Jungen wie Mädchen existieren werden.

Wieso? Es gibt zum Zeitpunkt, in dem beide bereits auf der Welt sind, gleich viele Jungen wie Mädchen. Das ist ja das, wie ich es zuerst verstanden hatte.
Damit kann ich es, so wie ich es dargestellt habe, doch machen.

perttivalkonen schrieb:Und erst jetzt mußt Du den bekannten Jungen nochmals von der Wahrscheinlichkeit 1:3 abziehen.

Bei der Denkweise musst du den Jungen gar nicht abziehen, weil du die Information mit gleich vielen Mädchen wie Jungen bereits in der Annahme, das Jungen und Mädchen gleich wahrscheinlich sind, eingearbeitet hast. Wenn der gennannte Junge etwas an den Wahrscheinlichkeiten ändert, ist:

perttivalkonen schrieb:unter Geschwisterpaaren gibt es 50% gleichgeschlechtlicheGeschwister und 50% getrenntgeschlechtliche Geschwister. Unter den gleichgeschlechtlichen Geschwistern gibt es nun aber 50% Brüder und 50% Schwestern als Paar. Also liegt das Verhältnis Bruder-Bruder zu Bruder-Schwester stets bei 1:2

falsch. Denn dort gehst du ja davon aus, dass ein Bruder die Wahrscheinlichkeit für einen weiteren Bruder nicht beeinflusst.

In Wikipedia gibt wird die Lösung mit 1/2 angegeben, basierend auf der Berechnung mit dem Urnenmodell:

Wikipedia: Junge-oder-Mädchen-Problem#Lösung mittels Urnenmodell

HIer gibt es eine Analyse die aufzeigt das die 1/3 Lösung falsch ist:
http://www.stefanbartz.de/dateien/Geschwisterproblem.pdf

Und von hier:

http://stochastik-in-der-schule.de/sisonline/struktur/Jahrgang29-2009/Heft3/2009-3_Riehl.pdf

@mojorisin

mojorisin schrieb:Die Lösung in Wikipedia auf die Frage wie groß die Wahrscheinlichkeit ist das beide Kinder Mädchen sind ist 1/2.

Weil da ja festgesetzt wird, dass das erste Kind ein Mädchen ist. Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Geschlecht des ersten Kindes ein Mädchen ist gleich 1. Die Gesamtwahrscheinlichkeit hängt jetzt also ausschließlich von der Wahrscheinlichkeit dafür ab, ob das zweite Kind ebenfalls ein Mädchen ist. Diese ist, wenn man davon ausgeht, dass gleich viele Mädchen wie Jungen geboren werden (was mM nach auch aus der Fragestellung hier hervorgeht) gleich 1/2. Haben wir aber einen festen Pool von Mädchen, aus dem wir schöpfen - also eine Urne - dann ist sie nur noch nahe 1/2.

@off-peak

off-peak schrieb:Und auch her stell ich dieselben Fragen, weil ich immer noch keine Antwort darauf erhalten oder sie übersehen habe: Warum wird die Restwahrscheinlichkeit nur auf einen, noch dazu auf einen bestimmten, Teil übertragen, nicht aber auf den anderen oder gar auf beide aufgeteilt?

Versuche mal anders an die Frage heran zu gehen:
Du machst ein fröhliches Eliminierungsspiel. Das erste Tor eliminierst Du mit hoher Wahrscheinlichkeit (nämlich 2/3) selbst, das zweite Tor eliminiert sicher der Moderator. Also ist das dritte Tor mit hoher Wahrscheinlichkeit der gewünschte Gewinn.

schukoplex schrieb:Sobald klar ist, dass eines der zwei Kinder des Vaters ein Sohn ist, wird quasi "ein nichtgewähltes Tor geöffnet"

Spiel es doch einfach mal durch.

Es gibt stets gleich viele blaue und rote Kugeln. Person A hat zwei Kugeln, eine davon ist blau. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß die andere Kugel ebenfalls blau ist:

1) bei insgesamt zwei Kugeln?
---> Null

2) bei vier Kugeln?
---> 1:3

3) bei sechs?
---> 2:5

4) acht?
---> 3:7

Das Ergebnis nähert sich immer mehr der Wahrscheinlichkeit 1:2 an, ohne sich diesem je zu nähern. Dieses "ohne sich zu nähern" liegt eben daran, daß die bereits bekannte blaue Kugel dem Pool fehlt.

Izaya schrieb:Das ist etwas Problematisch, nicht?

Nee, eigentlich nicht. Aber mir ist was anderes aufgefallen. Nämlich daß ich nicht nur die Gruppe "FF" ignorieren muß, sondern auch die Gruppe "FM". Nicht im Sinne des "Aufzählung nach Alter", sondern im Sinne "AUfzählung nach Kennenlernen". Da ich den einen Sohn schon kenne, fällt auch die Gruppe "FM" weg. Unter den verbleibenden Gruppen "MM" und "MF" ist die Wahrscheinlichkeit für einen Bruder dann 1:2.

Insofern ist das Urnenbeispiel zur Erklärung völlig korrekt. Aber es bleibt dabei, daß der bekannte Junge aus dem Pool der möglichen Geschwister abgezogen werden muß, sodaß die Wahrscheinlichkeit, er habe eine Schwester, ein kleines Wenig höher liegen muß.

Izaya schrieb:Die Wahrscheinlichkeit für einen zweiten Sohn würde dann etwas unter 1/2 liegen. Nicht etwas unter 1/3.

Korrekt.

Izaya schrieb:dort gehst du ja davon aus, dass ein Bruder die Wahrscheinlichkeit für einen weiteren Bruder nicht beeinflusst.

Nee, ich hab das dort nur nicht berücksichtigt,weilich was anderes erklären wollte. So wie ich diese andere Erklärung nicht berücksichtigt habe, als ich erklärte, wieso die Wahrscheinlichkeit "um den bekannten Jungen geringer" ausfallen müsse.

mojorisin schrieb:Die Lösung in Wikipedia auf die Frage wie groß die Wahrscheinlichkeit ist das beide Kinder Mädchen sind ist 1/2.

Stimmt auch (bei der Junge und Mädchen sind gleich wahrscheinlich Version, nicht beim Menge Jungen=Menge Mädchen), dummer Fehler meinerseits.

In der PDF unten bei den Weblinks steht auch der Denkfehler:

Wir wissen ja nicht nur, dass der Vater einen Sohn hat. Wir wissen auch, dass er mit diesem spazieren geht. Das muss man mit einbeziehen.

In Argumentation 2 wird das interessierende Ereignis nicht exakt erfasst. Man bezieht sich auf alle spazierengehenden 2-Kind-Väter, die mindestens eine Tochter haben, und nicht auf all jene, die eine Tochter dabei haben. 25% aller spazierengehenden, von einem Kind begleiteten, 2-Kind-Väter sind 2TVäter und 50% sind 1T-Väter. Jedoch haben von diesen 50% der 1T-Väter nur die Hälfte ihre Tochter dabei, die anderen gehen mit ihrem Sohn spazieren. Bei den 2T-Vätern haben alle ihre Tochter dabei. Insgesamt trifft man also mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf tochterbegleitete 2T-Väter und tochterbegleitete 1T-Väter. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit PT-dabei(aKiT) muss folglich 1 2 ⁄ betragen. In Argumentation 2 wurde fälschlicherweise PmeKiT(aKiT) statt PT-dabei(aKiT) bestimmt (s.u. "Ohne Auswahlvorgang").

www.stefanbartz.de/dateien/Geschwisterproblem.pdf


Der eigentlich dramatische Denkfehler war aber an der Stelle, dass ich die Reihenfolge in der Junge und Mädchen geboren wurde, beachtet habe, aber die bei den beidne Jungen nciht. Also sind die Möglichkeiten nicht: MM, MF, FM, sondern: M1M2, M2M1, FM, MF

@perttivalkonen

1) bei insgesamt zwei Kugeln?
---> Null

2) bei vier Kugeln?
---> 1:2 oder 1 in 3

3) bei sechs?
---> 2:3 oder 2 in 5

4) acht?
---> 3:4 oder 3 in 7

Soweit ich weiß. So habe ich die Schreibweise gelernt, aber ich kann mich irren.

perttivalkonen schrieb:s gibt stets gleich viele blaue und rote Kugeln. Person A hat zwei Kugeln, eine davon ist blau. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß die andere Kugel ebenfalls blau ist:

Zugegeben: Der Fall, dass es nur ein Mädchen und einen Jungen gäbe, würde auch noch alle vorgegebenen Bedingungen erfüllen; die Mengen wären identisch, der Vater könnte zwei Kinder haben und eines davon wäre garantiert ein Junge.
Dann wäre allerdings mit absoluter Sicherheit klar, dass sein zweites Kind ein Mädchen sein MUSS (ob es will oder nicht).

Es gibt also mindestens eine Möglichkeit, die sich auch ohne jede Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen festlegen lässt. Wie nun weiter?

schukoplex schrieb:Wie nun weiter?

Habich doch gesagt. Je größer der Pool wird, desto mehr nähert sich die Wahrscheinlichkeit dem Wert 1:2 an.

Thaddeus schrieb:So habe ich die Schreibweise gelernt, aber ich kann mich irren.

Die Wahrscheinlichkeit wird eigentlich in der Form "X:Y" angegeben. Und zwar sollte als "X" stets "1" stehen. Mein "2:5" wäre sauber also ein "1:2,5" usw. Nur bei den äußersten Grenzen spricht man dann gleich nur von "1" und von "0". Und nicht mehr von "Wahrscheinlichkeiten".

Thaddeus schrieb:vermindert lediglich die Gruppe der Jungen um 1, wenn man es ganz genau meint.

Also ist die Wahrscheinlichkeit, daß es ein Junge wird: (Anzahl Jungen - 1) / (Anzahl Jungen + Anzahl Mädchen)

Korrekt. Bei großen Mengen kann man das gerne vernachlässigen. Aber bei der Beschreibung der Wahrscheinlichkeit darf das durchaus Erwähnung finden. Bei kleinen Mengen kann sich sowas auch als erheblich erweisen.

@perttivalkonen

Seltsam, die Reduktion auf 1 zu (: = zu) ist mir als Regel nicht geläufig und mathematisch auch nicht nachvollziehbar, weil Brüche ungenau werden.

Ich kenne es halt nur so, daß man bei 2 ZU 3 oder 2:3 meint, daß es 2 Treffer oder 3 Nieten gibt, aber 5 Möglichkeiten, siehe 50:50 = 50 in 100

2 IN 3 bedeutet, daß es zwei möglich Treffer in einem Pool aus 3 Möglichkeiten gibt.

Ich denke, das Problem kommt daher, daß das Geteiltzeicchen hier eine andere Bedeutung hat.