Die Paradoxa des Wahrscheinlichkeitsidioten und weitere Rätsel

@Issomad
Karl hat 100 Kuchen gekauft.
Er hat 70% gegessen.
Wie viele Kuchen wird er noch essen?
Gar keinen. Er hat Diabetes und muss auf seinen Insulinhaushalt achten.

Dass war nicht ganz der Punkt der Aufgabe, aber ja, wenn man den Showmaster "lesen" kann, hat man bessere Chancen. So lange man besser lesen kann, als der Showmaster vortäuschen, versteht sich.

Issomad schrieb:eine bessere Gewinnchance als 50 %

Die kriegt man auch mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 66% um genau zu sein.

Issomad schrieb:Hier kann man mit Empathie eine bessere Gewinnchance als 50 % herausholen, wenn man den Showmaster 'lesen' kann ...

Nur wenn der Showmaster weiss wo das Auto steht, die manipulativen Möglichkeiten stehen hier ja auch nicht zur Diskussion, die verlinkten Simulatoren sind unbestechlich.

@Issomad

Issomad schrieb:Hier kann man mit Empathie eine bessere Gewinnchance als 50 % herausholen, wenn man den Showmaster 'lesen' kann ...

Du kannst ganz einfach 66% Gewinnchance herausholen in dem du einfach wechselst, dann hast du mehr als 50% :-)

Izaya schrieb:Diese Schreibweise nutzt man für Verhältnisse. Wahrscheinlichkeiten gibt man als Brüche, in Prozent oder Dezimal an. Aber niemals in so einer Schreibweise.

Hä? Die Wahrscheinlichkeit wird entweder als "eins zu n" angegeben oder als ausgerechnetes Ergebnis ("Nullkomma...") oder in Prozent. Klar kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auch durch dessen Verhältnis zu den "Nichttreffern" angeben, aber dann muß mitangegeben werden, daß es sich um das Verhältnis zwischenEreignis und Ereignisalternativen handelt.

Findest Du es nicht auch auffallend, daß ne fünfundzwanzigprozentige Wahrscheinlichkeit sich rechnerisch als 1:4 schreiben lassen kann? Und daß "Wahrscheinlichkeit eines Falles X" eben bedeutet "Wie oft muß etwas geschehen, damit als Ergebnis X herauskommt"? ALso: WIe oft muß ich in die Urne voller roter und blauer Kugeln greifen, um eine Blaue zu erhalten? Und zwar, wenn auf eine blaue Kugel drei rote kommen? DIe Antwort lautet "vier mal", Dieses "Vier Mal" beschreibt die Wahrscheinlichkeit. Also 1:4, Weil das Kugelverhältnis 1:3 ist.

1:4, 25% und 0,25 sind die Bezeichnung der Wahrscheinlichkeit. Man kann die Wahrscheinlichkeit auch umschreiben, daß ich auf drei rote Kugeln eine blaue herausfische, also 1:3. Aber das beschreibt das Verhältnis "Treffer-Nichttreffer". Ich vergleiche also die beiden Wahrscheinlichkeiten 1:4 und 3:4. Und kürze das /4 weg.

Wikipedia: Stochastik#Angabe von Wahrscheinlichkeiten

Angabe von Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten werden mit dem Buchstaben P {\displaystyle \ P} \ P (von frz. probabilité, eingeführt von Laplace) oder W {\displaystyle \ W} \ W dargestellt. Sie tragen keine Einheit, sondern sind Zahlen zwischen null und eins, wobei auch null und eins zulässige Wahrscheinlichkeiten sind. Deshalb können sie als Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen ( 0 , 2 {\displaystyle 0{,}2} 0{,}2), Brüche ( 2 10 {\displaystyle {\tfrac {2}{10}}} \tfrac 2{10}), Quoten (2 von 10 beziehungsweise 1 von 5) oder Verhältniszahlen (1 zu 4) angegeben werden (alle Angaben beschreiben dieselbe Wahrscheinlichkeit).

Häufig treten Missverständnisse auf, wenn nicht richtig zwischen „zu“ und „von“ unterschieden wird: „1 zu 4“ bedeutet, dass dem einen gewünschten Ereignis 4 ungewünschte Ereignisse gegenüberstehen. Damit gibt es 5 Ereignisse, von denen eins das Gewünschte ist, also „1 von 5“.

[edith]QUark, Ihr habt recht. 1:3, aber 1von 4[/susanna]

perttivalkonen schrieb: "eins zu n"

Bruch

perttivalkonen schrieb:ausgerechnetes Ergebnis

Dezimal

perttivalkonen schrieb:Prozent

Prozent

Klar kann man theoretisch auch 1:2 für 1/2=0,5=50% schreiben. Nur hat der ":" als Zeichen für die Division nach der Grundschule ausgedient und die Schreibweise wird für Verhältnisse genutzt. Die Notation wird also eher damit verbunden.

perttivalkonen schrieb:Also meine Rede

Nein, oder steht da irgendwo, dass der Doppelpunkt für Wahrscheinlichkeiten in deinem Sinne genutzt wird?

Dort sind für Wahrscheinlichkeiten in deinem Sinne:

perttivalkonen schrieb:Deshalb können sie als Prozentangaben (20 %), Dezimalzahlen ( 0 , 2 {\displaystyle 0{,}2} 0{,}2), Brüche ( 2 10 {\displaystyle {\tfrac {2}{10}}} \tfrac 2{10})

Angegeben. Und als Rest:

perttivalkonen schrieb:Quoten (2 von 10 beziehungsweise 1 von 5) oder Verhältniszahlen

Und ich sage dir, den Doppelpunkt nutzt man typischerweise für letzteres!

@towel_42

Magst Du noch meine Fragen an Dich beantworten, oder hab ich da was übersehen?

Möglicherweise habe ich sie ja übersehen. Ich wurde gestern von plötzlichem Hungergefühl unterbrochen und widmete mich dem Innenleben meines Kühlschranks widmen. ;)
Sei so nett und wiederhole sie.


@Izaya

und die restlichen Türen die restliche Wahrscheinlichkeit, 2/3, innehaben. Da nurnoch eine der beiden anderen Türen übrig ist, ergibt sich, dass der Wechsel sich lohnt.

Hmmm. Wenn von zwei Türen, die gemeinsam eine WSK von 2/3 haben, eine weg fällt, dann hat doch die übriggebliebene Tür noch immer nur 1/3 WSK.
Da die Tür mit dem Auto eine WSK von 1/3 hatte, stehen sich jetzt AutoTür WSK 1/3 und ZiegenTür WSK 1/3 gleich stark gegenüber.

Ich weiß schon, was Du meinst. Die WSK für die AutoTür erhöht sich.
Es erscheint aber immer noch nicht logisch, dass der Wegfall einer Möglichkeit nur die WSK für eine der beiden anderen erhöhen soll. Und nicht auch für die andere.
Siehe Beispiel "Zehn kleine ..." ALLE restlichen Gäste sind gleich verdächtig. Immer noch. Somit haben sich WSK Werte auf alle restlichen Gäste gleich aufgeteilt.


@Issomad

Hmm, ich würde bei so etwas wie dem 'Ziegen-Problem' nicht mit Wahrscheinlichkeiten rechnen ...

Das mit der Empathie ist eine andere Sache, auf die ich aber auch nicht bauen würde.

Aber auch nicht auf die WSK. Weil, egal, wie hoch die ist, es kann die andere Möglichkeit kommen. Wenn auch mit geringerer WSK. Aber WSK ist nicht dasselbe wie Möglichkeit. Und genau hier liegt der Knackpunkt.

Ich weiß ja nicht, ob ich auf die Tür mit der höheren WSK gesetzt hätte, nicht wahr?

Ich weiß nur, dass eine der beiden Türen die höhere WSK hat, ich weiß aber nicht, welche. Was nutzt es, zu wissen, die eine Tür hat die höhere WSK hat, wenn ich nicht weiß, welche denn?

Ich könnte ja bereits diese Tür gewählt haben. Ein Wechsel wäre dann der Verlust.
Ich könnte eine der beiden anderen Türen (Nieten) gewählt haben, ein Wechsel wäre Gewinn.

Da ich das aber nicht weiß, ist es hupfdi-wie springdi (fifty:fifty eben)

Izaya schrieb:Klar kann man theoretisch auch 1:2 für 1/2=0,5=50% schreiben. Nur hat der ":" als Zeichen für die Division nach der Grundschule ausgedient und die Schreibweise wird für Verhältnisse genutzt. Die Notation wird also eher damit verbunden.

WIeso ausgedient? Ne 25-prozentige Wahrscheinlichkeit erlangt man doch, indem man bei 1:4 das : mathematisch ernst nimmt. Eins von vier = 25 von Hundert.

Unlogisch - auch wenns so gehandhabt wird - isses hingegen, ne 25-prozentige Wahrscheinlichkeit durch "1:3" wiederzugeben, weil da das ":" eben nicht als Teilungsoperator gelten kann. Da steht es für "zu", eben für ein Verhältnis.

Hier sind alle 18 Möglichkeiten in vollendeter Redundanz:



Standhaft sein ist edel, weise und gut, aber in diesem Fall gewinnt der Wankelmut doppelt so häufig.
Ich verdoppele meine Gewinnchancen, wenn ich wechsele

off-peak schrieb:dass der Wegfall einer Möglichkeit nur die WSK für eine der beiden anderen erhöhen soll. Und nicht auch für die andere.

Weil eine Tür gar nicht wegfallen konnte. Wenn jemand nicht umgebracht wurde, weil er einfach nicht da war, ist er ja nicht wahrscheinlicher der Mörder.
Die Wahrscheinlichkeit steigt ja, weil der Mörder sich nicht selbst umbringt. Aber dieser Grund besteht bei dem, der nicht gekillt werden konnte, gar nicht. Deswegen steigt die Wahrscheinlichkeit bei dieser Person nicht.


Ich weiß nicht, ob die Analogie wirklich hilft...

---

perttivalkonen schrieb:Unlogisch - auch wenns so gehandhabt wird - isses hingegen, ne 25-prozentige Wahrscheinlichkeit durch "1:3" wiederzugeben, weil da das ":" eben nicht als Teilungsoperator gelten kann. Da steht es für "zu", eben für ein Verhältnis.

Deswegen findest du auch keinen Mathematiker, der wirklich diese Verhältnisangabe nutzt :D Meistens findest du Brüche, Dezimalzahlen, Prozent.

perttivalkonen schrieb:WIeso ausgedient

Weil man irgendwann anfängt alle Divisionen als Brüche zu schreiben. Oder hast du in deinen letzten Schuljahren noch den Doppelpunkt genutzt. Ich bezweifle es. Fällt einem gar nicht auf, bis man mal drüber nachdenkt.

Das mit den Ziegen finde ich einfach.
Die Wahrscheinlichkeit das das Auto hinter meinem gewählten Tor ist, ist niedriger als das Es hinter einer der beiden anderen Türen ist.
Das ändert sich auch nicht wenn der Moderator die Möglichkeiten ausdünnt.
Er negiert halt eine Möglichkeit. Das sollte man Nutzen wenn man Gewinnen will, und wechseln. ;)
Gruß
Mailo

@Thaddeus
@perttivalkonen

Ich kann immer noch nicht nachvollzihen wie ihr auf die annährend 1/2 Wahrscheinliochkeit kommt und nicht auf die =1/2 Wahrscheinlichkeit.

Exakt dasselbe Problem kann kam ja definieren mit dem Urnenmodell wie in Wikipedia beschrieben:

4 Urnen gefüllt mit jeweils 2 Kugeln:

s = schwarz
w = weiß

Es gibt insgesamt 2x4 = 8 Kugeln; 4 davon sind weiß 4 davon sind schwarz

Dann erhählt man folgeden Verteilung:


[/tr][/tr]
[/tr][/tr]
[/tr][/tr]

Urne 1	w	w
Urne 2	w	s	Urne 3	s	w	Urne 4	s	s

Nun ziehen wir zufällig aus einer der Urnen eine Kugel. Diese sei weiß. WIe groß ist dann die Wahrscheinlichkeit das die andere Kugel auch weiß ist?

Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen wenn die erste Kugel bereits weiß ist:



DIe Lösung wird hier beschrieben:
Wikipedia: Junge-oder-Mädchen-Problem#Lösung mittels Urnenmodell

Allersdings ist die Lösung:



Das heißt die Lösung ist tatsächlich exakt 0,5 und nicht annährend 0,5.

Sie ist dann exakt 0,5, wenn der Junge, den der Vater schon angestellt hat, nicht zählt und sich für den zweiten Posten gleich viele Jungen und Mädchen bewerben. Unsere Spitzfindigkeit kam dem ursprünglichen Verfasser nicht in den Sinn.

Die Formel

mojorisin schrieb:Ich kann immer noch nicht nachvollzihen wie ihr auf die <1/2 Wahrscheinliochkeit kommt und nicht auf die =1/2 Wahrscheinlichkeit.

Weil es zwei verschiedene Probleme sind, über die ihr redet.

Bei dir gilt P(Junge)=P(Mädchen)=50% als extra-Information.


Bei uns (ich habe ja auch etwas unter 1/2 rausbekommen, mit einem Ansatz): die Menge aller Mädchen ist gleich die Menge aller Jungen.


Die Wikipedia nutzt deine extra-Information:

dabei wird die idealisierte Annahme unterstellt, dass in Zwei-Kind-Familien alle möglichen Geschlechterpaare – also Junge/Junge, Junge/Mädchen, Mädchen/Junge und Mädchen/Mädchen.– exakt gleich häufig vorkommen. Die Wahrscheinlichkeit für alle vier möglichen Konstellationen ist zunächst also gleich groß; insbesondere ist die unbedingte (A-priori-)Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind, gleich 1/4.

Wikipedia: Junge-oder-Mädchen-Problem#Neuformulierung der Problemstellung


Wir haben aus deiner Erklärung aber zuerst unsere rausgelesen. Dann gilt halt folgendes:

Izaya schrieb:Gehen wir mal Beispielhaft von 2 Milliarden Kindern aus. Also 1 Milliarden Jungen und 1 Milliarde Mädchen auf der Welt. Nun ist unser Junge einer der 1 Milliarde Jungen. Ohne ihn bleiben also 999.999.999 Jungen übrig. Es sind aber weiterhin 1 Milliarde Mädchen. Also, ziehen wir nun unser zweites Kind, so haben wir keine 50:50 Wahrscheinlichkeit, sondern eine:999.999.999 : 1.000.000.000 Wahrscheinlichkeit, zu Gunsten eines Mädchens.

In Prozent: 49,999999975%
Je mehr Kinder es gibt, desto mehr nähert es sich 50% an. Aber mit dieser Betrachtung ist es nie genau 50%.

@mojorisin

Die Tür für die du dich entschieden hast wird nur nicht geöffnet, gerade weil du sie durch das Auswählen von Anfang blockierst. Dadurch erhöht sich aber nicht die Wahrscheinlichkeit das hinter dieser von dir gewählten Tür auch das Auto befindet.

Danke. Wie sich das rechnet, ist mir klar.

Es ändert nur nichts daran, dass ich dennoch so oder so die falsche Tür wählen kann. Die Tatsache, dass ich weiß, dass die Wahrscheinlich für eine der Türen gestiegen ist, macht es aber nicht wahrscheinlicher, dass es die wäre, auf die ich getippt habe, bzw das Auto genau dort steht, wo ich tippe.

Bin zu faul für eine Grafik, daher simpel:

A - - - - - - - - - - B - - - - - - - - - - C


B fällt aus. Übrig bleibt die Situation, vor der der Kandidat steht:


A - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - C


Ich weiß zwar, das eine Tür davon jetzt die höhere WSK hat, aber welche?

Ich habe nämlich keine Möglichkeit, festzustellen, ob ich bereits auf die Tür getippt habe, die später die Tür mit der richtigen WSK wird.
Und das wird durch einen Wechsel auch nicht besser.

Die WSK Rechnung verrät mir nur die Chancenverteilung, nicht aber den Ort, wo diese bessere Chance liegt.
Ein Wechsel würde nur den Ort wechseln, nicht aber die Sicherheit, mit der ich treffen könnte.

Wie ich schon mehrmals sagte: zwei verschiedenen Fragestellungen, zwei WSK.
Fragestellung / Problem / Aufgabe 1:
Wenn ich frage, wie hoch ist die WSK für eine Tür, die richtige zu sein? Dann stimmen diese 2/3.
Fragestellung / Problem / Aufgabe 2:
Wenn ich aber frage: Wie groß ist meine Chance, auf die richtige Tür (die mit der 2/3 WSK) zu tippen, dann lautet die Antwort: 1/2.

Und hier verbessert auch ein Wechsel nichts. Weil ich ja von Anfang an auf die richtige oder falsche Tür getippt haben könnte.

Die WSK für eine Option, die richtige zu sein steigt zwar, aber nicht die WSK für mich, auch diese, die richtige, Tür zu erwischen.


Noch´n Versuch:

Nehmen wir an, Du kommst erst in Runde 2 zur Show. Der Quizmaster verrät Dir nun, dass eine Niete bereits aussortiert wurde.
Du musst Dich nur mehr für eine der beiden Türen entscheiden. Hilft es Dir da, zu wissen, dass eine davon die doppelte WSK aufweist, die richtige zu sein? Würde dieses Wissen Deine Entscheidung beeinflussen?

off-peak schrieb: Hilft es Dir da, zu wissen, dass eine davon die doppelte WSK aufweist, die richtige zu sein? Würde dieses Wissen Deine Entscheidung beeinflussen?

Ich habe bereits gesagt nein, aber du musst dran denken, dass du mehr weißt, als der, der neu dazugekommen ist.

off-peak schrieb:Die Tatsache, dass ich weiß, dass die Wahrscheinlich für eine der Türen gestiegen is

Du weißt auch, für welche sie gestiegen ist. Für die, die du nicht ausgewählt hast. Mit deiner Tür konnte ja nichts gemacht werden. Und das weißt du.


Deine 50% Chance, die Tür mit der Wahrscheinlichkeit von 2/3 zu wählen ist auf 100% gestiegen, als der Moderator die andere Tür gestrichen hat. Unsauber formuliert, aber vielleicht hilfts.

@Thaddeus

Thaddeus schrieb:Sie ist dann exakt 0,5, wenn der Junge, den der Vater schon angestellt hat, nicht zählt und sich für den zweiten Posten gleich viele Jungen und Mädchen bewerben. Unsere Spitzfindigkeit kam dem ursprünglichen Verfasser nicht in den Sinn.

Nein, es sind tatsächlich zwei unterschiedliche Fälle. Ich erkläre es anhand der Kugeln mit Kindern hört es sich makaber an :-)

Fall 1: WEnn ich alle Kugeln in eine Urne werfe und dann weiß ziehe, und jetzt frage wich hoch ist die Chance noch eine weiße Kugel zu ziehen, dann habt ihr Recht dann ist die Wahrscheinblichkeit <0.5.

Fall 2: Wenn ich aber zuerst Zweierpäärchen bilde und dann daraus ziehe dann ist das Ergebnis exakt 0,5.

Das Vater-Sohn Rätsel entspricht dem Fall 2 und somit ist das Ergebnis =0,5 korrekt, auch bei kleinen Fallzahlen. Dies sieht man am Beipiel der Urne bei dem ja nur 8 Kugeln im SPiel sind und das korrekte Ergebnis ja auch 1/2 ist und nicht etwa 3/8.

mojorisin schrieb:Du kannst ganz einfach 66% Gewinnchance herausholen in dem du einfach wechselst, dann hast du mehr als 50% :-)

Ähm, eben nicht! Es wären nur 50 %, weil es nur 2 Möglichkeiten gibt und beide gleichberechtigt wären ...

off-peak schrieb:Weil ich ja von Anfang an auf die richtige oder falsche Tür getippt haben könnte.

Ja aber nicht mit einer 50/50 Chance. Sonder mit einem Verhältnis von 1/3 richtige Tür zu 2/3 falsche Tür.

off-peak schrieb:Nehmen wir an, Du kommst erst in Runde 2 zur Show. Der Quizmaster verrät Dir nun, dass eine Niete bereits aussortiert wurde.
Du musst Dich nur mehr für eine der beiden Türen entscheiden. Hilft es Dir da, zu wissen, dass eine davon die doppelte WSK aufweist, die richtige zu sein? Würde dieses Wissen Deine Entscheidung beeinflussen?

Natürlich würde mir es helfen wenn mir jemand die INofs über den Verlauf gibt. Sonst habe ich nicht die notwendigen INformationen um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.