@perttivalkonen Es gibt unendliche Mengen, also Mengen mit unendlich vielen Elementen. Die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen wären einige Beispiele. Man kann sich leicht klarmachen, dass es sogar unendlich viele Mengen gibt, die ihrerseits unendlich viele Elemente enthalten*.
In der Mathematik ist man gerne geneigt, alle möglichen Dinge irgendwie zu
klassifizieren, u.a. auch die unendlich vielen unendlichen Mengen, wie es Cantor im Zuge seiner Theorie der Kardinalzahlen tat. Ein Kriterium zur Klassifikation unendlicher Mengen ist hier die
Mächtigkeit einer Menge. "Mächtigkeit" wird häufig als Synonym für "Größe" oder "Anzahl an Elementen" verstanden, was aber nicht ganz korrekt ist - hier zitiere ich mal aus Wiki:
"Für endliche Mengen ist die Mächtigkeit gleich der Anzahl der Elemente der Menge, das ist eine natürliche Zahl einschließlich Null. Für unendliche Mengen benötigt man etwas Vorarbeit, um ihre Mächtigkeiten zu charakterisieren. Die im folgenden gemachten Definitionen und Folgerungen sind aber auch im Falle endlicher Mengen gültig." ( Wikipedia: Mächtigkeit (Mathematik) )Zwei Mengen werden
gleichmächtig genannt, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Alle (unendlichen) Mengen, die gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen sind, werden wiederum als
abzählbar** bezeichnet. Cantor konnte mit Hilfe seines sog. Diagonalbeweises nachweisen, dass es unendliche Mengen gibt, für die es nun aber keine Bijektion zwischen ihnen und den natürlichen Zahlen gibt. Solche Mengen nennt man dann
überabzählbar. Die reellen Zahlen sind hier ein Paradebeispiel dafür. Während bspw. die rationalen Zahlen abzählbar sind, sind es die reellen Zahlen schon nicht mehr. Eine große Frage der Mathematik war hier dann die sog.
Wikipedia: Kontinuumshypothese , also die Frage, ob es auch unendliche Mengen gibt, die von der Mächtigkeit größer als die der natürlichen Zahlen, aber kleiner als die der reellen Zahlen sind (also in puncto Mächtigkeit irgendwie zwischen diesen beiden Mengen liegen). Weiters gibt es natürlich unendliche Mengen, die von der Mächtigkeit her nicht nur größer als die der natürlichen Zahlen sind (wie bspw. die reellen Zahlen), sondern auch noch größer als die der reellen Zahlen (siehe etwa
Wikipedia: Satz von Cantor ). Man kann also auch überabzählbare Mengen noch weiter unterscheiden, indem man ihnen eine entsprechende Kardinalzahl zuordnet.
Intuitiv ist klar, dass unendlich nicht gleich unendlich ist. Bspw. gibt es unendlich viele natürliche Zahlen, unendlich viele gerade Zahlen und unendlich viele ungerade Zahlen. Die letzten beiden Mengen scheinen irgendwie nur "halb so groß" wie die erstgenannte zu sein. Das mag zunächst intuitiv einleuchtend sein, aber die Schwierigkeit besteht hier vor allem gerade darin, hier ein halbwegs brauchbares Regelwerk aufzustellen, um mit (allen) unendlichen Mengen in konsistenter Weise hantieren zu können, was dann vor allem Cantors Verdienst war. Lange Rede, kurzer Sinn: Ich hab' grad den Faden verloren.
:DDeshalb vllt. einfach ein paar Zitatfetzen abgearbeitet:
perttivalkonen schrieb:Du hast nur behauptet, daß die Mächtigkeit bei den abzählbaren trotz unterschiedlicher "Größe" dennoch gleich ist. Wieso sollte es bei den überabzählbaren anders sein? Wo ist diese Erklärung?
Eine 'Erklärung' in dem Sinne gibt es nicht. Es gibt nur ein "Regelwerk", das es erlaubt, zwischen allen möglichen unendlichen Mengen weiter unterscheiden zu können. Das gelang dann erst Cantor mit der Einführung sog. Kardinalzahlen.
Abzählbare Mengen haben alle die gleiche Kardinalzahl (Aleph-0), sind also alle gleichmächtig. Dann gibt es noch Mengen, die sind nicht abzählbar (genannt 'überabzählbar'), wobei sich hier aber zeigt, dass sie nicht immer gleichmächtig sind, es also keine Bijektion zwischen diesen Mengen gibt. Beispiel wäre die
Menge der reellen Zahlen sowie die
Menge aller Teilmengen der reellen Zahlen (die sog.
Potenzmenge der reellen Zahlen, P(IR)) - zwischen diesen beiden Mengen gibt es keine Bijektion. Die Mächtigkeit von P(IR) ist schlichtweg größer als die Mächtigkeit von IR selbst (und ich hab' meinen Faden wieder...).
Natürliche Zahlen und dazu gleichmächtige Mengen (bspw. die Menge der geraden Zahlen) werden alle abzählbar genannt und haben die Kardinalzahl Aleph-0.
Reelle Zahlen und dazu gleichmächtige Mengen (bspw. das Intervall (0,1)) sind bereits nicht mehr abzählbar und haben die Kardinalzahl Aleph-1.
Die Potenzmenge der reellen Zahlen und dazu gleichmächtige Mengen sind ebenfalls nicht mehr abzählbar und haben die Kardinalzahl Aleph-2.
Das Spielchen geht nun immer so weiter mit Mengen, die von der Mächtigkeit noch größer sind, entsprechend eine größere Kardinalzahl (Aleph-3, Aleph-4 usf.) haben und selbstverständlich ebenfalls alle nicht mehr abzählbar sind.
perttivalkonen schrieb:Ja, ist es. Es zeigt doch, daß unendliche Mengen gleich groß sind (und damit auch Deschain es verstehen kann: gleich mächtig).
Das ist das Problem, wenn man Begriffe intuitiv auslegt... Frei nach dem Motto:
'Unendlichkeit' hat irgendwie etwas mit 'Größe' oder 'Anzahl' zu tun, und wenn man zwei Mengen das gleiche Attribut 'unendlich' zuordnet, müssen sie irgendwie auch gleichgroß sein und Pi mal Daumen die gleiche Anzahl an Elementen besitzen. - was jedoch naive Mathematik ist. Höhere Mathematik ist aber wirklich starker Tobak, weshalb es zwar nicht unbedingt rühmlich, aber auch nicht sonderlich schlimm ist, wenn man da irgendwann nicht mehr durchblickt.
*Bspw. gibt es unendlich viele Primzahlen. Und nun könnte man entsprechend unendlich viele (ihrerseits ebenfalls unendliche) Mengen wie folgt definieren: Sei p eine Primzahl und M_p:={x|x ist natürliche Zahl und ein Vielfaches von p}. Dann haben wir damit unendlich viele Mengen (die sogar paarweise disjunkt, also durchschnittsfremd sein dürften), mit jeweils unendlich vielen Elementen...
**Man beachte, dass man sich in der Mathematik nicht vom intuitiven und alltäglichen Verständnis der Begriffe in die Irre führen lassen sollte. So gibt es bspw. auch sog.
Wikipedia: Befreundete Zahlen , was aber nicht heißt, dass diese Zahlen befreundet im Sinne der Bedeutung des alltäglichen Begriffsverständnisses sind und ab und an mal zusammen ein Bier trinken gehen o.ä. ...
