Auftriebskraftwerk
17.03.2015 um 04:12Ich könnte mir vorstellen, dass die sehr niedrigen Werte für die maximal mögliche Ausgangsleistung, die sich nach der hier oft erwähnten Leistungs-Formel für die verschiedenen Auftriebskraftwerks-Varianten ergeben (z.B. 18 W für die 2-m-Anlage), einigen Mitlesern, die sich nicht allzu intensiv mit dem Thema beschäftigt haben, irritierend erscheinen.
Die Herleitung der exakten Formel ist nicht unkompliziert und erfordert Integralrechnung, weshalb sie nicht unbedingt für jeden leicht nachvollziehbar ist. Es gibt aber eine alternative Möglichkeit, die Ausgangsleistung vereinfacht zu berechnen, die m.E. relativ leicht nachvollziehbar ist, und nur Grundrechenarten erfordert. Das möchte ich noch mal am Beispiel der 2-m-Anlage zeigen.
Entscheident für die maximale Ausgangsleistung einer Anlage ist die Luftleistung des Kompressors, die üblicherweise in Normlitern pro Minute angegegeben wird. Normliter bedeutet, dass die tatsächlich gelieferte (komprimierte) Luftmenge auf Normbedingungen (insbesondere atmosphärischen Druck) umgerechnet wird. Liefert ein Kompressor z.B. 1 Liter Luft bei 2 bar (abs), entspricht das 2 Normlitern, da sich Luft mit dem Druck von 2 bar (abs) unter Normbedingungen (1 bar (abs)) auf das doppelte Volumen ausdehnt.
Der User Rosch (Rosch CEO Detlef D.) hat für die 4 Kompressoren der 2-m-Anlage (in der Version "Kuchl/Klagenfurt") eine Gesamt-Luftleistung von 60 Liter/min angegeben. Das passt gut zu den Messungen, die floppy1963 mit einem sehr ähnlichen Kompressor in diesem Video durchgeführt hat. Der Wert kann daher als bestätigt gelten.
Man stelle sich nun einen unten offenen ca. 100-Liter-Behälter in 2 Metern Wassertiefe vor. In diesen Behälter wird die Gesamtluft der o.g. Kompressoren 1 Minute lang eingeleitet. Das während dieser Zeit eingeleitete Luftvolumen beträgt entsprechend der Luftleistung des Kompressors 60 Normliter. Die Luft wird jedoch vom Wasserdruck komprimiert. In 2 Metern Wassertiefe beträgt der Druck ca. 1,2 bar (abs). Bei isothermer Kompression (eine für diesen Fall angemessene Vereinfachung) gilt:
pkomprimiert * Vkomprimiert = patm * Vatm ->
Vkomprimiert = Vatm * (patm / pkomprimiert = 60 Liter * (1 bar / 1,2 bar) = 50 Liter
Nachdem die Minute um ist, besitzt der Behälter eine gewisse potenzielle Auftriebsenergie. Er übt eine Kraft in Richtung Wasseroberfläche aus, und kann diese Kraft über eine eine vertikale Strecke von 2 m ausüben. Die Auftriebskraft, die der Behälter ausübt, entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Da sich in dem Behälter 50 Liter Luft befinden, wurden 50 Liter Wasser mit einer Masse von ca. 50 kg daraus verdrängt. Im Prinzip müsste man an dieser Stelle noch das Gewicht der Luft berücksichtigen, das jedoch im Verhältnis zum Gewicht des verdrängten Wassers so gering ist, dass man es hier vernachlässigen kann.
Man könnte die Auftriebskraft des Behälters konkret nutzen, indem man z.B. unten ein Seil daran befestigt, das beim Aufstieg die Welle eines Generators dreht. Mit zwei Behältern, die abwechselnd befüllt werden und aufsteigen, könnte man eine kontinuierliche Ausgangsleistung erreichen.
Aus den einfachen Zusammenhängen Energie = Kraft * Weg und Kraft = Masse * Fallbeschleunigung ergibt sich:
E = F * s = m * g * s = 50 kg * 9,81 m/s2 * 2 m = 981 Ws
Das ist schon mal ein brauchbarer Anhaltspunkt, berücksichtigt allerdings nicht, dass sich die Luft während des Aufstiegs ausdehnt, was den Auftrieb verstärkt. Der berechnete Wert würde zutreffen, wenn der Behälter nach dem Befüllen verschlossen würde. Ein besseres Ergebnis, das die Ausdehnung der Luft während des Aufstiegs berücksichtigt, kann man erzielen, wenn man das mittlere Volumen der Luft beim Aufstieg ermittelt. Da sich die Luft während des Aufstiegs von 50 Liter auf 60 Liter ausdehnt, beträgt das mittlere Volumen (50 Liter + 60 Liter) / 2 = 55 Liter, entsprechend ca. 55 kg verdrängten Wassers. Mit diesem Wert kann man die Rechnung nun wiederholen:
E = 55 kg * 9,81 m/s2 * 2 m = ca. 1079 Ws
Da diese Energiemenge in einer Minute anfällt, kann man daraus die Leistung berechnen:
P = E / t = 1079 Ws / 60 s = 17,98 W
Dieser Wert weicht nur minimal von dem mit exakten Formel berechneten Wert von ca. 18,23 W ab.
Es sollte offensichtlich sein, dass es im Prinzip egal ist, wie gross man den Behälter wählt. Würde z.B. man einen kleineren Behälter nur 10 s (1/6 von 60 s) lang befüllen, hätte er anschliessend auch nur 1/6 der Auftriebskraft, und daraus folgend 1/6 der potenziellen Energie. Bei der Ermittlung der Leistung stände der Faktor 1/6 sowohl im Zähler als auch im Nenner, und würde sich deshalb herauskürzen.
Bisher wurde angenommen, dass der Behälter in der gleichen Zeit aufsteigt, die seine Befüllung in Anspruch genommen hat. Würde man den Behälter schneller aufsteigen lassen, würde sich zwar die Leistung vergrössern, es entstände allerdings eine Lücke, bis der nächste Behälter fertig befüllt ist. Die Durchschnittsleistung bliebe gleich.
Würde man den Behälter über eine längere Zeit aufsteigen lassen, als seine Befüllung in Anspruch genommen hat, wäre der nächste Behälter bereits fertig befüllt, bevor der erste Behälter die Wasseroberfläche erreicht hat. Bei diesem Szenario könnte man also mehrere Behälter gleichzeitig aufsteigen lassen. Ich schlage vor, sich die Behälter in diesem Fall nebeneinander statt wie beim Auftriebskraftwerk untereinander vorzustellen, weil die Zusammenhänge dadurch m.E. besser verständlich sind.
Würde man die Behälter z.B. in der doppelten Zeit aufsteigen lassen, die ihre Befüllung in Anspruch nimmt, wäre die Befüllung des zweiten Behälters abgeschlossen, wenn der erste Behälter die Hälfte der Strecke bis zur Wasseroberfläche zurückgelegt hat. Ab diesem Zeitpunkt würden beide Behälter gleichzeitig aufsteigen. Sobald der erste Behälter die Wasseroberfläche erreicht hat (und der zweite die Hälfte der Strecke) wäre der dritte Behälter fertig befüllt, und könnte den ersten Behälter "ablösen". Es würden also kontinuierlich zwei Behälter gleichzeitig aufsteigen. Ein Gewinn wäre das allerdings nicht. Die Formel zur Ermittlung der Leistung würde in diesem Fall zwar die Summe der Leistung zweier Behälter umfassen, allerdings stände im Nenner jeweils die doppelte Zeit, es würde sich also zwei mal die halbe Leistung ergeben. Die effektive Leistung bliebe wiederum gleich.
Das letztere Szenario entspricht dem, was bei den Rosch Auftriebskraftwerken geschieht. Z.B. bei der 2-m-Anlage beträgt die Befüllungszeit eines Behälters ungefähr 3,33 s, die Aufstiegszeit ungefähr das 8-fache davon (eine knappe halbe Minute). Die Energie, die dem Behälter in 3,33 s zugeführt wurde, wird in der 8-fachen Zeit freigesetzt, was 1/8 der zugeführten Leistung entspricht. Dafür steigen 8 luftgefüllte Behälter gleichzeitig auf, wodurch sich als Ausgangsleistung 8 * 1/8 der Eingangsleistung (natürlich abzüglich Verlusten) ergibt.
Ich hoffe, die beschriebene vereinfachte Rechnung hat gezeigt, dass die von der exakten Leistungs-Formel gelieferten, sehr niedrigen maximal möglichen Ausgangsleistungs-Werte leicht nachvollziehbar und überprüfbar sind.
Die Herleitung der exakten Formel ist nicht unkompliziert und erfordert Integralrechnung, weshalb sie nicht unbedingt für jeden leicht nachvollziehbar ist. Es gibt aber eine alternative Möglichkeit, die Ausgangsleistung vereinfacht zu berechnen, die m.E. relativ leicht nachvollziehbar ist, und nur Grundrechenarten erfordert. Das möchte ich noch mal am Beispiel der 2-m-Anlage zeigen.
Entscheident für die maximale Ausgangsleistung einer Anlage ist die Luftleistung des Kompressors, die üblicherweise in Normlitern pro Minute angegegeben wird. Normliter bedeutet, dass die tatsächlich gelieferte (komprimierte) Luftmenge auf Normbedingungen (insbesondere atmosphärischen Druck) umgerechnet wird. Liefert ein Kompressor z.B. 1 Liter Luft bei 2 bar (abs), entspricht das 2 Normlitern, da sich Luft mit dem Druck von 2 bar (abs) unter Normbedingungen (1 bar (abs)) auf das doppelte Volumen ausdehnt.
Der User Rosch (Rosch CEO Detlef D.) hat für die 4 Kompressoren der 2-m-Anlage (in der Version "Kuchl/Klagenfurt") eine Gesamt-Luftleistung von 60 Liter/min angegeben. Das passt gut zu den Messungen, die floppy1963 mit einem sehr ähnlichen Kompressor in diesem Video durchgeführt hat. Der Wert kann daher als bestätigt gelten.
Man stelle sich nun einen unten offenen ca. 100-Liter-Behälter in 2 Metern Wassertiefe vor. In diesen Behälter wird die Gesamtluft der o.g. Kompressoren 1 Minute lang eingeleitet. Das während dieser Zeit eingeleitete Luftvolumen beträgt entsprechend der Luftleistung des Kompressors 60 Normliter. Die Luft wird jedoch vom Wasserdruck komprimiert. In 2 Metern Wassertiefe beträgt der Druck ca. 1,2 bar (abs). Bei isothermer Kompression (eine für diesen Fall angemessene Vereinfachung) gilt:
pkomprimiert * Vkomprimiert = patm * Vatm ->
Vkomprimiert = Vatm * (patm / pkomprimiert = 60 Liter * (1 bar / 1,2 bar) = 50 Liter
Nachdem die Minute um ist, besitzt der Behälter eine gewisse potenzielle Auftriebsenergie. Er übt eine Kraft in Richtung Wasseroberfläche aus, und kann diese Kraft über eine eine vertikale Strecke von 2 m ausüben. Die Auftriebskraft, die der Behälter ausübt, entspricht der Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Da sich in dem Behälter 50 Liter Luft befinden, wurden 50 Liter Wasser mit einer Masse von ca. 50 kg daraus verdrängt. Im Prinzip müsste man an dieser Stelle noch das Gewicht der Luft berücksichtigen, das jedoch im Verhältnis zum Gewicht des verdrängten Wassers so gering ist, dass man es hier vernachlässigen kann.
Man könnte die Auftriebskraft des Behälters konkret nutzen, indem man z.B. unten ein Seil daran befestigt, das beim Aufstieg die Welle eines Generators dreht. Mit zwei Behältern, die abwechselnd befüllt werden und aufsteigen, könnte man eine kontinuierliche Ausgangsleistung erreichen.
Aus den einfachen Zusammenhängen Energie = Kraft * Weg und Kraft = Masse * Fallbeschleunigung ergibt sich:
E = F * s = m * g * s = 50 kg * 9,81 m/s2 * 2 m = 981 Ws
Das ist schon mal ein brauchbarer Anhaltspunkt, berücksichtigt allerdings nicht, dass sich die Luft während des Aufstiegs ausdehnt, was den Auftrieb verstärkt. Der berechnete Wert würde zutreffen, wenn der Behälter nach dem Befüllen verschlossen würde. Ein besseres Ergebnis, das die Ausdehnung der Luft während des Aufstiegs berücksichtigt, kann man erzielen, wenn man das mittlere Volumen der Luft beim Aufstieg ermittelt. Da sich die Luft während des Aufstiegs von 50 Liter auf 60 Liter ausdehnt, beträgt das mittlere Volumen (50 Liter + 60 Liter) / 2 = 55 Liter, entsprechend ca. 55 kg verdrängten Wassers. Mit diesem Wert kann man die Rechnung nun wiederholen:
E = 55 kg * 9,81 m/s2 * 2 m = ca. 1079 Ws
Da diese Energiemenge in einer Minute anfällt, kann man daraus die Leistung berechnen:
P = E / t = 1079 Ws / 60 s = 17,98 W
Dieser Wert weicht nur minimal von dem mit exakten Formel berechneten Wert von ca. 18,23 W ab.
Es sollte offensichtlich sein, dass es im Prinzip egal ist, wie gross man den Behälter wählt. Würde z.B. man einen kleineren Behälter nur 10 s (1/6 von 60 s) lang befüllen, hätte er anschliessend auch nur 1/6 der Auftriebskraft, und daraus folgend 1/6 der potenziellen Energie. Bei der Ermittlung der Leistung stände der Faktor 1/6 sowohl im Zähler als auch im Nenner, und würde sich deshalb herauskürzen.
Bisher wurde angenommen, dass der Behälter in der gleichen Zeit aufsteigt, die seine Befüllung in Anspruch genommen hat. Würde man den Behälter schneller aufsteigen lassen, würde sich zwar die Leistung vergrössern, es entstände allerdings eine Lücke, bis der nächste Behälter fertig befüllt ist. Die Durchschnittsleistung bliebe gleich.
Würde man den Behälter über eine längere Zeit aufsteigen lassen, als seine Befüllung in Anspruch genommen hat, wäre der nächste Behälter bereits fertig befüllt, bevor der erste Behälter die Wasseroberfläche erreicht hat. Bei diesem Szenario könnte man also mehrere Behälter gleichzeitig aufsteigen lassen. Ich schlage vor, sich die Behälter in diesem Fall nebeneinander statt wie beim Auftriebskraftwerk untereinander vorzustellen, weil die Zusammenhänge dadurch m.E. besser verständlich sind.
Würde man die Behälter z.B. in der doppelten Zeit aufsteigen lassen, die ihre Befüllung in Anspruch nimmt, wäre die Befüllung des zweiten Behälters abgeschlossen, wenn der erste Behälter die Hälfte der Strecke bis zur Wasseroberfläche zurückgelegt hat. Ab diesem Zeitpunkt würden beide Behälter gleichzeitig aufsteigen. Sobald der erste Behälter die Wasseroberfläche erreicht hat (und der zweite die Hälfte der Strecke) wäre der dritte Behälter fertig befüllt, und könnte den ersten Behälter "ablösen". Es würden also kontinuierlich zwei Behälter gleichzeitig aufsteigen. Ein Gewinn wäre das allerdings nicht. Die Formel zur Ermittlung der Leistung würde in diesem Fall zwar die Summe der Leistung zweier Behälter umfassen, allerdings stände im Nenner jeweils die doppelte Zeit, es würde sich also zwei mal die halbe Leistung ergeben. Die effektive Leistung bliebe wiederum gleich.
Das letztere Szenario entspricht dem, was bei den Rosch Auftriebskraftwerken geschieht. Z.B. bei der 2-m-Anlage beträgt die Befüllungszeit eines Behälters ungefähr 3,33 s, die Aufstiegszeit ungefähr das 8-fache davon (eine knappe halbe Minute). Die Energie, die dem Behälter in 3,33 s zugeführt wurde, wird in der 8-fachen Zeit freigesetzt, was 1/8 der zugeführten Leistung entspricht. Dafür steigen 8 luftgefüllte Behälter gleichzeitig auf, wodurch sich als Ausgangsleistung 8 * 1/8 der Eingangsleistung (natürlich abzüglich Verlusten) ergibt.
Ich hoffe, die beschriebene vereinfachte Rechnung hat gezeigt, dass die von der exakten Leistungs-Formel gelieferten, sehr niedrigen maximal möglichen Ausgangsleistungs-Werte leicht nachvollziehbar und überprüfbar sind.
