Newtonsche Mechanik

@HYPATIA

HYPATIA schrieb:Ich glaub hast da irgendwas falsch Verstanden. Der Energie-Impuls-Tensor T kann verschwinden, der Raum kann aber trotzdem gekrümmt sein.

Wir kriegen das schon hin, schau mal.

Z. schrieb: Und da wir "u.a K" in letzterer gezeigter Ableitung (K-Konstante) in der Gleichung stehen haben, ergibt sich "immer" eine gekrümmte RZ (Aktuell). Ich wollte ja gerade auf die Krümmungeigenschaften der RZ hinaus....

Z. schrieb am 31.08.2013:Und da du diese Aussage ja scheints auf Basis des deinigen "Beweises" 1+1=0 gewonnen hattest, kam mir die Idee doch mal abzufragen was du über die Materiefreie RZ so zu sagen hast. Insofern ob es etwa.... auch dort bei deiner 0 bleibt. :)

Zusatz: ich vertrete hier sozusagen das ""Gegenteil"" der 0 und fand, da die Anspielung algebras1 seine "KÖper" betreffend deren 1+1=0 ergeben**.. inkl. der damals gefolgten, sagen wir, vorwitzigen Art mir ein "schwätzen" über G-RZ unterzuschieben** ... (beiderseits natürlich nicht böse gemeint...)

(denn er weis ja "sehr wahrscheinlich", das ich im Forum schon des längeren Materiefreie/Massefreie RaumZeitkrümmungen --> zB. ua. als Ersatz für DM <---- postuliere und dies "unter anderem (seit Jahren)" mit den Brillschen Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen untermauere, deren Masse im unendlichen zu suchen ist, und zudem reine Gravitationspotentiale die eben wie bei Brill durch die RZ propagieren können und sich zudem noch in einem "Energiefreien Raum" zu SL aufbauen, wenn sie nicht schon direkt das Potential haben... Zudem das bei UK entsprechende G-RZ direkt entstanden sind die letzendlich für die Strukturierung des Universums sorgten etc....))

.....beides** natürlich ein gute Gelegenheit für mich darstellte, algebra1 mal abzufragen was er vom Ricci-Tensor hält, der eben in der Form hier... Ruv² = 0 (²bitte die Darstellung zu erlauben) noch arg Bearbeitungswürdig ist, sodas er nicht auf die falsche Spur führt****, (****etwa wen EIT = 0, gleichzeitig auch eine ungekrümmte RZ anzunehmen) bevor er die dargestellte³ (³oben zum eigenen Post verlinkt, bitte dort die "vorläufig Endgültige" Fassung ansehen) Form erreicht...etc..

Wir kriegen das schon hin. Ich bitte um Geduld mit mir, ich bin ein komischer Kauz manchmal und wirke stressig, bin aber real ganz lieb... ;) Ist halt die Waldfunktion wies rein so raus.... die übertrieben wirken kann...Danke das du dir die Mühe machst... LG.

@mojorisin

Schnell noch zu deinem Post....

mojorisin schrieb:Es gibt Ansätze die Schrödingergleichung auf dem Hintergrund gekrümmter Räume anzuwenden? Soweit mir bekannt ist kann man anhand der Schrödingergleichung noch nicht mal Spins beschreiben.

Bitte entschuldige mich das ich nur darauf kurz eingehen kann. Während ich "freundschaftshalber" hoffe das du das andere, persönliche Geschwaffel, von mir so verstehen konntest wie ich es meinte...
Nett und synergetisch angestrebt.

Hier hab ich dir gerad was rausgesucht..... kurz aber aufschlussreich..is natürlich nich so ganz einfach aber.... muss Essen und so...
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quantentheorie/QG/ (Archiv-Version vom 29.04.2014)

Über die Einsteinschen Feldgleichungen (die wir hier nicht aufschreiben) koppelt sie (in nichtlinearer Weise) an jede Form von Energie, ist also in gewisser Weise "omnipräsent". Diese Koppelung wird populär als "Materie krümmt die Raumzeit" ausgedrückt. Damit wird die Struktur der Raumzeit - die sowohl in der Speziellen Relativitätstheorie als auch in der Quantentheorie eine fix vorgegebene Hintergrundstruktur ist - zu einer dynamischen Variable.

Schließlich spielt die Gravitation über große Distanzen die dominante - strukturbildende - Rolle (wohingegen die elektrische Kraft aufgrund gegenseitiger Abschirmeffekte positiver und negativer Ladungsträger in kosmologisch relevanten Entfernungen praktisch auf Null absinkt). Weiters ist das Universum ein "geschlossenes System", das alle möglichen Beobachter beinhaltet. Daher ist muß jede Quantentheorie des Universum als Ganzes (Quantenkosmologie) einerseits eine Quantengravitation sein und andererseits - zumindest auf der grundsätzlichen Ebene - mit einer Interpretation arbeiten, die "äußere Beobachter" vermeidet.

Dynamische Variable des Gravitationsfeldes


Die Feldgleichungen bewirken eine wohldefinierte klassische Zeitentwicklung für die Raumzeitmetrik 4g. Als Menge der Konfigurationsvariablen ("Ortsvariablen") kann dabei die räumliche Geometrie (kurz: 3-Geometrie 3g), die durch Einschränkung von 4g auf eine Familie von raumartigen Hyperflächen entsteht, gewählt werden. (Nach der Wahl geeigneter Koordinaten sind diese Hyperflächen durch die Gleichungen t = const gegeben. In diesem Sinn kann t als "Zeit" bezeichnet werden). Die verbleibenden in 4g steckenden Freiheitsgrade bestehen aus einem als 3π bezeichneten Tensor (er spielt die Rolle der Impulse und stellt - vereinfacht gesagt - die Zeitableitung von 3g dar) sowie einigen weiteren Variablen, die keine physikalische Bedeutung haben, sondern lediglich das verwendete Koordinatensystem (die "Eichfreiheitsgrade") charakterisieren.

Ohne auf die Details der Zeitentwicklung näher einzugehen, wollen wir nur festhalten, dass die Analyse der klassischen Theorie die 3-Metrik 3g als die "Ortsvariable" einer quantenmechanischen Wellenfunktion des Gravitationsfeldes nahelegt. Demnach wäre der quantenmechanische Zustand des Gravitationsfeldes ein Funktional ψ ≡ ψ[3g], in Analogie zur vertrauten Wellenfunktion ψ ≡ ψ(x) für ein System mit Ortsvariable(n) x. Folglich besitzt die 3-Geometrie (und daher auch die 4-Geometrie, die neben 3g auch von den entsprechenden Impulsvariablen und den Eichfreiheitsgraden abhängt) keinen eindeutigen, scharfen Wert.

Zur Rolle der Zeit in der Quantentheorie


Die Struktur der Quantentheorie beruht auf der unitären Zeitentwicklung von Zuständen. Die Wellenfunktion eines Systems hängt folglich von der Zeit t als Parameter ab. Formal kann man das als ψ ≡ ψt(x) schreiben, um die unterschiedliche Rolle von t und x zu verdeutlichen. Für einen gegebenen Wert von t beinhaltet sie die für Voraussagen von Beobachtungen, die zur Zeit t gemacht werden, notwendige Information. (Dasselbe gibt für die Beschreibung durch eine Dichtematrix). Der Zustand kann zu einer beliebigen (Anfangs-)Zeit vorgegeben werden und wird mittels eines unitären Operators zu späteren Zeiten "propagiert": Ut: ψo → ψt. Die "infinitesimale" Version dieses Vorgangs ist gerade die (zeitabhängige) Schrödingergleichung.

(Von mir Z. ...und so weiter.....___>)

Dabei muß der Parameter t durchaus keine absolute physikalische Größe sein: In der auf der Speziellen Relativitätstheorie basierenden Quantenfeldteorie stellt sie die Koordinatenzeit eines beliebigen Inertialsystems dar. (Durch spezielle Zusatzforderungen wird dann sichergestellt, dass eine derartige Beschreibung der Natur vom verwendeten Inertialsystem unabhängig ist).

Falls die Raumzeit nicht flach, sondern gekrümmt ist, aber eine fixe Hintergrundstruktur bildet, kann an die Stelle der "Hyperebenen" t = const auch eine Familie von raumartigen Hyperflächen treten (Quantenfeldtheorie in gekrümmten Raumzeiten, z.B. Hawking-Effekt).

Die Rolle der Zeit in der Quantengravitation


Ist allerdings die Geometrie der Raumzeit selbst eine dynamische Variable, so entsteht ein großes Problem: Wir haben oben erwähnt, dass die klassiche Variablenstruktur der Alllgemeinen Relativitätstheorie eine Abhängigkeit der Wellenfunktion des Gravitationsfeldes von der räumlichen Geometrie nahelegt. In Analogie zur herkömmlichen Quantentheorie könnte also eine "zeitabhängige Wellenfunktion" ψ ≡ ψt[3g] erwartet werden: sie stellt die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die 3-Geometrie auf der zum Parameterwert t gehörenden raumartigen Hyperfläche dar. (Hinzu treten noch Variablen, die die Materie beschreiben, und die wir der Einfachheit halber nicht eigens anführen). Nun kann das aus mehreren Gründen nicht der Fall sein:

Um aus einer Wellenfunktion dieses Typs physikalische Voraussagen zu extrahieren, müßte zunächst der Wert von t angegeben, d.h. eine raumartige Hyperfläche spezifiziert werden. Wie kann aber in einem solchen Zustand vorab festgestellt werden, ob eine Hyperfläche (also eine dreidimensionale Fläche in der Mannigfaltigkeit M ) raumartig ist? Weder die 3-Geometrie noch die volle 4-Geometrie besitzen scharfe Werte! Selbst die Entscheidung, ob zwei Raumzeit-Punkte (a, b ∈ M) zeitartig, lichtartig oder raumartig zueinander liegen, hängt von der Geometrie ab, in der diese Frage gestellt wird - sie ist also gar nicht beantwortbar, solange verschiedene Geometrien zu einem Zustand beitragen. Daher ist es konzeptuell gar nicht möglich, eine Wellenfunktion der Form ψ ≡ ψt[3g] auf die herkömmliche Weise zu interpretieren.

Das läßt sich auch so ausdrücken: Was als "Zeit" bezeichnet werden kann, bestimmt erst die Metrik. Daher ist ein Objekt der Form ψt[3g] sinnlos.

Bis später. LG Z.

@HYPATIA
Guten Morgen. :)

HYPATIA schrieb:Aber wie hier im Thread schon oft genug gesagt wurde, ohne vernünftige Mathematikkenntnisse bringt das hier einfach nichts. Es gibt die unterschiedlichsten Mannigfaltigkeiten, manche eben, manche gekrümmt, manche unendlich, manche endlich und ohne Mathe kann man die einfach nicht verstehen, weil es rein abstrakte Objekte sind.

Sagen wir so, was man nicht weiß kann man nicht vergessen?

Natürlich kann man einen mathematischen Formalismus nicht wirklich durchschauen, wenn man keine mathematischen Kenntnisse hat. Genauso wenig man mit einem Chinesen chinesisch reden kann, wenn man kein chinesisch spricht (besser genau das Chinesisch des Gegenübers)....

Allerdings kann man sich dennoch verständigen, auch wenn man nicht die selbe Sprache spricht! Erweiterungen die nun behaupten das letzteres, selbst wenn, nur bedingt Sinn mache, da es im Höchstfalle jeweils nur , sozusagen, eine "grobe Umschreibung" des eigentlichen transportieren könne, ohne jemals das "exakt selbe" zur Behandlung zu bekommen**, sehe ich aber aus diversen Gründen dergleichen Problematisch.

Und zwar genau dann...., selbst wenn man obiges ** Begründen mag indem man die selbe Sprache zu sprechen "scheint", sich demzufolge untereinander tiefergehend auszutauschen vermag,.... aber letztendlich trotz der selben Sprache, eben dennoch "Nichts" ausser bereits bekanntes dabei herauskomme. In so fern ist es "jeder Sprache" eigen, das sie irren, sich verlieren, nicht das angestrebte Ziel vermitteln kann, selbst wenn sie gegenseitig exakt verstanden geglaubt zu einem "Instrument" wird.

Ich sags mal so, gerade "weil es rein abstrakte Objekte sind" (Zustände), die man nicht nur zu kommunizieren sondern auch "zu finden versucht", kann es dergleichen von Vorteil sein, eben nicht die "exakt selbe" Sprache zu sprechen. Es kann sogar hilfreich sein, apriori nicht die exakt selbe Sprache zu beherrschen um eben genau das "Abstrakt Neue" zu finden³, was allein anhand der "selben Sprache" womöglich nicht resultieren würde, wenn es nicht apriori erst "an sich gefunden" wird. Mal von "allen" zusätzlichen psychologischen Problemstellungen und daraus folgenden Argumenten abgesehen, die kursieren, selbst wenn "eine" Sprache beherrscht zu werden geglaubt wird....

Denn es ist imo zu vermuten, das dass was als "zu finden gilt", wesentlich abstrakter ist als jede bisherig "entwickelte Sprache". Will oder soll man denn immer auf "einen ganz bestimmten" warten, der das gesuchte gefunden hat, um es dann hoffentlich in die Sprache zu quetschten die man selbst verstehe? Oder besser, ist man denn "nur noch" der Überzeugung das etwas Neues nur dann zu finden sei, wenn die selbe Sprache auf der Suche danach angewandt würde und nur der das gesuchte finde der sie auch exakt verstehe....!? :)

http://abenteuer-universum.de/bb/userfiles/sinnvolle_Loesungen_der_einstein_feldgleichungen.pdf

Die hier angewandte Methode, bei der physikalisch sinnvolle Lösungen der Einstein
Feldgleichungen gefunden werden, zeigte die Fähigkeit mit modernen Rechnerhilfsmitteln
solche Lösungen zu finden. Das war zur Zeit Einsteins einfach nicht möglich. Trotzdem war
Einstein auf dem richtigen Weg, jedoch verrechnete sich der gute mann einigermaßen häufig,³ was ihm bis heute von einigen Leuten Zweifel an seinen Theorien anhängen läßt.
Diese Zweifel sind jedoch -zumindest aus jetziger Sicht- völlig belanglos:
Denn Einsteins Methodik war einfach gesagt: GENIAL!!!

³ von mir.

Und wie heist es doch in Wiki so schön zur Methodik:

„Hinwege“ zu einem Ziel.

Der eben in gewissen Fällen ein ganz "eigener" sein kann! :D

Letzteres noch kurz vertiefend:

»Ach, der Einstein? Der schwänzte doch immer die Vorlesungen – dem hätte ich das gar nicht zugetraut.« Diese Worte soll – ziemlich sicher verbürgt – Hermann Minkowski zu seinem Assistenten Max Born (1882–1970) geäußert haben, als er überraschenderweise von Einsteins spezieller Relativitätstheorie Kenntnis erhielt.
Denn als Minkowski Mathematikprofessor am Züricher Polytechnikum war, studierte dort ab 1896 Albert Einstein (1879–1955) mit der Absicht, Physiklehrer zu werden; jedoch betrieb er sein Studium durchaus nicht in der üblichen Manier, insbesondere die mathematischen Vorlesungen vernachlässigte er in auffälliger Weise. Einstein hat in späteren Jahren sehr wohl eingesehen, dass die Vernachlässigung der höheren Mathematik in seiner Studienzeit ein großer Fehler war und er sah sich dann genötigt, seine mathematischen Kenntnisse nachträglich zu erweitern.

(kursive gestelltes sollte in zeitlicher Reihenfolge, nach dem eigentlichen "Finden der Sache" an sich gesehen und ins jeweilige Denkschemata, bzgl. dem Ablauf kausaler Ereignisse, intergriert werden. Zudem kann es als persönliche Interpretation gesehen gelten;) )

Nun folgt im Text des weiteren :

Als Minkowski von Einsteins Arbeit »Zur Elektrodynamik bewegter Körper« erfuhr, besorgte er sich 1907 einen Sonderdruck; er fand die »Darstellung seiner tiefsinnigen Theorie mathematisch umständlich und formal verbesserungswürdig.« Eine solche Verbesserung hat er selbst vorgenommen und bis 1908 eine neue mathematische Einkleidung der speziellen Relativitätstheorie erarbeitet. Dazu benutzte er einen bemerkenswerten Kunstgriff: Neben den drei Raumkoordinaten x1, x2, x3 führt er als vierte, völlig gleichberechtigte Raumkoordinate die Zeit ein, und zwar durch



(t = Zeit, c = Lichtgeschwindigkeit) und erhält so eine vierdimensionale Raum-Zeit-Welt (sog. »Minkowski-Welt«) mit der »Metrik«

Da haben wir aber nochmal Glück gehabt Herr Einstein!?
Nun Minkowski brauchte erst Einsteins "Gedankenchaos" um auf das wünschenswert "NEUE" zu kommen. Gut das er ein Mathegenie war nicht?

So nun stör ich diesen Thread nicht mehr. Denn meine mir von algebra1 erhofte Antwort, bzgl der möglichen Zustände der RZ, selbst wenn keine Energie anliegt, habe ich ja von euch bekommen.
Und ehrlich gesagt bin ich froh das wir uns da sozusagen "einig" sind.

Herzliche Grüsse

Srry obiger "Text" ist etwas holprig, verzeiht mir dies bitte.

wie hier allg

@Allg.
hatte vergessen in der Eile...
http://edoc.hu-berlin.de/cmsj/27/biener-klaus-77/HTML/22.xml
Link zu Minkowski/Einstein.
Und letzter Post: es sollte "fast einig" heissen.
Das wars aber auch schon..
LG

Z. schrieb:Allerdings kann man sich dennoch verständigen, auch wenn man nicht die selbe Sprache spricht!

Wie so häufig, wenn die Wissenschaft ihre Tätigkeit euphemistisch der Öffentlichkeit darstellt, werden die Vergleiche völlig falsch aufgenommen. Natürlich spricht man gerne davon, dass die Mathematik "die Sprache der Naturwissenschaften" sei. Aber das ist Unsinn. Die Mathematik ist ein fundamentales Werkzeug, das absolut unersetzbar ist, weil es nichts gibt, das sich mit ihr vergleichen ließe. Sprachen lassen sich austauschen, in den meisten Sprachen kann ich fast alles transportieren was ich mitteilen will. Aber es gibt keinen Ersatz für die Mathematik, die in ihrem Kern die Verallgemeinerung von Logik ist.

Versuch mal mit jemandem logisch zu argumentieren, der von Logik nichts versteht. Hier auf Allmystery wirst du genügend Testpersonen dazu finden. Egal in welcher Sprache du mit solchen Personen argumentierst, du wirst niemals deinen Standpunkt vermitteln können, weil die Logik kein Mittel zur Kommunikation ist, sondern der fundamentale Mechanismus deiner Denkweise.

Ebenso verhält es sich mit der Mathematik. Man kann sich auf Englisch, Spanisch oder Chinesisch über Physik unterhalten. Aber ohne die Zahnräder der Mathematik, die die Wissenschaft zusammenhält ist das nicht möglich.

@HYPATIA
Nicht möglich würde ich eben nicht sagen. Das klingt alzu dem selbst von dir angebrachten "abstrakten" widersprechend. Und der Vergleich hier im Forum mit der Logik, hmm das kann man auf die ganze Welt anwenden, die Ableitung nur auf diesen Ort zu beziehen wäre als ob man einen Trugschluss, nicht auch sich selbst zugestehe. (mM.) Wie nur der Mathematik zu unterstellen, das alleine sie die Lösung zum gesuchten liefern könne. Apriori ist es das Gehirn und hier kann man nicht so einfach sagen, eine gewünschtes Resultat folge alleine aus der richtigen Anwendung der Mathematik. Viele beherrschen die Mathematik sicher auf schönste, doch sind Lösungen zu gesuchten Problemstellungen deswegen, nur ein Problem der Wahrscheinlichkeit, irgendwann gefunden werden zu können? Ich denke es ist mehr als Mathe, wenn sie auch ein unabdingliches Werkzeug darstellt das die ULTIMATIVE sein mag, das zu findende "transportieren" zu können.

Denke bitte nicht das ich dir widerspreche, ich "versuche" zu ergänzen, wie es mir gegeben ist.
Und die Hoffnung, selbst wenn einige nicht der Logik mächtig sind (mich inklusive) von der DU sprichst, ist die die ich in den Menschen selbst habe. Nur aus diesem kann die Antwort entspringen Irgendwann ist es nicht mehr "Logik"..... irgendwann ist es nur noch Denkbar!
LG

@Z.

Z. schrieb:Vermissen tue ich allerdings immer noch die Antwort von algebra1... Egal.

Keine Sorge, darüber können wir schon noch diskutieren, nur muss sicher gestellt sein, dass wir beide die selbe Sprache sprechen :), ansonsten verstehst Du nicht was ich den überhaupt versuche zu erklären, ich denke, dass müsste für dich machbar sein.
Ich bin guter Dinge, da ich denke, dass dich das Thema wirklich interessiert und Du auch gewillt bist, die analytischen Zusammenhänge zu verstehen. Hast Du die lineare Algebra (dass ist das Studium der linearen Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen) geistig durchdrungen, ist das schon mal eine wesentliche Grundlage für das Verständnis der Quantenmechanik. Für die Allgemeine RT braucht man jedoch noch deutlich mehr Mathematik, im jedem Fall jedoch auch Lineare Algebra.
Deshalb ist meine Frage an Dich, ob Du überhaupt Interesse an einer solchen, umfangreichen Ausführung hast, zweite Frage, hast Du in Ungefähren verstanden, was eine Differentialgleichung ist ?

Kurze Nachfrage, ohne den Sinn des Threads unnötig aufzublähen.

HYPATIA schrieb:Für unser Universum benötigt man ja extra zusätzliche Terme (dunkle Energie/dunkle Materie) um die ein geeignetes Modell zu erhalten. Das ist alles andere als eine Vakuumlösung ;)

Du sprichst vom Framework ART, mit welchem Therm sollte sich dunkle Materie aus der ART ergeben und aus dieser Sicht einen Beitrag zum Modell Universum leisten können?

@HYPATIA

@mathematiker
Guten Morgen (habe hier eine andere Zeit).

mathematiker schrieb:Deshalb ist meine Frage an Dich, ob Du überhaupt Interesse an einer solchen, umfangreichen Ausführung hast,

Habe und hatte ich schon immer, aber nicht im Bezug auf das "hier" von mir angefragte. Was ich wollte, hab ich ja nun wirklich reichlichst "wundgeschrieben". Und in dem Umfange wie es angefragt war, wurde es von @HYPATIA ja fast gänzlich beantwortet. In so fern ist die Deine Antwort, die immer noch nicht kam und schon wieder im Abfragen endet, anscheinend nur unter spezifischen Bedingungen zu erhalten, die den von mir gesetzten Zeitrahmen (im Moment) sprengen würden (bereits gesprengt haben).

Ich bin jedoch wie gesagt sehr dafür das man hier einmal ausführlich SRT und ART behandelt.
Nur da kommen wir wieder bei "den Vorschlägen" an die ich erstmalig einfließen ließ, um allgemeiner Verständlichkeit eine Möglichkeit einzuräumen und die Sache für den Leser so plastisch und interessant rüber zu bringen wie sie ist. Ich denke das kann SO wie bisher kaum bewältigt werden.

Differentialgleichungen?

Ungefähr 284.000 Ergebnisse (0,12 Sekunden)

Meinst du die?
NG

@Z.

Z. schrieb:Ich bin jedoch wie gesagt sehr dafür das man hier einmal ausführlich SRT und ART behandelt.
Nur da kommen wir wieder bei "den Vorschlägen" an die ich erstmalig einfließen ließ, um allgemeiner Verständlichkeit eine Möglichkeit einzuräumen und die Sache für den Leser so plastisch und interessant rüber zu bringen wie sie ist. Ich denke das kann SO wie bisher kaum bewältigt werden.

Gut, dann ist es aber klar, dass man bei der SRT anfangen muss, viele der Konzepte der SRT lassen sich dann in der ART verallgemeinern.
Auch da müssen wir mit dem Studium der Linearen Algebra anfangen, die ist für die gesamte Physik unerlässlich :).

Differentialgleichungen?
Ungefähr 284.000 Ergebnisse (0,12 Sekunden)
Meinst du die?
NG

Ja, natürlich. Darüber habe ich ja einen kurzen Text verfasst, eine Seite zuvor;

Es geht um das allgemeine Prinzip einer Differentialgleichung, denn zu Dieser Art von Gleichung gelangst Du auch, wenn Du R_(µv) = 0 setzt.

Eine Differentialgleichung setzt die Ableitung(en) einer Funktion f nach einem oder mehrerer Ihrer Argumente mit der Funktion f in Verbindung. Die Lösung von Differentialgleichungen sind jedoch keine Variablen (wobei dies auch sein kann), sondern differenzierbare Funktionen

Einfaches Beispiel, aus der Mittelstufe bekanntes Beispiel, das Wachstumsgesetz;

http://www.zahlen-kern.de/editor/equations/sgf.png

sgg ; (1)

Diese lineare DGL erster Ordnung wird gelöst mit (ohne jetzt auf die Lösungstheorie einzugehen);

sgj

einsetzten in (1) zeigt die Identität.

Ich bin im Moment noch am überlegen, ob ich einen neuen Lineare Algebra Thread starte oder hier gleich anfange, mal schauen. Zweifelsfrei wird das jedoch ziemlich umfangreich, dass ist für das Verständnis jedoch unerlässlich.

Edit; Die Gleichungen wurde leider nicht beim kopieren übernommen, man findet den text jedoch eine Seite zuvor.

@boostinvariant
Das kann ich dir garnicht so genau sagen, weil ich mit Kosmologie nicht wirklich was zu tun hab, ART hatten wir bloß mal im Studium angeschnitten. Ich hab dunkle Materie jetzt einfach mit dazu geschrieben, weil ich davon ausgeh, dass über ein Viertel der Energie im Universum nicht vernachlässigbar ist :engel: Zur Not benutzt man für Berechnungen einfach mehr Masse als nur die Beobachtete, dann sollte das Modell stimmen, inklusive Berücksichtigung der dunkle Materie. Ich rate also, dass sie in den EIT kommt. Aber sonst... Kein Plan :P:

@Z.
@mathematiker

Also wenn hier ein Thread gestartet wird zur Einführung der ART über die SRT dann bin ich dabei, aber ob das in dem Rahmen etwas wird, bin bin ich mehr als skeptisch. Aber ich lasse mich gerne positiv überraschen ;)

@mojorisin

mojorisin schrieb:Also wenn hier ein Thread gestartet wird zur Einführung der ART über die SRT dann bin ich dabei, aber ob das in dem Rahmen etwas wird, bin bin ich mehr als skeptisch. Aber ich lasse mich gerne positiv überraschen ;)

Selbst wenn wir nur wenige Diskutanten sind, denke ich, dass sich ein derartiger Thread lohnen wird. Für mich selbst eher weniger, ich hätte lieber mit QM angefangen, da ich die Defizite die ich dem Bereich der Physik habe gerne noch beheben würde, SRT bringt mir persönlich nicht so viel. Wenn Du, @HYPATIA und @Z. jedoch dabei sind, würde ich darüber einen Thread beginnen. Erst einmal müssen jedoch die Prinzipien der dahinter stehenden Mathematik durchgearbeitet werden, zur Physik gedenke ich erst wesentlich später zu kommen.

@mathematiker

mathematiker schrieb am 02.09.2013:Hast Du auch Mathematik studiert ?

An der HU Berlin, ja...

mathematiker schrieb:Für die Allgemeine RT braucht man jedoch noch deutlich mehr Mathematik, im jedem Fall jedoch auch Lineare Algebra.

Insbesondere braucht man für die ART fundierte Kenntnisse in Differentialgeometrie und Analysis auf Mannigfaltigkeiten. Und das ist alles andere als leichte Kost... x.x

Lineare Algebra verhält sich zur ART in etwa wie die Grundrechenarten zur Linearer Allgebra. Da gibt es halt gewisse Basics die einfach sitzen müssen...

Geht es hier eigtl. noch um Newton'sche Mechanik? Als nächstes wäre dann wohl ein kleiner Exkurs zu potentieller und kinetischer Energie dran, oder...? :)

@mojorisin
@mathematiker

Hallo. Bin gern mit dabei. Nur gerade diese Woche kann ich mich leider nicht gross beteiligen. Aber ich kann sicher was lernen die Mathe betreff. Ich frag dann einfach....

@Noumenon

Noumenon schrieb:Als nächstes wäre dann wohl ein kleiner Exkurs zu potentieller und kinetischer Energie dran, oder...?

Find ich auch, wäre ein ausgezeichneter Weg Newtons Gedanken... fortzuführen.
LG

Noumenon schrieb:Geht es hier eigtl. noch um Newton'sche Mechanik? Als nächstes wäre dann wohl ein kleiner Exkurs zu potentieller und kinetischer Energie dran, oder...?

Geschenkt ;)

Fangen wir mal mit dem zweiten Newtonschen Gesetz an:



Als erstes halten wir als Notation fest, dass fett geschriebene Größen Vektoren sind. Sie haben also eine Richtung und eine Länge, denn wir reden hier auf jeden Fall von den geometrischen Vektoren als Objekte des R³. Man kann sie sich also prima als kleine Pfeile vorstellen.



Normal geschriebene Variablen sind dagegen Skalare, also ganz normale reelle Zahlen.

Pflücken wir damit also das 2.NG mal auseinander. Als erstes fallen die Brüche der Form



auf. Dabei handelt es sich um eine Ableitung. Ableitungen beschreiben die Änderungsrate einer Größe, wenn eine andere Größe verändert wird. Der Bruch oben ist zu lesen als "Ableitung von x nach y" und gibt mir an, wie stark sich die Größe x verändert wenn ich y um eine feste Rate verändere. Wichtig ist jetzt, dass diese Größenänderung erstmal nichts mit Zeit zu tun hat. Wir leiten ja nach y ab, und y kann auch eine andere Größe als die Zeit sein. In diesem Fall wird nach y abgeleitet, aber der Bruch kann von der Zeit abhängen, was mit (t) markiert wird.

Die wichtigsten Ableitungen die wir brauchen sind folgende Zusammenhänge:





Die Größe r ist der Ort eines Teilchen, v ist seine Geschwindigkeit und a die Beschleunigung. Die Geschwindigkeit ist also die zeitliche Änderungsrate des Ortes und die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Damit können wir die 2.NG jetzt verstehen. Zuerst schauen wir uns nur die gelben Terme an, das sollte jeder schonmal irgendwie gesehen haben: F=ma. Wir setzen uns jetzt aber mal mit den Größen genauer auseinander:

Die Größe a ist wie gesagt die Beschleunigung. An der Fettschrift erkennt man, dass die Beschleunigung ein Vektor ist, er hat also Richtung und Stärke. Direkt daneben findet sich die Masse m, die ein Skalar ist, also eine einfache Zahl.

Die Eigenschaften m und a sind an das Teilchen gebunden und werden jetzt mit dem aufwendigeren Ausdruck



gleichgesetzt. Dieses Objekt ist etwas interessanter. F ist offensichtlich ein Vektor (wieder zu sehen am fetten Zeichensatz), denn auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens ist ja auch ein Vektor. Nun hängt F(r) aber von einem weiteren Vektor ab, nämlich wiederum vom Ort r.

Eine solche Konstruktion nennen wir Vektorfeld. Abstrakt gesprochen handelt es sich um eine Abbildung von R nach R³, und anschaulich gesprochen sind es einfach jede Menge Pfeilchen, die im Raum verteilt sind. Weil F jetzt also ein Vektorfeld ist sprechen wir der Einfachheit halber von einem Kraftfeld.

Kommen wir nun kurz zu den beiden weißen Termen in der 2.NG:
Der linke ist die Ableitung des Impulses p nach der Zeit. Das ist eine etwas allgemeingültigere Formulierung als F=ma, aber braucht uns hier nicht weiter zu beschäftigen. Wenn man die Änderungsrate des Impulses betrachtet erhält man halt eine elegante Definition für Kräfte, die dann auch noch in der Relativitätstheorie gültig ist.
Der rechte der beiden weißen Terme ist eine Ausformulierung von ma, wir sehen dort einfach die zweite Ableitung des Ortes, womit wir wieder bei der Beschleunigung a landen. An der Stelle möchte ich nochmal darauf verweisen, dass die Ableitung kein normaler Bruch ist. Es handelt sich lediglich um eine historisch bedingte Schreibweise, auf keinen Fall darf man mit den d's wie mit normalen Variablen herumrechnen.

Nun schauen wir uns mal die Gleichung etwas auseinandergerupft an:



Der Ort r ist jetzt komponentenweise geschrieben, d.h. x,y und z sind die drei Raumkoordinaten und bilden als solche die Elemente des Vektors r. Außerdem habe ich Ableitungen als Punkte über der entsprechenden Größe markiert, damit nicht überall die Brüche rumfliegen.

Was wir hier sehen ist eine (möglicherweise gekoppelte) Differentialgleichung. Die Größen x,y und z kommen sowohl normal vor (als Parameter für das Kraftfeld) als auch abgeleitet (in diesem Fall zweifach abgeleitet als Beschleunigung). (Ableitung = Differenzierung)

Wir können also erstmal nicht sagen, wie sich das Teilchen bewegt. Wir kennen aber diese Differentialgleichung die uns einen Zusammenhang zwischen dem Ort und Beschleunigung erzeugt. Diesen Zusammenhang kann man benutzen um mit raffinierter Mathematik Bahnen von Teilchen vorauszusagen. Dazu müsste man aber die genaue Beschaffenheit des Teilchens kennen (in diesem Fall die Masse) und auch das Kraftfeld müsste bekannt sein.

Diese Differentialgleichung ist das, was wir als "Naturgesetz" bezeichnen würden. Es ist ein allgemein gültiger Rahmen für das Verhalten von Teilchen und als solcher sehr simpel und elegant kurz. Man kann wie gesagt diesen Rahmen benutzen um echte Beispiele durchzurechnen und explizit das Verhalten für bestimmte Situationen ausrechnen. Aber das ist nicht, was wir jetzt machen werden :)

Wir werden uns mit der Differentialgleichung an sich beschäftigten und eine interessante Eigenschaft aus ihr extrahieren. Dazu brauchen wir aber noch ein bisschen Mathematik:

Wir suchen eine elegantere Darstellung für das Kraftfeld. Momentan müssen wir uns noch mit dem Vektor r darin herumschlagen, was nicht unbedingt übersichtlich ist. Wir führen deswegen den sogenannten Gradienten ein.

Der Gradient ist eine Abbildung von einem Skalar-Feld auf ein Vektorfeld. D.h. es überführt ein Feld aus einfachen Zahlen in ein Vektorfeld. Das macht der Gradient so, dass das entstehende Vektorfeld immer entlang der größten Änderungsrichtung des Skalarfeldes zeigt. Was heißt das nun auf Deutsch?

Wenn man sich eine Wanderkarte eines Gebirges anschaut, dann hat jeder Punkt auf der Karte eine eindeutige Höhe. Die Höhe ist eine einfache Zahl, also ein Skalar. Wenn ich jetzt auf dieses Skalarfeld einen Gradienten anwende dann erhalte ich eine Karte voller Pfeile. Und diese Pfeile zeigen immer in die Richtung der stärksten Höhenänderung, also bergauf.

Ein Beispiel:



Der schwarz-weiße Hintergrund ist ein Skalarfeld, die Helligkeit ist eine einfache Zahl. Der Gradient auf dieses Skalarfeld spuckt mir dann die blauen Vektoren aus.

Den Gradienten eines Skalarfeldes rechnet man so aus:



Das umgekehrte Dreieck heißt Nabla und ist eine Abkürzung für eine Reihe von Ableitungen:



Nabla ist dabei nicht als Vektor zu verstehen sondern benutzt nur die Vektorschreibweise um möglichst kompakt den mathematischen Zusammenhang zu beschreiben. Durch die Multiplikation von Nabla mit dem Skalarfeld f entsteht ein Vektor, in dem in jeder Zeile f nach einer anderen Variable abgeleitet wird:



Und das ist der Gradient :) Sehr simpel zu berechnen, kann jeder gerne selber an ein paar Beispielen nachrechnen, dass das funktioniert.

Mit diesem Wissen wagen wir uns jetzt mal an unser Kraftfeld F(r) heran. Es wäre schön, wenn wir unser Kraftfeld als Gradienten darstellen könnten. D.h. wir suchen ein Skalarfeld, dessen Gradient uns wieder unser Kraftfeld ausspuckt. Dann müssten wir uns nämlich nicht mehr mit dem Vektorfeld herumschlagen sondern haben ein wesentlich eleganteres Skalarfeld, mit dem sich einfacher arbeiten lässt. Wir hätten also gerne eine Funktion Ψ ("Psi"), so dass unser Kraftfeld F sich als



darstellen lässt (Nicht von dem Minus verwirren lassen, das ist nur Konvention und ohne tiefere Bedeutung). Die Frage ist also, kann man jedes Vektorfeld als Gradient darstellen? Nein, leider nicht. Nur bestimmte Vektorfelder lassen das zu, man nennt diese Felder konservativ. Aber wir haben Glück, die Kräfte in der Natur sind konservativ und somit gibt es immer ein Ψ mit dem wir unser Kraftfeld darstellen können.

(>> Hier wäre natürlich einige weitere Diskussion und Vertiefung notwendig, weil das alles andere als trivial ist. Für unseren Zweck hier lassen wir das aber jetzt mal so stehen, mit dem Hinweis dass die Realität da sehr viel komplizierter aussieht, wir aber letzten Endes die Verwendung des Gradienten durchaus als legitim ansehen können, auch bei Feldern mit Rotation, weil die effektiven Kräfte in geschlossenen Systemen immer konservativ wirken)

Damit haben wir jetzt eigentlich alles zusammen was wir brauchen. Schnappen wir uns also nochmal die 2. Newtonsche Gleichung:



Die Kraft ersetzen wir jetzt durch den Gradienten unseres Skalarfeldes, damit wir das Vektorfeld los werden:



Nun folgt ein kleiner Trick, wir multiplizieren die Formel mit der ersten Ableitung mit r:



Jetzt multiplizieren wir alles aus. Die linke Seite:



(Wer hier mitkommen will muss sich genauer mit Partiellen und Totalen Ableitungen auseinandersetzen). Die rechte Seite wird zu



Damit erhalten wir aus der 2.NG den Zusammenhang



Oder umgeschrieben:



Und das ist recht spannend. Es gibt eine Zahl



deren zeitliche Änderung stets Null ist. Es gibt also immer eine Kennzahl, die sich in dem physikalischen System nie verändert:



Diese Kennzahl nennen wir die Energie des Systems. Leider können wir an dieser Stelle ihre tiefere Bedeutung nicht verstehen, dazu müssten wir in die Hamilton-Mechanik einsteigen, die sich sehr viel detaillierter mit ihr auseinandersetzt. Trotzdem sehen wir ein paar interessante Dinge:

Zuerst einmal ist die Energie eine Konstante, sie kann sich nicht verändern. Wichtig dabei: Es ist völlig wurscht wie das System aufgebaut ist, diese Symmetrie haben wir aus der Differentialgleichung extrahiert (also aus dem "Rahmen"), d.h. sie Energieerhaltung ist fundamental in der Newtonschen Bewegungsgleichung verankert, nicht etwas, was extern postuliert wird.

Die Energie setzt sich aus zwei Termen zusammen, nämlich 1/2 m v² und Ψ. Der eine Wert hängt ausschließlichvon der Geschwindigkeit des Teilchens ab, der andere vom Ort im Kraftfeld. Wir nutzen diese Separation und definieren uns die beiden Terme als kinetische bzw. potentielle Energie. Besonders interessant hierbei ist natürlich Ψ, das wir zuerst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt haben, aber am Schluss noch eine physikalische Interpretation erhält. Die Potentielle Energie und ihr Zusammenhang zu Kräften wird auch immer interessanter, je weiter man in die Tiefen der Physik eindringt :)

Und damit haben wirs eigentlich, das sind die Grundlagen von Energie in der Klassischen Mechanik. Die Erkenntnis, dass es in jedem physikalischen System eine spezifische Kennzahl gibt, deren zeitliche Ableitung verschwindet kann sehr nützlich sein. Denn man kann auf diese Weise auch extrem komplizierte Systeme (wie Gase) betrachten, ohne sich mit jedem einzelnen Teilchen und jeder einzelnen Trakektorie zu beschäftigen. Wenn man den Zwang der konstanten Energie beachtet, dem das System intrinsisch Folge leistet kann man oft viele Rechnungen stark vereinfachen.

Ich seh auch grad, dass ich bei der kinetischen Energie ständig das Quadrat vergessen hab... Muss man sich halt dazudenken :D

@HYPATIA

Danke für den aufschlussreichen Text.

HYPATIA schrieb: Die rechte Seite wird zu

Den rechten Ausdruck, der ja die dreimalige Ableitung nach der Zeit enthält, erhält man ja durch INtegration, daher auch der Faktor 0.5.
Beim linken AUsdruck ist mir noch nicht so klar wie es funktioniert den Gradienten "verschwinden" zu lassen. Ich werd mich noch mal einlesen.

Gibt es noch weiteres Material zu dieser Herleitung?

Danke nochmals für den guten Post.

Du kannst die linke Seite auch anders rum herleiten. Psi ist ja eine Funktion vom Ort r und der Ort ist wiederum eine Funktion der Zeit. Wenn wir jetzt die totale Ableitung von Psi nehmen, dann müssen wir das Differential auch bis in den Ort runterziehen, d.h. also Kettenregel anwenden. Du leitest also Psi nach dem Ort ab (Gradient) und differenzierst dann den Ort als Zeitableitung nach:



Hoffe doch du kommst mit Kettenregel soweit klar. Ich weiß diese Gleichungen sehn immer schrecklich aus, aber im Grunde machst du ja bei "normalen" Ableitungen mit einfachen Funktionen auch nichts anderes:

mojorisin schrieb:Danke nochmals für den guten Post.

Gerne, ich wünschte bloß ich hätte meine Formatierungen nicht so in den Sand gesetzt. Mal Fettschrift, mal Vektorpfeilchen, das kann man sich ja nicht anschaun :D

mojorisin schrieb:Gibt es noch weiteres Material zu dieser Herleitung?

Das solltest du eigentlich in jedem Physik-Lehrbuch finden. Der Trick ist ja nur, dass man die Geschwindigkeit ranmultipliziert, der Rest ist reines Handwerk.

//Edit: Ohmann, schon wieder Formatierung versaut... Ich wünschte wirklich hier gäbe es eine ordentlichen Editor im Forum.

HYPATIA schrieb:Ich hab dunkle Materie jetzt einfach mit dazu geschrieben, weil ich davon ausgeh, dass über ein Viertel der Energie im Universum nicht vernachlässigbar ist :engel: Zur Not benutzt man für Berechnungen einfach mehr Masse als nur die Beobachtete, dann sollte das Modell stimmen, inklusive Berücksichtigung der dunkle Materie. Ich rate also, dass sie in den EIT kommt. Aber sonst... Kein Plan :P:

Ach so, ok. Vernachlässigbar ist zumindest der Effekt dunkle Materie sicher nicht. Dein Post hat sich für mich so angelesen als gäbe im Zusammenhang mit der ART einen Term mit dem sich dunkle Materie darstellen lässt. Mathematisch ist dunkle Materie Newtonsche Gravitation mit kleinen ART Korrekturen. Soweit ich weiß gibt es keine ART Korrekturterme, auch keine höheren auf Newton die dunkle Materie vollständig beschreiben könnten. Mit dem EIT, das stimmt schon, nur wird der auf großen Skalen so kompliziert das niemand mit der ART bisher rechnerisch dunkle Materie bestätigen kann. Da ebenfalls niemand weiß ob Newton auf großen Skalen hinreichend zur Beschreibung ist, habe ich wegen des Terms nachgefragt. Hätte ja sein können das es etwas neues in der Richtung gibt. Also keine große Sache, danke für deine Antwort.

@HYPATIA

Ansonsten gutes Gelingen was die Zielsetzung des Threads betrifft :P:

boostinvariant schrieb:Mathematisch ist dunkle Materie Newtonsche Gravitation mit kleinen ART Korrekturen.

Ja ich kenn das Zeug persönlich auch bloß aus der Rotation von Galaxien, aber das brauch ich auch alles ehrlich gesagt nicht ^^ Wurde einem halt alles mal vorgekaut, ob mans dann verdauen möchte oder nicht bleibt einem ja (zum Glück) immer selbst überlassen :P:

@HYPATIA

Noumenon schrieb:Geht es hier eigtl. noch um Newton'sche Mechanik? Als nächstes wäre dann wohl ein kleiner Exkurs zu potentieller und kinetischer Energie dran, oder...?

Im Grunde genommen schon, Hypatia hat ja bereits einen ausführlichen und treffenden Text dazu geschrieben. Mir fehlt momentan ein wenig die Motivation, hier weiter zu machen, ich habe momentan auch nicht mehr die Zeit ausführliche Erklärungen abzuliefern. Ich ziehe mich erst einmal hier zurück.

@HYPATIA

HYPATIA schrieb:Hoffe doch du kommst mit Kettenregel soweit klar. Ich weiß diese Gleichungen sehn immer schrecklich aus, aber im Grunde machst du ja bei "normalen" Ableitungen mit einfachen Funktionen auch nichts anderes:

Ja das hatte ich schon mal tiefergehend. Aber sitzt nicht mehr so perfekt ;)

@HYPATIA

HYPATIA schrieb:Gerne, ich wünschte bloß ich hätte meine Formatierungen nicht so in den Sand gesetzt. Mal Fettschrift, mal Vektorpfeilchen, das kann man sich ja nicht anschaun

ISt glaub halb so wild. Man sollte es mal genießen das nicht alles der Formatierung einer wissenscahftlichen Arbeit entsprechen muss. Für ne perfekte Formatierung geht ja gleich mal eineiges an Zeit drauf bis alle Fehler ausgebügelt sind. Ich wage aber zu bezweifeln das es lohnt Soviel Zeit für eine Forumsbeitrag aufzubringen. Wichtiger ist die Aussage kommt rüber ;)

@HYPATIA

So jetzt sitzt es wieder ;)



wen es noch interessiert, zur vervollständigung:


Formal nicht ganz korrekt ausgeführt, aber so erhält man die dann bekannte Formel aus dem SChulunterricht für die kinetische Energie.


Für interssierte Mitleser gibts es auch ausführlicher unter:
Wikipedia: Energieerhaltungssatz#Energieerhaltungssatz in der Newtonschen Mechanik
bzw.
http://sebastian.stapelberg.de/artikel.php?id=20130202
Hier ist diese Herleitung etwas detaillierter aufgeführt.

Eleganter geht's natürlich noch mit der Lagrangefunktion:





Und für V = V(r) gilt für den Hamiltonian: H=T+V, somit bleibt die Energie erhalten :)