@philolaos Antwort auf Frage (1a)
philolaos schrieb:1. Weil dieses Prinzip "Natürliche Zahl ist mit dem betreffenden Teiler teilbar" schon mit dem zweiten Stern 10/2 gegeben ist.
2. Weil mit dem vierten Stern alle vier Prinzipien (Verhältnis zum Teiler) erfüllt sind.
3. Weil dieser vierte Stern in mehrfacher Weise eine wichtige Schlüsselrolle zwischen dieser Geometrie und den Primzahlen spielt. Näheres dazu später.
Der Punkt 1. ist verwirrend.
Ich verstehe, dass 10/2 = 5, 10/5 = 2 und 5*2 = 2*5 = 10 ist. Das sind Rechnungen mit natürlichen Zahlen - die natürlichen Zahlen sind kommutativ erklärt - alles gut, das seh ich ein.
Aber jetzt willst du das ins die Sprache der Polygone übersetzen und das ist aus meiner Sicht unvollständig.
Die Rechnung "10/2 = 5" übersetzt sich in die Terminologie der Polygone als "Wir können 10 Punkte in 2 Teilgruppen zerlegen, sodass das Verbinden aller Punkte innerhalb der 2 Teilgruppen je ein Pentagramm liefert."
Die Rechnung "10/5 = 2" hätte ich jetzt übersetzt zu "Wir können 10 Punkte in 5 Teilgruppen unterteilen, so dass 5 Linien entstehen." - weil eben auch die Grafiken genau diese Art der Konstruktion zeigen.
Jetzt meinst du aber, dass beides das gleiche sein soll, so dass man die zweite Konstruktion unter den Tisch fallen lassen kann?
Das halte ich für falsch und inkonsistent deiner eigenen Konstruktionsvorschrift gegenüber.
Ich sehe ein, dass die Konstruktion von "10/4" und "10/6" zur Not als das selbe angesehen werden kann, weil am Ende auch das selbe Muster (2 Pentagramme) entsteht. Das ist bei "10/5" und "10/2" aber gerade nicht der Fall.
Während "10/4" mit "10/6", "10/3" mit "10/7", "10/2" mit "10/8" und "10/1" mit "10/9" eine Art Symmetrie der Konstruktionsvorschrift zeigt, so gibt es für "10/5" kein Analogon in der Sprache der Polygone - nicht mit der Konstruktionsvorschrift, die angegeben wurde.
Das meinte ich damit, dass man hier aufpassen muss, ob man mit den Zahlen selbst rechnet oder ob man mit den Polygonen "rechnet".
Denn wenn mit Zahlen die Gleichung 10 = 5*2 das selbe ist wie 10 = 2*5, und man will, dass diese Kommutativität auch in den Polygonen funktioniert, dann muss die Konstruktionsvorschrift der Polygon auch so erklärt werden, dass es dort auch funktioniert.
Und das tut es im Moment nicht.
philolaos schrieb:Zu Verbinden jeder 5. Ecke siehe Erläuterung wie oben.
Die Definition "Konstellation" bezieht sich auf diese spezielle Geometrie, welche diese genannten vier Grundtypen von Sternpolygonen erkennen lässt und die absolut deckungsgleich zur folgenden zahlentheoretischen Entsprechungen ist:
die natürliche Zahl selbst + die drei möglichen Verhältnisse natürlicher Zahlen zu ihrem Teiler.
Du definiert 4 Grundtypen - das habe ich verstanden, aber wo bleibt denn der 5. Typus der Linien?
Ich mein, ganz oben im einführenden Beispiel mit 6 tauchen die doh auch wieder auf.
Dort rechnest du da von links nach rechts "6/1", "6/2", "6/3", dabei entstehen 3 Teilkonstruktionen, die insgesamt den vollständigen Simplex zur Zahl 6 ergeben.
Da wurden die Anordnung von Linien verwendet und auch eingerechnet. Beim anschließend Beispiel der 10 plötzlich nicht mehr - und das ist die Inkonsistenz!
Das Beispiel der 6 erinnert mich an einen speziellen Typ von Zahlen, die
Wikipedia: Vollkommene Zahl , bei der ihre ganzzahligen Teiler aufsummiert wieder die Zahl selber ergeben.
Irgendwie hab ich das Gefühl du wolltest da ein ähnliches Prinzip vorführen. Aber dieser, ich nenne ihn mal "5. Typ", den du ja auch bei "2 x 2 = 4" der Kategorie "Polygon mehrfach" zuordnest, stellt dir ein Bein.
philolaos schrieb:Jetzt ist es meiner Meinung nach die Aufgabe querdenkender und neugieriger Mathematiker, die restlichen 3 Viertel Geometrie mit den entsprechenden Teilern abzugleichen, und auszuwerten.
Befassen wir uns erst einmal mit dem 1. Viertel. Da sehe ich (vgl. Anfang des Beitrags) noch eine Menge Diskussionsstoff, bevor die anderen 3 Viertel relevant werden.
philolaos schrieb:Warum?
Weil dieses erste Viertel Geometrie eine Menge über Primzahlen aussagt.
Und jetzt noch einmal die Frage:
Was sagt dieses Viertel Geometrie, was man nicht auch in der Zahlendarstellung sieht?
Ich seh es einfach nicht. Alles was bisher getan wurde, war die Quotienten von natürlichen Zahlen in ein geometrisches Schema zu übersetzen und diese Divisionstabelle mit kleinen Icons zu füllen, statt mit den Zahlenquotienten selbst.
Diese Strukturen/augenscheinlichen Muster oder spezifischen Einfärbungen waren doch vorher mindestens genauso gut zu erkennen.
Du hast ja ganz gut angefangen die Divisionstabelle einzufärben. Hast gewisse Regelmäßigkeiten gesehen. Dann kommt noch der Verweis auf das Sieb von Erathos.
Und dann geht es mit Simplexen los - erklärst immer wieder, was dich dazu bewegt in der Divisionstabelle nun diese geometrischen Figuren zu malen, anstatt die Quotienten stehen zu lassen.
Du beschreibst dann, dass du - wer hätte es gedacht - mit diesen Objekten die gleichen Muster erkennst.
Aber was ist die große Erkenntnis? Die Teilbarkeitseigenschaften von Zahlen anders dazustellen, ändert doch nicht an den Regelmäßigkeiten eben dieser, die auch schon vorher mit den Zahlenquotienten selbst zu erkennen waren?
Was siehst du - also wirklich du konkret - denn nun klarer als vorher?
Ich frage unter anderem auch, weil ich mit einer Algebra/Zahlentheorie "groß geworden bin", in der man bspw. direkt mit den Modulo-Restklassen arbeitet, anstatt sich erst die Mühe der Übersetzung in geometrische Figuren zu machen.
Und mir ist nach wie vor unklar, was diese Übersetzung gebracht haben bzw. vereinfacht haben soll.
