@BlackFlameIch beantworte nun erst mal Deine Frage, was ich mit der Systematik hinter dem Beispiel mit dem 10-Eck meine.
Nach all dem wie Du Deine Zweifel formulierst, stelle ich fest, dass ich den Sachverhalt auf meiner Seite vermutlich nicht plausibel genug dargestellt habe, bzw. mathematisch nicht korrekt beschrieben habe. Vielleicht kannst Du mir dabei helfen das zu verbessern.
Ich schlage als erstes vor, dass Du erst mal das Beispiel mit dem 10-Eck komplett außen vor lässt.
Denke Dich bitte zuerst mal in die Tatsache rein, dass alle Teilerpositionen oberhalb von 2 diesem stringenten geometrischen Bauplan folgen:
Polygon =
natürliche Zahl selbst.
Polygon mehrfach (z.B. Hexagramm) =
Natürliche Zahl, ist mit dem
betreffenden Teiler teilbar.
Sternpolygon in einem Zug gezeichnet (z.B. Pentagramm) =
Natürliche Zahl, ist mit dem
betreffenden Teiler teilerfremd,
bzw. relativ prim.
Sternpolygon mehrfach in einem Zug gezeichnet (z.B. 2 Pentagramme) =
Natürliche Zahl, ist mit dem
betreffenden Teiler nicht
teilbar, hat aber mit ihm
mindestens einen gemeinsamen
Teiler größer als eins.
Am Besten Du betrachtest einfach mal eine ganze Weile dieses Koordinatensystem mit den eingezeichneten Polygonen.
Die Farbcodierungen zeigen die Entsprechungen. Prinzipiell müssten ja die Liniensterne auch den beigen Farbton haben wie alle anderen "Polygone mehrfach". Das müsste man in der Grafik eventuell korrigieren. Gleichzeitig ist aber eben diese 2er Diagonale die wichtigste Grenze im Koordinatensystem, die ich bei kleineren Darstellungen mit dem hellen Farbton gekennzeichnet habe, das ist die Crux dabei.
Verfahre bitte mal so:
Wenn Du ausgehend von den Liniensternen ( = 2 ! ) auch die Position der beigefarbenen Sterne (Polygone mehrfach = natürliche Zahl ist mit dem Teiler teilbar) verfolgst, dann siehst Du die stringente Ordnung, welche die Liniensterne mit diesen Positionen verbindet, auf denen sich all die natürlichen Zahlen ohne Kommastellen befinden, also:
Liniensterne = 2
Dreiecksterne = 3
Vierecksterne = 4 usw....
Wenn Du das verinnerlicht hast, dann kannst Du wieder zum 10-Eck zurück.
Du schreibst von "meiner Konstruktionsvorschrift".
Da muss ich erst mal widersprechen.
Ich selbst habe ganz sicher nichts konstruiert, und irgendwie so hingebogen wie ich es brauche oder gern hätte, sondern ich habe lediglich geschaut, welche geometrischen Eigenschaften die einzelnen Sternpolygone haben, die auf den entsprechenden Teilerpositionen innerhalb des Koordinatensystems der Divisionstabelle liegen.
Dabei ist mir aufgefallen, dass es 3, bzw. 4 Grundtypen gibt, die absolut deckungsgleich mit den drei Möglichkeiten sind, wie Zahlen mit ihren jeweiligen Teilern in einer Beziehung stehen.
In dem von Dir genannten speziellen Beispiel geht es ja um 10 = 5*2 und 10 = 2*5.
Beide Konstellationen beschreiben arithmetisch:
Natürliche Zahl ist mit dem Teiler teilbar.
Beide Konstellationen beschreiben geometrisch:
Polygon mehrfach.
2*5 = 2 5-Ecke
5*2 = 5 2-Ecke
Schau Dir analog zum Zahlenstrahl den "Geometriestrahl" an: Punkt, Linie, Dreieck, Viereck usw...
Die ersten Polygone sind die eigenwilligsten, insbesondere eben die allerersten:
Punkt, Linie und Dreieck.
Linien sind auch Polygone.
Meine bzw. die "Konstruktionsvorschrift" schlechthin bezieht sich also nicht auf irgendwelche Muster sondern auf diese 4 Prinzipien.
Es geht ja um Prinzipien die bis unendlich Gültigkeit haben und nicht um die vordergründige Optik.
Auch das Muster welches in der Divisionstabelle entsteht ist nach hinten raus ja völlig unwichtig. Wichtig ist wie es entsteht.
Bitte nicht falsch verstehen, gerade ich selbst erachte geometrische Muster und geometrische Figuren für unverzichtbar, arithmetische Zusammenhänge zu verstehen, was ich auf meiner Seite ja auch mehrfach und deutlich formuliert habe, aber diese Muster sind eben nicht Selbstzweck, sondern lediglich das Tor zur Erkenntnis der dahinter waltenden Gesetzmäßigkeiten.
Dass sich die Muster unterhalb von Teiler 2 bzw, dem Durchmesser des Kreises wiederholen, dass hast Du völlig richtig erkannt. Aber wie ich schon sagte: Unterhalb von 2 tut sich ohnehin eine ganz andere Welt auf.
Zu Deiner Frage noch mal:
Du definiert 4 Grundtypen - das habe ich verstanden, aber wo bleibt denn der 5. Typus der Linien?
Ich mein, ganz oben im einführenden Beispiel mit 6 tauchen die doh auch wieder auf.
Dort rechnest du da von links nach rechts "6/1", "6/2", "6/3", dabei entstehen 3 Teilkonstruktionen, die insgesamt den vollständigen Simplex zur Zahl 6 ergeben.
Da wurden die Anordnung von Linien verwendet und auch eingerechnet. Beim anschließend Beispiel der 10 plötzlich nicht mehr - und das ist die Inkonsistenz!
Wie oben schon geschrieben, gehören die Liniensterne vom Prinzip her zur Gruppe:
arithmetisch: Natürliche Zahl ist mit dem Teiler teilbar.
geometrisch: Polygone mehrfach.
Ich habe den Linienstern im 10-Eck ja auch nicht unter den Tisch fallen lassen, sonst hätte ich sie ja erst gar nicht gezeigt, er ist zum tieferen Verständnis selbstverständlich genau so wichtig wie alle anderen Sterne auch.
Ich habe mich zu diesem Thema auch mit meinem damaligen Mathematiker Daniel Schimmack (Diplommathematiker) abgesprochen. Er hat mich da noch mal explizit darauf hingewiesen, dass alle Liniensterne zu dieser Gruppe gehören. Wenn Du Dir die Divisionstabelle anschaust, dann siehst Du aus dem Kontext der Systematik, dass es gar nicht anders geht.
Aber das ist eben auch wirklich ein sehr interessantes Thema! Zeigt es doch, wie extravagant sowohl die ersten Zahlen und Primzahlen sind (2 und 3) und wie diese Extravaganz eben auch mit der Geometrie zusammengeht!
Ich bitte außerdem zu bedenken:
Simplexe sind ab einer bestimmten Eckenanzahl rein optisch auf den ersten und zweiten Blick ohnehin nicht mehr unterscheidbar. Man kann sich aber in einem Vektorzeichenprogramm sehr einfach vom Aufbau des Systems vergewissern, indem man die einzelnen Sternpolygone anwählt.
Fakt ist, dass zu jedem Teiler oberhalb von 2 im Koordinatensystem ein bestimmter Simplex nach diesem stringentem System zugewiesen ist! Unterhalb von 2 müsste dann mit einen Vorzeichen gearbeitet werden, welches die Information enthält, in welchem Viertel sich der Simplex befindet. Das aber nur falls man "rechnen" wollte.
Der Nutzen und Wert der Simplexe ist aber nicht das "Rechnen" mit Ihnen, sondern das Erkennen der stringenten Systematik. Wobei ersteres oberhalb von 2 auf jeden Fall möglich ist, es ist nur eben unpraktisch. Als nächstes könnten wir uns dann der Frage widmen, was ich im ersten Viertel der Divisionstabelle sehe, was zum Thema Primzahlen und Kreiszahl Pi interessant sein könnte.