Die Sonnenmasse habe ich nur als Beispiel gewählt - das bedeutet keine Beschränkung der Allgemeinheit
Diese Umformung gilt also nicht nur "für eine kleine Teilmenge". Die Masse kann beliebig gewählt werden
Die Masse ist beliebig wählbar das stimmt.
Aber durch die Fixierung des Werts der wirkenden Kraft, wird die Menge der Fälle, über die die Gleichung etwas aussagt, eingeschränkt.
Newtons Gravitationsgesetz ermöglicht ja für jeden Einzelfall, also für beliebige Massen und beliebige Abstände, die jeweils wirkenden Kräfte auszurechnen. Dass sich eine solche Kraft proportional zum G-fachen des Quotienten aus Massenprodukt und dem Quadrat ihres Abstands verhält, das ist ja mittlerweile in unzähligen Einzelmessungen verifiziert.
Die Kraft mit einem festen Wert vorzugeben heißt also, dass man nur noch Massen und Abstände beschreibt, deren Verhältnis mit der Planckkraft übereinstimmt.
Wenn man jetzt aber einmal einen Blick durchs Universum wagt und sich dort alle möglichen Gravitationskräfte zwischen all möglichen Objekten anschaut, dann wird man feststellen, dass diese Kräfte eben sehr unterschiedlich sind und man muss schon eine Weile suchen, um zwei Massen zu finden, bei denen es überhaupt möglich ist, dass eine Gravitationskraft von ~10^44 N wirkt, wenn sie einen bestimmten Abstand voneinander haben.
Machen wir eine beispielhafte Betrachtung von Sonne und Erde:
M_Sonne = 1,99*10^30 kg
M_Erde = 5.97*10^24 kg
r_SE = 149,6*10^9 m
G = 6,67*10^(-11) m^3/(kg*s^2)
-> F = 3,54*10^22 N
Anschlussfrage: Wie groß müsste der Abstand zwischen Erde und Sonne sein, damit die Planck-Kraft wirkt?
r_SE2 = sqrt( (G*M_Sonne*M_Erde) / Plank-Kraft ) = 2,56m
Mmh. Die Planck-Kraft zwischen Sonne und Erde wiederzufinden, ist praktisch also gar nicht möglich, weil sich die Erde dazu zum Mittelpunkt unserer Sonne bewegen müsste und schon einige Hundertausend Kilometer vorher gar nicht mehr in ihrer jetzigen Form existieren würde.
Das Gravitationsgesetz lediglich mit der Planck-Kraft zu fixieren, scheint also praktisch wenig aussagekräftig.
Also weiter. Probieren wir jetzt einmal zwei Objekte mit etwa gleichen Masse. Bleiben wir erstmal in unserem Sonnensystem und nehmen die Uranusmonde Umbriel und Ariel:
M_Umbriel = 1,2*10^21
M_Ariel = 1,35*10^21
Treffen wir uns in der Mitte bei einer Masse M_delta = 1.275*10^21 und berechnen wieder, welchen Abstand diese beiden Objekte voneinander haben müssen, damit die Planck-Kraft wirkt:
r_UA = sqrt( (G*M_Umbriel*M_Ariel) / Plank-Kraft ) = 9,45*10^(-7) m
Zu unserem Objekt mit Masse M_delta ergibt sich Ereignishorizont r_H = 1,02*10^(-6) m.
Abgesehen von einer Ungenauigkeit durch stark gerundete Werte, so scheint das von den Werten her zu klappen.
kereszturi schrieb:aber siehst es nicht ein, dass gerade diese Tatsache - nämlich, das diese so einfach zusammenhängen können - eine Grundlage dafür sein könnte, dass selbst die drei Theorien zusammenhängen müssen!
Mit nichten. Ich sehe sehrwohl ein, dass man diese Umformungen prinzipiell machen kann.
Blos habe ich mir schon etwas dabei gedacht, als ich im letzten Beitrag nachfragte, in wie fern nun eine solche Vereinigung dieser drei Dinge aussehen könnte und vor allem, was sie uns dann über das über Universum verrät?
An den Rechnungen sieht man ja, dass es zahlentechnisch aufgeht, aber was bedeutet das nun?
Offenbar scheint es in der Praxis Probleme für kleine Massen zu geben, wenn man das Gravitationsgesetz mit der Planck-Kraft verbindet, da zwei kleine Massen gewissermaßen gleichzeitig am selben Ort sein müssten, damit die 10^44 Newton überhaupt zu stande kommen können.
Berücksichtigt man das, so gibt es offensichtlich doch eine Untergrenze für die Wahl der Masse.
Schränken wir die Theorie also vorläufig auf sehr große Massen ein.
Da wäre dann nach wie vor noch zu klären, in wie fern jetzt konkret "die drei Theorien zusammenhängen":
Also was hat die Gravitationskraft mit dem Ereignishorizont und der Ereignishorizont mit der Planck-Kraft zu tun?
Und was bedeutet dies dann letztlich für unsere zwei sehr großen Massen, die irgendwo sich irgendwo im Universum befinden und zwischen denen für einen kurzen Moment diese Planck-Kraft wirkt?
Wie gesagt, ich sehe das Potential einer Vereinigung dieser drei Dinge, aber ich will mich jetzt nicht daran aufhalten mit dir darüber zu streiten, ob ich dieses Potential tatsächlich sehe oder nicht, sondern würde jetzt gern zum nächsten Schritt übergehen, hin zu eben einer solchen möglichen vereinigten Theorie. Deswegen stelle ich auch die Fragen, die ich in diesem Beitrag gestellt habe und erhoffe zahlreiche Antworten von dir.