Kleine mathematische Frage zwischendurch

Sei T={(i,j,k)| i,j,k elment nat. Zahlen} ist dann mit A ist teilment der nat. Zahlen und f:T->A f: (i,j,k) - > 2^i*3^j*5^k gezeigt das T abzählbar unendlich ist, da A teilmenge von N ist und somit abzählbar und A auch offensichtlich unendlich ist? Achja und f ist natürlich bijektiv da jede nat. Zahl sich ja eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt.

waaas?!

@LordFakeALot

was ist jettzt die Frage?

du schriebst doch, dass das abzählbar unendlich ist.

Du musst nur ne abzählfunktion angeben

wenn f bijektiv ist und du eine bijektion von den natürlichen Zahlen auf die Teilmengen finden kannst, dann heißt das du hast eine bijektion auf A gefunden, und dann ist auch A abzählbar unendlich

@shionoro

aber reicht es nicht wenn schon mal bewiesen wurde das Teilmengen der nat. Zahlen abzählbar sind und ich dann eine Teilmenge der nat. Zahlen mit unendlich vielen Elementen habe, ist dann nicht gezeigt, das diese abzählbar unendlich ist? D.h. brauche ich dann überhaupt noch eine Bijektion von den nat. Zahlen auf die Teilmenge A?

Cäptn_blauhook schrieb:waaas?!

bin ich erleichtert.. versteh nur bahnhof :{

in der wievielten klasse bist du denn? ich bin in der 9 und hatte das noch nicht =0

Um es nochmal zu präzisieren:

Man soll also zeigen das alle Tripel aus natürliche Zahlen abzählbar unendlich sind. Dabei soll ausgenutzt werden das 2^i * 3^j * 5^k ja alle natürlichen Zahlen die aus den Primfaktoren 2,3 und 5 zusammengesetzt sind, eindeutig indentifizieren, d.h. zu jedem Tripel von (i,j,k) gibt es genau eine nat. Zahl und zu jeder nat. Zahl deren Primfaktoren 2,3 und 5 sind gibt es genau solch ein Tripel. Es gibt also die beschriebene Abbildung

f: (i,j,k) -> 2^i * 3^j * 5^k

Diese ist aus oben genannten Gründen ja bijektiv.
Ist nun A = {2^i * 3^j * 5^k | i,j,k sind element der nat. Zahlen}
Nun ist schon als Fakt gegeben das Teilmenen abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind. A ist eine Teilmenge von N und somit abzählbar. Aus der Abbildungsvorschrift ist ersichtlich das A auch unendlich viele Elemente enthält, also ist A abzählbar unendlich.
Per definition lassen sich ja abzählbar unendliche Mengen auf die nat. Zahlen bijektiv abbilden. Durch f ist nun gegeben das sich die Menge aller Tripel bijektiv auf A abbilden lässt.

Meine Frage ist jetzt. Wenn ich gezeigt habe das die Menge der Tripel sich auf eine abzählbar unendliche Menge abbilden lassen, muss ich dann trotzdem noch zeigen das sie sich bijektiv auf N abbilden lassen?

Cäptn_blauhook schrieb:in der wievielten klasse bist du denn? ich bin in der 9 und hatte das noch nicht =0

Ich bin aus der Schule draußen... und ich SCHWÖRE, manche Worte im EP hab ich noch NIE gehört :D

@Addy
das ist ja völlig außenwelt :D

@Addy

kann ich mich nur anschließen :{

@LordFakeALot dieses wirrwarr an abstrakten begriffen checkt hier kaum einer - versuch es fassbar und ohne fremdwörter jonglierend zu verfassen - ansonsten gibts mathe foren

LordFakeALot schrieb:Wenn ich gezeigt habe das die Menge der Tripel sich auf eine abzählbar unendliche Menge abbilden lassen, muss ich dann trotzdem noch zeigen das sie sich bijektiv auf N abbilden lassen?

Das sollte eigentlich so reichen. Abzählbar unendliche Mengen zeichnen sich ja dadurch aus, dass sie gleichmächtig zu |N sind. Da muss also eine Bijektion existieren.

Kommt auch drauf an, wie pingelig da die Profs sind.


Im Zweifelsfall kannst du dir ja eine konstruieren. Entweder von T -> |N (da könnte man sich eine Art Diagonalargument in drei Dimensionen vorstellen) oder von A -> |N, wo du die Elemente von A aufsteigend "sortierst" und denen die natürlichen Zahlen zuweist.

Durch die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist ja jedes Element von A verschieden.

@Tommy137
Danke sehr :) Das mit den Diagonalargumenten hatte ich nur nicht genommen weil ich das schon in ein paar anderen Aufgaben machen musste und auch mal andere Wege gehen wollte. Naja mal sehen wie die Resonanz darauf so wird :)

Ja, Cantor ist ja die Standardmethode, wenn es um den Beweis von Abzählbarkeit geht.

Wie gesagt... die Sortierung der Zahlen mit Primfaktoren 2, 3 & 5 sollte aber auch funktionieren. Dann hättest du ne Bijektion zwischen T und A und zwischen A und |N... und damit auch zwischen T und |N, also den Beweis für die Abzählbarkeit.