Im Anfang war die Primzahl - Die Matrix der Materie

kairos schrieb:Das heisst es bleibt noch die Frage nach der Wirklichkeit.

http://spieltheorie.de/Spieltheorie_Grundlagen/mathematik-didaktik.htm
Nimm dir die Zeit und lies es komplett, ich habe es selbst schon vor Jahren etliche Male gelesen. Das bringt jede Vorstellung von "Mathematik sei zwnagsläufig realitätsnah" ins wanken.

@Tommy137
Ich glaube wir sollten unsere Energie sparen. So ein renitentes Beharren auf Unsinn habe ich bisher noch nicht erlebt.
Dieses Kreuz als fundierte bzw. fundierbare Mathematik hinzustellen ist einfach nur Unfug und wer etwas anderes behauptet, der sollte erst einmal etwas über elementare Mathematik lernen und sein Weltbild, dass man sich alles Mathematische vorstellen oder grafisch darstellen können muss, über Bord werfen.
So macht das hier keinen Sinn und das im Kreisdrehen geht noch 10-20 Seiten immer wieder von vorn los.

@kairos

kairos schrieb:Ein Höhlenmensch, der keine Ahnung von der Existenz der Mathematik hat, sitzt in einer Höhle mit drei weiteren Höhlenmenschen. Er nimmt einen scharfen Stein und ritzt für jeden Höhlenbewohner, der sich im Moment in der Höhle befindet, einen Strich in die Höhlenwand. Nachdem er den Strich in die Höhlenwand geritzt hat, stellt er einen Höhlenbewohner daneben und macht ihm deutlich sich nicht von dieser Stelle zu bewegen. Am Ende macht er auch für sich einen Strich und stellt sich daneben. Es gibt also am Schluss vier Striche an der Höhlenwand und für jeden Strich steht ein Höhlenbewohner daneben. Danach setzen sich die Bewohner in die Mitte der Höhle und sehen genau so viele Striche an der Höhlenwand wie Personen sich im Raum aufhalten. Sie zeigen jeder zuerst auf sich und dann auf den Strich. Sie wissen für jeden der sich in der Höhle befindet, gibt es einen Strich.

Wenn jetzt jemand die Höhle verlässt wären vier Striche an der Höhlenwand aber nur drei Höhlenbewohner die sich daneben stellen könnten. Ihnen wäre klar da fehlt was.

Somit ist ganz klar bewiesen 1+1+1+1=1111
1 steht für einen Strich
1111 kann nur komplett sein indem auch die vier Höhlenbewohner anwesend sind.
Es kann daher keiner der Höhlenbewohner daher kommen und behaupten 1+1+1=1111
Ich meine behaupten schon aber er könnte die anderen Höhlenbewohner in dieser Höhle(Realität) nicht überzeugen.

Ja so fing unser zahlensystem an, und das mit den Strichen ist der Beginn des römischen Zahlensystems. weil aber 5, 10 oder 100 Striche sehr unübersichtlich wurden entwickelte man dieses V C und die anderen Buchstaben, dann erfand man worte für die zahlen, denn man will sich ja verständigen, also war ein strich die eins zwei strichen die zwei (in anderenländern one, two,..) klar wir hätten sie auch anders bezeichnen können, dass ist aber wurscht es geht um das was dahinter steckt.

@Fabiano

Es geht darum für die Primzahlen eine Funktionsvorschrift zu finden, wie man EINDEUTIG die n-te Primzahl bestimmen kann. Dabei ist es egal ob du eine vorschrift findest, wie du die in einem kreuz dreieck kres pder was weiß ich wie anordnen kannst es interessiert keinen und die anordnung ist auch nicht besonders verwunderlich, wenn man sich damit ein wenig beschäftigt und ws von Pimfajtorzerlegung weiß aber wenn es hilft auf eine vorschrift zu kommen weil man für jeden einzelnen strang eine andere vorschrift wählen kann die dann eindeutig ist, DANN und erst DANN zeigt sich, dass die anordnung sinn hat und weiterhilft. ansonsten ist und bleibt es zahlenspielerei.

@all

doch man kann beweise geometrisch durchführen, wird vor allem in Algebra und geometrie so gemacht, allerdings nicht indem man kreise striche und würfel zeichnet, sondern indem man beispielsweise mit matrizen rechnet, die korrdinatensysteme skalieren, die objekte drehen sopiegeln strecken verschieben usw.
es gibt auch eine disziplin in der mathematik die mit elementaren (so jetzt ist mir der begriff entfallen :D ) geometrischen zeichnungen (oh gott bitte berichtigt mich) dinge zeigen kann, quasie nur mit zirkel und lineal dass keine skala hat, damit kann man auch einiges anstellen.
Der vorteil iss man kann im mehrdimensionalem (4te 7te ,...) damit rechnen oder im unendlich dimensionalem

Aber der satz von thales ist beispielsweise NICH bewiesen wenn man ein halbkreis malt, dass dreieck reinzeichnet und abmisst sagt hey da iss ein rechter winkeln, dann muss dass überall sog sein :D.

@Fabiano
Man ich hab jetzt dann echt keinen Bock mehr diese scheisse hier zu lesen.
Ganz ehrlich so was unqualifiziertes zu lesen macht mich als Mathematiker echt sauer.
Die User hier (einscließlich mir) versuchen verzweifelt, dir die sachlage schön verständlich zu erklären.
Und was machst du - nimmst kein Argument an - gehst auf keine argumente ein - und lässt einfach nur nicht stichhaltige kommentare ab.
Ich sag es dir jetz noch einmal informier dich über die RIEMANNSCHE VERMUTUNG oder lies das Buch die musik der primzahlen.
Alternativ kannst du auch einfach mathe studieren, denn dann kannst du schlüssige Argumente bringen die der sache dienen.

Außerdem glaube ich das du als Laie einfach mal Ratschläge von bewandten Usern annehmen solltest, ansonsten spar dir dein Dagegengerede.

Und noch ein letztes mal Licht ins dunkel:

Ein graphischer beweis ist maximal (wenn überhaupt) ein präformeller Beweis aber sonst nichts.
Ein mathenatischer Beweis ist nur mal in der mathematischen Sprache gehalten und nciht in irgenwelchen Bildchen mit irgenwelchen krzeuzen, mit denen man 6 klässler erstaunen kann.
Und das wird dir JEDER mathematiker bestätigen.
@Fabiano

So ich bin dann mal weg, muss meine 2 spiegel im 45 grad winkel aufstellen interessiert mich brennen wie es in den anderen dimensionen so aussieht.....

man man man HUMBUG ...........

Phantombild schrieb:Aber der satz von thales ist beispielsweise NICH bewiesen wenn man ein halbkreis malt, dass dreieck reinzeichnet und abmisst sagt hey da iss ein rechter winkeln, dann muss dass überall sog sein

Ich bin, was den Beweis dieses Satzes angeht, anders informiert.

Phantombild schrieb:doch man kann beweise geometrisch durchführen, wird vor allem in Algebra und geometrie so gemacht, allerdings nicht indem man kreise striche und würfel zeichnet, sondern indem man beispielsweise mit matrizen rechnet, die korrdinatensysteme skalieren, die objekte drehen sopiegeln strecken verschieben usw.

Zwischen "geometrisch" und "graphisch" muss man schon unterscheiden.
Jeder Abiturient muss sich mit den einfachen Grundlagen der analytischen Geometrie befassen. Aber so gut wie jeder Lehrkörper, den ich bisher traf, scheiterte mehr oder weniger daran den Schnitt zweier Ebenen in R3 an die Tafel zu zeichnen. Jedoch hat es ausnahmslos jeder probiert. Irgendwie paradox und krampfhaft.
Da werden Schüler 12 Jahre lang darauf hin trainiert, dass man sich alles bildlich vorstellen und skizzieren kann und dann kommen die jungen Menschen an die Uni und scheitern schon an den Grundlagen der Differentialgleichungen, weil in den Büchern nur sehr spärlich mit Skizzen umgegangen wird. Wer unbedingt Malen will soll Medientechnik studieren gehen. Mathematik ist und bleibt eine Universalsprache.
Und wer trotzdem noch an Skizzen festhält, darf jetzt rotierende Vektorfelder an seine Tapete malen.

Das muss ich leider wiedersprechen ! Ohne visualisieren geht in der mathe nicht viel !
Und der satz des thales muss natürlich für jedes dreieck bewiesen werden genau wie der des satz des phythagoras.
Der beweis für den thales satz ist jedoch sehr sehr einfach :-)

Wies soll man beispielsweißt das wurzelziehen komplexer zahlen jemanden ohne zeichnung erklären
:-)

ach ja @BlackFlame
^^

@convergent
Missversteht mich bitte nicht.
Zwischen Mathematik betreiben (also mit Stift, Papier und Fachwissen) und Mathematik lehren sehe auch ich Unterschiede.
In dieser Facharbeit, die ich einige Seiten vorher ansprach habe ich wie gesagt einen 2,5 seitigen Beweis zu Papier bringen müssen. Die Idee kam zwar aus einer Skizze, aber ich saß 6-7 Stunden und habe lediglich einige Vektorlängen miteinander gleichgesetzt und gezeigt, dass diese immer gleich lang sind.
Es schien zwar in der Skizze, dass dieser Zusammenhang allgemein gültig sein könnte, aber die reine Mathematik dahinter hatte nicht mehr viel mit der Skizze zu tun.

In meinem Kolloquium meinte dann das Bewertungskomitee, dass der Beweis an sich zwar schlüssig und auch richtig gewesen sei, aber die mündiche Erklärung mit ein paar Skizzen doch für das Verständnis im Nachinein sehr geholfen habe.
Diese Reaktion war mir verständlich, weil ja auch Prof. Dr. Christian Rieck (siehe erster Beitrag dieser Seite) meinte, dass man meist eine visuelle Vorgabe hat, diese dann aber in eine rein formale Form im Kopf und auf dem Papier umwandeln muss, dann Mathematik betreiben kann und am Ende, diese formalen Ergebnisse wieder in die visuelle Ebene rückinterpretieren kann.

Erklärungen nur mit diesen formalen Mitteln geben zu wollen ist natürlich schwerer als sich visuelle Hilfsmittel zu besorgen, aber die reine Mathematik, die hinter jeder Erklärung steckt, ist nach meiner Auffassung erst einmal rein formal und unbebildert.

@BlackFlame
@convergent

Boah, das ist richtig erholsam, dass hier wieder mal echte Mathematik abgeht... bzw. mindestens drüber gesprochen wird... :)

BlackFlame schrieb:weil ja auch Prof. Dr. Christian Rieck (siehe erster Beitrag dieser Seite) meinte, dass man meist eine visuelle Vorgabe hat, diese dann aber in eine rein formale Form im Kopf und auf dem Papier umwandeln muss, dann Mathematik betreiben kann und am Ende, diese formalen Ergebnisse wieder in die visuelle Ebene rückinterpretieren kann.

YES!! Genau so sollte man es machen, wenn man Leuten Mathe beibringen will. So hat's auch meine Professorin in Analysis gemacht, und so hat man's auch begriffen (gilt in meinem Semester immer noch als die beste oder alternativ zweitbeste Lehrkraft, die wir bisher hatten...)

convergent schrieb:Das muss ich leider wiedersprechen ! Ohne visualisieren geht in der mathe nicht viel !

Noch ein Kommentar dazu.
Ich hatte es ja schon erwähnt aber die Problematik der Visualisierung hatte ja auch Gaston Julia.
Mandelbrot, der ja Julias Arbeiten Mitte der 1950er wieder aufgegriffen und sie durch die moderne Technik visualisieren konnte musste aber auch erst einmal ohne konkrete Bilder arbeiten.

Heute kann man mit Rechenmaschinen zwar viel visualisieren aber ich frage mich immer warum?
Muss man einem Lernenden wirklich erst einmal diese komisch aussehende Mandelbrotmenge vor Augen führen bevor man ihm/ihr Iterationen und das daraus folgende Divergenz- und Konvergenzverhalten von komplexen Zahlen beibringen kann?
Die Mandelbrot oder Juliamengen und wie sie nicht alle heißen sind zwar im Nachinein ein schönes Mittel, vor allem, wenn man mehrere Mengen bei unterschiedlicher Anzahl der Interationen miteinander vergleicht. Nur warum immer schon vorher?
Wenn man den Schülern/Studenten von Anfang an primär eine formale Denkweise beibringen würde, so würde auch dieser Drang alles Bebildern zu wollen in der Chronologie des Lernprozesses weiter nach hinten rücken.

Ähnliches bei Riemanns Zetafunktion. Es gibt ja wirklich gute Abbildungsmöglichkeiten, aber ich habe meine Zweifel, dass ein möglicher Beweis seiner Vermutung in erster Linie durch das Betrachten von Nullstellen eines Graphen entstehen wird.
Genauso wie es wenig hilft die Primzahlen erst einmal in ein R2 Koordinatensystem zu zeichnen, wenn man eine allgemeine Bestimmungsmethode für die x-te Primzahl sucht.

Ein weiterer Punkt meines persönlichen Erfahrungsschatzes bei dieser Problematik waren die Flächen zweiter Ordnung - Ellipsoide, Paraboloide, usw.
In dem Buch, aus dem ich mir die theoretischen Grundlagen holte, gab es zu dem Thema 15 Seiten mit insgesamt 9 Abbildungen, wobei die erste Abbildung erst auf der 7. Seite kam.
Die Abbildungen verschaffen zwar eine ungefähre Vorstellung wie diese Gebilde aussehen könnten, aber bei der Vielzahl der Parameter brachten sie mir für das Verständnis der Theorie nur wenig, ja fast gar nichts.

BlackFlame schrieb:http://spieltheorie.de/Spieltheorie_Grundlagen/mathematik-didaktik.htm
Nimm dir die Zeit und lies es komplett, ich habe es selbst schon vor Jahren etliche Male gelesen. Das bringt jede Vorstellung von "Mathematik sei zwnagsläufig realitätsnah" ins wanken.

Danke! Liest sich sehr interessant.
Ich fasse mal zusammen: visuelle Form -> formales System -> Mensch(Gehirn)
Anscheinend läuft es beim Verständnis von Mathematik auf diese drei Ebenen hinaus.
Nun ein paar Fragen die mir dazu einfallen:
Kann die Mathematik ohne eine dieser drei Ebenen auskommen?
Gibt es vielleicht noch andere Ebenen die miteinfliessen?
Die visuelle Form ist das was ich mit Wirklichkeit gemeint hab. Aus ihr lässt sich ein formales System herleiten. Was unterscheidet die visuelle Form vom formalen System?
Zusätzlich halte ich die Begriffe "Harmonie", "Ästhetik" und "Formen" für wichtig. Was könnten diese Begriffe in einem universellen Bauplan für eine Rolle spielen?
Bin gespannt was euch so dazu einfällt :)

@kairos
Der Ablauf ist folgender:
Visuelles Vorbild -> Formalität -> Mathematik -> Visuelles Vorbild

kairos schrieb:Kann die Mathematik ohne eine dieser drei Ebenen auskommen?

Ja.
Die Mathematik ist zwar ein Teil dieser Kette, aber erst einmal unabhängig von den anderen Ebenen.
Eine bildliche Vorlage zu haben, diese zu formalisieren und nach dem Beitreiben von Mathematik, die formalen Ergebnisse wieder in das Bild zurück zu interpretieren, macht die Mathematik nur auf unseren Alltag anwendbar.
Beispiel: Ich möchte ein Haus bauen. Wie soll es aufgebaut sein? Dann zeichnest du eine Skizze und ein Bauzeichner konstruiert mit Winkeln und Längeneinheiten eine schematische Darstellungen. Das fertige Haus ist dann die Interpretation dieser Schemen.
Du kannst aber auch einfach so mit Winkeln, Strecken und Bogenmaßen rumspielen ohne an eine reale Umsetzung zu denken. So wie ein Lehrer irgendwie zwei sich kreuzende Geraden an die Tafel malt und den Kindern daran zeigt, wie Parallelverschiebungen oder Kongruenzsätze funktionieren.
Prinzipiell kannst du aber auch ganz ohne Tafel und irgendwelche Skizzen versuchen den Sachverhalt der Kongruenz zu lehren, aber da sind wir wieder bei der Differenzierung von Mathematik als reine Theorie und dem Erklären und Lehren von Mathematik.

kairos schrieb:Gibt es vielleicht noch andere Ebenen die miteinfliessen?

Zum Beispiel? Um Mathematik betreiben zu können musst du weder schmecken noch riechen und höchstens deinem Lehrenden zuhören können.

kairos schrieb:Die visuelle Form ist das was ich mit Wirklichkeit gemeint hab. Aus ihr lässt sich ein formales System herleiten. Was unterscheidet die visuelle Form vom formalen System?

Na nimm einfach das Beispiel von Prof. Rieck. Mal ein einfaches Bild an die Tafel und vereinfache bzw. formalisiere es so weit wie möglich.
Will man formal denken muss man die Assoziationen des Gehirns ausblenden.
Auf einem Bild von einem Kleinkind sehen wir ein Haus, weil wir eben genau dieser bestimmten Anordnung von Strichen das Motiv des Hauses zuordnen. Diese Zuordnung muss man weglassen, sonst wird man beim Betreiben von Mathematik immer an diesem Motiv festhalten und sich selbst in die Irre führen.
Sich strikt an der Realität orientieren zu wollen stößt schnell an Grenzen, zum Beispiel, wenn ich sage, dass eine Kiste gesponnenermaßen eine höhe von 3000km hat.
Es ist für die Mathematik weder interessant, ob es sich dabei um eine Kiste oder Aquarium handelt, noch in welcher Einheit du die Maße angibst. Der Mathematiker hat die Aufgabe diese ganzen überflüssigen Angaben weg zu rationalisieren und lediglich einen Quader mit einer gewissen Höhe zu sehen.
Dann machst du deine Berechnungen und ganz am Ende holst du diese eingangs überflüssigen Angaben wieder um das Ergebnis interpretieren zu können.
Viele Schüler neigen aber eben dazu sich an der Realität fest zu halten und überlegen erst einmal 5 Minuten, ob es überhaupt eine Kiste mit 3000km Höhe geben könnte bzw. wo das ganze Material dafür herkommen könnte und aus welchem Material es bestehen müsste. Alles unwichtig!
Kurz gesagt: Willst du formal denken, musst du abstrakt denken.

kairos schrieb:Zusätzlich halte ich die Begriffe "Harmonie", "Ästhetik" und "Formen" für wichtig. Was könnten diese Begriffe in einem universellen Bauplan für eine Rolle spielen?

In wie fern Harmonie?
Die Ästhetik der Mathematik besteht darin scheinbar komplizierteste Zusammenhänge relativ kurz und einfach ausdrücken zu können.
Anderseits gibt es auch Beweise, die mehrere Hundert Buchseiten füllen. Also entweder hat der Autor zu ausschweifend geschrieben, oder der Zusammenhang war so kompliziert, dass es nicht kürzer ging und eine mündliche Erklärung einige Tage dauern würde.
Ob es irgendwann eine Art "universeller Bauplan" geben könnte weis ich nicht. Ich glaube die Schwierigkeit besteht in seiner Komplexität und der Wahl und der Anzahl der wirklich benötigten Variablen bzw. Parameter. Also einfach zu lesen wäre so ein Plan sicher nicht.

BlackFlame schrieb:Der Ablauf ist folgender:
Visuelles Vorbild -> Formalität -> Mathematik -> Visuelles Vorbild

Ich würde gerne näher auf den Ablauf eingehen. Hier ist wohl der Ablauf der Anwendung von Mathematik gemeint. Wie dus dann auch hier beschreibst

BlackFlame schrieb:Eine bildliche Vorlage zu haben, diese zu formalisieren und nach dem Beitreiben von Mathematik, die formalen Ergebnisse wieder in das Bild zurück zu interpretieren, macht die Mathematik nur auf unseren Alltag anwendbar.

Mich würde der Ablauf des Verständnisses der Mathematik interessieren. Hier müsste irgendwo noch der Faktor Mensch/Gehirn miteinfliessen. So in der Art wir nehmen ein Bild visuell aus dem Universum auf, verarbeiten es in unserem Gehirn, wenden Formalität und Mathematik auf das Bild in unserem Gehirn an(was genau bei diesem Prozess wirklich passiert wäre interessant zu erfahren) und spiegeln das Bild(jetzt natürlich mit Formalität und Mathematik) wieder zurück ins Universum und vergleichen anschließend obs übereinstimmt. Sollte der Vergleich passen sagen wir dieses Bild unterliegt mathematischen Gesetzmäßigkeiten.
Inwieweit spielt hier das Universum eine Rolle? Was wäre wenn es keine Menschen gäbe, die Informationen aus dem Universum nehmen, Formalität und Mathematik darauf anwenden und diese dann mit dem Universum abgleichen. Gäbe es dann keine Mathematik? Und was ich mich auch frage ist, wenn eine mathematische Gesetzmäßigkeit festgestellt wurde, wann gilt sie als universell gültig?

BlackFlame schrieb:Na nimm einfach das Beispiel von Prof. Rieck. Mal ein einfaches Bild an die Tafel und vereinfache bzw. formalisiere es so weit wie möglich.
Will man formal denken muss man die Assoziationen des Gehirns ausblenden

BlackFlame schrieb:Kurz gesagt: Willst du formal denken, musst du abstrakt denken.

Bei einfachen Bildern kein Problem aber wie formalisiert man das Universum?

BlackFlame schrieb:In wie fern Harmonie?

Harmonie war in dem Fall auf Ordnung bezogen. Obwohl Chaos womöglich auch harmonisch ist? :)

kairos schrieb:Mich würde der Ablauf des Verständnisses der Mathematik interessieren. Hier müsste irgendwo noch der Faktor Mensch/Gehirn miteinfliessen

Dahingehend habe ich mich einem Psychologen zusammengesetzt, weil ich eben wissen wollte, ob es überhaupt möglich wäre, dass jeder Mensch gewissermaßen eine Mathe-Ass oder zumindest ein Einserschüler werden könnte.
Das wurde aber teilweise verneint.
Jedes Gehirn ist anders, was man ja auch in den Neigungen von Kindern und Jugendlichen sieht. Die einen können unheimlich detailgetreue Bilder malen, andere musizieren, wiederum andere schrauben an Mopeds herum, usw.
Das Gehirn ist eine Art Muskelkomplex, was man trainieren kann. Jemand der sich nie für Mathematik interessiert hat wird das formale Denken auch nicht sofort und perfekt können. Also um einem Künstler Mathematik beizubringen muss man anders herangehen als bei einem Architekt, weil der Künstler eben andere Denkmuster trainiert hat. Jedoch hat jedes Training und jeder Muskel seine Grenzen.
Der Psychologe meinte auch, dass gewisse Gehirne grundlegend nicht für das formale Denken gemacht sind. Man kann sie zwar dahingehend trainieren, aber der Trainingserfolg ist bei manchen eben grundlegend geringer. Es ist also nicht möglich ausnahmslos jeden Menschen zu einem betagten Mathematiker zu machen. Anders herum gibt es aber auch viele, die ihre Potential noch gar nicht kennen.

kairos schrieb: So in der Art wir nehmen ein Bild visuell aus dem Universum auf, verarbeiten es in unserem Gehirn, wenden Formalität und Mathematik auf das Bild in unserem Gehirn an(was genau bei diesem Prozess wirklich passiert wäre interessant zu erfahren) und spiegeln das Bild(jetzt natürlich mit Formalität und Mathematik) wieder zurück ins Universum und vergleichen anschließend obs übereinstimmt. Sollte der Vergleich passen sagen wir dieses Bild unterliegt mathematischen Gesetzmäßigkeiten.

Beim Formalisieren geht es wie gesagt darum zu vereinfachen und es ist unheimlich schwer, wenn nicht sogar unmöglich, etwas so komplexes wie ein ganzes Universum in einer einzigen Formel zu beschreiben.
Bei einer Gleichung kann man immer nur 2 Dinge miteinander gleich setzen. Muss man nun aber mehrere Gleichungen formulieren, so entsteht eben ein Gleichungssystem.
Klassisches Beispiel sind solche Bauernhofaufgaben in denen Bauer Kunze 10 Eier für 3 Euro und 2 Liter Milch für 1 Euro verkauft und du mit 10 Euro dem Bauer einen Besuch abstattest. Den gesamten Bauernhof in einer einzigen Formel zu beschreiben wird schwer. ;)
Jetzt zu formalisieren bedeutet wieder die überflüssigen Informationen zu entfernen. Aus den Eiern und der Milch werden irgendwelche Variablen und die Währung ist absolut uninteressant. Das System ist aber vereinfacht und erst einmal von jedem realen Bezug entfernt worden.
Und nun kannst du damit Mathematik betreiben. Optimierung zum Beispiel.
Aber egal, was du nun mit den Gleichungen im Rahmen mathematischer Methoden anstellst, der Inhalt wird sich nicht verändern. Stellst du eine Gleichung nach einer bestimmten Variable um, so bleibt die Aussage dieser immer die selbe, solange du dich strikt an die Mathematik hälst.
Anders ist es bei der Rückinterpretation.
Diese Formalität, die du dann hast kannst du ganz beliebig interpretieren. So kannst du aus dem Bauernhof auch einen Tante Emma Laden machen oder die Variable, die einst die Milch darstellte, zu Tafeln Schokolade uminterpretieren.
Der Punkt ist, dass die Interpretation aber nichts an der Mathematik und dem Zusammenhang deiner Gleichungen ändern wird.

Ein anderes Beispiel: Würfel = Stuhl ?
Nimm dir ein Stück Papier und male fix einen Würfel.
Jetzt formalisiere diesen Würfel! Was hast du dann noch? An sich nur waagerechte, senkrechte und schräge Striche.
Diese Aussage, dass es nur Striche sind, das ist Formalisierung. Du hast dich von dem eingänglichen Bild gelöst und es in seine kleinstmöglichsten, unabhängigen Bestandteile vereinfacht.
Jetzt komme ich daher und meine, dass man mit diesen drei Sorten von Strichen doch auch einen Stuhl malen könnte? Du wirst kurz überlegen und dann sicher bemerken, dass deine Zeichnung von einem Stuhl genau die selben 3 Stricharten beinhaltet. Formalisiert ist beides das selbe, interpretiert sind es zwei zusammenhangslose Dinge.
Was sagt uns das jetzt? Ist ein jeder Stuhl auch immer ein Würfel? Das ergibt keinen Sinn.
Auf der formalisierten/vereinfachten Ebene muss es das auch gar nicht. Den 3 Arten von Strichen ist es vollkommen egal, ob du mit ihnen einen Stuhl, ein Aquarium oder einen Würfel malst, denn das sind Bilder, die wir als solche interpretieren und diese formale Ebene kennt eben keines dieser Bilder.

Diese Gesetzmäßigkeiten der Mathematik entstehen eben innerhalb dieser Formalebene.
Mathematisierst du nun unser Universum, so wirst du eben irgendwann an Zusammenhänge stoßen, die wir beispielsweise als Naturkonstanten oder Naturgesetze kennen.
Ebenso gibt es Formulierungen, die die Wechselwirkung dieser Konstanten und Gesetze festlegen. Also du kannst dir nicht so einfach ein neues Universum zusammenbasteln, außer du ignorierst die Zusammenhänge, die du selbst in der Formalebene manifestiert hast.
So kannst du aus den 3 Stricharten zwar die unterschiedlichsten und komplexesten Gebilde konstruieren, aber du kannst nicht einfach noch einen Bogen dazu malen.
Ebenso musst du vorher auch festgelegt haben, ob sich die Striche kreuzen dürfen oder ob es spezielle Vorraussetzungen gibt, wann oder wo sie sich kreuzen dürfen.

Ich möchte das Beispiel der Striche jetzt nicht weiter ausreizen.
Was ich nur verdeutlichen will ist, dass Motive immer eine Eigeninterpretation des Menschen sind und man sich nicht zu sehr von ihnen blenden lassen darf, wenn man Mathematik betreiben will.

kairos schrieb:Inwieweit spielt hier das Universum eine Rolle? Was wäre wenn es keine Menschen gäbe, die Informationen aus dem Universum nehmen, Formalität und Mathematik darauf anwenden und diese dann mit dem Universum abgleichen. Gäbe es dann keine Mathematik?

Ich bin nach wie vor der Meinung, dass die Mathematik eine Erfindung des Menschen ist, um Zusammenhänge und Logik beschreibbar zu machen.
Gäbe es uns nicht, so könnten wir sie auch nicht betreiben.
Nach unserem Verständnis gäbe es aber auch ohne Menschen die Zusammenhänge, die wir kennen, nur es gäbe eben keinen Menschen, der diese mit den Worten benennen bzw. beschreiben würde, die wir eben jetzt benutzen.

kairos schrieb:Und was ich mich auch frage ist, wenn eine mathematische Gesetzmäßigkeit festgestellt wurde, wann gilt sie als universell gültig?

Kurz und knapp: Wenn sie beweisbar ist.
Ich muss wieder meine Facharbeit aufgreifen. Darin geht es eben um eine Gesetzmäßigkeit bzw. um einen Zusammenhang, die den Professoren, die ich bisher dazu befragt habe noch nicht bekannt war.
Bei Erläuterungen zu diesem Zusammenahng kam irgendwann immer die Zwischenfrage, ob das wirklich allgemeingültig und kein Spezialfall sei. Daraufhin holte ich meine 5 Seiten Beweisführung aus der Tasche und konnte mathematisch belegen, dass dieser Sachverhalt eine Allgemeingültigkeit besitzt.
Konkret geht es eben um eine geometrische Beziehung am allgeimenen Dreieck zur Konstruktion von eines gleichseitigen Dreiecks mit Hilfe von Translationen und Transformationen. Einfach ausgedrückt: google nach "Napoleon-Dreieck" und dieses Verfahren habe ich optimieren bzw. erweitern können.
Mir konnte zwar bislang noch keiner sagen, ob der Inhalt meiner Arbeit wirklich neu ist, weil es zu dem Thema so gut wie keine Fachliteratur gibt, aber ich habe mit mathematischen Mitteln gezeigt, dass es ein allgemeingültiger Zusammenhang ist. Einen Gegenbeweis dazu anzustellen würde schwer bis aussichtslos werden, außer ich habe innerhalb meiner Beweise doch Fehler gemacht, die noch keinem aufgefallen sind.
Wöllte ich diesen Zusammenhang jetzt unbedingt patentiert haben, so müsste ich einfach ausgedrückt, die Welt der Mathematiker von meinem Sachverhalt überzeugen können. Solange irgendjemand begründete Zweifel erhebt oder mir gar einen Gegenbeweis an den Kopf knallen kann, wird mein Name und mein Verfahren nirgendwo öffentlich auftauchen.
Bei Beweisführungen im Allgemeinen greift man auf Axiome und Theoreme zurück. Die formalsten Bausteine der Mathematik.
Willst du nun etwas universell gültig machen, so musst du auch mit diesen Bausteinen arbeiten, sonst wird das nichts.
Anders herum kannst du aber ganze Wissenschaften (Beispiel: die Physik mit der Quantenphysik) ins wanken bringen, wenn du eben diese elementaren Bausteine ersetzen oder neue Bausteine dazu stellen kannst.
Bei unserem Beispiel fehlt eben noch irgendein Baustein, der die Menge der Primzahlen beschreibt. Sobald es diesen gäbe könnte man eine Vielzahl von Problemen lösen, aber eben erst dann. Man muss bei der Suche nach diesem Baustein aber auch die bisherigen Zusammenhänge beachten. Man kann auf und nieder springen, aber 1+1 bleibt in der Summe 2. Also kann man bei einer Beweisführung für einen Primzahlalgorithmus nicht einfach behaupten die Summe wäre 3.
Sollte es aber zum Beispiel mit so einer Neudefinition gelingen einen solchen Algorithmus zu beweisen, so müsste man sich schon fragen, ob 1+1 wirklich 2 ist. ;)

Was war zuerst da? Die Henne oder das Ei? ...

Was war zuerst da? Die Welt oder die Mathematik?... Ist die Welt aufgrund eines mathematischen Bauplans entstanden, oder ist die Mathematik aufgrund der Beschaffenheit Welt entstanden?...
Ist die Mathematik nicht selbst Bestandteil der Welt um uns herum?

Was ist denn eine Visualisierung der abstrakten Mathematik anderes als die Welt die uns umgibt?

Steckt in einem realen Würfen nicht die Mathematik, die nur beschreibt, was ein Würfel ist? Oder ist die Beschreibung der realere Würfel und der reale Würfel nur eine Visualisierung der mathematischen Beschreibung? ...

Eine Gleichung muss allerdings schon immer aufgehen: abstrakte Beschreibung = reale Form :D

Ich kann nicht etwas beschreiben, was die Form nicht hergibt, sonst käme etwas anderes dabei heraus. Und ich kann die Form nicht ändern, ohne die Formel zu ändern.

Beschreiben wir mit der Mathematik die Welt wie sie ist, oder beschreibt uns die Welt die Mathematik?



Zur Harmonie, Ästhetik, Schönheit:
Da will ich nur mal den goldenen Schnitt erwähnen :D

Unterliegt also eine Harmonie oder die Ästhetik gewisser mathematischer Zusammenhänge oder ist das auch wieder nur Zufall, dass wir etwas als "schön" bezeichnen...? Ist Schönheit wirklich nur reine Geschmackssache oder unterliegt sie womöglich sogar mathematischen Gesetzmäßigkeiten?


(Jetzt wird es ja langsam wieder interessanter... )

Fabiano schrieb:Beschreiben wir mit der Mathematik die Welt wie sie ist, oder beschreibt uns die Welt die Mathematik?

Die Mathematik ist eine formale Sprache, die man auch, aber eben nicht nur, in die Welt/Realität interpretieren kann.
Es gibt zwar Ausnahmen aber man kann sehr viel mathematisieren, seien es Mineralien, menschliche und tierische Verhaltensweisen/Interaktionen oder Bewegungen.
Bleibt man aber in der Mathematik selbst, so muss man nicht zwangsläufig einen Bezug zur Realität haben. Wo tauchen den schon irgendwelche komplexen Polygone auf oder wo findet man in unserem Universum eine Anwendung für beispielsweise Oktonionen oder Sedenionen?
Die Vorstellung, dass Mathematik zwangsläufig und immer auf die Realität anwendbar sein muss ist
fragwürdig.
Was ist denn zum Beispiel Unendlichkeit? Kann man das in der Realität nachempfinden oder anfassen? Gibt es so etwas überhaupt, oder ist es lediglich ein mathematisches Modell für etwas, was wir nicht anders beschreiben können?
Weiter geht es bei Wahrscheinlichkeiten bzw. Statistik. Das ist auch nur ein Hilfsmittel, was man in der Realität nicht komplett überprüfen kann - zumindest kenne ich noch niemanden der unendlich oft einen 6-seitigen Würfel gewürfelt hat.

Fabiano schrieb:Ist Schönheit wirklich nur reine Geschmackssache oder unterliegt sie womöglich sogar mathematischen Gesetzmäßigkeiten?

Die Ästhetik der Mathematik ist ihre Einfachheit.
Biologisch gesehen, meine ich gelesen zu haben, dass der Mensch allgemein eine Affinität zur Symmetrie hat. Je symmetrischer ein Gesicht, umso schöner empfinden wir es.
Ebenso unterliegt der Mensch an sich ja auch biologischen Grenzen. Global gesehen kann man eine Häufung gewisser Körpergrößen und -gewichte errechnen und rein biologisch scheint ein 3 Meter großer Mensch ja unmöglich zu sein.
Auf Grund dieser vorgegebenen Rahmen für den Menschen an sich, scheint es nicht abwegig, dass er auch in seiner Umwelt ebenso nach derartigen Mustern zu suchen.
Der Mensch scheint also auch bio-chemisch einen Hang zur Einfachheit und Regelmäßigkeit zu haben.
Vielleicht stellt man sich ja deswegen so an, eine Ordnung innerhalb dieser offenbar chaotischen Primzahlen zu finden.

@BlackFlame

Wobei wir hier gerade bei der Symmetrie sind, hätte ich einen sehr guten Buchtipp aus der populärwissenschaftlichen Ecke und zwar
http://www.amazon.de/Das-Geheimnis-Symmetrie-Mathematiker-entschl%C3%BCsseln/dp/3423346582/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1312051858&sr=8-1

@Fabiano
Meines Erachtens war nichts zuerst da. die mathematik war auch schon immer da, aber die menschen haben sie für sich entdeckt, die welt um uns herum zu beschreiben.
Die mathematik erlaubt es uns beispielsweise physikalische Vorgänge und Gesetze formell zu erfassen.
Sie erlaubt es uns die Welt um uns herum zu beschreiben.
:-) Ein nettes Zitat: Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.
Auf gut Deutsch: Physik kann man nur mit Hilfe Der Mathematik betreiben. Dei Mathe kann man immer betreiben.

@Thawra
Bist du zufällig Mathematiker??

@convergent

Nein, aber erstens interessiere ich mich allgemein dafür, udn zweitens studiere ich Ingenieur an einer recht angesehenen technischen Hochschule, da legen sie grossen Wert auf solide mathematische Grundlagen - die waren bisher auch notwendig... :)