Mathematische Spielereien

Hallo ilchegu,

Deinen Beweis konnte ich zunächst nicht verstehen. Dahermusste
erst mal Googel ran. Jetzt, da ich weiß, was "Primfaktorzerlegung"bedeutet...

...verstehe ich es immer noch nicht :(

Aaaahhh, jetzt hab ich's verstanden :D

n * (2k + n - 1)/2 => entweder n istungerade oder (2k + n - 1) ist ungerade.
Ein Faktor ist immer ungerade => n * (2k +n - 1)/2 ungleich 2^x, denn 2^x ist immer ein Produkt gerader Zahlen.

VielenDank!

Mal eine Frage an mögliche Logiker:

Bei dem von mit genannten "Phänomen" ging esja um eine Äquivalenzbedingung:


n lässt sich als Summeaufeinanderfolgender, natürlicher Zahlen darstellen

<==>

n lässt sichnicht schreiben als 2^x



Inwiefern wäre ilchegu's Beweis jetztausreichend oder nur als Implikation "=>" zu sehen?

Mir ist es schon einige Malepassiert, dass genau ein solcher Beweis nicht ausgereicht hat, da hier davon ausgegangenwird, eine Zahl n lässt sich so darstellen. Draus wird dann geschlossen, dass n sichnicht als 2^x schreiben lässt.

Es fehlte als noch die umgekehrte Implikation"<=", die beweist, dass sich jede Zahl, ungleich 2^x als Summe darstellen lässt.

Scheinbar kann niemand etwas mit meinem Anfangsproblem anfangen. :|


Da ichungeduldig bin und erst nächste Woche einen kompetenten Menschen fragen kann, meinenMathelehrer :D, ein sehr abstrakt denkender Mensch, andere in meinem Privatumfeld konntenmir auch nicht weiterhelfen, leider, werde ich hier mal meine Frage stellen.

Kann die Umkehrfunktion von x^2, die da lautet x^(1/2) auch als eine Rotation um 90°aufgefasst werden oder handelt es sich jediglich um eine Spiegelung an der 45° Achse?

Wichtig ist im Hinterkopf zu behalten, das die Beantwortung dieser Frage auf dieMöglichkeit eine physikalische Frage zu beantworten hinausläuft(zur Gravitation bzw.Graviton). Im Internet war nichts eindeutiges zu finden. Deshalb kann ich auch erstweiterüberlegen, wenn diese Frage beantwortet wurde. Vorher macht es keinen Sinn.

Oder gibt es andere Möglichkeiten der "vereinfachten" Darstellung?

Es istnur wichtig, das es mathematisch im Bereich des Möglichen liegt und das es so "einfach"wie möglich ist, damit ich weiter darauf aufbauen kann. ;)

Falls niemand esweiss, ist es aber auch nicht arg. :)

DerUnterschied, was das negative Vorzeichen bei der Drehung angeht, sollte daraufzurückzuführen sein, dass bei der Drehung der linke Teil des Graphen im 1. Quadrantenanzufinden ist, bei der Spiegelung bleibt es jedoch der rechte.

n * (2k + n - 1)/2

Moment mal: 1 * (2 * 8 + 1 - 1) / 2 = 8 = 2^3

...OK, war ein Scherz :D

n * (2k + n - 1)/2

für n = 2 => 2 * (2k + 2 - 1) / 2 = 2k + 1
=> alleungeraden Zahlen lassen sich darstellen.

@sarasvati23

Die Spiegelung um die 45°-Achse, die bei der Umkehrfunktionaugtritt, kann auch als eine Rotation um 90° plus Spiegelung um die x-Achse aufgefasstwerden (bzw. Spiegelung um die y-Achse plus Rotation um 90°). Ohne Spiegelung geht'sjedenfalls nicht.

@Tommy137

Meine Rechnung zeigt nur, dass sich alle2er-Potenzen (2^x) nicht als eine Summe aufeinanderfolgender Zahlen darstellen lässt.mso123 hat gezeigt, dass sich alle ungeraden Zahlen als solche darstellen lassen. Offenbleibt also noch, welche geraden Zahlen sich als Summe aufeinanderfolgender Zahlendarstellen lassen.

@ilchgu

Danke, genau das wollte ich lesen. Das ist doch mal eine konkreteAntwort. ;)
Aber meinen Lehrer frage ich trotzdem. :D

Die Spiegelsymmetrieist auch unerlässlich für meine Zwecke. Wenn beides "gleichzeitig" interpretiert werdenkann, umso besser.

mso123 schreibt:

"n * (2k + n - 1)/2 => entweder n ist ungerade oder (2k + n- 1) ist ungerade.
Ein Faktor ist immer ungerade => n * (2k + n - 1)/2 ungleich 2^x,denn 2^x ist immer ein Produkt gerader Zahlen. "

eine zweierpotenz ist immergerade. der ausdruck n * (2k + n - 1)/2 liefert aber doch auch nur gerade werte;
wenn k der startwert sein soll, dann ist 2k immer gerade, egal ob k gerade oderungerade war. n kann nun gerade (1) oder ungerade (2) sein:

(1) gerade * (gerade+ gerade -1) = gerade * ungerade = gerade

(2) ungerade * (gerade + ungerade -1)= ungerade * gerade = gerade

der schluss n * (2k + n - 1)/2 =/= 2erpotenz ist also nicht für alle fälle korrekt, zumindest, wenn man übergerade/ungerade argumentiert.

oder so.

@palladium

der ausdruck n * (2k + n - 1)/2 liefert aber doch auch nur geradewerte

Das ist nicht richtig. Der Ausdruck n*(2k+n-1) liefert nur geradeWerte. Aber durch die Division durch 2 kann der gesamte Ausdruck "n*(2k+n-1)/2" sowohlgerade wie auch ungerade Werte annehmen.

Und der Schluss zu den 2er-Potenzen istkorrekt :)

der blöde nenner

@ ilchegu

mso123 hat gezeigt, dass sich alle ungeraden Zahlen als solchedarstellen lassen. Offen bleibt also noch, welche geraden Zahlen sich als Summeaufeinanderfolgender Zahlen darstellen lassen.

OK, alles klar. So, wie iches mir überlegt habe, muss man bei den geraden Zahlen zwei Fälle utnerscheiden, diejeweils auf die Primfaktorzerlegung zurückzuf+ühren. Entscheidend ist dabei dasVerhältnis der 2er-Potenzen in der Zerlegung und anderer Primzahlen.

Ist leidernicht wirklich gut ausformuliert.


Beispiel 36:

36 = 2*2*3*3

Aus 36/3 = 12 folgt dann, dass man drei Zahlen finden kann, die im Umfeld der 12liegen, in dem Fall also 11, 12, 13.

=> 11+12+13 = 36


Beispiel 68:

68 = 2*2*17

Geht man wie oben vor, bräucht man um 68/17 = 4 also 17Zahlen, die im Umfeld der 4 liegen, was natürlich zu keinem Ergebnis führen kann.

Hier kann man dafür vier Darstellungen der 17 finden, also 8+9, 7+10, 6+11, 5+12, diedann zusammen 5+6+7+8+9+10+11+12 = 68 ergeben.


Das würde ich jetztumgangssprachlich so erklären. Hoffe, es ist nachzuvollziehen (geht am besten mitPapier+Bleistift, indem man selbst andere Beispiel nach dem Schema durchrechnet).

@Tommy137

Ok, aus Deinen Überlegungen wird auch klar, wieso sich jede Zahl, diemind. einen ungearden Primfaktor hat, als Summe von aufeinanderfolgenden Zahlendarstellen lässt. Ich glaube, damit ist das Problem endgültig geklärt :)

ich könnte mal ein programm schreiben, dass jedes Szenario durchrechnet

@tommy
um das zu beweisen müsste es doch eigentlich genügen, wenn man zeigt, dass diefolgeglieder der folge der geraden zahlen, welche keine 2er potenz sind(also 6, 10, 12,14, 18, 20, 22, ... ), lösungen der summenformel sind. man müsste nur diese folgeaufstellen, aber das stellt sich als kompliziert, wenn nicht unmöglich raus.


irgendeine idee für eine rekursive oder explizite beschreibung?

ein bisschen umformuliert und anders betrachtet:


Die Summenformel gilt fürdie Menge 1 bis x. Um einen Abschnitt aus Zahlen (zb von 5-10) als Summenformeldarzustellen, müsste man die Summe aller Zahlen von 1 bis 10 mit der Summe aller Zahlenvon 1 bis 5 subtrahieren.
das sähe so aus:
(x²-x)/2 - (y²-y)/2 = gesuchteZahl/Menge
x wäre in dem Beispiel 10 und y = 5.
Enthält diese Gleichung alsokeine Lösung, dann gibt es auch keine aufeinander folgenden Zahlen, die miteinanderaddiert die gesuchte Zahl ergeben:
folglich hat diese Gleichung keine Lösung für xund y :
(x²-x)/2 - (y²-y)/2 = 2^z

Enthält eine Zahl Primfaktoren die allenicht als Summe aufeinander folgender Zahlen beschrieben werden können, dann kann dieZahl selbst ebenfalls nicht so beschrieben werden. => Sobald sich ein einziger Primfaktorals Summe aufeinander folgender Zahlen beschreiben lässt, lässt sich auch die Zahl selbstbeschreiben. Das heißt dann wohl, dass es keine weitere Primzahl außer der 2 gibt, diesich nicht als Summe aufeinander folgender Zahlen beschreiben lässt.

@ slain

Um nochmal auf deine Folge zu sprechen zu kommen.



Ist das jetzt dieexplizite Darstellung, die vor zwei Tagen von der Formatierung hier so entstellt wurde?


Wenn nicht:

http://fed.matheplanet.com/mpr.php

ne das ist sie nicht - eine klammer wurde falsch gesetzt --- wie kann ich diese bilderhier reinstellen ?

fedgeo

http://fed.matheplanet.com/mpr.php?lma=1

erzeugt jpgs.