Was bedeutet Z[X] in der Mathematik?

Hallihallo,

Ich beschäftige mich gerade mit Zahlentheorie und bin in dem Buch dazu auf diesen Ausdruck gestoßen:

Z[X]

wobei Z das mit den zwei Strichen ist, also die Menge der ganzen Zahlen.

Was bedeutet denn dieser Ausdruck? Hier der Zusamenhang:

Es geht um Kongruenzen und daraus abgeleiteten Rechenregeln. Eine davon lautet so:

a = b (mod m), f ist Element aus Z[X] => f(a) = f(b) (mod m) ('=' steht hier für das Kongruenz-Gleich, also das aus drei Strichen bestehende)

Ich kann das nun leider nicht nachvollziehen, weil ich nicht weiß, was mit Z[X] gemeint ist...

Z.

Sorry, ich kann dir da helfen.

Sind Zahlenmengen oder? Die Liste steht in Formelsammlungen..

irgendwas mit ganzen Zahlen, müsste ich selber nachlesen.

Orbiter... schrieb:Sind Zahlenmengen oder? Die Liste steht in Formelsammlungen..

Da f eine Funktion ist und f ein Element aus Z[X] sein soll, wird Z[X] eine Menge von Funktionen sein. Ab da hört es dann aber bei mir auf, was das genau bedeuten soll...

Zäld

Ich würde eine Aufgabe dazu rechnen.. Ich checks im Moment nicht ganz.

Außerdem fehlt die Defintion, was X sein kann...

Ist das die Betragsfunktion hier da, bei 2.3. ?

http://www.mathe-online.at/lernpfade/Lernpfad848/?kapitel=2

@zaeld

schaust du hier
Wikipedia: Polynomring wegen zeichen


und hier wegen mod
Wikipedia: Restklassenring

Ok, es ist keine Betragsfunktion, dafür ein Polynomring

Ja, inzwischen habe ich es auch im Buch gefunden, es geht tatsächlich um Polynomringe, obwohl ich mich da schon totgesucht hatte.

Danke euch!

Z.

Was macht man mit Polynomringen?

@Interalia

Interalia schrieb:Was macht man mit Polynomringen?

Das kann ich dir derzeit zwar nicht sagen, aber die scheinen eine der Grundlagen für moderne Kryptographie zu sein. Zumindest ist das gerade bei mir der Anlass, mich damit zu beschäftigen.

Z.

@Interalia

Interalia schrieb:Was macht man mit Polynomringen?

Man betreibt bspw. Galoistheorie...

Sssssssssssssss, nächsten Freitag ist Matheklausur, Analysis und ein bischen Stochastik. Das wurde mir dank euch, gerade schlagartig wieder bewusst... :D

@zaeld
Vlt hilft das ja noch ein Stückchen weiter!?
Hab keine Ahnung :)
http://www.staff.uni-oldenburg.de/daniel.grieser/wwwpapers/Grundideen_Galois.pdf
LG Z.

Hier noch Jörn Löviscach dazu, das es witzig bleibt... ;)

12.04_5 kubische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades

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:D

@zaeld

zaeld schrieb am 13.06.2014:Hallihallo,

Ich beschäftige mich gerade mit Zahlentheorie und bin in dem Buch dazu auf diesen Ausdruck gestoßen:

Z[X]

wobei Z das mit den zwei Strichen ist, also die Menge der ganzen Zahlen.

Was bedeutet denn dieser Ausdruck? Hier der Zusamenhang:

Es geht um Kongruenzen und daraus abgeleiteten Rechenregeln. Eine davon lautet so:

a = b (mod m), f ist Element aus Z[X] => f(a) = f(b) (mod m) ('=' steht hier für das Kongruenz-Gleich, also das aus drei Strichen bestehende)

Ich kann das nun leider nicht nachvollziehen, weil ich nicht weiß, was mit Z[X] gemeint ist...

Z.

Zunächst:

Z[x] ist der Polynomring mit Koeffizienten aus Z, also den ganzen Zahlen.

Das heißt alle Polynome, die Koeffizienten aus Z haben..
Das ganze hat eben auch ringeigenschaften, sodass Addition und Multiplikation gruppen sind usw.


Was da also steht ist:

Wenn a=b in mod m ist, und f ist aus Z[x], dann folgt, dass bei dieser Funktion auch die Funktionswerte gleich sind in mod m.

Das ist schon das ganze Geheimnis, das heißt, wenn du ne Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten hast gilt dieser Satz

@Interalia

Man beweist Dinge.

Polynomringe sind einfach eine Struktur, und dadurch, dass man weiß, dass die ne bestimmte Struktur haben, kann man viele Sätze beweisen.

Das geht in tiefere Mathematik rein, das heißt, der anwendungsbezug ist noch nicht so schnell ersichtlich.

In jedem Fall hat man, weil man weiß, dass Polynome über nem Körper einen ring bilden Strukturaussagen die sehr hilfreich sind, z.b. was Abbildungen zwischen zwei ringen betrifft.