0,999...=1?

tuttut schrieb:Doch, in der numerischen Mathematik schon.

Inwiefern ist in der Numerik 10,999....?

Wenn jemand mühe mit dem Verständnis von periodischen Dezimalbruchentwicklungen hat...: Wikipedia: Dezimalsystem#Dezimalbruchentwicklung

suchard schrieb:Wenn jemand mühe mit dem Verständnis von periodischen Dezimalbruchentwicklungen hat..

Ob das dann hilft :D

@kleinundgrün

kleinundgrün schrieb:Ob das dann hilft :D

Es reicht schon, wenn man sich einfach die Beispiele ansieht. ;)

Redet ihr von einer math. Äquivalenz oder von einer Approximation? Ich würde sagen, dass es keine Äquivalenz ist, evtl. kann man eine konstruieren (mal nachschauen), aber eine Approx. gilt sicher, da die Periode ja gegen die gerundete Zahl konvergiert.

Spätestens in der Praxis macht es keinen Unterschied, ob man mit 0.99 periodisch oder 1 rechnet ;).

Es ist aber eben keine Näherung oder Approximation.

Im Zahlenbereich der reellen Zahlen gilt 0.9(periode) = 1 und da gibts auch nichts zu deuteln. Es sind einfach zwei verschiedene Darstellungen der gleichen Zahl. Da gibts auch verschiedenste Beweise für.

0,999...=1?

0,3333333(Periode) = 1/3

3 * 0,333333(Periode) = 0,999999(Periode) = 1/3 * 3 = 1

passt!

0.9999999999 = 1 ?

1 - 0.9999999999 = 0.0000000001

Also aus meiner Sicht fehlen da 0.0000000001 zur 1. Aber gut, ich bin nun auch kein Mathematiker. Interessanter Thread übrigens. Hier lernt man möglicherweise vollkommen neue Sichtweisen über die Mathematik. Das meine ich Ernst.

DearMRHazzard schrieb:Also aus meiner Sicht fehlen da 0.0000000001 zur 1.

Du hast ja auch nur 10 Neuen hinter das Komma geschrieben. Bei 0,999.... sind das aber unendlich viele.

@Perihadion

Naja, wenn ich unendlich viele 9´s hinter´s Komma schreibe und diesen unendlichen Wert von 1 abziehe dann ergibt sich daraus natürlich zunächst 0.00000....bis ins unendliche. In dem Fall verhält sich das Problem dann wie nach der Suche des Endes des Universums und wenn man weiter kommt als dieses dann stösst man auf die 1 die hinter all den Zahlen nach dem Komma zum Vorschein kommen muss :). Da das so wäre ist dann also 0.9999.... ungleich 1.

DearMRHazzard schrieb:Naja, wenn ich unendlich viele 9´s hinter´s Komma schreibe und diesen unendlichen Wert von 1 abziehe dann ergibt sich daraus natürlich zunächst 0.00000....bis ins unendliche. In dem Fall verhält sich das Problem dann wie nach der Suche des Endes des Universums und wenn man weiter kommt als dieses dann stösst man auf die 1 die hinter all den Zahlen nach dem Komma zum Vorschein kommen muss :). Da das so wäre ist dann also 0.9999 ungleich 1.

Bist du Physiker? Die runden auch so komisch ;)

Ist aber mathematisch gesehen falsch, wenn man 0,9(Periode) auf 0,9999 reduziert ...

Issomad schrieb:Bist du Physiker? Die runden auch so komisch ;)

Ganz sicher nicht.

Ist aber mathematisch gesehen falsch, wenn man 0,9(Periode) auf 0,999 reduziert ...

Hab ich nicht. Ich kann ja schlecht unendlich viele 9´s hier hinein schreiben also habe ich aus Zeitgründen nur 10 genommen :).

Beweise, warum 0,9(Periode)=1 ist, findet man übrigens auch auf Wikipedia ;)
Wikipedia: 0,999…

Die hier schon genannten Beweise mit den Brüchen (3 mal 1/3 oder 9 mal 1/9) sind doch sehr anschaulich. Ich versteh nicht, wie man das nicht verstehen kann.

Besonders gut hat mir gefallen:

Frage: Wie viele Mathematiker braucht man, um eine Glühbirne zu wechseln?
Antwort: 0,9

@DearMRHazzard

DearMRHazzard schrieb:und wenn man weiter kommt als dieses dann stösst man auf die 1 die hinter all den Zahlen nach dem Komma zum Vorschein kommen muss

Das ist ja der Witz. Sobald Du auf ne Eins stößt, ist die Nullenfolge davor nicht unendlich. Die vermeintlich irgendwann kommen müssende Eins, sie kommt tatsächlich nie. Kommen kann sie nur bei ner endlichen Menge an Nullen zuvor.

Dein Taschenrechner bzw. Deine Taschenrechnerfunktion aufm PC, wenn Du da "2/3" einibst, dann wird als Ergebnis was angezeigt? Bei mir seh ich "0,6666666666666667". Also ne Folge von fünfzehn Sechsen hinter dem "Nullkomma", und am Ende ne 7. Andere Rechner mit mehr oder weniger Anzeigeplätzen zeigen mehr oder weniger Sechsen an, aber immer am Anfang Nullkomma, und am Ende stets die Sieben. Zwei durch Drei ist also ne unendliche Sechserfolge hinterm Komma, bei der am Ende die Sieben steht. Oder?

Natürlich nicht. Die 7 ist nur ne menschliche Festlegung, ne Aufrundung an der Stelle, wo wir beschließen, die Zahl nicht weiterzuschreiben. Stell Dir die Eins ähnlich vor. Die Eins ist zwar keine Aufrundung, aber dennoch total vergleichbar. Denn bei 2/3 ist es völlig korrekt, daß das geschriebene Ergebnis mit ner 7 am Ende stets näher am richtigen Ergebnis ist wie ne reine Sechserfolge, also mit ner 6 am Ende. Die 7 ist "richtiger". So wie bei Deiner Nullenfolge mit ner irgendwie auftauchen müssenden Eins, wie Du es Dir vorstellst. Es mag Dir richtiger erscheinen, doch gibt es diese 1 bzw. diese 7 nicht wirklich. Nie. Never ever! Nullkommanullperiode besteht absolut ausschließlich aus Nullen und besitzt nicht eine einzige Eins, wie Nullkommasechsperiode absolut vollständig aus Sechsen nach dem Komma besteht und nie eine Sieben hat, die uns doch weit dichter am Ergebnis zu sein scheint.

Für mich am überzeugendsten bzw. anschaulichsten ist ne andere Erklärung. Sie wurde ja schon angesprochen, aber ich will es nochmal verdeutlichen.

Zahlen, die sich in Dezimalschreibweise als Werte mit einer endlichen oder periodischen Ziffernfolge hinterm Komma schreiben lassen, solche Zahlen sind Brüche aus ganzen Zahlen. Kann man ganz leicht umwandeln. Und dann macht man folgendes:

1) bei Zahlen mit endlicher Nachkomma-Ziffernfolge
Man schreibe die betreffende Zahl hin, ziehe einen Querstrich darunter, der in der Mathematik als Divisionsanzeiger gilt. Dann schreibt man unter jede Ziffer rechts vom Komma eine Null und schreibt links vor die Nullen eine Eins. Streiche noch von der Zahl oben das Komma weg. Du hast zwei ganze Zahlen. Teile sie, und Du erhältst das Ergebnis der oberen Zahl mit Komma.
-> 324,258147
-> 324258147 / 1000000 (sechs Nullen für sechs Nachkommastellen der Zahl)
-> = 324,258147

2) bei Zahlen mit einer unendlichen Ziffernfolge nach dem Komma, die aber irgendwann aus einer periodisch wiederkehrenden gleichen Ziffernfolge besteht.
Nimm zunächst nur die Periode, schreibe sie einmal hin. Ziehe einen Strich darunter und schreibe unter jede Ziffer eine Neun. Schreibe nun noch für jede Nachkommastelle vor Beginn der Periode eine Null hinter die Neunerfolge. Die so erhaltene Zahl wird mit dem Rest der Zahl multipliziert, also die Zahl, bei der Du zuvor die Periode "abgeschnitten" hast. Addiere dieses Ergebnis mit der Zahl, die aus einer Periode besteht. Schreibe hinter/unter das Ergebnis ein Teilungszeichen, und schreibe dann die Zahl aus den Neunen (und den Nullen) dazu.
-> 258,147 243... (243 ist periodisch)
-> 243 / 999
-> 243 / 999000 (drei Nullen für die drei Nachkommastellen vor Beginn der Periode)
-> 258,147 x 999000 = 257.888.853
-> 257.888.853 + 243 = 257.889.096
-> 257.889.096 / 999000
-> = 258,147 243... (243 ist periodisch)

So kompliziert ist das nur, wenn die Periode nicht gleich direkt hinterm Komma anfängt und der Wert vor dem Komma nicht Null ist. Bei Zahlen wie 0,444... oder 0,243243243... vereinfacht sich das ganze.
-> 0,444... = 4/9
-> 0,243243243... = 243/999

Nun ist 4/9 nicht etwa nur eine Näherung für 0,4 (4 periode) oder 243/999 für 0,243 (243 periode). Nein, es ist exakt dasselbe. Wenn dem aber so ist, was ist dann mit 0,000... oder 0,999...? Müßten diese Zahlen dann nicht ebenso absolut exakt das selbe sein wie 0/9 und 9/9?

Wenn eine periodische Zahl sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben läßt, dann ist Nullkommanullperiode genau Null durch Neun, also Null. Und nicht "irgendwie knapp darüber".

@perttivalkonen

Ich sag´s Dir ganz ehrlich : Verstanden habe ich nicht sehr viel, aber das liegt nicht an Deinen Ausführungen sondern einfach an meinen Kenntnissen in Mathe. Ich vermute Du hast das sehr toll erklärt und es wird so auch richtig sein alles.

Klasse Thread :).

@DearMRHazzard

Ich verkürze es mal auf ein überschaubares Maß:

0,44444444444444444.......

Das ist 0,4(periode).

Das ist das selbe wie 4 / 9.

Nicht nur annähernd, sondern exakt dasselbe.

Jede Zahl Nullkomma-X periode ist exakt X durch Neun.

Also ist 0,0... Nullkommanullperiode exakt Null durch Neun.

Exakt Null.

@levifan
stimmt - mein Fehler