0,999...=1?

Ist 0,(Periode)9 =1?
Ich habe mir folgendes mal durch den kopf gehen lassen:
1/3 sind gleich 0,(Periode)3.
1/3 heißt ja wortwörtlich der dritte Teil.
Dann sind 3 x 1/3=0,(Periode)9 aber auch gleichzeitig 1 denn 3/3=1.

Ganz einfach:
eine Periodische Zahl hat keine letzte Ziffer.
Also kann man annehmen, dass 0.99... = 1 ist

3.141592653589 schrieb:1/3 heißt ja wortwörtlich der dritte Teil.
Dann sind 3 x 1/3=0,(Periode)9 aber auch gleichzeitig 1 denn 3/3=1.

das auch

Guten Tag, @3.141592653589.

Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch mit mehr Neunern vor den Auslassungspunkten geschrieben oder als 0,9 oder 0,(9)) ist eine reelle Zahl, von der in der Mathematik gezeigt werden kann, dass sie gleich 1 ist. In anderen Worten stellen die Symbole „0,999…“ und „1“ dieselbe Zahl dar. Beweise dieser Gleichung wurden mit unterschiedlichem Grad an Strenge formuliert, je nach bevorzugter Einführung der reellen Zahlen, Hintergrundannahmen, historischem Kontext und Zielgruppe.

Ferner hat jede abbrechende Dezimalzahl ungleich 0 eine alternative Darstellung mit unendlich vielen Neunern, zum Beispiel 8,31999… für 8,32. Die abbrechende Darstellung wird wegen der Kürze meist bevorzugt. Das gleiche Phänomen tritt auch in anderen Basen auf.

Es wurden Zahlensysteme entwickelt, in denen diese Gleichung nicht gilt.

Quelle: Wikipedia: 0,999…

Vilt. hilft dir dieser Artikel ja weiter.

:ok:

Grüße.

3.141592653589 schrieb:1/3 heißt ja wortwörtlich der dritte Teil.
Dann sind 3 x 1/3=0,(Periode)9 aber auch gleichzeitig 1 denn 3/3=1.

und das ist auch einer der mathematischen beweise dafür.
wurde uns zumindest im studium so erklärt.

Die Differenz zwischen 0,99999... und 1,0 ist 0,00000..., also 0. Damit sind die beiden Zahlen identisch.

Was, wie bitte? 0,9 Periode soll = 1 sein? Da fehlt aber noch was, nämlich die 0,1 Periode :)

Fast Komplett ist eben doch nicht ganz Komplett...

0,9 Periode + 0,1 Periode ist nicht 1...

Gibt mehrere Beweise das 0.999...periode = 1...

Bsp.

x=0.999...periode |*10
10x = 9.999...periode |-x
9x=9 |/9
x=1

@Atrox

Atrox schrieb:0,9 Periode + 0,1 Periode ist nicht 1...

Nein? Was dann?

Wenn 0,9 + 0,1 = 1 ist, dann ist es doch egal wie viele immergleiche Ziffern noch hinter dem Komma stehen, es müsste dann auch immer zum gleichen Ergebnis führen. Ich bin völlig irritiert!

Nicolaus schrieb:Nein? Was dann?

1,11111....

@Nicolaus
nein ist es nicht, weil es unendliche stellen nach dem komma gibt.


also 0,999999999 unendlich weitere 9 + 0,11111111111111111111111 unendlich weitere 1 = 1

eigentlich stimmt die =1 auch nicht, weil das nicht stimmen kann.

@Nicolaus


0,9 + 0,1 = 1
0,99 + 0,11 = 1.1
0,999 + 0,111 = 1.11
0,9999 + 0,1111 = 1.111
...
9/9+1/9=10/9

Samsaraa schrieb:eigentlich stimmt die =1 auch nicht, weil das nicht stimmen kann.

Doch. Die stimmt.
Du hast nur das Problem, dass Du denkst, irgendwo müssen die 9er mal zu ende sein und dann gäbe es eine klitzekleine Lücke zur Eins.
Aber das ist falsch. Es sind unendlich viele Neuner. Es gibt keine Lücke.

@Atrox
@suchard
@Samsaraa
@kleinundgrün

Ihr habt wohl irgendwie Recht und trotzdem kapier ich das nicht...

@kleinundgrün
bei undlich gibt es immer eine lücke, wenn man man verucht die unendlichkeit in einem punkt zu messen.

man muss dann die unendlichkeit bertrachten und nicht irgendwo aufhören.

Nicolaus schrieb:Ihr habt wohl irgendwie Recht und trotzdem kapier ich das nicht...

Du musst Dich einfach von der Vorstellung frei machen, dass ganz hinten irgendwo mal die Neuner zu Ende sein könnten und dass da dann die winzige Lücke auftaucht, die eine Differenz zu 1 bildet.
Diese Lücke gibt es nicht. die Differenz ist exakt 0.

@Nicolaus

Es endet einfach nicht, deswegen sagen wir auch, wenn wir annehmen das 0,999....=1, dass es sich um eine Annäherung handelt.

Samsaraa schrieb:bei undlich gibt es immer eine lücke

Parallelen schneiden sich in der Unendlichkeit. Also nie.
Unendlich viele 9er nach dem Komma erlauben keine Lücke, denn nichts "passt" mehr dahinter.

tuttut schrieb:dass es sich um eine Annäherung handelt.

Das ist eben keine Annäherung. Es ist exakt das gleiche.

@Nicolaus

Mal ein Beispiel ohne Periode:

0,999 + 0,001

Die letzte Stelle von 0,999 wird zu Null, links davon wird eine 1 addiert. Da zieht dann wieder eine 1 rüber. Die Zahl links von Komma wird dann 0+1 addiert und es kommt glatt 1 raus.

Rechnest du:

0,999+0,111

Hier kommt zur "1 im Sinn " immer noch eine 1 dazu. Du kommst also auf 1,110.

@kleinundgrün

Doch, in der numerischen Mathematik schon.