Gespräche mit einem 2-Dimensionalen
Ich will mal versuchen, mich von einer bestimmten Seite nochmal an die Metrik der 4D-Raumzeit heran-zu-wagen.
Eine Metrik ist eine Abstandsfunktion.
Vieles wird weg-gelassen (Symmetrie-Eigenschaften etwa).
Den Schwerpunkt lege ich auf den 45°-Winkel bzw. auf die Bedeutung von Diagonalen.
Vielleicht entwickelt sich daraus noch mehr.
Ich wills auf lockere Weise versuchen - nicht mit dem Anspruch auf mathematische Korrektheit. In dieser Hinsicht bitte ich deswegen nochmal (oder wieder) die Mathematiker um entsprechende Kritik.
Die Akteure, ER, SIE, ES werden folgendermaßen abgekürzt:
Der 2-Dimensionale mit 2D (ER: männlicher Flachmann)
Die 3-Dimensionale mit 3D (SIE: weibliche Räumlichkeit)
Das 4-Dimensionale mit 4D ( ES: das raumzeitliche Phantom )
2D: Was meinst du mit "Dimension"?
3D: Leg mal irgendwo eine 2D-Schnur hin und zieh sie straff!
2D: Hab ich gemacht.
3D: Gut. Jetzt stellst du dich auf den Ursprung deiner Schnur, guckst in Richtung auf ihr Ende, drehst du dich um 45° nach links und baust von dort aus nach vorne eine 2D-Mauer.
2D: Hab ich gemacht.
3D: Genau das Gleiche machst du, nachdem du dich um 45° nach rechts gedreht hast. Du baust wieder vom Anfang deines Fadens aus nach vorne eine 2D-Mauer.
2D: Hab ich gemacht.
3D: Gut. Nächster Schritt: Du läufst an das Ende deiner Schnur, drehst dich rum und wiederholst die Prozedur.
2D: Is ja ulkig.
3D: Meinetwegen. Aber du willst, dass ich dir was über meine Dimension erzähle. Also: Das Ding, das du jetzt gezimmert hast, nennen wir spaßeshalber mal 2D-Zelle.
2D: Wenn ich nicht in meinen Mauern hängen bleibe, solls mir recht sein. Und was hat's nu mit den 45° auf sich?
3D: Ich versuchs zu erklären: Du hast mit diesem Trick deine Diagonal-Schnur in zwei gleiche Abstands-Anteile aufgeteilt von RECHTS und LINKS. Hinten/vorne lassen wir der Einfachheit halber mal weg und sagen, du hast jetzt ein Koordinaten-System mit einem Ursprung und zwei Achsen bei gleichem Maßstab. Der Maßstab, mit dem du ab jetzt Abstände misst, hat sich ergeben als Projektion der Diagonalen auf die beiden Achsen.
2D: Aha. Dann nenne ich die Länge der Mauern, also der 2 Achsen, mal 1 Faden. Meine Diagonal-Schnur is etwas länger.
3D: So solls sein. Prima. Was ich mit Projektion meine, muss ich nicht erklären.
Ab jetzt kannst du innerhalb deiner Zelle JEDEN Punkt genau benennen, indem du ihm vom Ursprung deines Koordinaten-Systems aus einen Abstands-Wert für LINKS und einen für RECHTS zuordnest.
2D: Ha - wie im Kindergarten. Ich bin ein Stück weit gelaufen in meiner Zelle und hab nachgemessen. Ich steh jetzt auf 0,8 Faden LINKS und 0,3 Faden RECHTS.
3D: Toll - aber jetzt kommt der Brain-Suck für dich! Pass auf:
Du hast dir in deiner 2D-Welt eine Zelle gebaut aus 4 gleich-langen Mauern/Achsen. In meiner Welt kann ich aus 6 solchen Zellen, wie du nun eine gebaut hast, wieder eine Zelle bauen:
In 3 Dimensionen. So etwas nennt sich dann Würfel.
2D: Das gibts doch gar nicht!? Was soll das denn für'ne Zelle sein?
3D: Ja - das gibts in deiner Welt tatsächlich nicht. Aber du musst mir jetzt einfach mal glauben. Mein Koordinaten-System hat nicht nur 2, sondern 3 Achsen. Die 3. Achse nenne ich OBEN (unten lassen wir mal weg). Und stell dir vor - in meiner 3D-Zelle gibt es auch wieder eine Diagonale, die zu ALLEN 3 Achsen in einem Winkel von 45° verläuft und deren Projektion auf die 3 Achsen einen für alle 3 Achsen gleichen Abstandswert ergibt - GENAU SO wie bei dir für deine 2 Achsen!
Das ist die Gemeinsamkeit zwischen unseren Welten!
Ich hab die Diagonale also in 3 gleiche Werte aufgeteilt von LINKS, RECHTS und von OBEN.
2D: Sachen gibts - die gibts gar nicht !
3D: Ja - und ich kann jetzt jeden Punkt in meiner Zelle so wie du es mit 2 Werten konntest eben mit 3 Abstands-Werten benennen.
Du bezeichnest mit deinen 2 Abstands-Werten Punkte auf einer Fläche.
Ich bezeichne mit meinen 3 Abstands-Werten Punkte in einem Raum.
2D: Also bei dir muss es ja dann wirklich hoch hergehn!
4D: Darf ich mich nun auch mal zu Wort melden?
2D: Wer bist du denn jetzt?
4D: Ich komme aus der nächsten Dimension! Man nennt mich das Phantom der Raumzeit. Ich habe kein Koordinaten-System mit 3 Achsen - ich habe eines mit 4 Achsen. Meine Zelle wird gebildet aus 8 solchen Zellen, wie du sie gebaut hast, 2D - und auch bei mir gibt es wieder eine Diagonale, deren Projektion auf die vier Achsen auf allen diesen 4 Achsen die gleichen Abstands-Werte ergibt.
2D: Erzähl nichts vom Pferd! Das mit den 3 Achsen ist mir schon zu hoch. Und jetzt kommst du auch noch mit Vieren.
3D: Im Ernst - das check ja nicht mal ich! Wie soll es denn eine Diagonale geben, die zu 4 Achsen in einem Winkel von 45° verläuft? Und wie soll ich mir denn bitteschön eine Zelle vorstellen aus 8 Flächen-Quadraten?
4D: Ja, 3D - das gibts halt nu wieder in DEINER Welt nicht. Das kannst du dir nicht vorstellen. Denke es dir am besten als Kugel. 4 Flächen reichen vom Südpol bis zum Äquator - die anderen 4 gehen vom Äquator bis zum Nordpol. Sind natürlich keine quadratischen Zellen mehr jetzt, so wie von 2D gebaut. Klar. Und die Diagonale ist die Verbindung von Nordpol mit Südpol.
Diese Verbindung von Nord- mit Südpol entspräche einem Abstand von 300.000 km - und die Projektion läuft nun auch ein wenig anders. So ungefähr:
Aber bitteschön - was besseres fällt mir nicht ein, um es für dich einigermaßen anschaulich zu machen. Die Raumzeit ist WIEDER ein geschlossene Zelle. Aber damit sie sich schließen kann, muss sie gekrümmt sein. Es stimmt jetzt zwar alles nicht mehr genau. Die 45° verändern sich stetig und sind jetzt so etwas wie ein Mittelwert. Jedenfalls hast du jetzt ahnungsweise ein Bild von der 4D-Raumzeit.
Wichtig ist dabei vielleicht noch folgendes - das macht dir bestimmt auch Probleme:
Im 3D-Raum hast du gleiche Maßstäbe auf allen drei Achsen - und du kannst im Prinzip die Achsen miteinander vertauschen. In der 4D-Raumzeit hast du zwar auf allen 4 Achsen auch die gleichen Maßstäbe (Abstands-Werte als Teile von 300.000 km). Du kannst die Achsen nicht mehr vertauschen.
Auf der Zeitachse nämlich hast du eine Doppel-Bedeutung:
Die Strecke ENTSPRICHT DORT einer Zeit - 300.000 km = 1 sec
Aber ich kann auf jeden Fall - genau so wie ihr beiden - mit 4 Abstands-Werten - jeden Punkt in der Raumzeit genau benennen.
3D: Na ja - das ist alles noch sehr nebulöses Zeug für mich.