Division durch Null

kereszturi schrieb:Und wenn ich dazu noch bemerken kann: Gerade Dein Missverständnis (über andere gar zu schweigen...) zeigen mir, dass meine Formel etwas "Sonderbares" aufdeckt - aber bitte, bitte nicht meine Person, sondern die Formel Phi^p-(Phi-1)^p etwas gründlicher studieren...

Hast du eine konkrete Idee oder Hoffnung, was diese Sonderbarkeit sein soll oder sein könnte? Es ist inhaltlich irrelevant, wäre aber für mich interessant zu erfahren.

Ansonsten habe ich mit Zettel und Stift noch einmal etwas mit deiner Formel herumgespielt und möchte meine bisherigen Erkenntnisse präsentieren.
Ausgangspunkt sind die Werte
Phi = (1+sqrt(5))/2 = 1/2 + sqrt(5)/2 = (1/2)*(1+sqrt(5))
Phi - 1 =  (-1+sqrt(5))/2 = -1/2 + sqrt(5)/2 = (1/2)*(-1+sqrt(5))
die ich erst einmal einfach umforme bzw. etwas anders darstelle.

Die Potenzen dieser Werte
Phi^n = (1/2)^n*(1+sqrt(5))^n
sind dann von einer Form, bei der ich direkt an den binomischen Lehrsatz dachte, siehe Wikipedia: Binomischer Lehrsatz.
Hier in unserem Falle wäre dann x = 1 bzw. x = -1 und y = sqrt(5).
Phi^n und (Phi-1)^n kann man also in solch eine Summenschreibweise bringen. Dabei hat man dann also eine Summe, deren Summanden das Produkt einer Potenz von 1 bzw -1 und einer Potenz von sqrt(5) sind.
Subtrahiert man diese Summen nun voneinander, dann fallen einem beim rechnen mehrere Sachen auf. Die Potenzen von -1 liefern für die Summanden abwechselnd +1 und -1, so dass sich jeder zweite Summand der eine Summe mit dem entsprechenden Summanden der anderen Summe weghebt bzw. zu 0 addiert.
Übrig bleiben ausschließlich die Summanden, bei denen sqrt(5) mit einer geraden Zahl potenziert wird.


Dieses ganze Blah wird nun keiner verstehen, der es nicht einmal mal selbst nachrechnet. Mit etwas mehr Zeit würde ich es mal texen und zur Begutachtung irgendwie hier hochladen. Anyway.

Was zumindest mir diese Rechnung zeigt ist, dass Phi^n - (Phi-1)^n für gerade Exponenten n immer eine ganze Zahl ergibt, was sich rechnerisch visualisieren lässt:
Phi^1 - (Phi-1)^1 = 1
Phi^3 - (Phi-1)^3 = 4
Phi^5 - (Phi-1)^5 = 11
Phi^7 - (Phi-1)^7 = 29
Phi^9 - (Phi-1)^9 = 76
...
Phi^15 - (Phi-1)^15 = 1364 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 43

Zu viel muss da gar nicht gerechnet werden. Es lässt sich zeigen, dass diese Differenz für gerade Exponenten immer ein ganzzahliges Ergebnis liefert. Punkt.
In wie fern es dabei für das Ergebnis eine Rolle spielt, dass der Exponent eine Primzahl war, kann ich allerdings nicht weiter diskutieren. Vielleicht kann man meine oben erläuterte Rechnerei noch soweit treiben, dass man eine explizite Formel für die n-te Potenz herleiten kann, aber was ich jetzt vor mir auf dem Papier stehen habe sieht nicht gerade vielversprechend aus.
Bei ein wenig herumgespiele mit den Zahlen fand ich mit p=19 und p=23 noch weitere Beispiele, wann das Ergebnis keine Primzahl ist.

@kereszturi:

kereszturi schrieb:Ich weiss (immer noch) so, dass Phi eine transzendente Zahl ist ...

kereszturi schrieb:... aber Phi (m.M.n) doch eine transzendente Zahl ist ...

Der Begriff "Transzendente Zahl" ist eindeutig definiert. Phi erfüllt diese Definition eindeutig nicht. Du solltest Dich damit abfinden.

@BlackFlame: Schöner Beitrag!

Mir fehlt gerade die Zeit, um die Herleitung zu beschreiben, aber um's mal festzuhalten: Für alle Lösungen der Gleichung x² - x - a = 0 mit ganzzahligem a liefert @kereszturi's Formel xⁿ-(x-1)ⁿ mit natürlichem ungeraden n ganzzahlige Ergebnisse. Das gilt also nicht nur für Phi = (1+√5)/2 (a=1) sondern z.B. auch für (1+√13)/2 (a=3). Die Ganzzahligkeit der Ergebnisse hat also nichts mit einer besonderen "Magie" von Phi zu tun.

@uatu
Deinen letzten Punkt hatte ich tatsächlich nicht so deutlich hervorgehoben bzw. sogar gar nicht erwähnt.
Bei meiner Rechnung auf dem Papier wurde Phi auch erst einmal ein allgemeiner Wert, den ich x nannte, was mit obiger Vorgehensweise am Ende ein Polynom ergabt, mit ganzzahligen Koeffizienten und welches nur aus gerade Potenzen von x zusammengesetzt war.
Daraus hätte ich in meinem letzten Beitrag sogar noch als Schlussfolgerung angeben können, dass x^n-(x-1)^n genau dann ganzzahlig wird, wenn alle gerade Potenzen von x ganzzahlig sind, also genau dann wenn n eine ungerade natürliche Zahl ist. Insbesondere gilt dies also für alle reellwertigen Quadratwurzeln und die +sqrt(5), die im goldenen Schnitt auftaucht, ist somit nur ein Spezialfall dafür.

@BlackFlame
@uatu

Der Thread heisst ja "Division durch Null" und ihr seid jetzt so bei "Phi multipliziert mit Irgendwas ergibt Primzahlen, aber manche davon fallen durchs Sieb des Erasmus".

Vom Dippelche aufs Töpfche, hätt meine Oma gesagt. :)

(Keine Kritik, ich finds nur grad lustig :) )

@neoschamane

"Der Computer ist da, um zu rechnen, nicht um Ausreden wie 'Kann nicht
durch Null teilen' auf den Bildschirm zu schreiben."
--Marco Haschka in de.org.ccc

Ich kenn ja jetzt den Kontext nicht und vermutlich ist das mehr so eine satierische Einlage gewesen. Aber trotzdem: Dass ein Rechner in so einer Situation ne Exeption raushsaut ist gewollt und gewünscht. Ein Grund dafür ist, dass es für Divisionen durch Null keine sinnvollen Anwendungen gibt - das könnte sogar der Hauptgrund schlechthin sein. :)

Sonst passieren eben zuweilen merkwürdige Sachen wie zB. das hier (aus einem anderem Forum geklaut):

Und so kam es.
Man fährt ne Papiermaschine herunter bis zum Stillstand. Für die genaue Geschwindigkeit sind in den Antrieben noch ein paar Berechnungen definiert (Walzendurchmesser, Getriebeübersetzungen, ratio...).
Kurz vorm Stillstand gibt das Obersieb noch mal vollgas...Division by Zero.
Hat das Obersieb natürlich nicht überlebt. 16k Euro Schaden.

Gut, das war jetzt nur so ne doofe Papiermaschine, die blöd in der Landschaft rumsteht. Aber mal weitergedacht: Herzschrittmacher, Airbusse,  Atomkraftwerke, Marssonden ...

Ok, auch da ist es nicht besonders wünschenswert, dass da plötzlich ne MessageBox mit einem "Division by zero"-Error aufploppt. Aber im Zweifelsfall vermutlich besser als dem Schicksal der Papiermaschine zu folgen.

In der Praxis gibts eigentlich nur 2 Gründe, warum es zu einer entsprechenden Meldung kommt:  

Der Programmierer hat einen Fehler gemacht (menschliches Versagen) oder das Programm wurde mit falschen Daten gefüttert (auch menschliches Versagen, weil der Programmierer sich darum hätte kümmern müssen).

You see?^^ :)

Weil ich grad noch ein bischen Zeit und Lust hab:

Dem TE gings ja dadrum, dass er "Divison by Zero"-Errors kriegt und er das nervig fand, das irgendwie hadeln zu müssen.

Früher™, als die CPU's noch 8-bit Register hatten, gabs noch keinen DIV-Befehl (jedenfalls nicht, dass ich wüsste). Aber Addition und Subtraktion, das war drin. Der einfachste Weg (wenn auch nicht der Schnellste) war also mehrfach zu subtrahieren, wenn man dividieren wollte.

Einfaches Beispiel (mit ganzen Zahlen):

13/4 ... 13-4=9; 9-4=5; 5-4=1; 1-4=die CPU meldet einen Übertrag und setzt das Carry-Flag, welches vom Programm abgefragt wird. Man macht den Rechenschritt rückgänging und stellt fest, dass man 3 mal erfolgreich dividieren konnte und einen Rest von "Eins" erhält.

Das Ganze kann man sich jetzt auch nochmal mit 13-1 gedanklich durchspielen, das geht 13 Mal mit einem Rest von Null. Was aber passiert, wenn der Subtrahend (heisst so, oder?) Null ist?

13-0=0 (kein Übertrag)
13-0=0 ...
13-0=0 ...
...

Es kommt nie zu einem Übertrag und das Programm läuft in einer Endlos-Schleife. Da passiert nichts mehr. Und das vollkommen zu Recht. Das Fazit ist halt, dass der Programmierer sowas abfangen bzw. handeln muss. Und wie das obige Beispiel zeigt, sollte ein Programmierer sich dankbar verneigen, wenn das Betriebssytem sowas abfängt.

Durch die Blume heisst das etwa soviel wie: "Hallo, McFly - jemand zuhause?^^"

Weder das OS noch das Programm kann "wissen" was in einem solchen Fall zu tun ist - nur der Programmierer. Das ist jedenfalls derzeitiger Stand der Technik. Und laut Turing wird sich diesbezüglich auch nichts mehr daran so schnell ändern. :)

@Yoshimitzu:

Yoshimitzu schrieb:Früher™, als die CPU's noch 8-bit Register hatten, gabs noch keinen DIV-Befehl ...

Damit keine Mythen entstehen: Die Bitbreite der Register einer CPU und das Vorhandensein einer Hardware-Division haben technisch nichts miteinander zu tun. Eine Hardware-Division "kostet" halt nur viele Transistoren, und die waren früher knapp. Prinzipiell sind das aber völlig unabhängige Design-Entscheidungen.

@uatu

Eine Hardware-Division "kostet" halt nur viele Transistoren, und die waren früher knapp.

Nein. Ich hab ja die Software-Division beschrieben. Und die hat halt viele Taktzyklen gekostet, und die waren damals wertvoll. Was ja (heute) eigentlich nicht weiter schlimm ist, wenn es nicht zu einer unerwünschten Folge kommt.

@Yoshimitzu:

Yoshimitzu schrieb:Nein. Die hat halt viele Taktzyklen gekostet, un die waren wertvoll.

Das ist falsch. Eine Hardware-Division ist (bei sinnvoller Implementation) immer schneller als eine Software-Division, "bringt" also Taktzyklen. Die Design-Entscheidung, ob man eine Hardware-Division implementiert, oder nicht, hängt, wie ich schrieb, im wesentlichen davon ab, ob man entsprechend viele Transistoren zur Verfügung hat, bzw. keine bessere Verwendungsmöglichkeit dafür hat.

@uatu

Ich hab doch ausdrücklich von einer Zeit gesprochen, als die CPU's noch nicht multiplizieren konnten.

Trotzdem: Ich schätze diene Meinung.

Grad was Division durch Null betrifft - um mal aufs topic zu kommen - was soll der "Computer" machen, wenns soweit ist? :)

@Yoshimitzu:

Yoshimitzu schrieb:Ich hab doch ausdrücklich von einer Zeit gesprochen, als die CPU's noch nicht multiplizieren konnten.

Multiplikation ist wieder ein anderes Thema, aber ich sehe hier die Gefahr einer Mythenbildung, deshalb möchte ich es nochmal ausdrücklich klarstellen: Die Implementation einer Hardware-Division (oder auch -Multiplikation) ist eine weitgehend unabhängige Design-Entscheidung, die im wesentlichen davon abhängt, ob man die (relativ vielen) dafür notwendigen Transistoren zur Verfügung hat. Ich habe selbst im Chip-Design gearbeitet, ich weiss wovon ich rede.

@uatu

Du weichst gescickt aus. Die Frage ist doch, was passieren soll, wenn auf-einmal durch Null dividiert werden soll. Los, erzähl *wissen-will* :)

@Yoshimitzu


mathematisch gesehn ist ja eine Division nur eine Subtraktion bzw. eine Multiplikation eine erweiterte Addition.

oder wie oft kann ich eine Zahl von einer anderen abziehen, so dass es am Ende 0 ergibt. Bei 0 geht das eben nicht...man kommt nie auf 0 egal wie oft man sie abzieht. So könnte man es auch erklären.

@uatu und Co.

Natürlich habt Ihr Recht - ich werde nie mehr Phi als "transzendente Zahl" bezeichnen... Vielen Dank! (Ich habe einen Satz in einer Abhandlung von Stephan Wojtowytsch (Die Transzendenz von e - 21. Juni 2009) versehentlich als Bestätigung für die Transzendenz von Phi in mener Erinnerung behalten - hja! ich werde ja nicht jünger...)

Wenn ich also jetzt - hoffentlich - richtig verstehe, sind diese "NULL-Stellen von Polynomen" sozusagen "die Hüter der Schwelle" zwischen algebraischen und transzendenten Zahlen. Okay.

Dein Beispiel mit (1+sqrt13)/2 ist natürlich ebenso hochinteressant ((Ich habe Versuche gemacht mit Formel Phi^p(a) - (Phi-1)^p(b), wobei p(a) und p(b) VERSCHIEDENE Primzahlen sind - aber mein Taschenrechner "kapitulierte" ziemlich schnell dabei - ich musste aufhören...)) Es stellt sich die Frage, welche weitere Zahlen noch in Frage kämen bei (1+sqrtN)/2 um weiterhin bei dem Ball zu bleiben...

@BlackFlame

Deine Nicht-Primzahle-Resultaten kenne ich gut - ich habe ja nie behauptet, dass "meine Formel" IMMER zur Primzahlen führt! Ich äusserte nur die Vermutung, dass es HÄUFIGER geschieht, als man es gemäss x/ln(x) - wie sonst bei der Primzahlen-Verteilung - "erwarten" könnte.

Ich gehe jetzt zu einem Primzahlen-Forum (Eventuell kann mir Peter Plichta helfen...) - und lasse Euch weiterhin fröhlich mit NULL dividieren

An Allen meine beste Wünsche: Endre

@kereszturi:

kereszturi schrieb:... mein Taschenrechner "kapitulierte" ziemlich schnell dabei ...

Ich möchte Dir -- unabhängig vom aktuellen Thema --Wolfram Alpha empfehlen. Damit macht vieles wesentlich mehr Spass als mit einem Taschenrechner. Als Einstieg am Besten erst mal die Examples (Archiv-Version vom 08.06.2017) ansehen.

Die Definition von undendlich ist schon mal nicht klar, besonders das Verhältnis zweier unendlicher Mengen zueinander.

Ein beliebtes von Mathematikern besprochenes Rätsel dazu wäre folgendes:

Ein Hotel hat unendlich viele Zimmer, aber auch unendlich viele Gäste.

Es klopft ein Mann an und der Portier sagt: Wir sind belegt.

Der Gast sagt: Aber sie haben doch unendlich viele Zimmer.

Der Portier sagt: Wir haben aber auch unendlich viele Gäste:

Der Gast schlägt vor: Wenn jeder Gast bei fortlaufender Zimmernummerierung ein Zimmer weiter rückt, dann ist doch Zimmer Nr 1 frei und ich kann es bekommen.

Hat der Gast Recht oder nicht?

Diese Frage ist nicht abschließend geklärt.

meldet einen Übertrag und setzt das Carry-Flag

Es kommt nie zu einem Übertrag und das Programm läuft in einer Endlos-Schleife.

dem stimme ich "so" nicht zu...

abgesehen von dem carry flag gibt es auch ein zero flag(und noch andere)

und wenn Du operationen durchfuehrts welche die flags veraendern(wo die flags relevant sind) und Du diese nicht abfragst(bedingte spruenge z.b),...jo...

abgesehen davon wird div durch 0(soweit ich mich erinnere) schon auf hardwarebene(interupt) abgefangen.

Früher™, als die CPU's noch 8-bit Register hatten, gabs noch keinen DIV-Befehl (jedenfalls nicht, dass ich wüsste). Aber Addition und Subtraktion, das war drin.

_passende_ zahlen lassen sich auch mit einfachen shift befehlen multiplizieren/dividieren(sehr schnell)

@neoschamane:

neoschamane schrieb:... abgesehen davon wird div durch 0(soweit ich mich erinnere) schon auf hardwarebene(interupt) abgefangen.

@Yoshimitzu hatte ja eine Software-Division beschrieben. Da muss man den Fall "Division durch Null" vor oder während der Division "manuell" abfangen.

@sacredheart, ist jeder weitere Gast nicht grundsätzlich Teil der unendlichen Menge Gäste oder ist das zu einfach gedacht?

Das ist die Frage, die sich stellt? Ich habe keine festgelegte Meinung dazu, bin auch kein Mathematiker. Mich hat nur diese einfache Veranschaulichung eines sehr komplexen mathematischen Problems interessiert.

Mathematisch lautet die nicht abschließend gelöste Frage: Ist Unendlich+1 gleich unendlich?