Makroskopische Theorien

@darkExistence
@drecksbengel
@Zotteltier


Ihr scheint euch auszukennen, kann mit jemand vielleicht die Frage beantworten ob die Raumzeit in der SRT ein Vektorraum ist ? Es gibt ja eigentlich kein inverses Element, da dies ja bedeuten würde das man sich in der Zeit zurück bewegt.

@nytron

Mal schaun ob ichs noch zusammenbekomme. Wenn ich wider guten Willens Quatsch erzähle möchte man mich bitte berichtigen, das ganze ist bei mir etwas länger her und mangels Bedarf auch verkommen ;)

Die Raumzeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erweitert um einen metrischen Tensor.
Das heißt, dass die 4-dimensionale Raumzeit nach Whitney auf jedenfall eine Immersion im 8-dimensionalen euklidischen Raum hat oder sogar komplett in ihm einbettbar ist.

Das kann man sich so vorstellen als ob man eine geschlossene Schnur auf ein Blatt Papier legen möchte ohne dass es Überschneidungen gibt.

Innerhalb des 8-dimensionalen Raumes kann man die Raumzeit also in jedem Fall "auseinandergefaltet" betrachten, dort bildet sie dann eine Untermenge. Aber sie ist nicht gleich des 8-dimensionalen Raumes, sondern nur eine wie auch immer verbeulte Untermenge, und damit allgemein kein (Unter)-Vektorraum, denn es lässt sich leicht ein Vektor finden, der in Richtung eines Raumabschnittes zeigt, der nicht in der Untermenge liegt.

So wie also die geschlossene Schnur, die sauber in den E² eingebetten werden kann, mit Sicherheit keinen Vektorraum bilden kann, so kann auch eine gekrümmte Raumzeit allgemein kein Vektorraum sein.

Wohl aber hat die Raumzeit an jedem Punkt einen Tangentialraum, der ein euklidischer Raum ist. D.h. die lineare Approximation der Raumzeit an einer gewissen Stelle ist ein euklidischer Raum, der natürlich in sich selbst, als auch als Unterraum als beliebige Einbettung ein Vektorraum ist.

In der speziellen Relativitätstheorie zeichnet sich die Raumzeit gerade durch Fehlen oder besser durch Vernachlässigen von Gravitation aus. Der differenzierbare Atlas der Raumzeit ist also einfach unabhängig von Ort und Zeit konstant, was bedeutet, dass alle Tangentialräume gleich sind.

Wir lernen also: Die Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit und daher natürlich kein Vektorraum. Sie lässt sich allerdings in einen Vektorraum einbetten und ist dort eine Untermannigfaltigkeit. Diese lässt sich dort durch einen Vektorraum approximieren, den sogenannten Tangentialraum. Im Falle der SRT approximiert der Tangentialraum die Raumzeit vollständig. Damit ist die Raumzeit der SRT genau dann ein (euklidischer) Vektorraum, wenn man einen Koordinatenursprung einführt.

@HYPATIA

HYPATIA schrieb:Mal schaun ob ichs noch zusammenbekomme. Wenn ich wider guten Willens Quatsch erzähle möchte man mich bitte berichtigen, das ganze ist bei mir etwas länger her und mangels Bedarf auch verkommen

Ich bin momentan erst dabei es zu verstehen, d.h. ich bin noch in der 13ten klasse, nur will ich danach gleich mit dem Mathematik Studium beginnen. Der Schulstoff in Mathe & Physik ist simpel und da es in der Uni dann erst richtig zur Sache geht kann es nicht schaden sich mal mit den Grundlagen der linearen Algebra und der Analysis zu befassen, vom dem her sagen mir Mannigfaltigkeiten und Tangentialräume temporär noch nicht so viel :D
Trotzdem danke für die Antwort

HYPATIA schrieb:Die Raumzeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit erweitert um einen metrischen Tensor.
Das heißt, dass die 4-dimensionale Raumzeit nach Whitney auf jedenfall eine Immersion im 8-dimensionalen euklidischen Raum hat oder sogar komplett in ihm einbettbar ist.

Ich hatte mal irgendwo gelesen, dass die Raumzeit nicht zwingend in einem höherdimensionalen Raum eingebettet sein muss ?

Wohl aber hat die Raumzeit an jedem Punkt einen Tangentialraum, der ein euklidischer Raum ist. D.h. die lineare Approximation der Raumzeit an einer gewissen Stelle ist ein euklidischer Raum, der natürlich in sich selbst, als auch als Unterraum als beliebige Einbettung ein Vektorraum ist.

In der speziellen Relativitätstheorie zeichnet sich die Raumzeit gerade durch Fehlen oder besser durch Vernachlässigen von Gravitation aus. Der differenzierbare Atlas der Raumzeit ist also einfach unabhängig von Ort und Zeit konstant, was bedeutet, dass alle Tangentialräume gleich sind.

Wir lernen also: Die Raumzeit ist eine Mannigfaltigkeit und daher natürlich kein Vektorraum. Sie lässt sich allerdings in einen Vektorraum einbetten und ist dort eine Untermannigfaltigkeit. Diese lässt sich dort durch einen Vektorraum approximieren, den sogenannten Tangentialraum. Im Falle der SRT approximiert der Tangentialraum die Raumzeit vollständig. Damit ist die Raumzeit der SRT genau dann ein (euklidischer) Vektorraum, wenn man einen Koordinatenursprung einführt.

Der Subraum eines Vektorraums kann also wiederum ein Vektorraum sein ?

Könnte man auch sagen: Dann und nur dann wenn der Satz des Pythagoras gilt, ist die Raumzeit ein euklidischer Vektorraum ?
Weiterhin kann ich doch behaupten, dass es mindestens eine Basis mit 4 linear unabhängigen Basisvektoren gibt ? Es wird ja immer gesagt die Raumzeit sei 4 dimensional...

Man nehme an es finden 2 Ereignisse A;B an verschiedenen Orten und zu verschiedenen Zeiten innerhalb eines relativ zu Mir ruhenden Koordinatensystems statt, gibt es nun einen Vektor der A auf B verschiebt ? Wenn ja dann müsste es ja auch einen inversen Vektor geben, welcher B auf A verschiebt, da der Tangentialraum ja sonst kein Vektorraum wäre.
Darin lag mein ursprüngliches Verständnisproblem, ein inverser Vektor wäre ja quasi eine Verschiebung zurück in der Zeit...

@empty77
was ist eigendlich mit dem kasimir effekt??


Zielt die Frage darauf ab, dass die Nullpunktenergie des elektromagnetischen Strahlungsfeldes beim Casimir-Effekt zu makroskopisch messbaren Kräften führt?
(ist das jetzt eher Quantenfeldtheorie oder Makroskopisch ;)

@nytron
"Auskenen" ist vielleicht etwas weit gegriffen. Ich häng da noch in der Mathematik fest. man muss sowas alles nacharbeiten, weil man als Chemiker nur nochmal ein bißchen Schulmathematik wiederholt, und wenn man dann am Ende in der physikalischen Chemie landet und eigentlich doch eher Physik macht, gibts ne ganze Menge das man sich neu erarbeiten muss.

Das behindert auch meine Aktivität im Thread @drecksbengel

ich bezweifle, dass die zeit eine gerichtete dimension sei, wäre es so, dann gäbe es doch im bezug auf zeitreisen keine probleme ebenso gäbe es keine probleme im bezug auf das schicksahl, da ja die zukunft schon bestehen würde.
ich denke eher dass raum und zeit zusammenhängen und vektoriell nicht darstellbar sind (also im sinne eines zeit pfeils o.ä.)
die zeit muss nicht unbedingt irgendne 4te dimension sein
@nytron

nytron schrieb:Ich hatte mal irgendwo gelesen, dass die Raumzeit nicht zwingend in einem höherdimensionalen Raum eingebettet sein muss ?

Richtig, für Raumkrümmungen o.Ä. ist das nicht nötig. Aber darum gehts auch nicht. Das Theorem von Whitney besagt lediglich, dass eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit immer in den R^2n eingebettet werden kann (ohne Überlappungen). Dort bildet er dann eine Untermenge.

Das war lediglich der erste Ansatz der mir einfiel, um eine Mannigfaltigkeit in eine Verbindung mit einem echten Vektorraum zu bringen, in dem Fall der R^8.

nytron schrieb:Der Subraum eines Vektorraums kann also wiederum ein Vektorraum sein ?

Ein Sub-oder Unterraum ist per Definition ein "Raum" ;)
Korrekt ist, dass eine Untermenge eines Vektorraumes ein Untervektorraum sein kann. So ist zum Beispiel jede 2-D Ebene, die das Nullelement des R^3 enthält auch wieder ein Vektorraum.

nytron schrieb:Wenn ja dann müsste es ja auch einen inversen Vektor geben, welcher B auf A verschiebt, da der Tangentialraum ja sonst kein Vektorraum wäre.
Darin lag mein ursprüngliches Verständnisproblem, ein inverser Vektor wäre ja quasi eine Verschiebung zurück in der Zeit...

Klar ist das möglich, es muss ja nicht unbedingt eine physikalische zuordnung geben. Denn der Vektor ist ja nur eine Transformation, die jedem Punkt B einen Punkt A zuweist. Das muss noch lange nicht heißen, dass es dann zwischen den Punkten einen kausalen Zusammenhang geben muss. Ist ja nur eine Zuordnung

@HYPATIA
@nytron

nytron schrieb:Ihr scheint euch auszukennen, kann mit jemand vielleicht die Frage beantworten ob die Raumzeit in der SRT ein Vektorraum ist ? Es gibt ja eigentlich kein inverses Element, da dies ja bedeuten würde das man sich in der Zeit zurück bewegt.

Auszukennen ist echt übertrieben, der einzige in diesem Forum der sich wirklich auskennt, ist Jphys. Alle anderen, mich eingeschlossen, besitzen mehr oder weniger gutes halbwissen. Keine Ahnung wieso raycluster glaubt diese Frage beantoworten zu können, aber das was er schrieb ist zum großen Teil mathematisch falsch.

Erstmal ganz kurz:

Eine Mannigfaltigkeit ist qualtitativ leicht erklärt, sie ist ein n dim-Raum der lokal so aussieht wie der R^n, also wie ein euklidischer Vektorraum, also ein flacher Raum. Zum Beispiel ist die Erdoberfläche eine Mannigfaltigkeit, man sagt S^2 eine 2 dimsensionale Sphäre, trotzdem müssen Ingenieure normalerweise diese Krümmung nicht beachten, da Objekte meist klein sind gegenüber der Krümmung, d.h. lokal tut man so, als ob die Erde eine Scheibe ist. Das ist vernünftig.

Der Tangenitalraum ist qualitativ auch leicht erklärt und da du dich ein wenig auskennst sollte dir das auch ganz leicht mathematisch verständlich sein. Am besten bleiben wir bei der Kugeloberfläche. Man wählt einen Punkt auf der Oberfläche und nimmt sich eine überdimensional große Scheibe, setzt den Mittelpunkt der Scheibe auf den Punkt auf die Oberfläche und hat nun seinen 2-dim Tangentialraum, der ein euklidischer Vektorraum ist.

Da es in der SRT ohnehin nicht um irgendwelche Art von Krümmung geht ist das eigentlich auch egal, aber da raycluster die ganzen Begriffe eingeführt hat wollte ich das nun auch kurz erklären. Der Raum der SRT ist der Minkowski Raum, der flach ist, aber eine besondere Eigenschaft hat, die ihn vom euklidischen Vekorraum unterscheidet. Im Grunde ist auf ihm kein Skalarprodukt definiert, da jenese mathematisch per Definition positive semi definit ist, dass heißt das Skalarprodukt zweier Vektorren ist immer größer gleich null. In der SRT haben wir aber folgenes: das Skalarprodukt ist entweder positiv null oder negativ bzw. wir Teilen Elemente (Vektoren) des Raumes in folgende kategoerien: Skalarproukt:

positiv: Zeitartig
null: Lichtartig
negativ: Raumartig

So nun ist aber der Tangenitalraum des Minkowski-Raums gleich dem Raum selbst, dass heißt aber der Raum ist ein Vektorraum, weil er eben flach ist, mit dem unterschied das, dass Skalarprodukt nicht mehr positiv definit ist. Deshalb ist es kein euklidischer Vektorraum! Was dein Problem bzgl. des Inversen betrifft ist das durchaus nicht so ganz trivial, aber dennoch reicht hier die Antwort von raycluster vollkommen aus.

nytron schrieb:Dann und nur dann wenn der Satz des Pythagoras gilt, ist die Raumzeit ein euklidischer Vektorraum ?
Weiterhin kann ich doch behaupten, dass es mindestens eine Basis mit 4 linear unabhängigen Basisvektoren gibt ? Es wird ja immer gesagt die Raumzeit sei 4 dimensional...

Stimmt, aber die RaumZEIT bildet wie oben erklärt eben keine euklidischen Vektorräume. Ansonsten gilt für Räume im räumlichen Sinne genau das. Viel spannender ist die Frage danach, wieso man dieses ganze tobabo überhaupt veranstaltet. Wieso kann man nicht einfach auf eine Mannigfaltigkeit rechnen sondern muss erst immer auf den Vektorraum projezieren etc. aber das wird dann vielleicht doch zu mathematisch.

Abgesehen davon ist es @HYPATIA immer möglich eine n-dim Mannigfaltikeit in einen n+1 dim Raum ein zu betten. Da brauchst du keine n^2 dim'en. Zusätzlich gilt und deshalb führt man auch den Begriff der Mannigfaltigkeit ein, dass das jede Menge Arbeit verursacht zu zeigen, dass etwas woanders eingebettet werden kann, deshalb führt man Mannigfaltigkeiten auch als Mannigfaltigkeiten ein und nicht als Untermannigfaltigkeiten eines Vektorraums.

@drecksbengel

drecksbengel schrieb:Keine Ahnung wieso raycluster glaubt diese Frage beantoworten zu können

Haha, ein kleines bisschen Selbstüberschätzung vielleicht ;)

drecksbengel schrieb:immer möglich eine n-dim Mannigfaltikeit in einen n+1 dim Raum ein zu betten. Da brauchst du keine n^2 dim'en

Ich hab gelernt, dass es im allgemeinen nur in einem 2n-Raum geht. Nicht n+1...

@drecksbengel

drecksbengel schrieb:Eine Mannigfaltigkeit ist qualtitativ leicht erklärt, sie ist ein n dim-Raum der lokal so aussieht wie der R^n, also wie ein euklidischer Vektorraum, also ein flacher Raum. Zum Beispiel ist die Erdoberfläche eine Mannigfaltigkeit, man sagt S^2 eine 2 dimsensionale Sphäre, trotzdem müssen Ingenieure normalerweise diese Krümmung nicht beachten, da Objekte meist klein sind gegenüber der Krümmung, d.h. lokal tut man so, als ob die Erde eine Scheibe ist. Das ist vernünftig.

Der Tangenitalraum ist qualitativ auch leicht erklärt und da du dich ein wenig auskennst sollte dir das auch ganz leicht mathematisch verständlich sein. Am besten bleiben wir bei der Kugeloberfläche. Man wählt einen Punkt auf der Oberfläche und nimmt sich eine überdimensional große Scheibe, setzt den Mittelpunkt der Scheibe auf den Punkt auf die Oberfläche und hat nun seinen 2-dim Tangentialraum, der ein euklidischer Vektorraum ist.

Das ist soweit klar. Analog dazu wäre das sichtbare Universum, dann die Sphäre einer n+1 dimensionalen Mannigfaltigkeit, also der Raumzeit. Auf einer Kugeloberfläche ist die Winkelsumme im Dreieck ja >180°, nur wäre dies für ein 2 dimensionales Wesen welches auf der Kugeloberfläche lebt nicht ersichtlich, also kann ich doch behaupten die Raumzeit in der wir leben sieht lokal wie ein 3 dimensionaler Tangentialraum aus, ist jedoch eine gekrümmte 4 dimensionale Mannigfaltigkeit.

drecksbengel schrieb:Da es in der SRT ohnehin nicht um irgendwelche Art von Krümmung geht ist das eigentlich auch egal, aber da raycluster die ganzen Begriffe eingeführt hat wollte ich das nun auch kurz erklären. Der Raum der SRT ist der Minkowski Raum, der flach ist, aber eine besondere Eigenschaft hat, die ihn vom euklidischen Vekorraum unterscheidet. Im Grunde ist auf ihm kein Skalarprodukt definiert, da jenese mathematisch per Definition positive semi definit ist, dass heißt das Skalarprodukt zweier Vektorren ist immer größer gleich null. In der SRT haben wir aber folgenes: das Skalarprodukt ist entweder positiv null oder negativ bzw. wir Teilen Elemente (Vektoren) des Raumes in folgende kategoerien: Skalarproukt:

positiv: Zeitartig
null: Lichtartig
negativ: Raumartig

Hmm, das Skalarprodukt ist ja

A*B=lAl*lBl*cos(A;B)

Das Skalarprodukt der raumartigen Vektoren ist ja gemäss Dir negativ.
A&B können nicht negativ sein, der Winkel zwischen 2 Vektoren ja eigentlich auch nicht, es sei den das Skalarprodukt ist um eine imaginäre Einheit i erweitert ?

@nytron

nytron schrieb:Hmm, das Skalarprodukt ist ja

A*B=lAl*lBl*cos(A;B)

Das Skalarprodukt der raumartigen Vektoren ist ja gemäss Dir negativ.
A&B können nicht negativ sein, der Winkel zwischen 2 Vektoren ja eigentlich auch nicht, es sei den das Skalarprodukt ist um eine imaginäre Einheit i erweitert ?

Ja, dass ist richtig, deshalb schrieb ich ja, dass das kein richtiges Skalarprodukt ist. Es ist mathematisch gesprochen eine nicht ausgeartet Bilinearform, also etwas allgemeineres als ein Skalaprodukt. Es ist für mich grade etwas kompliziert das anschaulich zu erklären. Zum Beispiel die Norm eines Vektors, dein ]A], wie berechnest du das? Das ist doch nichts anderes als SQRT(A*A') und A*A'=a_1*a_1+a_2*a_2+....+a_n*a_n. So funktioniert das im kartesischen Koordinatensystem und nur da. Normalerweiße brauchst du noch die Metrik deines Raumes, welche von Koordinatensystem abhängt, dass du gewählt hast, ach was schreibe ich da... Vergiss das einfach, fakt ist, durch die Einführung der nicht ausgearteten Bilinearform erhält man die Lorentz-Invarianz des Raum-Zeitlichen Abstands und das ist wichtig, auch für die Qunatentheorie.

nytron schrieb:Das ist soweit klar. Analog dazu wäre das sichtbare Universum, dann die Sphäre einer n+1 dimensionalen Mannigfaltigkeit, also der Raumzeit. Auf einer Kugeloberfläche ist die Winkelsumme im Dreieck ja >180°, nur wäre dies für ein 2 dimensionales Wesen welches auf der Kugeloberfläche lebt nicht ersichtlich, also kann ich doch behaupten die Raumzeit in der wir leben sieht lokal wie ein 3 dimensionaler Tangentialraum aus, ist jedoch eine gekrümmte 4 dimensionale Mannigfaltigkeit.

Ich versteh das nicht ganz. Du vermischt hier irgendwie Raum und Zeit-dimensionen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird gefordert (postuliert), dass der Raum lokal wie der Minkowski Raum aussieht.

@HYPATIA

HYPATIA schrieb:Ich hab gelernt, dass es im allgemeinen nur in einem 2n-Raum geht. Nicht n+1...

Ja und das stimmt auch. Ich habe mich geirrt. Dachte das wenn man n-dim Sphären in einen n+1 dim Raum einbetten kann, dass auch für andere Mannigfaltigkeiten gelten muss. Falsch gedacht.

HYPATIA schrieb:Haha, ein kleines bisschen Selbstüberschätzung vielleicht

Oh ja, irgendwie muss ich meinem Namen ja gerecht werden.

Man könnte auch sagen alles ist Geschmackssache :)

@drecksbengel

drecksbengel schrieb:Ja, dass ist richtig, deshalb schrieb ich ja, dass das kein richtiges Skalarprodukt ist. Es ist mathematisch gesprochen eine nicht ausgeartet Bilinearform, also etwas allgemeineres als ein Skalaprodukt. Es ist für mich grade etwas kompliziert das anschaulich zu erklären. Zum Beispiel die Norm eines Vektors, dein ]A], wie berechnest du das? Das ist doch nichts anderes als SQRT(A*A') und A*A'=a_1*a_1+a_2*a_2+....+a_n*a_n. So funktioniert das im kartesischen Koordinatensystem und nur da. Normalerweiße brauchst du noch die Metrik deines Raumes, welche von Koordinatensystem abhängt, dass du gewählt hast, ach was schreibe ich da... Vergiss das einfach, fakt ist, durch die Einführung der nicht ausgearteten Bilinearform erhält man die Lorentz-Invarianz des Raum-Zeitlichen Abstands und das ist wichtig, auch für die Qunatentheorie.

Das mit der Bilinearform ist mir jetzt einfach noch zu kompliziert, ich kann die genaue mathematische Formulierung so natürlich nicht nachvollziehen. Ich glaube zu wissen was mit Metrik gemeint ist, wenn ich beispielsweise 2 Punkte A & B auf eine Kugeloberfläche zeiche und d(A;B) berechnen will dann muss natürlich die "Form (Metrik ?)" der Kugeloberfläche beachtet werden, die Berechnung geht natürlich dann nicht einfach durch Anwendung des Satz des Pythagoras. Aber gut das ist im Moment für mich nicht relevant, erst müssen die Grundlagen aus Analysis 1 und lineare Algebra 1 verstanden sein; das ist schon schwierig genug.
Ich werde einfach mal annehmen müssen dass der Raum-Zeitliche Abstand zwischen Ereignis A und Ereignis B sich bei einer Lorentztransformation nicht ändert.

Nebenbei mal eine andere Frage, es wird zwar häufig von relativistischer Masse gesprochen, mir ist aber bekannt dass diese Interpretation der SRT heutzutage gemieden wird. Die schwere Masse ist demnach invariant, kann man jedoch behaupten dass die träge Masse steigt ?

drecksbengel schrieb:Ich versteh das nicht ganz. Du vermischt hier irgendwie Raum und Zeit-dimensionen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird gefordert (postuliert), dass der Raum lokal wie der Minkowski Raum aussieht.

Stimmt, ich denke ich bin ein wenig durcheinander gekommen. Ich wollte eigentlich nur wissen ob die Vorstellung, dass die Raumzeit global kein Minowski Raum mehr ist korrekt ist, oder ob diese Forderung nur lokal gilt.

@drecksbengel

nytron schrieb:Ich wollte eigentlich nur wissen ob die Vorstellung, dass die Raumzeit global kein Minowski Raum mehr ist korrekt ist, oder ob diese Forderung nur lokal gilt.

sollte heißen: ..., oder ob auch im bei globaler Betrachtung der Raumzeit die selbe Forderung, also dass die Raumzeit ein Minkowski Raum darstellt gilt.

Das ist mir jetzt aber klar, die Raumzeit ist global gesehen kein Minkowski Raum mehr, sondern eine Mannigfaltigkeit, welche eben nur lokal als Minkowski Raum idealisiert wird.

@nytron

nytron schrieb:Nebenbei mal eine andere Frage, es wird zwar häufig von relativistischer Masse gesprochen, mir ist aber bekannt dass diese Interpretation der SRT heutzutage gemieden wird.

Vielleicht noch kurz was dazu: Man braucht die relativistische Masse einfach nicht, sie ist überflüssig und an gewissen stellen führt sie zu schein Widersprüchen. Was man statt dessen betrachtet sind einfach die relativistischen Korrekturen der kinetischen Energie.

nytron schrieb:Die schwere Masse ist demnach invariant, kann man jedoch behaupten dass die träge Masse steigt ?

Vielleicht schaust du dir nochmal die genauen Definitionen an was träge und schwere Masse betrifft. Diese müssen nicht identisch sein, aber man geht davon aus das sie es sind. Experimentell konnte man auf 10^-9 +-10 (ich bin mir nicht mehr so sicher) die Äquivalenz feststellen. Demnach gibt es nur eine Masse und es gilt m=m_T=m_S.

@drecksbengel

drecksbengel schrieb:Vielleicht schaust du dir nochmal die genauen Definitionen an was träge und schwere Masse betrifft. Diese müssen nicht identisch sein, aber man geht davon aus das sie es sind. Experimentell konnte man auf 10^-9 +-10 (ich bin mir nicht mehr so sicher) die Äquivalenz feststellen. Demnach gibt es nur eine Masse und es gilt m=m_T=m_S.

Meine Frage war wohl dumm, ich hatte vergessen dass sie numerisch ja ohnehin äquivalent sind.

@drecksbengel

Ich möchte die Diskussion mal wiederbeleben,

drecksbengel schrieb am 01.04.2010:Die einzelnen Felder stellen hier die Komponenten des Tensors da. In jeder dieser Komponenten können beliebig komplizierte Ausdrücke stehen. Sprechen wir angenommen von der Komponente T_{11} so meinen wir das schwarze Feld links oben in der Ecke. Die erste Komponente von _{ab} gibt die Zeile an in der wir uns befinden und die zweite Komponente die Spalte. Kurz gesagt die Schreibweise T_{ab} erspart uns einfach viel Schreibarbeit. Wie groß so nen Tensor ist hängt von der Dimension des Raumes oder in der ART von der Raumzeit ab in der man sich befindet. Das obige Beispiel hat 16 Komponenten, wobei nicht alle unabhängig voneinander sein müssen (je nach Theorie gibts hier Symmetrien, Identitäten oder auch nicht etc.), weil die Raumzeit Struktur wie wir sie kennen 3+1=4 Dimensionen hat.

Soweit ich das bisher begriffen habe (also nicht wirklich) ist ein Tensor doch eigentlich eine m*n*k Matrix, also eine Matrix mit einen weiterem Index k, sozusagen eben eine dreidimensionale Matrix mit den Elementen/Komponenten a_(ijp), Matrizenmultiplikation ist ja schon recht aufwendig, dass macht klar wieso viele Tensorrechnung als schwierig bezeichnen, ist ja klar bei einem weiterem Index.

http://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Tensorrechnung:_Tensoren_vom_Rang_2

"In Gleichung (1.35) sind u und v Vektoren, die als solche von der benutzten Basis (Koordinatensystem) unabhängig sind. (Sie sind invariant gegenüber Basiswechsel.) Das bedeutet, dass unabhängig von der benutzten Basis aus dem Vektor u durch Multiplikation mit der Dyade T immer derselbe Vektor k v entsteht. Daher bezeichnet man auch T als invariant gegenüber Basiswechsel oder als unabhängig von der benutzten Basis."

Wofür wird die Invarianz physikalisch gesehen denn benötigt ? Etwas für die Invarianz des Raum- Zeitlichen Abstands ?
Soweit wir das schon durch hatten und ich es verstanden habe ist der raumzeitliche Abstand eben invariant gegenüber einem Wechsel der Koordinatensysteme. In der ART würde dies dann durch einen derartigen Tensor bewerkstelligt werden.

@JPhys


Mir wurde Deine Sachkompetenz von drecksbengel empfohlen,

drecksbengel schrieb am 29.12.2010:Auszukennen ist echt übertrieben, der einzige in diesem Forum der sich wirklich auskennt, ist Jphys

Kannst du mir vielleicht erläutern wieso man die Tensoren in der Physik, insbesondere in der RT eingeführt hat ?
Nach meinen jetzigen Verständnis sind Tensoren eben solche mathematischen Objekte, die unabhängig von einen Wechsel der Basis ( also physikalisch gesehen wohl dem Bezugssystem) sind, wie ich schon schrieb.

nytron schrieb:Soweit ich das bisher begriffen habe (also nicht wirklich) ist ein Tensor doch eigentlich eine m*n*k Matrix, also eine Matrix mit einen weiterem Index k, sozusagen eben eine dreidimensionale Matrix mit den Elementen/Komponenten a_(ijp), Matrizenmultiplikation ist ja schon recht aufwendig, dass macht klar wieso viele Tensorrechnung als schwierig bezeichnen, ist ja klar bei einem weiterem Index.

http://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Tensorrechnung:_Tensoren_vom_Rang_2

"In Gleichung (1.35) sind u und v Vektoren, die als solche von der benutzten Basis (Koordinatensystem) unabhängig sind. (Sie sind invariant gegenüber Basiswechsel.) Das bedeutet, dass unabhängig von der benutzten Basis aus dem Vektor u durch Multiplikation mit der Dyade T immer derselbe Vektor k v entsteht. Daher bezeichnet man auch T als invariant gegenüber Basiswechsel oder als unabhängig von der benutzten Basis."

Wofür wird die Invarianz physikalisch gesehen denn benötigt ? Etwas für die Invarianz des Raum- Zeitlichen Abstands ?
Soweit wir das schon durch hatten und ich es verstanden habe ist der raumzeitliche Abstand eben invariant gegenüber einem Wechsel der Koordinatensysteme. In der ART würde dies dann durch einen derartigen Tensor bewerkstelligt werden.

@nytron
Erstmal

drecksbengel schrieb am 29.12.2010:Auszukennen ist echt übertrieben, der einzige in diesem Forum der sich wirklich auskennt, ist Jphys

Das ist stark uebrtrieben

nytron schrieb:Nach meinen jetzigen Verständnis sind Tensoren eben solche mathematischen Objekte, die unabhängig von einen Wechsel der Basis ( also physikalisch gesehen wohl dem Bezugssystem) sind, wie ich schon schrieb.

Also zunaechst mal wenn ein Physiker Tensor sagt und wenn ein Mathematiker das tut meinen sie manchmal aber nicht umbedingt das gleiche....

Also du hast eine reele Zahl
a
Ein Mathemtiker wuerde dass ein element aus R nennen eventuell auch einen Skalar

In der RT hat Skalar aber eine zusaetliche Bedutung
Unter Wechsel des Bezugssystems
Bleibt der Skalar gleich

also a'=a
Nicht jede reele Zahl ist in diesem Sprachgebrauch also ein Skalar...


Dann hast du eine serie von reellen Zahlen
a_k fuer k=1 bis n

Ein Mathemtiker wuerde das ein element von R^N nennen und es Vektor nennen(so wie er vieles andere auch Vektor nennen wuerde)

In der RT hat Vektor aber eine zusaetzliche Bedeutung
Unter Wechsel des Bezugssystems
transformiert sich der Vektor wie folgt:
a'_i= (summe ueber j) L_ij a'_j
Wobei L die Matrix der Lorenztransformation ist....

Skalare nennt man nun Tensoren 0ter Stufe
Vektoren tensoren erster Stufe
Tensoren 2ter Stufe sehen also so aus wie matrixen.
Das ist aber nicht alles sie transformieren sich

a'_ij= (summe ueber j) L_ik L_jl a'_kl

Also mit einer Transformationsmatrix fuer jeden index

Und genauso kann man auch Tensoren 3ter, 4ter und so weiter Stufe angeben....

Also die Tensoren sehen vom Skalar abgesehen in unterschiedlichen Bezugsystemen unterschiedlich aus.
Aber sie Veraendern ihre eigenschaften eben gemaes einer sehr genau bestimmten Gesetzmaessigkeit

Drehe ich mich um zeigen alle Vektoren die vorher nach Vorne gezeigt haben jetzt aus meiner neuen Sicht nach hinten...

Und genauso werden alle ausrichtungend er Tensoren mit gedreht...

Tensoren sind also alles was sich unter Lorenztransformationen
vernueftig transformieren laesst...

nytron schrieb:Wofür wird die Invarianz physikalisch gesehen denn benötigt ?

Es ist eine Beobachtung dass die Naturgesetze in jedem Bezugsystem gelten
Das war einer der ausgangspunkte von denen Einstein die RT abgeleitet hat

Wenn die Naturgesete in jedem system aber die gleichen sind
dann muessen sie mathemtsich so formuliert werden dass sie einen Bezugsystem wechsel ueberleben.
Und das geht eben am besten mit Tensoren..

nytron schrieb:Soweit wir das schon durch hatten und ich es verstanden habe ist der raumzeitliche Abstand eben invariant gegenüber einem Wechsel der Koordinatensysteme. In der ART würde dies dann durch einen derartigen Tensor bewerkstelligt werden.

Das haengt davon ab was du mit Abstand meinst
der Vector (x_1,x_2,x_3,ct) transformiert sich wie ein Vektor

also Tensor erster Stufe

x_1^2 +x_2^2+x_3^2-c^2 t^2
Ist ein Skalar

Das Biest kann aber Null sein auch wenn die Punkte nicht gleich sind
siehe Lichtkegel...

der Euklidische Abstand
x_1^2 +x_2^2+x_3^2+c^2 t^2
Ist kein Lorenzskalar