Klassische Mechanik

Nun ja eigentlich kann man das beim besten Willen nicht als Grenzwissen betrachten, ist es doch DIE theoretsiche Grundlage der modernen Wissenschaft.

Gerade deshalb ist es aber vielleicht eine Gute Idee einen Threat zu erstellen in dem diese Grundlegenden Fragen diskutiert und erklaehrt werden koennen.

Zunaechst sollte gesagt werdend dass es mehrer aequivalenten Formulierungen der klassichen Mechanik gibt.
Das heist verschiede Arten zu berechen, wie sich dieses oder jenes Mechnaisches Gebilde verhalten wird.
Selbstverstaendlich ist das Ergebnis, das dabei raus kommt immer das gleiche.

Ich moechte gerne bei der Erklaehrung am Anfang anfangen.

Also bei der Newtonmechanik fuer Masse Punkte.
In der Rechung werden notgedrungen Ableitungen, Integrale und vorkomen...

Ich werde jeweils kurz darauf eingehen was diese Mathematischen Operationen tun.
Diese Operationen wurden uebrigens paralleel zu dieser Theroei und zum teil direkt fuer diese Theroie entwickelt es macht also sonn sie in diesem Zusammenhang zu erkalehren.

Nach diesem Vorspiel
Kommen wir zu unserem ersten Kapitel

Kinetik(Beschreibung von Bewegung)

Der Raum den wir bertachten ist der R3
einen Ort beschreiben wir als r=(x,y,z)
wobei x y z jeweils reelle Zahlen sind.(wer nicht weis was reel heist ignoriere das Wort)
Etwas was sich so durch eine reihe von Zahlen beschreiben laesst wollen wir einen Vektor nennen
Der Ort wird durch drei Zahlen beschrieben.
Diese Zahlen heisen Koerdinaten...
.
Sie bestimmen wie weit man von einem bestimmten Punkt Ursprung genannt in drei bestimmte Richtungen (ZB vorne, rechts, oben)gehen muss um zu diesem besonderen Ort zu gelangen.
(Die gegenrichtungen braucht man nicht man kann sie durch negative Zahlen auch so ausdruecken also links =-rechts)

Ohne Angabe was der Ursprungspunkt ist und was die drei Richtungsn sind machen die Koordinaten in einer konkreten Situation keinerlei Sinn.
Zu einem Spaeteren Zeitpunkt koennen wir genauer ueber Koordinatensystem sprechen
und wie man ausrechnet wie das was man in einem Koordinatensystem betrachtet aus einem anderen heraus aussieht was dann auch der Weg zur RT sein wird.
Bleiben wir aber erstmal bei einem festen Ursprung
und (ZB vorne, rechts, oben)

In diesem Koordinatensystem koennen wir jetzt die Bewegung eines Punktes beschreiben
indem wir zu jeder zeit t einen Ort r angeben
r(t)=(x(t),y(t),z(t))

Betrachten wir den Punkt zu 2 verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2
bei t1 befand sich der Punkt
am Ort r(t1)=(x(t1),y(t1),z(t1))
bei t2 befand sich der Punkt
am Ort r(t2)=(x(t2),y(t2),z(t2))

Dazwischen hat er sich um
r(t2)-r(t1)=(x(t2)-x(t1),y(t2)-y(t1),z(t2)-z(t1))
bewegt
Seine vektorielle durchschnittsgeschwindigkeit war also
vd(t2.t1)=(r(t2)-r(t1))/(t2-t1)
Wie schon der ort ist auch die Vektroriele Durchschnittsgeschwindigkeit ein Vektor

Man beachte hierbei das wenn uns die Bewegug zwischen t1 und t2 im Kreis gefuhrt hat die Vektrorielle Durchschnittsgeschwindigkeit 0 ist...

Mit anderen Worten an der muss man nicht immer sehen ob man sich jetzt eigentlich bewegt oder nicht....

Was man will ist eigentlich keine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeiten t1 und t2 sondern eine Momentangeschwindigkeitzum Zeitpunkt t

Die bekommt man folgendermassen
man nimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit
vd(t+a,t)=(r(t+a)-r(t))/a
Und dann macht man a immer kleiner.
Mann nennt das den Grenzwert fuer a gegen 0 bilden
(Genau auf dem Niveau hat das Newton frueher betrieben heute kann man das weniger intuitiv und sehr viel praeziser formulieren aber was fuer Newton gut genug war soll auch uns bis auf weiteres reichen)

Den Fortgang die durchschnittliche Veraederung zu bilden und dann den Zeitraum uebr den diese Veraendeung erfolgte immer kleiner werden zu lassen nennt man eine Ableitung

Lass uns das so schreiben
dr/dt=v
Also die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Geschwindigkeit

(man kann natuelrich auch nach anderen Dingen als der Zeit ableiten wenn eine Groesse von anderen Dingen als dem Zeit abhaengt)

weil das soviel Spaas gemacht hat

gleich nochmal

dv/dt=a
die Ableitung der geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung

Oder auch die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Beschleunigung
d^2r/dt^2=dv/dt=a

Also weiter zur Dynamik
Bisher war das eigentlich nicht viel mehr als reine Bezeichungsweise jetzt kommen auch Aussage uebr die Realitaet dazu die zutreffen koennen oder nicht.

Die Dynamik wird in der Newtonschen Physik mit den drei Newtonschen Axiomen beschrieben

1.Newtonsches Axiom
Wirken keine Kraefte auf einen Koerper ein so behaelt dieser seinen Bewegungszustand der ruhe oder der gleichmaessigen linearen Bewegung bei.

Bereits dieses Axiom ist erklaehrungsbeduerftig
Weil wir im taeglichen Leben doch solches nie beobachten.
Wegen der im taeglichen Leben allgegenwaertigen Luft reibung scheint es viel mehr so zu sein dass alles was sich bewegt irgendwann zur Ruhe kommt....
Wenn man aber die Luft aus einem Raumentfernt kann man durchaus sehen dass dies ohne reibung einfach nicht zutrifft...


2 Newtonsches Axiom
Die Aenderung der Groesse der Bewegung ist die einwirkende Kraft

OK so hat das Newton aufgeschrieben aver was soll das heissen?
Die Aenderung der...damit ist die Zeitlice Aenderung gemeint

Also die Zeitliche anederung der groesse der Bewegung.....

Was ist die Greosse der Bewegung?
Man koennte naiver weise sagen die Geschwindigkeit
aber will irgendjemand ernsthaft behaupten wenn ein Planet und ein Tischtennisball sich mit gleicher Geschwindigkeit bewegen haette die Bewegung die gleiche Groesse?

Die Groesse der Bewegung nenn man heute Impuls und sie ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit
p=m v

Das 2te Netonsche Axiom ist also

Kraft=F=dp/dt
Also die zeitliche Ableitung des Impulses nach der Zeit ist die Kraft

In den meisten faellen ist die Masse nicht zeitabhaennnig dann ist
F=m a
Aber zB bei einer rakete die ja staendig ihren Treibstoff nach hinten rausdruck sieht das anders aus.

3 Newtonsches Axiom
Wenn eine Koerper auf einen anderen eine Kraft bewirkt bewirkt auch der zweite Koerper auf den ersten eine Kraft .
Diese ist der anderen entgegegestzt gleich gross.

Den spass kann jeder selber ausprobieren
Einfach mal zwei Leute auf ein Skateboard stelen und versuchen den anderen wegzudruecken .....

Kommen wir zu den ersten Konsequenzen

Koerper 1
wirkt auf Koerper 2 die Kraft F
Wegen des 3ten newtonschen Axioms wirt dann Koerper 2 auf Koerper 1 die Kraft -F


der Impuls von Koerp 1 aendert sich also
F=dp1/dt
de Impuls von Koerper 2 aendert sich
-F=dp2/dt

Die Summe aus p1 und p2 aendert sich also

d(p1+p2)/dt=dp1/dt+dp2/dt=F-F=0
uebrhaupt nicht

Man kann leicht nachrechen das dies auch bei mehr als einem Koerper der Fall ist
Kurz die Summen aller Impulse ist immer konstant.....

Mann nennt den gesamtimpuls deshalb Erhaltungsgroesse.

In etwa dasselbe Basic Physics für Allmygenies ;)

@JPhys

JPhys schrieb:In den meisten faellen ist die Masse nicht zeitabhaennnig dann ist
F=m a
Aber zB bei einer rakete die ja staendig ihren Treibstoff nach hinten rausdruck sieht das anders aus.

ja aber man beachte das F und a vektoren sind, die richtung muss also beachtet werden. das selbe gilt auch für p=mv

An dieser Stelle muss ich noch mal eine... etwas kompliziertere mathematische Konstruktion einfauhren den Gradienten.

Nehmen wir an wir haben etwas was jedem Punkt im raum eine Zahl zuordet
V(x,y,z)

Wir hatten

Schon mal Ableitungen nach der Zeit

Diese Funktion koennen wir nach dem Ort ableiten
Allerdings die Zeit war eine Zahl der Ort hat drei zahelen
Wir haben jetzt die Moeglichkeit
dV/dx
dV/dy
dV/dz

zu bilden
Dann koennen wir aber eine Vektor daraus machen
(dV/dx, dV/dy, dV/dz)= grad V
Den nenen wir Gradient von V

Nehmen wir mal an wir Koennten eine Kraft zwischen zwei Koerperen(Orte r1 und r2)

Beschreiben als F= -grad V(r1-r2)
Also die Ableitung nach der ersten Komponente fuer die Kragt auf den ertsen koerper die Ableitung nach der zweiten komponente fuer die Kraft auf den zweiten Koerper

Dann gilt

F=- grad V(r1-r2)
m1 dv1/dt=-grad_r1 V(r1-r2)
jetzt multipilzieren wir beide Seiten mit v1
m1 v1 dv1/dt=-grad_r1 V(r1-r2) v1=-grad_r1 V(r1-r2) dr1/dt
Das ganze noch mal fuer v2
und beides addiert
m2 v2 dv2/dt+m1 v1 dv1/dt=-grad_r2 V(r1-r2) dr2/dt-grad_r1 V(r1-r2) dr1/dt


Wenn man jetzt bedenkt das grad V sowas ist wie dV/dr dann kann man imauf der rechten Seite dr "Kuerzen"

Auf der rechten erhalet man v1 dv1/dt=1/2 d(v1 mal v1)/dt

Und damit kann man feststellen dass die zeitliche Ableitung von
V(r1-r2)+1/2 m1 v1^2+1/2 m2v2^2
wiederum Null ist

auch diese Groesse bleibt also die ganze Zeit gleich und auch diese Groesse wird deshalb eine erhaltungsgroessen genannt.

Diese Erhaltungsgroesse nennt man Energie
V(r1-r2) wird dabei als potentielle Energie oder lage Energie
1/2 m1 v1^2+1/2 m2v2^2
Nennt man Kinetishce Energie oder Bewegungsenergie


Weiter geht es nur wenn es irgendjemanden interessiert....

@bright
"ja aber man beachte das F und a vektoren sind, die richtung muss also beachtet werden. das selbe gilt auch für p=mv"

Das ist richtig

Aber nachdem ich extra darauf hingewiesen habe dass die Zeitliche Ableitung des Vektors Ort immer noch ein vektor ist
dache ich darauf verzichten zu koennen nochmal zu sagen das die zeitliche Ableitung des Vektros Geschwindigkeit immer noch einvektor ist.

Und wenn die Masse eine normale Zahl ist muss die Kraft dann ja ein Vektro sein...

Interessant ist es bestimmt, nur zu viele Formeln für mich alten Sack ^^

Schreibst du auf ein bestimmtes Ziel hin? Z. B., um zu den RT-Threads überzuleiten? ;)
Stell halt ein paar Übungsaufgaben, um die Ehrgeizigen reinzuziehen ^^

@yoyo
"Schreibst du auf ein bestimmtes Ziel hin? Z. B., um zu den RT-Threads überzuleiten?"

Als Fernziel ja
Davon abgeshen wurde ich darum gebeten....

"Stell halt ein paar Übungsaufgaben, um die Ehrgeizigen reinzuziehen"

War eignetlich nicht meine Absicht aufgaben zustellen aber bitte...

Aufgabe 1)
Wir betrachten einen linearen Stoss
Also Ort und Geschwindigkeit sind nur durch eine Koordinate bestimmt
Und V (x1-x2) ist 0 fuer x1-x2 groesser als a
Benutze die Erhaltungssaetze um aus den Massen vor und den egschwindigkeiten vor dem Staoo die Geschwindigkeiten nach dem Stoss zu berechen

Dabei treten Quadratische Gleichungen auf die Zwei Loesungen haben.
Was bedeutet die zweite Loesung?

Aufgabe 2
Wir betrachten einen Stoss zweir Biliard Kugeln mit gleicher Masse
Von denen eine am Anfang Ruht
Nutze die Erhaltngsgleichungen um zu zeigen dass nach dem Stoss entweder eine Kugeln wieder ruht oder dass sich sich nach dem Stoss im rechten Winkel zueinader bewegen...

Aufgabe 3 ein Fallender Koerper erfahrt eine Gewichtskraft von g m (g ist die Erdanziehung m ist die Beschleunigung)
Wie schnell ist er dann nach 10m gefallenem Weg?

@JPhys

JPhys schrieb:Gerade deshalb ist es aber vielleicht eine Gute Idee einen Threat zu erstellen in dem diese Grundlegenden Fragen diskutiert und erklaehrt werden koennen.

das habe ioch vor 2 Jahren auch schon mal gemacht. Ich kann dir gleich eines versprechen, da wird nicht viel draus. Ich habe damals extra versucht auf Formeln zu verzichten, so das wenigstens noch ein paar rein schauen. >Hat aber auch nur so lange geklappt wie die Aufgaben spektakulär genug waren. Als es dann zeitabhängiges Verhalten von Kondensatirströmen ging war pltzlich niemand mehr da ;-)

Außerdem macht es den meisten "Allmygenies" (die wo welche sind wissen das schon) erheblich mehr Spaß über zusätzliche Dimensionen, Relativitätstheorie und Einsteins persönliche Meinung von Allem zu diskutieren, als sich mit den grundliegensten Grundlagen von alle dem zu beschäftigen. Das rockt halt nicht :-)

@JPhys
Das hat ich letztens alles in Physik aber keine lust alles zu rechnen nur nummer 3 is einfach:
Ich denke mal ohne Luftwiederstand also masse ist egal da die Beschleunigung unabhängig von der Masse ist und einfach 10m und 9.81m/s² in die Gleichung
v=wurzel(2gs)
=> v = wurzel(2*9.81*10)=14m/s

bei 1 könnten die negativen Lösungen eine Zeitumgekehrte betrachtung bedeuten aber das ist nur ne vermutung^^

Mfg matti15

@JPhys

JPhys schrieb:Davon abgeshen wurde ich darum gebeten....

wobei sich dann die Frage stellt waru,m derjenige sich nicht einfach ein Buch zur Hand nimmt und das durcharbeitet. Wäre wohl sinnvoller.

@matti15
"bei 1 könnten die negativen Lösungen eine Zeitumgekehrte betrachtung bedeuten aber das ist nur ne vermutung^^"

Nein die Loesung ist nicht negativ...
Und eine Zeitumgekehrte Loesung ist es auch nicht.




@UffTaTa
"das habe ioch vor 2 Jahren auch schon mal gemacht. Ich kann dir gleich eines versprechen, da wird nicht viel draus. "
Wie ich schon sagte ging es mir hier eigentlich um die Grundsaetzliche Theorie nicht um Aufgaben


"wobei sich dann die Frage stellt warum derjenige sich nicht einfach ein Buch zur Hand nimmt und das durcharbeitet. Wäre wohl sinnvoller."

Das mag sein
Hat hier jemand natuelrich die Moeglichkeit Fragen zu stellen... Das geht bei einem Buch nicht so toll

@JPhys

JPhys schrieb:Nehmen wir mal an wir Koennten eine Kraft zwischen zwei Koerperen(Orte r1 und r2)

Beschreiben als F= -grad V(r1-r2)
Also die Ableitung nach der ersten Komponente fuer die Kragt auf den ertsen koerper die Ableitung nach der zweiten komponente fuer die Kraft auf den zweiten Koerper

also das ist arg kurz gefasst. Wie kommst du auf die erste Annahme?

und der zweite Satz ist nicht verständlich. Erklär den doch mal bitte richtig.

@UffTaTa
"also das ist arg kurz gefasst. Wie kommst du auf die erste Annahme?"
Das man es so schreiben kann?
erstens dass gilt so keineswegs immer.
Schliesslich ist der Energieerhaltungssatz der kalssischennn Mechanik keineswegs der Wiesheit letzter Schluss.

Aber wie kommt man darauf.
Man sollte bedenken das Newton das ganze gemacht hat um Mechnanische systeme zu beschreiben.
Man denke indiesem Zusammnehang bitte zB an Feder und Schwerkraft

Wenn man zwei Koerper hat die durch eine Feder verbunden sind wird die Kraft die die Feder zwsichen ihnen erzeugt nur durch die relative Position der Koerper zueinamder bestimmt.
Nicht zb wie schnell sich beide Koerper bewegen oder ob man die Koerper beide an einen anderen Ort traegt solange man nur ihren Abstand und nicht veraendert....

Wenn aber die Kraft nur durch die reltive Postion der beiden Koerper eindeutig beschrieben werden kann.
Gibt es noch zwei Moeglichkeiten
Die Zuordnung von Kraft und Koerper ist rotationsfrei oder ist nicht rotationsfrei...
Wenn sie nicht rotationsfrei ist gibt es einen Mathematsichensatz nach dem man sie als Gradienten eines Potetials schreiben kann.

Wenn sie nicht rotationsfrei ist kann amn das nicht...
Bei einer nihct rotationsfreien Kraft kann man automatische "Energie" gewinnen indem am im Kreis laueft...
Ein solches wurde aber bis auf den heutigen Tag nie beobachtet...

Typische Krefte die man nicht als Grdienten schreiben kann sin da eher Geschwindigkeitsabhaenig wie zB reibung

"und der zweite Satz ist nicht verständlich. Erklär den doch mal bitte richtig."
Beim Gradienten
Erhalet man einen dreikomponentign Vevktor.
Die erste komponente indem man das Potetia V nach x ableitet die zweite indem man es nach y ableitet die dritte indem man es nach z ableitete

Da stellt sich aber die frage nach welchem x nach x1 als Komponente von r1 oder nach x2 als Komponente von r2...
Man ehalt die Kraft auf Koerper 1 indem man nach dem Ort von Koerper 1 ableitet und die Kraft auf Koerper 2 indem man nach dem Ort von Koerper 2 anleitet...

ja, aber wie kommst du darauf:

JPhys schrieb:Nehmen wir mal an wir Koennten eine Kraft zwischen zwei Koerperen(Orte r1 und r2)

Beschreiben als F= -grad V(r1-r2)

also woher kommt die Idee eine Kraft als Gradienten eines Vektorfeldes zu beschreiben? Wie kommt man auf diesen Gedanken?

Um bei der Feder zu bleiben. Die Kraft der Feder ist proportional der Länge der Feder. Die Länge der Feder ist ein Vektor der gebildet wird indem man den Ortsvektors des einen Federendes vom Ortsvektor des zweiten Federendes abzieht.

Würde ich also die Kraft der Feder beschreiben dann würde ich sagen Federkraft(Fedranfang_x1;Federende_x2)=k*(Ortsvektor_x2-Ortsverktor_x1). Da kommt aber kein Gradient drin vor und ich habe trotzdem eine Aussage mit dreidimensionalen Vektoren.
Also, wie kommst du dazu hier plötzlich einen Gradienten einzuführen?

@UffTaTa
Halten wir der einfachhalt halber mal einen der Koerper fest.
Dann wird jedem Punkt im Raum den der eine Koerper einnimt eine Kraft F(r) zugeornet...

Wenn man -F(r) jetzt ueber einen Weg s integriert kommt etwas Raus was man V nennen kann
dieses V kann prinzipiell ertsmal vom Weg abhengen ueber den man es integriert hat.

Wenn aber auf allen Wegen das gleiche rauskommt solange nur der Endpunkkt des weges der gleiche ist kann man es auch als V(r) schreiben mit r endpunkt und dann ist automatysich
F=-grad (V)

Die Frage ist nur noch ist das der Fall Haengt das Integral nur von den Endpunkten oder auch vom Weg ab.

Diese Frage ist damit aequivalent ob jedes Integral ueber einen Kreisweg null ergeben muss.

Und diese Frage ist nach dem Integralsatz von Stokes damit aequivatent ob die rotation von F Null ist.

Das ist zB bei der Feder oder auch beim Gravitationsfeld der Fall und dann kann man die Kraft auf Besagte Weise als Gradient von V schreiben...

Vielleicht wird es ahnhand eines Beispieles deutlicher

Feder
F=-D r
V=int_0^R (-F)dr=int_0^T D (x, y,z)(vx, vy, vz)(t) dt
V=int_0^T D x vx dt+ int_0^T D y vy dt+ int_0^T (-F) z vz dt

Substitution

V=int_0^X D x dx+ int_0^Y D y dy+ int_0^Z D z dz

V=0.5 D (X^2+Y^2+Z^2)=0.5 D R^2

Offenesichtlich haengtd as integral in diesem nur vom endpunkt ab
wenn man von diesme V jetzt dengradienten bildet
erhaelt man wieder

-Grad(V)=F

Ich kann das gerne noch mal im Fall des Gravitationsfeldes vorfuehren wenn du willst...


Ach ja eines noch
Die Ableitung von v erst nach x dann anch y oder erst nach y und dann nach x muss gleich sein.
Und so weiter

Daum muss ein F das als gradient von einem v geshcriben werden koennen soll

Ableitung nach y von der x Komponete von F= Ableitung nach x von der yKomponente von F erfuellen

Was wiederum genau die Bedingung das rot F=0 sein muss widerspiegelt...

Fassen wir zusammen
Wenn
F nur vom Ort abhaengt und rot F =0 ist
Dann als F=-grad(V) geschrieben werden wobei
man V durch integration von F uebr beliebige Wege erhaletn kann