Überlichtgeschwindigkeit ist doch möglich
30.05.2014 um 14:34Jungs, es ist doch so einfach. Sehen wir uns mal den Lagrangian für ein relativistisches Teilchen an.
L = -m sqr(1 - (v_x+v_y+v_z))
sqr ist quadratwurzel.
Action principle für die Euler-Lagrange Gleichungen machen wir jetzt nicht weil die Bewegungsgleichungen nicht so interessant sind.
Jetzt bestimmen wir den generalisierten Impuls, der erhalten sein muss weil der Lagrangian invariant unter translation des Ortes(was eine Raumsymmetrie darstellt) ist,wie man offensichtlich sehen kann.
Ableitung des Lagrangian nach der Geschwindigkeit.
p_x = (\partial L)/(\partial v) = +mv_x/((sqr(1-v²)))
Das ist jetzt die Vierergeschwindigkeit der x Komponente multipliziert mit der Masse(Ruhemasse benutzt tatsächlich kein Mensch mehr in der Modernen Physik, Ruhemasse ist einfach die Energie bei Ruhe). Gleiches gilt für die anderen Komponenten.
Jetzt haben wir die ersten drei Komponenten des Vierervektors, fehlt noch die vierte Komponente, die Energie ist.
Die bekommt man ganz einfach durch eine Legendre-Transformation des Lagrangian zu dem Hamiltonian, da ja jeder weiß(;)) das der Hamiltonian die gesamt Energie darstellt bei Zeitinvarianz(was Energieerhaltung darstellt), also nicht von t Abhängt und ein abgeschlossenes System ist.
H = vp -L
Also was gibt das jetzt? Nehmen wir nur mal die x-Komponente, also v_x. v im Nenner ist der Betrag der Gesamtgeschwindigkeit.
H = (mv²_x/(sqr(1-v²))) + m sqr(1-v²)
Das kann man jetzt mit Algebra aus der Grundschule umformen zu:
H = m/(sqr(1-v²))
Sehr simple !
Jetzt approximieren wir den Ausdruck m/((sqr(1-v²)) mit dem binomischen Lehrsatz für Geschwindigkeiten kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Binomischer Lehrsatz in unserem Fall ist:
1/(sqr(1-v²)) = 1 + (v²/2)
für den Hamiltonian:
H = m/(sqr(1-v²)) = m + (mv²/2)
(mv²/2 ist natürlich die kinetische Energie der klassischen Physik)
Approximiert für Geschwindigkeiten geringer als Lichtgeschwindigkeit natürlich !
Die Gleichung hat aber noch keine richtigen Einheiten, was daran liegt, das wir den Konvertierungsfaktor c (ja die Lichtgeschwindigkeit) noch nicht eingesetzt haben, ok eingesetzt schon, aber halt durch Einheiten c=1 gesetzt. Aber wir wollen die Gleichung ja jetzt mit c schreiben, also kann man so denken als wären die Einheiten nicht in Ordnung. Mit c sieht diese Gleichung dann so aus:
H = mc² + (mv²/2)
Eingefleischte Physiker müssten jetzt schon was erkennen.
Und da der Hamiltonian alle voraussetzungen hat die totale Energie zu sein, kann man auch schreiben:
E = mc² + (mv²/2)
Für eine Punktmasse in Ruhe, oder in einem Schwerpunktsystem, wo v=0, gilt:
E = mc²
Und das ist einfach die Restenergie, bei mehreren Teilchen ist es dann die totale Energie in Ruhe oder im Schwerpunktsystem wo der Impuls 0 ist, und nicht die Summe der Massen der einzelnen Teichen. Das ist also die Herleitung von E=mc² , die hier wahrscheinlich noch nie jemand gesehen hat, aber alle drüber reden.
Was passiert jetzt bei masselosen Teilchen die sich mit genau Lichtgeschwindigkeit bewegen?
E=H = m/((sqr(1-v²))
Macht offensichtlich keinen Sinn, da der Ausdruck dann undefiniert ist, weil m=0 und v=c=1 , wenn man c=1 setzt erhält man 0/0. Es macht keinen Sinn masselose Teilchen durch Geschwindigkeiten zu unterscheiden, weil sie eben alle die gleiche Geschwindigkeit haben. Es macht mehr Sinn von der Energie masseloser Teilchen als Funktion von den Impulse anstatt von den Geschwindigkeiten zu denken.
Jetzt ist ja der Betrag des Viererimpulses die Lichtgeschwindigkeit. Deswegen kann man schreiben, noch mit m² multipliziert:
c=1
p ist einfach die Impulskomponente in x Richtung(die anderen Komponenten lassen wir weg)
E²-p² = m²
Dann gilt für die Energie:
E = sqr(p²+m²)
Wenn jetzt m - > 0 ist es wunderschön Definiert und einfach nur der Impuls und nichts grauenvoll undefiniertes passiert.
Eigentlich müsste der Thread hier voll von solchen Gleichungen sein und nicht einfach hirnrissiges Geschwurbel wie z.B. von @perttivalkonen und ähnliches.
Und was die Mathematik dahinter angeht ist es so das Physiker sich eigentlich nicht an mathematische Definitionen halten und alles bitter ernst nehmen, sondern mehr ihrer Intuition folgen, wobei es am Ende natürlich in übereinstimmung mit den Experimenten sein muss. Z.b. ist das Pfadintegral der Quantenfeldtheorie in der Mathematik nicht definiert, in der Physik macht es aber super viel Sinn und liefert korrekte vorhersagen seit Jahrzehnten.
Gruß
L = -m sqr(1 - (v_x+v_y+v_z))
sqr ist quadratwurzel.
Action principle für die Euler-Lagrange Gleichungen machen wir jetzt nicht weil die Bewegungsgleichungen nicht so interessant sind.
Jetzt bestimmen wir den generalisierten Impuls, der erhalten sein muss weil der Lagrangian invariant unter translation des Ortes(was eine Raumsymmetrie darstellt) ist,wie man offensichtlich sehen kann.
Ableitung des Lagrangian nach der Geschwindigkeit.
p_x = (\partial L)/(\partial v) = +mv_x/((sqr(1-v²)))
Das ist jetzt die Vierergeschwindigkeit der x Komponente multipliziert mit der Masse(Ruhemasse benutzt tatsächlich kein Mensch mehr in der Modernen Physik, Ruhemasse ist einfach die Energie bei Ruhe). Gleiches gilt für die anderen Komponenten.
Jetzt haben wir die ersten drei Komponenten des Vierervektors, fehlt noch die vierte Komponente, die Energie ist.
Die bekommt man ganz einfach durch eine Legendre-Transformation des Lagrangian zu dem Hamiltonian, da ja jeder weiß(;)) das der Hamiltonian die gesamt Energie darstellt bei Zeitinvarianz(was Energieerhaltung darstellt), also nicht von t Abhängt und ein abgeschlossenes System ist.
H = vp -L
Also was gibt das jetzt? Nehmen wir nur mal die x-Komponente, also v_x. v im Nenner ist der Betrag der Gesamtgeschwindigkeit.
H = (mv²_x/(sqr(1-v²))) + m sqr(1-v²)
Das kann man jetzt mit Algebra aus der Grundschule umformen zu:
H = m/(sqr(1-v²))
Sehr simple !
Jetzt approximieren wir den Ausdruck m/((sqr(1-v²)) mit dem binomischen Lehrsatz für Geschwindigkeiten kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Binomischer Lehrsatz in unserem Fall ist:
1/(sqr(1-v²)) = 1 + (v²/2)
für den Hamiltonian:
H = m/(sqr(1-v²)) = m + (mv²/2)
(mv²/2 ist natürlich die kinetische Energie der klassischen Physik)
Approximiert für Geschwindigkeiten geringer als Lichtgeschwindigkeit natürlich !
Die Gleichung hat aber noch keine richtigen Einheiten, was daran liegt, das wir den Konvertierungsfaktor c (ja die Lichtgeschwindigkeit) noch nicht eingesetzt haben, ok eingesetzt schon, aber halt durch Einheiten c=1 gesetzt. Aber wir wollen die Gleichung ja jetzt mit c schreiben, also kann man so denken als wären die Einheiten nicht in Ordnung. Mit c sieht diese Gleichung dann so aus:
H = mc² + (mv²/2)
Eingefleischte Physiker müssten jetzt schon was erkennen.
Und da der Hamiltonian alle voraussetzungen hat die totale Energie zu sein, kann man auch schreiben:
E = mc² + (mv²/2)
Für eine Punktmasse in Ruhe, oder in einem Schwerpunktsystem, wo v=0, gilt:
E = mc²
Und das ist einfach die Restenergie, bei mehreren Teilchen ist es dann die totale Energie in Ruhe oder im Schwerpunktsystem wo der Impuls 0 ist, und nicht die Summe der Massen der einzelnen Teichen. Das ist also die Herleitung von E=mc² , die hier wahrscheinlich noch nie jemand gesehen hat, aber alle drüber reden.
Was passiert jetzt bei masselosen Teilchen die sich mit genau Lichtgeschwindigkeit bewegen?
E=H = m/((sqr(1-v²))
Macht offensichtlich keinen Sinn, da der Ausdruck dann undefiniert ist, weil m=0 und v=c=1 , wenn man c=1 setzt erhält man 0/0. Es macht keinen Sinn masselose Teilchen durch Geschwindigkeiten zu unterscheiden, weil sie eben alle die gleiche Geschwindigkeit haben. Es macht mehr Sinn von der Energie masseloser Teilchen als Funktion von den Impulse anstatt von den Geschwindigkeiten zu denken.
Jetzt ist ja der Betrag des Viererimpulses die Lichtgeschwindigkeit. Deswegen kann man schreiben, noch mit m² multipliziert:
c=1
p ist einfach die Impulskomponente in x Richtung(die anderen Komponenten lassen wir weg)
E²-p² = m²
Dann gilt für die Energie:
E = sqr(p²+m²)
Wenn jetzt m - > 0 ist es wunderschön Definiert und einfach nur der Impuls und nichts grauenvoll undefiniertes passiert.
Eigentlich müsste der Thread hier voll von solchen Gleichungen sein und nicht einfach hirnrissiges Geschwurbel wie z.B. von @perttivalkonen und ähnliches.
Und was die Mathematik dahinter angeht ist es so das Physiker sich eigentlich nicht an mathematische Definitionen halten und alles bitter ernst nehmen, sondern mehr ihrer Intuition folgen, wobei es am Ende natürlich in übereinstimmung mit den Experimenten sein muss. Z.b. ist das Pfadintegral der Quantenfeldtheorie in der Mathematik nicht definiert, in der Physik macht es aber super viel Sinn und liefert korrekte vorhersagen seit Jahrzehnten.
Gruß