Kleine mathematische Unlogik

@Issomad 

Nicht ganz,als darunter ist auf herkömmlichem Wege nicht  zu beschreiben. 

Da hier nix mehr los ist, eine dem ursprünglichen Problem verwandte Denksportaufgabe:

Eine Ameise krabbelt mit 1 cm/s an einem Ende eines 1 km langen Gummibands in Richtung auf das andere Ende los. Gleichzeitig beginnt jemand kontinuierlich an dem anderen Ende des Gummibands (das als unbegrenzt dehnbar angenommen sei) mit 1 km/s zu ziehen, so dass das Gummiband gleichförmig gedehnt wird. Erreicht die Ameise (die als unsterblich, und nicht auf Futter, etc. angewiesen angenommen sei) jemals das andere Ende des Gummibands?

@uatu

Den Kilometer wird die Ameise überwinden können. Sie läuft schließlich konstante 1m/s.
Das andere Ende des Gummibands wird sie aber niemals erreichen.
Die Strecke erweitert sich im gleichen Tempo wie die Ameise sich fortbewegt.

uatu schrieb:sei) mit 1 km/s zu ziehen, so dass das Gummiband

Du meintest sicher 1m/s? Eben erst regestriert?

TerracottaPie schrieb: Eben erst regestriert?

Du auch? LOL.

@TerracottaPie: Nee, ich meine das so, wie ich es geschrieben habe: Die Ameise krabbelt mit 1 cm/s und das Gummiband verlängert sich mit 1 km/s, eine Sekunde nach dem Start hat sich das Gummiband also von 1 auf 2 km verlängert, zwei Sekunden nach dem Start auf 3 km, usw.

@uatu
Auf dem ersten Blick: nach 100.000 Sekunden ist die Ameise am Ende des Bandes.

@Abahatschi: Ehe ich antworte, möchte ich noch evtl. weitere Meinungen abwarten.

@Abahatschi

Abahatschi schrieb:Auf dem ersten Blick: nach 100.000 Sekunden ist die Ameise am Ende des Bandes.

Wie hast Du das so schnell berechnet ?
Ich meine, es müßte "etwas" länger dauern.

Vielleicht braucht man doch noch einen zweiten Blick :)

@uatu

Ist es eigentlich egal, von welchen der beiden Enden die Ameise losläuft?

Also wenn eine Ameise vom Anfang und eine andere vom Ende losläuft,
treffen sie sich in der Mitte des Bandes?
und brauchen beide gleich lang bis ans Ende?

@delta.m: Bitte erst mal bei dem beschriebenen Szenario bleiben, dass die Ameise von einem (irgendwo befestigten) Ende aus loskrabbelt, und vom anderen Ende aus gezogen wird.

Das Ende erreicht die Ameise bei jeder Dehnungsgeschwindigkeit größer 0,999... cm/s nicht.

@TerracottaPie: Ein naheliegender Schluss. Du hast da allerdings was übersehen. Mehr verrate ich noch nicht. ;)

Es ist so, dass, wenn das Gummiband verlängert wird, man ja daran zieht, also auch die Strecke, die bereits zurückgelegt wurde, verlängert wird. Also komplett gleich verteilt.

Bevor ich weiter nachdenke, entspricht das dem, was du aussagen wolltest, @uatu ?

@Izaya: Könnte sein. ;)

Na bin auf die Auflösung gespannt...

@uatu
Ich bin der Meinung sie wird es schaffen denn mit jedem Schritt überwindet sie einen Teil des Gummibandes. In gleichem Maße wie sich die Strecke zwar vor ihr verlängert verlängert sich auch die schon zurückgelegte Strecke. Es kommt ja auch kein neues Band dazu. So würde ich das sehen. 

Da das ganze Band gestreckt wird, kann man sich Gedanken über den Faktor machen. Der wird nämlich immer niedriger, von erstmal 2 zu 1,5 auf 1,25 usw. usf.

Es erinnert also soweit an das alte Beispiel, dass wir immer einen Teil der Strecke hinzufügen. Erstmal ist die ursprüngliche Strecke 1/2 der ganzen, dann, bei der nächsten Streckung 1/3 etc. pp.

Dahingehend ganz interessant.

Jedoch müssen wir eigentlich betrachten, was für einen relativen Teil die Ameise zurücklegt. 
Zuerst 1/100000, dann 1/200000 usw. usf. Die muss man dann aufeinanderaddieren:

1/100000+1/200000+1/400000....= 1 ?


Weiter bin ich nicht, bin verdammt müde. Aber vielleicht kann jemand anders hier ne geometrische Reihe oder so daraus basteln, kp.

Ich sage, dass es geht, weil die harmonische Reihe divergiert - aber es dauert eine ganze Weile.  

Begründung:
Wir haben zwei Vorgänge, die im folgenden Abkürzungen erhalten:
A - die Ameise macht einen Schritt der Länge 1
B - das Band dehnt sich um die Länge 100.000 = 10^5 aus

Beobachten wir die Position der Ameise:
Wir starten bei 0 bzw. 0/(10^5).
Es findet das erste Mal A statt, d. h., wir sind bei 1/(10^5).
Nun findet B statt, d. h., wir sind bei 2/(2*10^5). 
(Man sieht, ich gehe davon aus, dass die Ameise bei der Ausdehnung mitgezogen wird.)

Nun findet wieder A statt: 3/(2*10^5)
Dann wieder B: (3/2*3)/(3*10^5)

Nach jedem Durchführen von A und B erhöht sich also im Nenner der Vorfaktor um 1. Soweit so gut. 
Was im Zähler passiert, lässt sich am besten als rekursive Folge a(n) darstellen, wobei der Index n angibt, wie oft A+B schon stattfand.

a(0) = 0
a(1) = (a(0) + 1)*(2/1) = (0 + 1)*(2/1) = 2/1
a(2) = (a(1) + 1)*(3/2) = (2/1 + 1)*(3/2) = (2/1)*(3/2) + (3/2) = 3/1 + 3/2 = 3*(1 + 1/2)
a(3) = (a(2) + 1)*(4/3) = (3/1 + 3/2 + 1)*(4/3) = 4/1 + 4/2 + 4/3 = 4*(1 + 1/2 + 1/3)

Die " + 1" ist A, also der Schritt der Ameise und durch das durch B ausgelöste Mitziehen wird anschließend mit (n+1)/n multipliziert.
Man erkennt das Muster sicherlich. 
Für einen allgemeinen Wert n erhalten wir nun:
a(n) = (n+1)*(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)

Ingesamt werden wir also nach n Schritten einen Weg von
((n+1)/n)*(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)/(10^5)
zurückgelegt haben.

Der Wert 10^5 im Nenner ist dabei zu vernachlässigen. Der Faktor (n+1)/n = 1 + (1/n) wird für große Werte n gegen 1 konvergieren und spielt auch keine besondere Rolle.
Aber diese immer länger werdende Summe von Brüchen (also die Partialsumme der harmonischen Reihe) divergiert für n gegen unendlich - zwar sehr langsam, aber sie tut es. Also existiert eine natürliche Zahl n, sodass dieser zuletzt angegebene Term den Wert 1 annimmt - auch wenn dieses n ziemlich groß sein wird.

(Ohne die getroffene Annahme, dass wir uns beim Verlängern des Bandes mitgezogen werden, würden wir dagegen stabil in jedem Schritt nur 1/(10^5) der jeweiligen Gesamtlänge zurückgelegt haben und niemals das Ende erreichen.)