@Z.Was ist damit gemeint, ein "zeitartiges Killingvektorfeld" zu "finden" ?
Was ist überhaupt ein "Vektorfeld" ?
Wikipedia sagt dazu;
In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.
Was den Kern der Angelegenheit schon relativ gut trifft.
Unser erstes Ziel auf dem Weg zum Vektorfeld ist erst einmal der reelle Koordinatenraum, der R^n, auch euklidischer Raum genannt. Diesen zu verstehen ist schon deshalb wichtig, weil eine Mannigfaltigkeit lokal dem R^n "ähnelt", der Vollständigkeit halber exakt:
Jeder Punkt einer komplexen Mannigfaltigkeit hat eine Umgebung die homöomorph zum R^n ist.
Physikalisch liegt darin der tiefere Grund, wieso es uns nicht auffällt, dass die eigentlich Form des Universums nicht euklidisch ist, wieso die ART lokal in die SRT übergeht... dazu später mehr.
Ich werde nicht alles Folgende näher erläutern, oftmals nur grundlegende Konzepte nennen, bei einigen Dingen jedoch etwas ausführlicher werden.
Was eine Funktion ist (mathematisch exakt kann eine Funktion als spezielle Relation, die linkstotal und rechtseindeutig ist angesehen werden, aber damit ist hier niemanden geholfen), sollte klar sein, es reicht sich eine Funktion als Input-Output Maschine vorzustellen, du nimmst ein Element x aus einer Menge A und die Funktion ordnet diesem x ein Element y aus der Menge B zu.
Funktionen bezeichnet man meistens mit f,g,u,v oder w
x e A, y e B
heißt x ist aus der Menge A, y ist aus der Menge B
Beispiel
f:A->B;
f(a) = a²
ist strenggenommen ziemlich nichtssagend, wenn keine weiteren Eigenschaften über die (algebraische, topologische oder ordnungstheoretische) Struktur der Menge A und der Menge B bekannt sind.
So ist nicht klar, ob a z.B. ein Polynom, eine Drehung, eine Permutation, etc... ist, auch darf keineswegs vorausgesetzt werden, dass man mit den Elementen der Mengen "üblich" rechnen darf.
Die grundlegenden Eigenschaften von endlichen Mengen und unendlichen Mengen an sich ist Gegenstand der mathematischen Logik, genauer der Mengenlehre.
Der Einfachheit halber setzten wir voraus, dass wir in einem sogenannten "Körper" rechnen und zwar den (geordneten) Körper der reellen Zahlen.
Das heißt unsere Mengen A und B weisen eine algebraische und ordnungstheoretische Struktur auf, die es uns erlaubt, auf die aus der Schule bekannte Art und Weise mit den Elementen von A und B rechnen.
Ein Körper an sich ist eine spezielle algebraische Struktur die hinsichtlich der Multiplikation und Addition eine Gruppe ist, zusätzlich fordert man das Distributivgesetz.
Eine Gruppe ist eine strukturierte nichtleere Menge A mit einer inneren Verknüpfung o
(A,o) ist eine Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind;
Für alle a,b,c aus A gilt
1) Assoziativgesetz
(aob)oc = ao(boc) // gelesen "Klammer auf a verknüpft mit b Klammer zu verknüpft mit c ist gleich a verknüpft mit Klammer auf b verknüpft mit c"
2) Existenz eines eindeutigen neutralen Elementes
Es existiert ein e aus A mit
eoa = a = aoe
3) Jedes Element a besitzt ein Inverses a' in A
aoa' = e = a'oa
Gruppen sind außerdem abgeschlossen in dem Sinne, dass für alle a,b aus A gilt; aob ist ein Element aus A, das ist eine Forderung an die Verknüpfung o
Die Gruppentheorie ist für viele Bereiche der Mathematik von tragender Bedeutung, wichtige Resultate sind z.B. der Satz von Lagrange, Satz von Cayley, Homomorphiesatz, Isomorphiesätze, Satz von Sylow, usw...
Ein Beispiel für eine Gruppe sind die Ganzen Zahlen Z mit der Addition +, also (Z,+) oder die auch in der Physik wichtige Gruppe Gl(n,K), also die Allgemeine lineare Gruppe (Menge der regulären Matrizen die über einen Körper K modelliert ist mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung)
wenn für die Menge der Reellen Zahlen R also gilt
1) (R, +) ist eine Gruppe
2) (R\{0}, * ) ist eine Gruppe
(Die 0 muss aus der Menge der Reellen Zahlen herausgenommen werden, schaut man sich das zweite und dritte Gruppenaxiom an, wird auch klar wieso)
3) Distributivgesetz
spricht man vom Reellen Zahlenkörper R, oder einfach den Reellen Zahlen R zusätzlich fordert man stillschweigend noch eine Ordnungsstruktur, dass führt hier aber zu weit.
Der Begriff der Funktion kann synonym zum Begriff der Abbildung verwendet werden. Manche Mathematiker bevorzugen jedoch unter Funktionen nur Abbildungen der Form f:R^m-> R^n, (m,n aus den Natürlichen Zahlen), also Abbildungen zwischen reell modellierten Räumen zu verstehen. Allgemein hat sich jedoch in letzter Zeit durchgesetzt, Funktionen und Abbildungen synonym zu verwenden. In der Algebra spricht man jedoch historisch bedingt häufiger von Abbildungen, in der Analysis von Funktionen.
In der Physik geht es in der Regel (abgesehen vom Bereich der Quantenfeldtheorie und einigen Bereichen der Elektrodynamik) um Abbildungen der Form f:R^m->R^n, z.B.: das einfache Gravitationsgesetz auf der Erdoberfläche
F =mg
dabei setzt man stillschweigend voraus, dass m und g Reelle Zahlen sind, also normal multipliziert werden können.
In der Elektrodynamik benötigt man hingegen oftmals auch die "Komplexen Zahlen C", die die Eigenschaft haben, "algebraisch abgeschlossen" zu sein, d.h. dass jedes Polynom (a aus R, eine Funktion der Form f(x) = a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+...+a_1x+a_0,
http://www.mathepedia.de/Polynome_Klassen_von_Funktionen.aspx (Archiv-Version vom 05.03.2014) ) in Linearfaktoren zerfällt, aanders ausgedrückt, dass jede Polynom n- ten Grades n Nullstellen im Körper der Komplexen Zahlen hat)
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Im Körper der Reellen Zahlen kann nämlich nicht jede polynominale Gleichung faktorisiert werden, z.B. hat nicht jedes Polynom der Form a_3x^3+a_2x^2+a_^1x+a_0 (also eine kubische Gleichung
Wikipedia: Kubische Gleichung) eine Lösung in den Reellen Zahlen
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Man arbeitet in der E- Dynamik also mit Funktionen der Form f:C->C, seltener f:C^m->C^n.
mit Funktionen zwischen den Komplexen Zahlen beschäftigt sich das Gebiet der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.
Erinnern wir uns an die Aussage aus Wikipedia
In der mehrdimensionalen Analysis und der Differentialgeometrie ist ein Vektorfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.
Fortsetzung folgt...
