@Lessy Eigentlich ganz easy... guckst du
Ist das Signal x eine zeitkontinuierliche periodische Funktion mit der Periodendauer T, so lautet die zugehörige Gleichung:
displaystyle x(t)=sum_{n=-infty}^{infty} underline X(n) mathrm{e}^{mathrm{i} 2 pi (n cdot f_0) t}
Die Gleichung beschreibt das Signal x(t) als eine Summe von komplexen Exponentialschwingungen e^{j 2 pi f t} der Frequenzen f = 0, pm f_0, pm 2 cdot f_0, pm 3 cdot f_0 .... Als Spektrum underline X des Signals x bezeichnet man die Funktion
underline X: mathbb{Z}_0 rightarrow mathbb{C}, n rightarrow underline X(n) =frac1Tint_{0}^{T} x(t) mathrm{e}^{-mathrm{i}2 pi (n cdot f_0) t} dt,
mit der Grundfrequenz f_0=frac 1 T. Die Zahl n in mathbb{Z} steht stellvertretend für das n-fache n cdot f_0 der Grundfrequenz. Die komplexe Exponentialschwingung e^{j 2 pi f t} kann durch die Gleichung mathrm{e}^{mathrm{i} 2 pi f t} = cos(2 pi f t) + i sin(2 pi f t), ~ i = sqrt{-1} beschrieben werden. Da das Spektrum nur für die diskreten Frequenzen n cdot f definiert ist, spricht man von einem diskreten Spektrum bzw. von einem Linienspektrum.
Ist das Signal x(t) eine nichtperiodische zeitkontinuierliche Funktion mit endlicher Signalenergie, so lautet die zugehörige Transformationsgleichung:
x(t) = int_{-infty}^{infty} underline X(f) textrm{e}^{i 2 pi f t} df
Als Spektrum underline X des Signals x bezeichnet man in diesem Fall die Funktion
underline X: mathbb{R} rightarrow mathbb{C}, f rightarrow underline X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cdot mathrm{e}^{-mathrm{i} 2 pi f t} dt.
