e^x wächst schneller als jede Potenzfunktion

Hi, Leute, brauch mal eure Hilfe in Mathe,
ich muss den Beweis erbringen, wieso die Exponentialfunktion e^x schneller als jede Potenzfunktion wächst.
Ich habe das hier gefunden, aber es steht halt nichts weiteres dazu und ich kapiere es nicht:

" lim x->unendlich e^x/x^n = +unendlich für alle n ∈ N

d.h. die e-Funktion wächst schneller als jede Potenzfunktion."

So wird es mir hingeklatscht und ich soll das verstehen.

kennt jemand eine Seite wo der Beweis dieser Behauptung gut erklärt ist oder könnt ihr mir das einfach erklären?

Danke

fast ne Stunde und keine Antworten...

da sieht man das Bildungsniveu der Allmyaner (mich eingeschlossen)

Stell Deine Frage am besten mal in so´nem Freakforum wie Chip.de oder so :D

naja ich lass es trotzdem drin
ich habe schon was gefunden, nur ich verstehe es nicht wie zum B, die hier.

lim x^n/e^x=0 für alle n ∈ N und den Beweis hat`l'Hospital gemacht, erst mal finden
x->unendlich und verstehen!

Der User insideman hat geschrieben, dass er sich in Mathe-Foren rumtreibt.
Vielleicht hat er ja Nerv dafür.

Oder wir versuchen es mal mit Rac.
@canpornpoppy: Kannst Du mal was sagen?

:D

@Halbvampirroni

Hi, hab folgendes gefunden und hoffe es hilft dir^^

Also, nach der taylor-Reihenentwicklung gilt:

ex = Sunendlich i=0 xi/i!

das gilt für x element aus R, also auch für x element aus N.

Nun kann man alle potenzfunktionen durch "Polynome unendlichen Gerades" ausdrücken. Durch ähnliches Ausklammern, wie Aktienklaus es vorgeschlagen hat, ergibt sich nun, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede potensfunktion endclichen Gerades.

http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/74189/127016.html

Noch eine Seite :D

http://www.wer-weiss-was.de/theme252/article4913258.html

okay mal sehen,
ist das ein Rechtschreibfehler Sunendlich?

Halbvampirroni schrieb:lim x^n/e^x=0 für alle n ∈ N und den Beweis hat`l'Hospital gemacht, erst mal finden

Ja, das geht mit der Regel von l'Hospital.

Allgemein: Zwei Funktionen f(x) und g(x) divergieren für x -> ∞, gehen also selbst Richtung ∞. Die Frage ist nun, wie der Grenzwert f(x)/g(x) für x -> ∞ aussieht. Setzt man die einzelnen Grenzwerte ein, so erhält man ja ∞/∞, was undefiniert ist.

Nach der Regel von l'Hospital kann man nun anstatt f(x) und g(x) auch einfach die Ableitungen f'(x) und g'(x) betrachten, d.h. lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) für x -> ∞.

Sei nun f(x) = x^n (n ∈ N), g(x) = e^x. Wir suchen den Grenzwert x^n/e^x, bzw. eigentlich interessiert es uns nur, ob der Quotient für x -> ∞ auch 0 ist oder ∞. Nach der Regel von l'Hospital können wir nun einfach die Ableitungen betrachten:

=> n*x^^n-1 / e^x

Dies können wir nun solang wiederholen bis der Exponent 0 ist. Da n ∈ N endlich, ist dies auf jeden Fall irgendwann erreichbar.

Sind wir an dieser Stelle, so haben einen Ausdruck der Form:

lim n*(n-1)*(n-2)*...*1*x^⁰ / e^x

= lim n*(n-1)*(n-2)*...*1 / e^x

für x -> ∞.


Im Zähler befindet sich also kein x mehr, für x -> ∞ wächst nur noch der Nenner gegen ∞. Also ist der Limes = 0, d.h. e^x wächst schneller als x^n.

@Halbvampirroni

Jop, sry :D

Hach ja, die gute alte Krankenhausregel!

@Tommy137

ich habe noch ein paar Fragen:
Wieso betrachten wir den Quotienten der beiden Funktionen?Also e^x = Exponentialfunktion und x^n = Potenzfunktion,ne?
das man dort endlich durch unendlich erhält verstehe ich und die l´Hospital Regel ist mir bekannt.
aber wieso suchen wir den Grenzwert x^n/e^x, bzw. eigentlich interessiert es uns nur, ob der Quotient für x -> ∞ auch 0 ist oder ∞.

und ich verstehe noch nicht ganz wieso der exponent bei x^n Null wird.

@niurick

:D

naa.. ich tu mich mit dem beweisen schwer, l/hospital hatte ich noch im hinterkopf, so wie es tommy137 geschrieben hat macht es auch sinn.. aber aus dem stehgreif wär ich jetzt selbst nicht drauf gekommen ;__;

nur es reicht ja nicht zu sagen "na man sieht es doch das das eine schneller wächst als das andere"

x! wächst ja zum beispiel schneller als e^x ^^

ironie hilft mir nicht weiter im Gegenteil es verunsichert mich nur noch mehr @canpornpoppy

Und ich versteh nur noch Bahnhof !

Hilfe was für Formel-Hyorglyphen sind das denn, mit welchem Bildungsstand zum Geier versteht man sowas ?

Gymansium 2.Semester Leistungskurs Mathe.
da soll man so was begreifen, soll!

@Halbvampirroni

in welche richtung du es betrachtest ist ja im grunde egal, ob die e-funktion nun im nenner oder zähler steht spielt keine rolle, wächst der zähler schneller, geht es gegen unendlich, wächst der nenner schneller, geht es gegen null

bei x^n ist n eine feste zahl, nach n ableitungen kommst du auf x^0 während die ableitungen von e^x e^x bleiben, demnach kommt nach n ableitungen auf endlich/unendlich (läuft gegen null) für e^x im nenner bzw unendlich/endlich (läuft gegen unendlich) für e^x im zähler

sprich die e-funktion wächst schneller

Halbvampirroni schrieb:Wieso betrachten wir den Quotienten der beiden Funktionen?Also e^x = Exponentialfunktion und x^n = Potenzfunktion,ne?

Wenn man wissen will, welche von zwei Funktionen schneller wächst als die andere, so macht man das über den Grenzwert des Quotienten. Entweder kann man dann direkt Sachen wegkürzen und zu einer Lösung kommen oder man wendet eben die Regel von l'Hospital an.

Halbvampirroni schrieb:das man dort endlich durch unendlich erhält verstehe ich

Das erhält man aber eben erst durch mehrfaches Anwenden dieser einen Regel. Grundsätzlich laufen sowohl x^n als auch e^x für x->∞ gegen ∞.


In dem man die Ableitungen betrachtet, verringert sich der Exponent der Potenzfunktion. Für die Ableitung von x^n gilt ja: (x^n)' = n*x^(n-1). Die zweite Ableitung lautet dann folgerichtig: (x^n)'' = n*(n-1)*x^(n-2).

Das wendet man nun insgesamt n-mal an und erhält dann wier schon geschrieben:

n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 * x^0. Da x^0 = 1, steht dann im Zähler einfach nur noch das Produkt n*(n-1)*(n-2)*...*2*1.

Im Nenner wiederrum stand zu Anfang ja e^x. Da die Ableitung von e^x gerade e^x ist, ändert sich nichts am Nenner.


Aus lim x^n / e^x (x->∞) wurde durch n-fache Anwendung der Regel von l'Hospital also:

lim [n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 / e^x] (x->∞)

Hier ist der Zähler dann eben nicht mehr von x abhängig, er wächst also für x->∞ nicht an. Der Nenner geht allerdings weiter Richtung ∞, also geht wird der Quotient 0.


(Hab das Gefühl, das gleiche oben schon geschrieben zu haben, aber vielleicht ists nun klarer :|)

oder nehme alternativ die erste Ableitung (diffquotient) :
(die hinkt zwar an ein paar Stellen, dürfte aber den Lehrer befriedigen)

so im Bsp:
f(x)= x^2 --> f´(x)=2x
f(x)= e^x --> f´(x)=e^x

oder im Allgemeinen:
f(x)=x^n --> f´(x)=nx^(n-1)

da der Anstieg bei e^x immer e^x ist und bleiben wird (was man bei keiner anderen Funktion sagen kann) kann eine normale Potenzfunktion nie schneller ansteigen

Wenn ihr Superscript benutzt, könnt ihr auf die ^ - Zeichen verzichten.

f (x) = x ² + x ⁿ⁺¹


Junge!

ist klarer danke @Tommy137
ich brauch es immer ein bisschen ausführlicher ;)
und das reicht jetzt aus, um den Satz(Thema) zu beweisen?
Was sollte ich noch alles in meinen Vortrag mit einbeziehen?
Einen Grafen zur veranschaulichung oder so?
kann man da irgendein Beispiel nehmen?