@mojorisin Vielleicht kann @mathematiker ja was zu meinem Beitrag sagen:
Diskussion: Negativer Raum? (Beitrag von mojorisin)
Da muss man schon ein wenig rein in die Maßtheorie.
Nun ja, ein Raum ist ja an sich nichts weiter als eine strukturierte Menge A. Vom Begriff des Raumes hat man meistens eine recht geometrische Vorstellung, die des euklidischen Raumes. Die Vorstellung ist nicht falsch, deckt aber nur eine einen kleiner Bereich aller Räume ab. Solche anschaulichen Räume sind aber in der Mathematik eher unüblich.
Nehmen wir uns mal irgendeine Menge, z.B. die Menge der invertierbaren Matrizen über einen Körper K. Wann ist eine Matrix A invertierbar ? Richtig, wenn die Determinante nur von Null verschiedene Werte annimmt.
Jetzt haben wir unsere Menge M von Matrizen A_i; M = {A_1,A_2,...}
Es wäre doch großartig, wenn so eine Menge noch gewisse "innere Zusammenhänge/ Strukturen" aufweist, wenn wir die Elemente irgendwie miteinander verknüpfen.
Glücklicherweise finden wir für die Menge der invertierbaren Matrizen eine solche innere Struktur.
°: (A_1,A_2) -> A_1°A_2 sein nun die Matrizenmultiplikation.
Es lassen sich folgende algebraische Zusammenhänge feststellen;
A_i°A_j ∈ M für alle {i,j} ∈ N (Abgeschlossenheit der Verknüpfung)
(A_i°A_j)°A_k = A_i°(A_j°A_k ) für alle {i,j,k} ∈ N (Assoziativität)
Es existiert ein A_i ∈ M mit A_i ° A_j = A_j = A_j ° A_i für alle j ∈ N. Dieses A_j bezeichnen wir mit E (Existenz eines neutrales Elementes E)
Für alle A_i ∈ M existiert ein A_i^-1 ∈ M mit A_i°A_i^-1 = E (Existenz eines inversen Elementes)
Die Menge der invertierbaren/ (auch regulären genannt) n*n Matrizen über einen Körper K (z.B. den Reellen Zahlen) ist eine also Gruppe, die Allgemeine Lineare Gruppe Gl(n,K). wobei n die Anzahl der Spalten (in diesem Fall also auch Anzahl Zeilen) und K der Körper über den Matrizen ist.
Diese Gruppe ist auch schon ein Raum, ein Raum ohne Dimension oder Abstandsbegriff.
Bei einem solchen Raum kann man überhaupt noch nicht von Volumen reden.
Zurück zur Maßtheorie;
Ein Maß ordnet einer Teilmenge B_i ⊂ A eine reelle Zahl µ(B_i) zu. Die Teilmenge B_i dieser Menge erfüllen dabei gewisse algebraische Eigenschaften, ähnlich wie die Matrizen im Obigen Beispiel.
Das Maß muss natürlich auch gewisse Anforderungen erfüllen,
1) µ muss eine Abbildung sein (in den meisten Fällen obligatorisch, habe es aber bisher noch nicht erwähnt)
2) µ({}) = 0; (Das Maß der leeren Menge ist stets eine Nullmenge
3) Additivität, das hier hin zu schreiben ist mir jetzt doch ein wenig zu aufwendig.
Das Maß für das "natürlich Messen" stellt das Lebesgue Maß dar. Der entscheidende Abschnitt steht im Prinzip schon in der wikipedia Version des Lebesgue Maßes;
"...d. h. das Maß, das Intervallen ihre Länge zuordnet (im Eindimensionalen), Rechtecken ihren Flächeninhalt zuordnet (im Zweidimensionalen), Quadern ihr Volumen zuordnet (im Dreidimensionalen), usw. für n-dimensionale Hyperquader."
Wikipedia: Lebesgue-MaßZu beachten ist auch, dass der Begriff des Maßes vom Begriff der Metrik zu unterscheiden ist.
Ein Maß ordnet einer Menge eines Mengensystems einen abstrakten Begriff über dessen "innere Größe" zu, eine Metrik ordnet einen Abstand zu.
Z. schrieb:Ein Volumen 0, das unbegrenzte Mengen an Energie aufnehmen kann, erscheint mir ua. deshalb mit dem Begriff negativ belegt werden zu können, ganz in dem Sinne wie es auch in den Energiebegriffen der Quantenphysik zur Anwendung kommt.
