Tetraktys - Simplex und Primzahl

Da ich momentan noch für Prüfungen lerne, kann ich jetzt nicht in aller Ausführlichkeit antworten, zumal es auch noch ein paar Gedanken gibt, die ich erstmal gründlich durchdenken muss, aber einen Gedanken möchte ich doch einmal ausformulieren:

Wir diskutieren also über die Zahl 10 und ihr Auftauchen in verschiedenen geometrischen Betrachtungen.
Nun hast du auch noch das Thema Fraktale angeschnitten und von einem Zusammenhang gesprochen.

Ursprünglich kamen wir aus einer kritischen Diskussion über Radosophie, bei der kritisiert wurde, dass gleiche Ergebnisse durch fadenscheinige arithmetische Konstruktionen zusammengebaut wurden und dann direkt zum Wort "Zusammenhang" gegriffen wurde.
Die Frage, die ich mir momentan stelle ist eben, ob die Zehnen in den Beispielen möglicherweise genauso nur einen scheinbaren Zusammenhang vermuten lassen, den man bei genauerer Betrachtung wieder ausräumen kann oder ob das Wort wirklich konsistent verwendet wird.

Viel Einleitung, ich weis, aber ich möchte für die jetzt folgende Frage das gedankliche Fundament schaffen.


Ich zweifle an der Zusammenhangsvermutung zwischen den Simplexen und den Fraktalen.
Warum?
Bei den Simplexen entstand die 10, indem du die Einzelteile des 10 Simplex betrachtet hattest und jeweils die Innenwinkel an den Eckpunkten zusammengezählt hast und bei einer Summe von 10 Vollkreisen (also 3600 Grad) gelandet bist.

Bei der Betrachtung der Fraktale hast du dir innerhalb der Struktur ein 10 Eck herausgegriffen, in dem sich wiederum 10 Vierecke befanden, deren Innenwinkelsumme wiederum 10 Vollkreise ergab.

Dabei verstehe ich nicht, worin jetzt der Zusammenhang der beiden Strukturen bestehen soll bzw. welchen Zusammenhang die 10 erklären soll?
Wir haben zwei geometrische Objekte, deren Randbegrenzung eine 10-Eck ist. Soweit haben wir eine Übereinstimmung.
Beide Objekte haben in sich jeweils gewisse Symmetrien - auch ein Treffer.
Aber danach finde ich eben keine Erklärung oder Eigenschaft der Objekte, die rechtfertigt, dass die 10 im Simplex etwas mit der 10 im Fraktal zu tun hat.
Schließlich entsteht die 10 im Simplex dadurch, dass man eine ganz konkrete Menge von Winkeln an den Ecken zusammenzählt, während man beim Fraktal eine Teilstruktur zwischen einem Eck- und Mittelpunkt herausgreift.

Aber was erklärt dies nun, außer dass man in einem Objekt, dessen Konstruktionsgrundlage ein 10-Eck war, Teilstrukturen finden kann, deren Innenwinkelsumme wieder 10 Vollkreise ergibt?
In beiden Strukturen finden sich - was nicht überrascht - schließlich noch eine Vielzahl anderer Objektgruppen, die genau diese Eigenschaft haben.

Warum überhaupt betrachtet man bei der Untersuchung der Simplexe nur die Winkel an den Ecken? Und nicht Strukturen innerhalb des ganzen Simplex?
Warum betrachtet man beim Fraktal dagegen die Struktur innerhalb des Objekts und nicht mehr die Winkel an den Eckpunkten?


Damit soll es für den Moment erst einmal an Fragen genügen.
All diese Fragen, sollen helfen den Unterschied (sofern er existiert) herauszukristallieren zwischen einen Zusammenhang(, der also auch glasklar erklären kann, dass und wie die 10en miteinander zusammenhängen und warum es gar nicht anders sein kann) und irgendwelchen Zahlenspielereien, die lediglich die Glorifizierung der 10 weiterhin rechtfertigen.

Und ich weis, dass der letzte Absatz etwas harsch formuliert ist, aber wie schon bei unserem Freund mit den Naturkonstanten so muss ich hier eben auch die Methodik er- und hinterfragen, die zum Fund der Ergebnisse führten und kritischst nachbohren, was angeblich erklärt wird.
Denn wie immer erklärt, brächte es nichts, wenn jetzt immer neue Strukturen herangezogen werden, in denen man irgendwas macht, um wieder die 10 vor sich zu haben und dann allein daraus einen Zusammenhang erklärt oder gefunden haben zu wollen.

Dazu vielleicht noch eine Analogie oder Metapher:

Lediglich beobachten zu können, dass die Sonne Tag für Tag am einen Horizont auf- und an einem anderen wieder untergeht, könnte die Vermutung nahelegen, dass die Sonne um unseren Planeten rotiert.
Betrachtet man den Prozess aber aus weiter ferner, so stellen wir fest, dass es die Erde ist, die rotiert und eine Flugbahn um die Sonne hat.
Ein Perspektivenwechsel führt also manchmal zu einer ganz anderen Erklärung und räumt sogar falsche vermutete Zusammenhänge aus.

Ich bin ganz ehrlich und sage offen, dass ich momentan eben noch auf dem Standpunkt bin, dass das Auftauchen der Zehnen zwar interessant zu beobachten ist, aber ich noch die Vermutung habe, dass die 10en in den verschiedenen Strukturen keinen direkten Zusammenhang erklären, sondern durch die geometrische Konstruktion an sich entstehen - also der Geometrie des 10-Ecks entspringen, aber darüberhinaus keine weitere Erkenntnis liefern als dass es eben innerhalb eines 10-Ecks immer wieder passieren kann, dass man aus ganz konkreten Teilstrukturen die 10 Vollkreise herausrechnen kann.

Denn ich sehe momentan einfach nicht, was die 40 Vierecke im 10-Fraktal mit den 220 Teilflächen (davon 100 Vierecke und 120 Dreiecke) im 10-Simplex zu haben sollen, da bisher nur gezeigt wurde, dass man mit einigen von denen die 10 Vollkreise errechnen kann.


Im Sinne des Analogon bin ich momentan noch bei dem Versuch, deinen Blickwinkel etwas in die Ferne zu holen und gleichzeitig aber auch nach einer Möglichkeit zu suchen, wie ich auch von der aus zeigen kann, dass es die Sonne ist, die feststeht und wir uns drehen.
Obgleich ich trotzdem auf eine Erklärung gespannt wäre, die mir diese These wiederlegt und beweist, dass wir bei der Problemstellung in einem Universum sind, in dem die Sonne um die Erde rotiert.

In diesem Sinne, ich bin gespannt.

Noch eine Anmerkung zu deiner Übersicht (http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf):
Die vorletzte Zeile halte ich entweder für inhaltlich falsch oder für schlecht visualisiert bzw. ausformuliert, denn wie ich schon ansprach ist es ein großer Unterschied, ob du den vollständigen Simplex betrachtest oder gewisse Teilstrukturen.

Die 5 Teilstrukturen, die du jetzt beim 10plex betrachtest mögen zwar für sich einzeln betrachtet nach deiner Vorschrift diese 10 generieren, aber der Simplex selbst hat an sich entweder deutlich mehr oder weniger Vollkreise.
(Bei insgesamt 100 Vierecken + 120 Dreiecken landen wir bei 160 Vollkreisen,
oder wenn du beim gesamten Simplex auch wieder nur die "Eckenwinkel" betrachtest, dann sehe ich dort aber auch nur die 4 Vollkreise, die man auch beim normalen 10 Eck hatte, da ich nicht wüsste, was mich bei der Struktur dazu veranlassen sollte, gewisse Winkel mehrfach zu zählen.)

Allgemeine Zwischenfrage:
Was hat dich eigentlich dazu bewegt diese zusammengesetzten Sternpolygone als Simplex zu bezeichnen? Gibt es da Literatur in der das üblich ist?
Denn streng genommen sind das keine Simplexe nach der Definition dieses Wortes, die ich kenne.

@BlackFlame

Entschuldige meine längere Abwesenheit und erst mal vielen Dank für Deine Überlegungen, die ich teilweise sehr sehr gut finde!
Nun hast Du mich ebenfalls mit Fragen zugedeckt, so dass auch mir erst mal die Lust vergangen ist, sofort zu antworten. Zumal ich noch andere spannende Korrespondenzen pflege und nebenbei den Alltag (Beruf und Familie) meistern muss.

Aber ich möchte mich auf jeden Fall Deinen Fragen stellen, denn wie gesagt, besonders die Radosophie-Frage muss man sich natürlich stellen und ich wundere mich fast schon, dass diese Frage nicht schon früher von Dir kam.

Das erste Verständnisproblem ist, dass Du zwei völlig unterschiedliche Symmetrien vergleichst, um da direkte Zusammenhänge zu finden.
Was aber haben diese Symmetrien wirklich gemeinsam?
1. n-Ecke die in Kreis bzw. Kugel münden.
2. Eine wichtige Überschneidung innerhalb der Symmetrie bei der Menge 10

Nicht mehr und nicht weniger. Und das da mehr ist, habe ich auch nie behauptet.

Um aber in diesem speziellen Fall der Radosphie-Vermutung nachzugehen, muss man tatsächlich nach gleichwertigen Gesetzmäßigkeiten Ausschau halten, die eben nicht die Menge 10 betreffen. Man müsste also
1.
tatsächlich untersuchen, ob es noch andere n-Ecke als das 10-Eck gibt, bei dem es zu einer Überschneidung zwischen der Eckenanzahl und einem wichtigen "Mengenparameter" innerhalb der entsprechenden Symmetrie kommt und
2.
in welchem Zusammenhang dieser "Mengenparameter" tatsächlich auch zur Symmetrie bzw. n-Eck und Kreis als solches steht, ein ganz ganz wichtiger Punkt!

Warum ist die Menge der Ecken wichtig?
Dass der Kreis ein Unendlich-Eck darstellt, sollte ja klar sein.

Und ich möchte noch einmal benennen was ich schon mehrmals wiederholte:
Die Peripherie des Kreises = n-Eck ist der Zahlenstrahl, die Tangenten im Kreis bilden den Teiler-Zahlenstrahl ab: beide sind als beliebig vertauschbar zu betrachten, denn um die jeweiligen Teiler anschaulich zu machen, braucht es zwei Zahlenstrahle, durch die dann eben auch die Divisionstabelle entsteht.

Und das ist mein Hauptaugenmerk bei der ganzen Sache:
Zu ergründen, was die Kreiszahl Pi mit den Primzahlen und Zahlentheorie allgemein zu tun hat. Siehe die entsprechenden Formeln in Wikipedia zur Kreiszahl Pi, die ich schon nannte!
Das ist eine der wichtigen Fragen, die ich Dir schon stellte.
Und deshalb behaupte ich auch, dass diese Symmetrien = Kreis & Kugel für des tiefere Verständnis zahlentheoretischer Fragen unverzichtbar sind.
Und Simplexe sind ja genau genommen auch Kugeln, zumindest das Unendlich-Eck.

Es gibt deshalb also "rein geometrischen Probleme", wie Du es formuliert hast nur dann, wenn man zahlentheoretische Scheuklappen verwendet.
Jedenfalls wenn es um diese klar definierten Symmetrien geht:

Kreiszahl Pi = Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser
Zahlentheorie = Verhältnis des Zahlenstrahls zum Teiler-Zahlenstrahl

Zahlenstrahl = Kreis-Peripherie, also n-Ecke
Teiler-Zahlenstrahl = Tangenten durch den Kreis, also Sternpolygone

Letztendlich muss man die Divisionstabelle betrachten, um zu schauen was die Menge 10 mit Primzahlen zu tun hat.
Denn so wie auch der 6er Takt der Primzahlzwillingsbildung grafisch ablesbar ist, so kann man auch die "Primzahlunordnung" grafisch ablesen.

Ich versuche es einfach mal kurz zu benennen auf die Gefahr hin, dass es unverständlich rüber kommt:

Es handelt sich dabei immer um die ungeraden Vielfachen der Primzahlen, nämlich genau jene Positionen, welche die "Primzahlkanäle" "verstopfen", natürlich mit Ausnahme jeder dritten, dreiteilbaren Position.
Dadurch entstehen diese typischen 3er Balken, da sich ja immer links und rechts eine zweiteilbare Position befindet.

In jenem > vierten Teil < der Divisionstabelle, in der die Sternpolygone mit der Zahlentheorie tatsächlich auch absolut deckungsgleich sind, beginnen die entsprechenden Intervalle immer um den "Mengenfaktor 10" versetzt.

Im dritten Teil, also zwischen Quotienten 1 und 2 beginnen die Intervalle um den Mengenfaktor 6 versetzt, zwischen dem Quotienten 0,5 und 1 beginnen die Intervalle um den Mengenfaktor 2 versetzt.

Zum Begriff "Simplex" und warum ich ihn verwende: Nun ich halte mich da an die Standards:
http://mathworld.wolfram.com/Simplex.html
und
Wikipedia: Simplex
mir selbst ist es völlig egal welchen Namen das Kind hat.

Ab Morgen mache ich für 14 Tage Familienurlaub. In dieser Zeit gibt es keinen Internetanschluss, und das ist gut so. Ich habe mir aber Deine Fragestellungen ausgedruckt und werde während des Urlaubs darüber nachdenken.

Bis dahin alles Gute und nochmals vielen Dank für Deine Überlegungen.

Ergänzung, ich schrieb:
"....In jenem > vierten Teil < der Divisionstabelle, in der die Sternpolygone mit der Zahlentheorie tatsächlich auch absolut deckungsgleich sind, beginnen die entsprechenden Intervalle immer um den "Mengenfaktor 10" versetzt....."

Dieser vierte Teil der Divisionstabelle beinhaltet alle Quotienten zwischen 2 bis unendlich.
Geometrisch handelt es sich um alle Tangenten von der Peripherie des Kreises bis zu den Liniensternen durch den Mittelpunkt des Kreises.
Nur hier gibt es auch ganzzahlige Teiler.

Die entsprechende Position beginnt bei 2,5 also:
5/2
15/6
25/10
35/14 usw...

Nach einigen Monaten möchte ich mich wieder zu Wort melden:
Du stelltest den Verdacht auf "Radosophie", eine wirklich sinnvolle Frage! Es ging um die "Auseinander gehende Schere bei der Menge 10 in verschiedenen Symmetrien, auch beim Punktedreieck. Ich habe lange darüber nachgedacht, konnte aber diesen Verdacht nicht bestätigt finden!

Nun aber noch mal etwas absolut grundsätzliches zum Thema Geometrie und Primzahlen:
Die ganze Primzahlproblematik kann nur deshalb über die Geometrie verstanden werden, weil sie tatsächlich selbst Geometrie ist! 
Zahlensymbole sind Rechenhilfen – nichts weiter.

Nehmen wir als Beispiel die Primzahl 13:
Dreizehn Punkte sind eine prime Menge von Punkten – völlig unabhängig vom menschenerdachten Zahlensymbol 13. Das Zahlensymbol ändert sich, sobald wir ein anderes Zählsystem annehmen. Die Menge dreizehn aber bleibt immer prim. 

Wenn wir also das "Wesen der Zahl" erforschen wollen, dann muss uns bewusst sein, dass wir dieses von Menschen gewählte Dezimalsystem und mit ihm auch die entsprechenden Zahlenwert-Symbole wieder auf den Urzustand der Natur zurück denken müssen: Mengen, dargestellt als Punkte, bzw.
Punkte-Intervalle:
1. der Punkt selbst (als Symbol der Einheit)
2. Punkte als Gerade (z.B. Zahlengerade)
3. Punkte als Fläche (z.B. Koordinaten)
4. Punkte als Körper (z.B. Polyeder)
Und da landen wir dann eben bei den "figurierten Zahlen" bzw. der Geometrie (Symmetrie).

Die Notwendigkeit hinter dieser Betrachtungsweise haben auch damals schon die Pythagoreer erkannt.

Zu den Restklassen in der Zahlentheorie: Natürlich braucht man das Dezimalsystem um mit großen Zahlen zu operieren und um dann in diesen großen Zahlen nach Primzahlordungen zu suchen. 
Die Frage ist nur, warum man das will! 
Will man "Primzahlen" (Geometrie und Mengenverhältnisse) verstehen oder will man Bankencodes knacken?
Für das Verständnis der Struktur hinter den "Primzahlen" reicht das Koordinatensystem, dargestellt als Punkte bzw. als n-Simplexe.
"Primzahlen" sind nichts weiter als das "Hintergrundrauschen" der Einheit. Die Vielfachen sind immer größer werdende Raster der einzelnen Teiler der von Mengen bis zu ihrer Hälfte, die vertikal übereinander geschoben die Unregelmäßigkeit erzeugen...

@philolaos
Sei gegrüßt. Ein langes bzw. sehr arbeitsreiches Semester nähert sich langsam dem Ende und ich wollte mal nachfragen, ob du in den letzten Monaten schon neue Erkenntnisse gewonnen hast?

Hey! Schön, dass Du Dich mal wieder meldest! Leider habe ich keine Email-Nachricht von Deiner Aktivität bekommen, weshalb ich erst jetzt nach einigen Monaten und auf gut Glück hier vorbeischaue. Bei mir bzw. uns hat sich eine Menge getan! Nun habe ich die restlichen drei Viertel der Drehbewegungen gründlich untersucht und auch ein entsprechendes Diagramm erstellt. Es sind eine Menge nützlicher Informationen dazu gekommen.
Die habe ich aber noch nicht online gestellt. Vielleicht werde ich das aus verschiedenen Gründen auch nicht tun. Auf jeden Fall ist damit der Beweis erbracht, dass die Primzahlordnung so wie ich sie dargestellt habe, eine entscheidende Relevanz hat.

Gegenfrage: Hast Du denn neue Erkenntnisse gewonnen? Zeit genug hattest Du nun ja.

Ein Tipp: meine Email-Adresse und auch meine richtige Adresse findest Du auf meiner Webseite.

@philolaos
Ich muss mal schauen, ob ich demnächst nochmal ein paar ruhige Stunden finde um nochmal voll in diese Thematik einzusteigen.

philolaos schrieb:Gegenfrage: Hast Du denn neue Erkenntnisse gewonnen? Zeit genug hattest Du nun ja.

Ehrlicherweise nein, da nun erst einmal Sommersemester war bzw. noch ist (mit baldiger Prüfungsphase), indem ich zwar wieder viel interessante Mathematik gelernt habe, jedoch nichts was mit Zahlentheorie zu tun hat.

Primzahlen sind mir zwischenzeitlich nur in Matheforen immer mal wieder über den Weg gelaufen. Gibt doch einige, die Spaß am Generieren und Bestaunen der Ulam-Spirale haben. Auch Verweise auch den großen fermatschen Satz las ich immer mal wieder bei anderen Fragen/Diskussionen.

philolaos schrieb:Auf jeden Fall ist damit der Beweis erbracht, dass die Primzahlordnung so wie ich sie dargestellt habe, eine entscheidende Relevanz hat.

Könntest du mir das genauer beschreiben? Was genau konntest du denn beweisen?

Solange Du mental nicht nachvollziehen kannst, dass der Zahlenstrahl (Kreisumfang = n-Eck) und der Teiler-Zahlenstrahl (Tangenten durch den Kreis =Sternpolygone) einer stringenten Drehmatrix folgt, solange kann ich Dir auch nichts beweisen. Die Tragik an der Sache ist halt, dass Mathestudenten nicht den Hauch einer Ahnung von diesem Sachverhalt haben. Seltsamerweise fragt auch keiner von denen, was die Kreiszahl Pi in der Eulerschen Formel zu suchen hat.

philolaos schrieb:Seltsamerweise fragt auch keiner von denen, was die Kreiszahl Pi in der Eulerschen Formel zu suchen hat.

An der Stelle tuts du uns, oder zumindest mir, völlig unrecht. Die Eulersche Identität, die ja auch nur ein Spezialfall der eulerschen Formel ist, ist fester Bestandteil der Grundausbildung, und je nach Lehrkraft wird das mit mehr oder weniger Reihen sauber hergeleitet.
Was genau bewegt dich denn zu dieser Annahme? Bzw. in wie fern ist die Eulersche Identität interessant für deine Arbeit?

philolaos schrieb:Solange Du mental nicht nachvollziehen kannst, dass der Zahlenstrahl (Kreisumfang = n-Eck) und der Teiler-Zahlenstrahl (Tangenten durch den Kreis =Sternpolygone) einer stringenten Drehmatrix folgt, solange kann ich Dir auch nichts beweisen.

Dann kommt in mir der Instinkt des Mathestudenten hoch, der bei dann erwartet, dass man ihm die nötigen Definitionen, Sätze, Lemmata (oder kurz: die nötigen Sachverhalte) geordnet aufschreibt bzw. herleitet, um sie anschließend im finalen Beweis zu verwenden.
Die Erinnerung an deine Webseite ist nun schon verblasst, aber hast du dort mal von einer stringenten Drehmatrix gesprochen? Falls nicht, dann wie gesagt, schreib das einmal geordnet auf.
Geometrie ist tatsächlich nicht das populärste Gebiet der Mathematik und selbst die Genies haben nicht permanent alle Sätze drauf - sind aber in der Lage sich in Unbekanntes einzuarbeiten. Dafür gibt es ja rießen Datenbanken voller wissenschaftlicher Paper. Und zudem besteht dennoch anschließend eine gewisse Pflicht, dem Leser einen Beweis zu erklären, wenn er ihn von allein nicht besteht.

Also fassen wir den zweiten Absatz zusammen:
(1) Ich möchte dir anraten deine Erkenntnisse mal gerafft, aber vollständig, vielleicht sogar in LaTeX, einmal zu bündeln, so dass man einen roten Faden von These bis ggf. zu irgendwelchen Beweisen erkennen kann.
(2) Was hat es denn nun mit den stringenten Drehmatrizen auf sich?

Diese Formel meine ich: http://tetraktys.de/bilder/Zetafunktion-Pi.gif
Und auch diese welche beschreibt: Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke M liegen, teilerfremd sind, strebt mit:
http://tetraktys.de/bilder/M-6-Pi-2.gif
Gibt es einen direkten Sachverhalt der den Kreisumfang mit den Kreisdurchmesser in Beziehung setzt, und das wiederum in Bezug zur Primzahlordnung?

Ich gebe Dir Recht, dass ich den Begriff "stringente Drehmatrix" erst jetzt verwende. Allerdings hat es diese "stringente Drehmatrix" in all meinen Ausführungen auf meiner Webseite schon lange vorher gegeben.
Hier noch mal eine simple Einführung: http://tetraktys.de/einfuehrung-1.html#drehmatrix
Und hier mit Teilerzahlenstrahl, also den Sternpolygonen:
http://tetraktys.de/geometrie-2.html

@philolaos
Jetzt muss ich doch nochmal genau nachfragen, was du meinst, wenn du von der "Eulerschen Formel" sprichst?

Normalerweise gemeint, dass man die Eulersche Zahl, wenn man sie mit einer imaginären Zahl potenziert, als eine Summe von Cos und Sin darstellen kann, Wikipedia: Eulersche Formel .
Jetzt legst du aber die Riemannsche Zetafunktion auf den Tisch, und ich vermute, dass du dabei auch auf die Eulersche Phi-Funktion ( Wikipedia: Eulersche Phi-Funktion#Absch.C3.A4tzung ) abzielst, aber hier fehlt Klarheit, was du meinst.

@BlackFlame Du bist der Mathematiker.
Von meiner Seite muss reichen, was ich schon öfters hier schrieb:

Dass alle Teilereigenschaften in der Divisionstabelle analog zu einer stringenten Drehmatrix sind, die man mit den Simplexen beschreiben kann.

Dass dabei die natürliche Zahl ohne Teiler dem Kreisumfang entspricht, wogegen die Teiler alle Tangenten durch den Kreis beschreiben, das entspricht Pi, also dem Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser.

Dass die Summe aller primen Quotienten in der Divisionstabelle folgender Formel in der Zahlentheorie entsprechen:
Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke liegen, teilerfremd sind, strebt mit M unendlich gegen 6/Pi hoch2
Hier zu finden:
Wikipedia: Kreiszahl#Formeln der Zahlentheorie

Primzahlen sind das was übrig bleibt, die Drehbewegung filtert alle Vielfachen aus.

Und wenn Du von Sinus und Cosinus sprichst: Natürlich entspricht eine Sinuskurve auch wieder einem Kreis:
http://tetraktys.de/bilder/circle-sinus-1.gif

Gleich vorweg, dies wird voraussichtlich mein letzter Beitrag zu dem Thema werden.

Der Ansatz mit den Simplexen war ursprünglich interessant zu sehen, aber auch jetzt ist mir immer noch nicht klar geworden, was du mit ihnen zeigen willst bzw. wozu du sie überhaupt heranziehst um gewisse Dinge zu erklären, weil soweit ich das verstanden habe, man alles bisherige auch erklären kann, ohne sie auch nur einmal überhaupt zu erwähnen.
Ihre Notwendigkeit wirkt unmotiviert bzw. ist mir immer noch ein Rätsel.

Du scheinst ja im Laufe Zeit viele Ergebnisse der Zahlentheorie entdeckt und in einem gewissen Zusammenhang gebracht zu haben und das ist wirklich cool zu sehen, aber viele Details wirken eher wie eine gedankliche Randnotiz, wie jetzt dieses neuste Detail mit der relativen Häufigkeit.
Letztlich ist es aber dennoch deine Aufgabe, das zu strukturieren und in einen Zusammenhang zu bringen und da kann ich dir auf lange Sicht nicht helfen, da ich vermute, dass es da Zusammenhänge gibt, die man mit einem intensiveren Studium der schon vorhandenen Zahlentheorie recht fix in Einklang bringen könnte, aber mir schlichtweg die Zeit fehlt, um mich selbst damit auseinanderzusetzen. Da gehen auch meine eigenen mathematischen Interessen einfach zu sehr in andere Richtungen.

Du hast wirklich etwas Tolles angefangen, aber ich kann mich nur wiederholen mit der Empfehlung ruhig mehr Zeit zu investieren, die schon vorhandene Mathematik und Zahlentheorie zu durchforsten, auch wenn dies bedeutet erst einmal ein Grundlagen nachholen zu müssen.
Da ich über den Sommer aber erst einmal selbst eine wissenschaftliche Arbeit verfassen muss und das kommende Wintersemester auch wieder vollgepackt sein wird, sehe ich nicht, dass ich demnächst die Freizeit haben werde, um dich dabei zu begleiten und zu unterstützen.
Dennoch wollte ich so höflich sein mich hiermit zu verabschieden und mich für die nette Diskussion zu bedanken.

Viel Erfolg weiterhin.

Auch Dir ganz vielen lieben Dank, dass Du Dich in diese Sache reingedacht hast.
Nun gehe auch ich erst mal in den Urlaub und werde danach eventuell noch mal ein paar warme Worte zu diesem Thema hier abgeben.

Dir ebenfalls viel Erfolg bei Deiner weiteren Arbeit.