Hallo,
nach nun fast drei Wochen auch eine ausführliche Antwort:
Danke auch für Deine Antworten und Fragen, auf die ich erst mal direkt antworten möchte.
Du bist übrigens auch er erste, den ich überhaupt so detailliert in meine Gedankenwelt blicken lasse, von meiner Webseite abgesehen, die vermutlich auch die allerwenigsten verstehen. Denn einige wichtige Zusammenhänge sind noch nicht oder nur schlecht dargestellt. Über andere Dinge herrschen auch bei mir Unklarheit, und im Header meiner Seite ist ja auch zu lesen "Willkommen zur gemeinsamen Erforschung der Tetraktys!"
Also Du schreibst:
BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Hier hast du ja mal animiert wie das Sieb von Erathos und die Divisionstabelle zusammenhängen bzw. noch einmal vorgeführt, dass das Sieb eine konstruktive Methode ist, um Primzahlen zu finden.
Das Aussieben von Primzahlen ist >nicht< mein Anliegen.
Was ich zeigen möchte sind folgende Punkte:
1. Um das Wesen der Zahl zu erkennen, braucht es zwei Zahlenstrahle, nämlich die Zahlen selbst und ihre Teiler. Das Ganze kann man dann Divisionstabelle nennen. Die herkömmlichen Darstellungen vom SdE sind mir zu wenig. Leider ist diese Tabelle zumindest für Laien nicht bekannt. Auch Mathematiker kennen diese Tabelle und das daraus resultierende typische Muster kaum oder gar nicht, das finde ich sehr traurig.
2. Zahlentheorie im Allgemeinen und Primzahlen im Besonderen sind auch Geometrie (Punkteraster).
Daraus resultiert:
3. Zahlentheorie im Allgemeinen und Primzahlen im Besonderen sind von keinem Zählsystem abhängig (zumindest für Laien ist das wichtig zu wissen!).
4. Es entsteht ein immanentes Muster in der Divisionstabelle, welches man nicht ignorieren darf.
5. Dieses Muster ist nur bis zur Ziffer 4 homogen.
aber der wichtigste Punkt ist:
6.
Diese Divisionstabelle steht im unmittelbaren Zusammenhang zur Geometrie der Simplexe, will sagen Zahlentheorie steht in unmittelbarem Zusammenhang mit der Kreiszahl Pi, was ja eigentlich nichts wirklich neues ist.
Aber:
was bisher in diesem Zusammenhang eben noch nie klar und deutlich thematisiert wurde:
Der Zahlenstrahl entspricht der Peripherie des Kreises, der Teiler-Zahlenstrahl entspricht dem Durchmesser des Kreises. Beide bedingen einander. Das sind Einsichten, die zumindest bei mir persönlich einen gewaltigen Aha-Effekt auslösen – eben auch im Zusammenhang zur Kreiszahl Pi.
Die erwähnte Animation ist ja lediglich eine von vielen Darstellungsmöglichkeiten, um die Funktionsweise des Siebs vorzuführen.
Eine bekannte Variante fand man ja hier Wikipedia: Sieb_des_Eratosthenes und jetzt wurden diese Zahlen eben auf einer Diagnonalen angeordnet, auf der eben dieses Sieb arbeitet und mit Hilfe weiterer Algorithmen erzeugt man nebenbei die Divisionstabelle mit.
Nein, diese Animation ist viel mehr.
Das normale, recht primitive Sieb kenne ich natürlich. Wie gesagt, das SdE dient mir lediglich als Anknüpfungsthema, damit Interessierte Leser den Einstieg finden. Andererseits ist die Aussagekraft der Divisionstabelle viel komplexer und ergiebiger. Denn es geht hierbei weit über das Aussieben von Primzahlen hinaus.
BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Schon hier stellt sich mir immer wieder die Frage, was aber der Informationsgewinn sein soll, wenn man die Divisionstabelle mitkonstruiert?
Einige der Antworten habe ich bereits mit den Punkten 1 bis 6 genannt.
Und dann ist es ganz wichtig zu erkennen, dass es sich eben nicht um eine menschliche "Konstruktion" handelt! Gib einem intelligenten Wesen irgendwo in den Weiten des Universums die Abfolge von n-Ecken als gegeben an die Hand und bitte es, die perfekte arithmetische Systematik davon abzuleiten, es wird immer das Gleiche dabei herauskommen, davon bin ich mehr als überzeugt.
Der Kreis mit einem Punkt in der Mitte ist nicht von Ungefähr das ultimative Schöpfungsmuster in vielen Kulturkreisen. Und all diese Polygone und Sternpolygone von denen es genau vier Grundtypen gibt, interagieren eben zwischen dem Mittelpunkt und der Kreisperipherie. Es geht dabei schlicht und ergreifend um perfekte Symmetrie, dem erfolgreichsten Konzept – sowohl in der Physik als auch in der belebten Natur.
BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Denn immer noch ist das Verfahren ein rein konstruktives - also man kann eine Primzahl erst dann erkennen, wenn man weis, dass innerhalb der Tabelle in der Spalte dieser Zahl keinen ganzzahligen Teiler vorfindet.
Warum also diese vielen zusätzlichen Informationen?
In beiden Fällen ist doch die Frage an eine Zahl "Bist du prim?" und die Antwort erhält man nur dadurch, dass man alle möglichen Teiler durchprobiert, in der Hoffnung keinen ganzzahligen Teiler zu finden.
Und jetzt musst du mir auf die Sprünge helfen, da ich eben nicht sehe, welche deiner Ausführungen eben genau dieses Problem umgeht oder abkürzt?
Einverstanden, das effiziente Aufspüren von Primzahlen ist ja eines der zentralen Themen in der Zahlentheorie, vermutlich seit Jahrtausenden bis in unsere Gegenwart. Dazu so etwas wie eine Formel zu finden würde bedeuten, dass man sich unsterblich macht.
Aber gerade ja deshalb:
warum sollte gerade ich die komplett fertige Lösung parat haben?
Was ich aber anbieten kann, sind "neue" bzw. in "Vergessenheit" geratene uralte Denkansätze, die logisch und naheliegend sind. Dazu weiter unten mehr.
Und genau dazu sind leider auch die "vielen zusätzlichen Informationen" nötig. Ich habe seit dem Radosophie-Tread immer wieder darauf hingewiesen, dass Primzahlen mit der Kreiszahl Pi verknüpft sind und dass man diese geometrischen Zusammenhänge nicht ignorieren darf, wenn man in der Primzahlforschung ein paar Schritte weiter kommen möchte.
BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Und nun noch einmal zu den Polyedern.
Es ist ja durchaus richtig, dass man mit Schläfli einen gewissen Bereich einer Divisionstabelle in Polygone übersetzen kann, aber warum machst du das?
Hilft diese andere Darstellung, dass ich dir irgendeine in Polygone übersetzte Spalte dieser Tabelle gebe und du mir nur aus den Figuren sagen kannst, ob es sich dabei um eine Spalte einer Primzahl handelt?
Diese Frage habe ich für mich selbst schon ganz am Anfang meiner Forschung beantwortet, weshalb ich auch über den direkten Zusammenhang zwischen Primzahlen und Geometrie bzw. Symmetrie informiert bin und aus tiefster Überzeugung meine Webseite
http://tetraktys.de ins Netz gestellt habe:
Primzahlen haben nur Spalten mit Sternpolygonen, die sich in einem Zug zeichnen lassen, also eine von vier (bzw. drei) möglichen Typen von Polygonen/Sternpolygonen die eben ausnahmslos auch das Verhältnis der jeweiligen Teiler zu seiner natürlichen Zahl zeigen. Darin sehe ich einen ganz wichtigen Punkt den ich mehrmals als zentrales Thema in den Raum stellte und zu dem Du bisher noch nicht Stellung bezogen hast.
Du scheinst darauf zu hoffen, von mir so etwas wie einen direkten Hinweis zur ultimativen Primzahl-Formel zu bekommen. Wer weis, vielleicht gebe ich Dir zumindest entsprechende Impulse – wenn Du offen für diese Impulse bist.
Also noch mal ganz deutlich: Mir persönlich geht es nicht darum, eine Formel zu finden, mit deren Hilfe man verschlüsselte Bankdaten knacken kann. Das nebenbei zu finden wäre so etwas wie ein "Abfallprodukt", noch dazu ein sehr unglückseeliges, das niemandem wirklich nützt, nützen wird. Auch nicht dem "glücklichen" (Neu-)Entdecker.
Für mich selbst ist es lediglich äußerst wertvoll zu wissen, dass es einen direkten Zusammenhang zwischen Symmetrie (dem erfolgreichsten Naturgesetz überhaupt) und der Zahlentheorie gibt. Diesen Zusammenhang muss man erst mal auf sich wirken lassen....
Die Divisionstabelle ist reinste Symmetrie auch wenn man das nicht sofort erkennt, da sich die Symmetrien eben überlagern. Die ersten dieser Symmetrieachsen ergeben sich aus dem 6er Takt der Primzahlzwillinge. Aber auch Kreis und Kugel sind die perfekte Symmetrie. Was sind Simplexe? Multidimensionale Kugelformen, Perfekte Symmetrie. Schau in die Natur: Das Weltall bewegt sich kreis- und kugelförmig. Planeten und Sonnen selbst sind ebenfalls kugelförmig. Elementarteilchen bewegen sich ebenfalls in Kreisbahnen. Auch sonstige Energiefelder jeglicher Art strahlen selbstverständlich gleichförmig, also kugelförmig aus. Dazu würde ich gern mehr schreiben, da Philosophie und nicht Mathematik mein Hauptthema ist. Im Header von Tetraktys.de ist zu lesen: Zahlentheorie + Geometrie = Philosophie. Aber ich möchte jetzt nicht zu sehr abschweifen und Dich nicht damit langweilen.
BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Die Kritik richtet sich erst sekundär an die geometrische Übersetzung, und primär eben schon an die Behauptung, dass die Divisionstabelle scheinbar das Primzahlproblem vereinfacht bzw. es ermöglichen soll, dass man eine Struktur in den Primzahlen ableiten könne.
"In den Primzahlen allein eine Struktur ableiten" – nein. Alle (Prim)-Zahlen zusammen erzeugen eine Struktur welche den gesamten Zahlenraum umfasst, die es zu erkennen und richtig zu lesen gilt.
BlackFlame schrieb am 28.06.2014:Die große Frage, die sich mir stellt ist nun, ob du jetzt von einem Mathematiker wissen möchtest, ob dieser Zusammenhang überhaupt besteht oder ob du da einen Zusammenhang gefunden hast, den du nicht genau beschreiben kannst, von dem du mich aber überzeugen willst?
Ganz klar Letzteres.
Vorweg: Mittlerweile bin ich etwas im Zweifel in wieweit jemand als "Nur-Mathematiker" überhaupt meine Fragen beantworten kann/möchte, bzw. eine Dringlichkeit in meinen Fragestellungen erkennt. Die "Mathematiker" der Antike waren vorrangig Philosophen und ich habe immer mehr die Befürchtung, dass die heutigen Mathematiker zu sehr von stereotypen und als relevant propagierten Standard-Fragestellungen der heutigen Mathematik fremdgesteuert sind, in einigen wichtigen Punkten (Axiomen) keinen eigenen Kopf haben/haben dürfen. Wenn aber schon ein Heer von Mathematikern verzweifelt einen direkten Lösungsansatz mit den herkömmlichen Methoden und Werkzeugen angegangen ist und bisher regelmäßig daran gescheitert ist, warum soll gerade ich als Laie mit den gleichen Methoden Erfolg haben? Wäre es dann überhaupt und sowieso nicht vielmehr angebracht, unkonventionelle Wege zu gehen?
Wenn das arithmetische "Hauptportal" zum "heiligen Gral der Primzahlen" auch fest verschlossen scheint, so sehe ich doch einige Hintertürchen und Nebeneingänge durch die "geometrischen Katakomben" in die man einsteigen kann, um dennoch in jenes "Allerheiligste" einzudringen, um dann möglicherweise das Tor von innen aufzustoßen....
Deshalb hier im Vorfeld erst mal ein paar weniger typisch mathematische als viel mehr geometrisch philosophische Fragen an Dich.
Bitte wirklich jede einzelne Frage beantworten (!):1.
Das Pascalsche Dreieck entspricht der fraktalen Geometrie des Sierpinski-Dreiecks. Wir wissen, dass sich das Sierpinski-Dreieck mit einem verblüffend einfachen Algorithmus erzeugen lässt, bei dem aus Chaos Ordnung entsteht. Wir wissen, dass im Pascalschen Dreieck alle ungeraden Zahlen "dunkle Felder" sind, wogegen alle "hellen Felder" geradzahlig sind. Wenn man ein größeres Fraktal mit mehreren Rekursionsschritten (Iterationsstufen) betrachtet, dann stellt man fest, dass große helle geradzahlige Bereiche >keine< fraktale Struktur zeigen. Also hat allein schon hier die Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden Zahlen eine Relevanz und ein geometrisches Korrelat. Es gibt außerdem noch viele andere Entsprechungen und Verbindungen des Pascalschen Dreiecks zur Artihmetik (multidimensionale Tetraeder = Simplexe >>> extra interessantes Thema auf das wir auch in Kürze eingehen sollten, erinnere mich bitte mal daran!!!, Binärkoeffizienten und Fibonaccizahlen).
Worauf ich hinaus will:
Hältst Du es für möglich, dass das Muster in der Divisionstabelle ebenfalls klare Aussagen und Entsprechungen liefert?
Ich beziehe mich dabei als erstes auf den 6er Takt der Primzahlzwillingsbildung. Die Primzahl 2 erzeugt ein homogenes Punktemuster. Die Primzahl 3 erzeugt ebenfalls noch ein homogenes Muster, allerdings sind nun neben den regelmäßigen Punkten auch 3er-Balken entstanden, die durch die ungeraden dreiteilbaren Teiler gebildet werden. Was nun übrig bleibt sind alle potenziellen Primzahlplätze, bzw. zweidimensional dargestellt als Spalten in einer Tabelle, quasi "Primzahlkanäle".
Auch alle danach entstehenden 3er Balken werden durch alle nachfolgenden Primzahlen, bzw. deren >ungerade< Teiler "erzeugt". Ab dem Punkteraster der Primzahl 5 (Beginn bei 5 x 5 = 25) entstehen ja dann die Unregelmäßigkeiten.
Könntest Du Dir also vorstellen, dass dieses typische Muster in der Divisionstabelle ebenfalls direkt arithmetische Sachverhalte zeigt, die tatsächlich auch eine Relevanz haben? Das also dieses Muster nicht nur "zufällig" entsteht ? – Was ja tatsächlich auch nicht der Fall ist!
Wenn Du also diese Frage mit "Ja" oder "vielleicht" beantworten kannst, können wir dieses Thema vertiefen.2.
Wir wissen, dass die Kreiszahl Pi in der Zahlentheorie mindestens in zwei Fällen eine meiner Meinung nach fundamentale Bedeutung hat:
1. in der Formel von Leonard Euler im Zusammenhang mit der Zetafunktion und daraus resultierend der Zusammenhang zu den Primzahlen und
2. eine sehr ähnliche Formel: Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke M liegen, teilerfremd sind, strebt mit M unendlich gegen 6/Pi hoch 2.
Diese Formel entspricht auch den teilerfremden roten Feldern = Sternpolygontyp in einem Zug gezeichnet – in der Divisionstabelle. Prinzipiell kann man diese roten Felder = prime Teiler als das betrachten, was von der Ziffer 1 übrig bleibt, so eine Art "Hintergrundrauschen". Demnach kann man Primzahlen auch als Rest der Zahl 1 betrachten.
Wichtige Frage:
Wie erklärst Du Dir selbst überhaupt diese Zusammenhänge zwischen der Kreiszahl Pi und der Zahlentheorie?3.
Dann gibt es da noch diese Kettenbrüche mit Pi*Pi/6 und Pi/4....
Die Zahlen 6 und/oder 4 kommen in den Formeln mit arithmetischem Bezug zu Pi fast immer vor.
Wie erklärst Du Dir das?
Einen wichtigen wenn auch spekulativen Anhaltspunkt sehe ich darin, dass nur 6- und 4-Eck in der Ebene und im Raum mit sich selbst lückenlos parkettierbar sind. 3-Ecke sind es natürlich auch, müssen aber wechselseitig aufrecht und gestürzt angeordned werden und sind außerdem deckungsgleich mit 6-Ecken.
Also warum hat die lückenlose Parkettierung möglicherweise mit der Kreiszahl Pi zu tun?:
Jeder Knoten- bzw. Eckpunkt einer solchen Parkettierung hat zwangsläufig die Summe eines vollen Kreises.
Radosophie oder tatsächlich Brücke zwischen Geometrie und Zahlentheorie:
Auffällig ist analog dazu, dass in der Divisionstabelle die vierte (dritte) "blaue" Konstellation (Sternpolygone mehrfach = Teiler von n ist relativ prim, hat aber ein gemeinsames Vielfaches größer 1) zum ersten Mal bei 4/6 und 6/4 auftritt.
Bei Betrachtung der vier Typen von Polygonen und Sternpolygonen haben die 4 und die 6 ebenfalls jene besondere Eigenschaft:
Bei Typ 1 ist das Quadrat (= 4-Eck!) die einzige Figur mit der Innenwinkelsumme von einem Vollkreis, bei Typ 2 ist das Hexagramm (aufrechtes und gestürztes Dreieck im 6-Eck) die einzige Figur mit der Innenwinkelsumme eines Vollkreises.
Von Typ 3 und 4 gibt es dagegen unendlich viele Figuren mit der Innenwinkelsumme eines vollen Kreises.
Also auch hier eine Wechselbeziehung zwischen Kreis und Zahlentheorie.
Auch der dreidimensionale Raum ist mit Vierecken (Tetraeder) und Sechsecken (Oktaeder) im Verbund parkettierbar. Das Ergebnis ist das kubisch flächenzentrierte Kristallgitter der dichtesten Kugelpackung, aus dem sich wieder ein dreidimensionales Sierpinski-Dreieck ableiten lässt.
Sind das Informationen mit denen Du etwas anfangen kannst, oder in denen Du ein gewisses Potenzial erkennst?4.
Simplexe und ihr Bezug zur Arithmetik beschreiben das Wesen der Kreiszahl Pi folgendermaßen:
Eckpunkte in der Peripherie des Kreises = n-Eck = natürliche Zahl.
Tangenten durch den Kreis = mögliche Teiler bis zum Mittelpunkt = Durchmesser.
Zwei Zahlenstrahle treffen aufeinander und bedingen einander, sind also beliebig austauschbar.
Und tatsächlich ist ja auch dieses Muster in der Divisionstabelle spiegelsymmetrisch.
Hat dieser Zusammenhang für Dich eine Aussagekraft?5.
Wichtige Frage:
Was hältst Du von jenen Übereinstimmungen zur Ziffer 10 an Hand von drei völlig verschiedenen Geometrie-Beispielen?
http://tetraktys.de/einfuehrung-2.html
und zu den Simplexen selbst:
http://tetraktys.de/downloads/tetraktys_1.pdf6.
Wie bewertest Du die Argumentation zu Sonderstellung der Ziffer 10 in den antiken Aufzeichnungen von Speusippos/Philolaos, zu sehen unter:
http://tetraktys.de/einfuehrung-6.html
die ich wohlgemerkt erst 3 Jahre nach Onlinestellung meiner Internetseite entdeckte?
Wichtiger Punkt!
Meinst Du, dass das kompletter Unsinn ist, oder hältst Du es zumindest für möglich, dass die antiken Denker etwas Wichtiges erkannt haben, sich Dir aber der Sinn dahinter nur noch nicht erschlossen hat?7.
Und nun doch noch mal zurück zum Pascalschen Dreieck:
Wie weiter oben bereits bemerkt: Simplexe sind Tetraeder in n Dimensionen. Ob es real mehr als 3 Dimensionen gibt, darüber müssen wir uns jetzt nicht den Kopf zerbrechen. Ich selbst habe meine ganz spezielle unkonventionelle Sichtweise, vielleicht später dazu mehr.
Interessant ist zu unserem Themenkreis erst mal lediglich, dass das Pascalsche Dreieck ein absolut lückenloses Diagramm für diese Multidimensionalität von Simplexen liefert!
Unter Mathematikern allgemein bekannt ist ja, dass das Pascalsche Dreieck so etwas wie eine arithmetische "eierlegende Wollmilchsau" ist. Nun ist eben genau dieses Pascalsche Dreieck auch ein absolut lückenloses Diagramm für die Darstellung der Multidimensionaliät von Simplexen.
http://tetraktys.de/geometrie-4.htmlWie schätzt Du diesen Zusammenhang ein?8.
Von Platon stammt folgendes Zitat: "Das Staunen ist die Einstellung eines Mannes, der die Weisheit wahrhaft liebt, ja es gibt keinen anderen Anfang der Philosophie als diesen."
Was denkst Du über diese Aussage von Platon?
Ist das Staunen über vordergründig banale Dinge ein Zeichen von Naivität, oder erkennst Du darin auch den Versuch selbständig zu denken, und neu zu hinterfragen, was wichtig und was eher unwichtig ist?Denke bitte länger darüber nach und gib mir eine ehrliche Antwort.
Auch wenn Du vorerst das Gefühl hast, dass wir keinen Schritt weiter gekommen sind, bitte ich um die Beantwortung aller Fragen. Die Antworten können knapp ausfallen, wichtig ist mir nur, dass Du zu jeder Frage ehrlich Stellung beziehst, was natürlich voraussetzt, dass Du Dich in jede dieser Fragen genügend reindenkst. Lass Dir deshalb ruhig mehr Zeit bei der Beantwortung der einzelnen Fragen. Voreilige unüberlegte Antworten nützen weder Dir noch mir.