@horusfalk3 Danke fürs Lob
;)Ich wollt mir eh schon länger mal das ganze Zeugs zusammenschreiben, um mir auf diese Art die alten Physikkenntnisse wieder aufzufrischen, also ich mach das eigentlich auch für mich selber.
Freut mich aber auch, wenn ich diesen Stoff mal etwas unter die Leute bringen kann.
Und hier wäre die Herleitung der Zeitdilitation. Keine Angst, die Mathemathik dahinter ist nicht tiefergehender als der Satz des Pythagoras, nur muss man die Logik selbst mal in den Kopf kriegen.
Also, man kann mit einem Lichtstrahl, der in Bewegungsrichtung ausgesandt wird, erst mal nicht viel berechnen, da wir nicht wissen ob sich jetzt die Zeit ändert oder die Längen oder beides.
Statt dessen senden wir einen Lichtstrahl senkrecht zur Bewegungsrichtung aus. Denn es gibt keinen Grund, warum in dieser Richtung der Raum ebenfalls gestaucht/gestreckt werden sollte (bzw. zumindest ergibt sich auf diese Art eine in sich stimmige Theorie).
Dazu nehmen wir eine Lichtuhr. Das ist nichts weiter als eine hypothetische Anordnung von 2 gegenüberliegenden Spiegeln, zwischen denen ein Lichtstrahl hin- und herpendelt bzw. unendlich weiterreflektiert wird:
Wenn die Spiegel z.B. 15cm voneinander entfernt sind, braucht der Lichtstahl 1 Nanosekunde für 1x hin- und herpendeln.
Dieses Ding stellen wir wieder in einen Zug. Dieser fährt seht schnell, seine Geschwindigkeit bezeichnen wir mit v_zug.
Nun haben wir wieder die beiden unterschiedlichen beobachter: Den im Zug und den am Bahnsteig.
Für den Beobachter im Zug ist die Sache einfach: Für ihn fliegt das Photon senkrecht runter und wieder senkrecht rauf, fertig.
Der Beobachter am Bahnsteig sieht aber eine andere Flugbahn: Während der Lichtstrahl rauf- und runterfliegt, bewegt sich aus seiner Sicht ja auch der Zug weiter. Deshalb hat der Lichtstrahl für ihn eine schräge Flugbahn.
(Bis hierhin ists noch genauso, wie wenn der Typ im Zug z.B. eine Münze fallsn lassen würde. Für ihn fällt sie senkrecht runter, für einen äußeren Beobachter fällt sie schief.)
So, und an dieser Stelle, und das ist wieder der große Unterschied zur Münze, kommt wieder die Tatsache der konstanten Lichtgeschwindigkeit ins Spiel. (Wir betrachten jetzt nur den Weg abwärts und nicht den zurück aufwärts, sonst kommen viele unnötige 2er in die Formeln). Da der Weg des Lichts für den Bahnsteigsbeobachter länger ist als für den Zugbeobachter, und wir wissen/annehmen, dass senkrecht zur Bewegungsrichtung sich an den Längen nichts ändert, bedeutet dies, dass für den Bahnsteigsbeobachter mehr Zeit vergangen sein muss als für den Zugbeobachter.
Wieviel Zeit genau?
Dazu müssen wir nur die genauen Weglängen ausrechnen.
Für den Zugbeobachter ist es leicht. Die Zeit für ihn beträgt v_innen L/c. Für den Bahnsteigsbeobachter stellen wir ein rechtwinkliges Dreieck auf:
Die Zeit, die für den Bahnsteigsbeobachter vergeht, nennen wir t_aussen. Der Zug hat in dieser Zeit den Weg v_Zug*T_aussen zurückgelegt, der Lichtstrahl c*t_aussen (da der Lichtstrahl ja eben immer mit c fliegt).
Laut Pythagoras ergibt sich: L² + (v_zug*t_aussen)² = (c*t_aussen)²
Das löst man mit ein paar Umformungen nach t_aussen auf: (sqrt sthet für "Wurzel aus")
t_aussen = sqrt(L² / (c²-v²) )
Wie bereits oben geschrieben, beträgt t_innen:
t_innen = L/c
Da wir wissen wollen, wie viel langsamer die Zeit innen gebenüber aussen verrinnt, setzen wir die beiden Zeiten in ein verhältnis, und mit etwas Umformen kommt man auf:
t_innen / t_aussen = sqrt( 1 - v²/c² )
Und das, sehr geehrte Damen und Herren, ist die Formel der Zeitdilitation, wie man sie z.B. auch im Wikipediaartikel findet.
Fragen dazu werden gerne beantwortet, aber falls es um die Umformungen geht: Bitte erst selber ausprobieren, dann hat man auch ein Erfolgserlebnis
;)P.S. der teil hat jetzt irgendwie doch länger gedauert als erwartet...
